2023年天津高考數(shù)學高考必備知識點總結歸納

第一章-集合

一、集合：集合元素的特征：確定性、互異性、無序性.

1、集合的性質：①任何一個集合是它本身的子集，記為厶=A；

②空集是任何集合的子集，記為02厶；

③空集是任何非空集合的真子集；

①n個元素的子集有2n個.n個元素的真子集有2n—1個.n個元素的非空

真子集有2n—2個.

注①一個命題的否命題為真，它的逆命題一定為真.否命題0逆命題.

②一個命題為真，則它的逆否命題一定為真.原命題。逆否命題.

DO4n3<=>{xIx￡A,口xB}

2、集合運算：交、并、補.口口AJB<Z>{XIXGADxGB}

□□A<=>{XG[/,Dx&A]

u

三簡易邏輯

構成復合命題的形式：P或q記作“pVq”；p且q記作“pAq”;

非p記作“iq”;

1、“或”、“且”、“非”的真假判斷

4、四種命題的形式及相互關系：

原命題：若P則q;逆命題：若q則p;

否命題：若[P則1q;逆否命題：若[q則1p;

①、原命題為真，它的逆命題不一定為真；

②、原命題為真，它的否命題不一定為真；

③、原命題為真，它的逆否命題一定為真；

6、如果已知pnq那么我們說，p是q的充分條件，q是p的必要條件；

若p=q且q=>p,則稱p是q的充要條件，記為pq.

第二章-函數(shù)

一、函數(shù)的性質

1定義域：2值域：

3奇偶性：在整個定義域內考慮

①定義：偶函數(shù)：/(—%)=/(%)奇函數(shù)：/(-%)=—/(%)

②判斷方法步驟：a.求出定義域；b.判斷定義域是否關于原點對稱;

c.求/X)；d.比較/(-%)與F(%)或/(-%)與一/(%)的關系；

4函數(shù)的單調性

定義：對于函數(shù)fx的定義域I內某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x,x

12,

⑴若當x<x時，都有fx〈fx,則說fx在這個區(qū)間上是增函數(shù)；

1212

⑵若當x<x時，都有fx>fx,則說fx在這個區(qū)間上是減函數(shù).

1212

二、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù)y=〉°且。W1)的圖象和性質

a>10<a<1

圖

象

性1定義域：R

質2值域：0,+8

3過定點0,1,即x=0時，尸1

4x>0時,y>1;x<04x>0時,0<y<1;x<0時，y>1.

時,0<y<1

5在R上是增函數(shù)5在R上是減函數(shù)

對數(shù)函數(shù)y=logxa>0且aJ的圖象和性質:

a

⑴對數(shù)、指數(shù)運算：

(2)y="xa>0,。與y=iog%a>0,〃wl互為反函數(shù).

a

第三章數(shù)列

1.(1)等差、等比數(shù)列:

等差數(shù)列等比數(shù)列

號義

犍推a=a+d?a=aq.

nn-19nn-19

公式

通項1定義:叫芳勺〃-1%,"()

公式2值域R

生屮以

3過點1,0,即當x=1時，y=0

扮式

頁4%e(0,1)時v<0XFfo.i)葉y>°

\9/LI'J

前n

Xe(1，+°°)時y>%G(i,+8)時y<o

0

項和

社AUH,q十C0T0'I上L疋J7秋、rV；的多致#4

重要”>午加纟聲業(yè)庫向獲

性質

S]=%(〃=1)

｛a

2數(shù)列a｝的前〃項和S”與通項a的關系：ns-s(ji>2)

”"nnn-1

第四章-三角函數(shù)

一.三角函數(shù)

1、角度與弧度的互換關系：360°=271；180°=兀；

180宜TT

1rad=^=r-°=57°18';1°=__^rad

兀180

注意：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負角的弧度數(shù)為負數(shù)，零角的弧度數(shù)為零.

2、弧長公式："TaI".扇形面積公式：丁=；＞=；囘〃2

.yxv

3、三角函數(shù)：Sina=y；C0SCt=~；tan(X=-；

4、三角函數(shù)在各象限的符號：一全二正弦，三切四余弦

sina_

5、同角三角函數(shù)的基本關系式：7^77=tanasirua+cos2a=1

6、誘導公式：

7、兩角和與差公式

8、二倍角公式是：

sin2a二2sina-cosoc

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2oc—1=1—2sin2a

2tana

tan2Qt=

l-tan2a＞

輔助角公式asin0+bcos0=J-2+匕2sjn0+(p,這里輔助角

b

屮所在象限由a、b的符號確定，＜P角的值由tan(p=z確定；

9、特殊角的三角函數(shù)值：

0

sina010

cosa100

不存不存

tan010

a在在

不存不存

cot100

a在在

abc~~

10、正弦定理而江"麗E=^=2RR為外接圓半徑?

余弦定理C2=a2+b2—2bccosC,

b2=a2+c2-2accosB,

az=62+02—2bccosA.

面積公式:

2n

11.y=sin（①％+屮）或,=?0$（3X+屮）cow0的周期T=pp

兀

12.y=sin（co%+（p）的對稱軸方程是尤=也+區(qū)左wZ,對稱中心也,0；

y=cos（cox+（p）的對稱軸方程是x=KukeZ,對稱中心kn+1.71,0；

y=tan（3x+（p）的對稱中心乃,0

第五章-平面向量

1向量的基本要素：大小和方向.

2向量的長度：即向量的大小，記作I丁

a+y2ay）

3特殊的向量：零向量4=0<=>I4丨=0.

單位向量”為單位向量O

II=1.

x二x

<12

4相等的向量：大小相等，方向相同x,y=x

112y尸y

二L

5相反向量：方=一方o方=一ao方+萬

6平行向量共線向量：方向相同或相反的向量，稱為平行向量.記作〃〃匕.

平行向量也稱為共線向量.

7.向量的運算

運

算

幾何方法坐標方法運算性質

類

型

向

量1.平行四邊

的形法則

加2.三角形法則

法

向

量

AB=-BA,

的三角形法則

VB-VA=7LB

減

法

1.九,是一■個向

數(shù)

量，滿

乘

足：I氏l=l入I⑶

向

2.入＞0時，解與萬

量

同向；入＜0時，

九3與力異向;

入二。時，筋=0.

向

量

&,5是一,個數(shù)

的

1.a=0或方=0

數(shù)

時，H?萬=0

量

積

8兩個向量平行的充要條件

__H二九萬

d//bb01<^>記n

〃0或xy—xy=O

1221

9兩個向量垂直的充要條件

。丄方<^=*>aJb=oox,x+y,y=0

1212

a-bxx+yy

121

10兩向量的夾角公式：cose=I〃卜|匕|二?+不再專

0W0W180°,

附：三角形的四個“心”；

1、內心：內切圓的圓心，角平分線的交點

2、外心：外接圓的圓心，垂直平分線的交點

3、重心：中線的交點

4、垂心：高的交點

11AABC的判定:

C2=Q2+b2=4ABC為直角+ZB=;

02V。2+/?2<=>^ABC為鈍角NA+ZB<y

,汽

C2>02+820△ABC為銳角NA+ZB>y

11平行四邊形對角線定理：對角線的平方和等于四邊的平方和.

第六章-不等式

1.幾個重要不等式

1aeR,a2>0,|6f|>0當且僅當a=0,取a—b220a、b￡R

2a,beR,則。2+/?2>2ab

3。,/?eA+,則a+/?2；

,+/.c、

⑸若a、b￡R+,,則a?+b2'(p_eR)

(a,b￡R+)

2、解不等式

1-元-次不等式辦〉優(yōu)"0)

①Q>0,<％%>_>②。<0,<％無<—>

Ia\〔aj

2一元二次不等式ax2+br+c>°,(a>°)

第七章-直線和圓的方程

一、解析幾何中的基本公式

1.兩點間距離：若厶(*],匕)岀(X,,丫2),則,4=1(%2_q)2+優(yōu)一3)2

2.平行線間距離：若1]：Ax+By+C=0,1,:Ax+By+C=0

IC-Cl-

貝i]?d=li21

.JA2+B2

注意：x,y對應項系數(shù)應相等；

3.點到直線的距離：P（x，y），1：Ax+By+C=0

oo

6尸心產(chǎn)

則p到I的距離為:

JA2+B2

y=kx+b

4.直線與圓錐曲線相交的弦長公式：、八_八消y:ax+bx+c=0

y丿—u

務必注意△＞（）.若I與曲線交于A（%］，）；），8（%2,兀）則:

X+X

X=_1-----2_

5.若A（%］，yJ，5（L，兀），Px,y,p為AB中點，則＜2

y+y

V=I2

2

6.直線的傾斜角0°Wa〈i80°、斜率：％=tana

7.過兩點尸|（%］，匕），。,（匕，匕）的直線的斜率公式：k=——（xwx）

111

222x-%12

21

8,直線丨與直線丨的的平行與垂直

12

1若1/I?均存在斜率且不重合：①

?I:Ax+By+C=0,I:Ax+By+C=0

丄Ol1112222＜=＞

?A=RC丄o線方程的五種形式

?22

名-稱■■方程

斜截式：y=kx+b

點斜式:y—y=k（x—x）

_____________oo

y-yx-x

.、j—?

X;X

兩點式:y-y%一%1^2

2121

,%y.

截距式：_+1=l

------ab

一般式：Ax+8y+C=。其中A、B不同時為零

10.圓的方程

1標準方程：（x—a）2+（＞一匕）2=尸2,3/）一一圓心，”一半徑；

2一般方程：X2+y2+Dx+Ey+F=QD2+E2-4F>0)

nFJ￡)2+￡2-4F

（-宀一圓心,半徑-----工-----

特例：圓心在坐標原點，半徑為，.的圓的方程是：％2+y2=/2.

\x=a+rcosO

注：圓的參數(shù)方程：jy=b+rin。e為參數(shù)?

特別電以0,0為圓心，以r為半徑的圓的參數(shù)方程為

3點和圓的位置關系：給定點用。。，入）及圓C:（x-a）2+（y-b）2=r2.

①Af在圓C內。（、一a）2+（%—/?）2YR2

②M在圓C上O（%0-。）2+（人一》）2K2

③M在圓C外＜=＞（,-。）2+（方-8）2〉r2

4直線和圓的位置關系：

設圓圓C：（%-。）2+（）一匕）2=〃2"上。）；

直線/：Ax+By+C=0（42+32,0）；

d|Ati+Bh+C|

圓心C（a,b）到直線/的距離

J-2+82-

①^二廠時，,與C相切；②dYr時，/與C相交;

③dA廠時，/與C相離.

第八章-圓錐曲線方程

一、橢圓

1.定義I：若「產(chǎn)2是兩定點，P為動點,且叫+%=2a＞匕尸21a為常

數(shù)則p點的軌跡’是i有圓；一

2.標準方程："+加=1（a＞b＞0）F+記=l（QAbA0）

O，a2b2

,Q2

長軸長二2。，短軸長=2b焦距：2c準線方程：x=±—,

離心率：e=E（0YeYl）焦點：＞%°）（°，°）或（°，—。）（°，。）.

二、雙曲線

1、定義：若是兩定點，『勺口”||=2。＜|尸円&為常數(shù)，則動點P的

軌跡是雙曲線；

2.性質

1方程：=i（<2>o,z?>o）=i（Q>O,O>O）

Q202Q2。2

2〃x-+a2

實軸長二/〃，虛軸長=2b焦距：2c準線方程：X~~

—c2a22b2

離心率,二方.準線距一兩準線的距離；通徑一一.

uca

參數(shù)關系c2=“2+62,e=；

%2ylb

（2）若雙曲線方程為而■一萬?=1=漸近線方程：y=±-x

（3）等軸雙曲線：雙曲線12-y2=±12稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為

,=±工，離心率6=0.

三、拋物線

1.定義：到定點F與定直線丨的距離相等的點的軌跡是拋物線；

即：到定點F的距離與到定直線I的距離之比是常數(shù)ee=1；

2.圖形：

3.性質：方程：丁2=2〃羽（〃>°）,〃一一焦參數(shù)焦點到準線的距離；

焦點：q,o）,通徑U=2p；

準線：X=~J'離心率e=l

第九章-立體幾何

一、判定兩線平行的方法

1、平行于同一直線的兩條直線互相平行

2、垂直于同一平面的兩條直線互相平行

3、如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相

交，那么這條直線就和交線平行

4、如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行

二.判定線面平行的方法

a）據(jù)定義：如果一條直線和一個平面沒有公共點

b）如果平面外的一條直線和這個平面內的一條直線平行，則這條直線和

這個平面平行

c)兩面平行，則其中一個平面內的直線必平行于另一個平面

d)平面外的兩條平行直線中的一條平行于平面，則另一條也平行于該平

面

e)平面外的一條直線和兩個平行平面中的一個平面平行，則也平行于另

一個平面

三、判定面面平行的方法

(1)由定義知：“兩平行平面沒有公共點”；

(2)由定義推得：“兩個平面平行，其中一個平面內的直線必平行于另一

個平面；

⑶兩個平面平行的性質定理：“如果兩個平行平面同時和第三個平面相

交，那么它們的交線平行”；

⑷一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平

面；

(5)夾在兩個平行平面間的平行線段相等；

(6)經(jīng)過平面外一點只有一個平面和已知平面平行；

四、面面平行的性質

1、兩平行平面沒有公共點

2、兩平面平行，則一個平面上的任一直線平行于另一平面

3、兩平行平面被第三個平面所截，則兩交線平行

4、垂直于兩平行平面中一個平面的直線，必垂直于另一個平面

五、判定線面垂直的方法

1、定義：如果一條直線和平面內的任何一條直線都垂直，則線面垂直

2、如果一條直線和一個平面內的兩條相交線垂直，則線面垂直

3、如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于該平面

4、一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面

5、如果兩個平面垂直，那么在一個平面內垂直它們交線的直線垂直于另一

個平面

六、判定兩線垂直的方法

1、定義：成90。角

2、直線和平面垂直，則該線與平面內任一直線垂直

3、一條直線如果和兩條平行直線中的一條垂直，它也和另一條垂直

七、判定面面垂直的方法

1、定義：兩面成直二面角，則兩面垂直

2、一個平面經(jīng)過另一個平面的一■條垂線，則這個平面垂直于另—嚴

面

八、面面垂直的性質

1、二面角的平面角為90°

2、在一個平面內垂直于交線的直線必垂直于另一個平面

3、相交平面同垂直于第三個平面，則交線垂直于第三個平面

九、各種角的范圍

1、異面直線所成的角的取值范圍是：0°<0<90°(0°,90°」

2、直線與平面所成的角的取值范圍是：0°<0<90°b°,90°]

3、斜線與平面所成的角的取值范圍是：0°<6<90°(0°,90°]

夕、二面車的大小用它的平面角來度量；取值范圍是：

(0°,180°J

十、面積和體積

§—ch

1.直棱柱側

11;

0s=/hs=cl=nrl

L、正棱錐側2圓錐側2

4

3、球的表面積公式：S=47比2.球的體積公式：V=兀后.

4、圓柱體積：匕3=兀=2人=的廠為半徑，人為高

圓柱

圓錐體積：錐=3兀/功=丁的廠為半徑，入為高

錐體體積：V棱錐=\hs為底面積，入為高

5、面積比是相似比的平方，體積比是相似比的立方

第十章-概率與統(tǒng)計

1.必然事件PA=1,不可能事件PA=0,隨機事件的定義0<PA<1;

兩條基本性質①P~°(’=12…；②p+P+…n；

112

m

2.等可能事件的概率：古典概率PA二方理解這里m、n的意義；

3.總體分布的估計：用樣本估計總體，是研究統(tǒng)計問題的一個基本思想

方法，一般地,樣本容量越大，這種估計就越精確，要求能畫出頻率分布

表和頻率分布直方圖；

1平均數(shù)1殳數(shù)據(jù)貝U

1、

公元=(zX+x+...+X)

①五■12n

2方差：衡量數(shù)據(jù)波動大小

押了--------標準差

4.了解三種抽樣的意義

1簡單隨機抽樣：設一個總體的個數(shù)為N；如果通過逐個抽取的方法從中

抽取一個樣本，且每次抽取時各個個體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽樣

為簡單隨機抽樣；實現(xiàn)簡單隨機抽樣，常用抽簽法和隨機數(shù)表法；

2系統(tǒng)抽樣：當總體中的個數(shù)較多時，可將總體分成均衡的幾個部分，然后

按照預先定出的規(guī)則，從每一部分抽取1個個體，得到所需要的樣本，這種抽

樣叫做系統(tǒng)抽樣也稱為機械抽樣；

系統(tǒng)抽樣的步驟可概括為：1將總體中的個體編號；2將整個的編號進行

分段；3確定起始的個體編號；4抽取樣本；

3分層抽樣：當已知總體由差異明顯的幾部分組成時，常將總體分成幾部

分，然后按照各部分所占的比進行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣，其中所分成

的各部分叫做層；

第十一章導數(shù)

1.導數(shù)的幾何意義：

函數(shù)y=