初中七年級(jí)數(shù)學(xué) 函數(shù)及其性質(zhì) 函數(shù)的奇偶性與周期性

努力的你，未來(lái)可期!

第二篇函數(shù)及其性質(zhì)

專題2.03函數(shù)的奇偶性與周期性

【考試要求】

1.結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的概念和幾何意義；

2.結(jié)合三角函數(shù)，了解周期性的概念和幾何意義.

【知識(shí)梳理】

1.函數(shù)的奇偶性

奇偶性定義圖象特點(diǎn)

如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有沢-x)=/U),那

偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱

么函數(shù)兀V)是偶函數(shù)

如果對(duì)于函數(shù)7U)的定義域內(nèi)任意一個(gè)X，都有艮—X)=—fix),

奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

那么函數(shù)/U)是奇函數(shù)

2.函數(shù)的周期性

(1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)y=/(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有兀v+7)

=Ax),那么就稱函數(shù)y=/(x)為周期函數(shù)，稱7為這個(gè)函數(shù)的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)負(fù)x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做沢x)的最

小正周期.

【微點(diǎn)提醒】

l.(D如果一個(gè)奇函數(shù)式x)在原點(diǎn)處有定義，即式0)有意義，那么一定有人0)=0.

(2)如果函數(shù)式尤)是偶函數(shù)，那么式x)=/(W).

2.奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.

3.函數(shù)周期性常用結(jié)論

對(duì)1x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：

(1)若人》+“)=一/)，則T=2a(“>0).

⑵若貝》+")=7"丿4~,則r=2a(a>0).

(3)若_/(x+a)=-則7=勿(a>0).

4.對(duì)稱性的三個(gè)常用結(jié)論

(1)若函數(shù)是偶函數(shù)，則函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線X=〃對(duì)稱.

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(2)若對(duì)于R上的任意x都有大2〃-x)=/(x)或大-x)=A2〃+x),則y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱.

(3)若函數(shù)y=/(x+b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y=/(x)關(guān)于點(diǎn)能，0)中心對(duì)稱.

【疑誤辨析】

1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打或"X")

(1)函數(shù)y=m在xG(0,+口)時(shí)是偶函數(shù).()

(2)若函數(shù)式》)為奇函數(shù)，則一定有式0)=0.()

(3)若T是函數(shù)的一個(gè)周期，則〃T("CZ,”9)也是函數(shù)的周期.()

(4)若函數(shù)y=y(x+b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y=y(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對(duì)稱.()

【答案】(l)x(2)x(3)V(4)4

【解析】(1)由于偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故)，="在(0,+8)上不具有奇偶性，(1)錯(cuò).

(2)由奇函數(shù)定義可知，若兀t)為奇函數(shù)，其在x=0處有意義時(shí)才滿足/(0)=(),(2)錯(cuò).

(3)由周期函數(shù)的定義，(3)正確.

(4)由于y=/(x+b)的圖象關(guān)于(0,0)對(duì)稱，根據(jù)圖象平移變換，知y=/(x)的圖象關(guān)于(。，0)対稱，正確.

【教材衍化】

2.(必修1P35例5改編)下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是()

A.y=x2sinxB.y=x2cosx

C.y=llnx\D.y=2-x

【答案】B

【解析】根據(jù)偶函數(shù)的定義知偶函數(shù)滿足A-x)="r)且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，A選項(xiàng)為奇函數(shù)；B選項(xiàng)為

偶函數(shù)；C選項(xiàng)定義域?yàn)?0,+8),不具有奇偶性；D選項(xiàng)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).

—4x2+2,-1<￥<0,

3.(必修4P46A10改編)設(shè)/W是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)工￡[―1，D時(shí)，%)=

x,0<r<l,

則局=-

【答案】1

【解析】由題意得，￡)=./(—4x(—9+2=1.

【真題體驗(yàn)】

4.(2019?濟(jì)南調(diào)研)下列函數(shù)既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增的是()

1

A.y=x3B.y=%4

Cj'=LrlD.y=ltanx\

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【答案】C

【解析】對(duì)于A,y=￡為奇函數(shù)，不符合題意；

1

對(duì)于B,y=X4是非奇非偶函數(shù)，不符合題意；

對(duì)于D,y=ltanxl是偶函數(shù)，但在區(qū)間(0,+與上不單調(diào)遞增.

5.(2017?全國(guó)H卷)已知函數(shù)式x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)xG(—8,0)時(shí)，山)=2?+0則式2)=.

【答案】12

【解析】(一8,0)時(shí)，火x)=2n+x2,且人幻在R上為奇函數(shù)，

??m2)=—八-2)=—[2X(—2)3+(—2)2]=12.

6.(2019?上海崇明區(qū)二模)設(shè)兀0是定義在R上以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng)xW[0,1]時(shí)，y(x)=log2(x+l),則當(dāng)

xS[l,2]時(shí)，於)=.

【答案】log2(3—x)

【解析】當(dāng)xd[l,2]時(shí)，x-2e[-l,0],2-xG[0,1],

又;(x)在R是上以2為周期的偶函數(shù)，

'?/(x)=/(x_2)=汽2—x)=log,(2—x+l)=log2(3—x).

【考點(diǎn)聚焦】

考點(diǎn)一判斷函數(shù)的奇偶性

【例1】判斷下列函數(shù)的奇偶性:

（1次r）—1\l3—x2+yjx2—3；

_lg（1—A2）

（次）

2x-Lx-2|-2;

（X2+X,A<0,

（3次x）=

[—X2+x,X>0.

【答案】見(jiàn)解析

3—X2沙，_

【解析】⑴由得X2=3,解得X=±V§,

X2-3>0,

即函數(shù)/U)的定義域?yàn)椋唤?，?。?

從而fi,x)=\l3—x2+\jx2—3=0.

因此共-x)=-/(X)且八-x)=/(x),

，函數(shù)Kr)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

[1—X2>0,

⑵由，~.得定義域?yàn)?-1,0)U(0,1),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

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lg(l—X2)

Ax—2<0,/.lx-21-2=-x,=-27^—?

又?]—X尸變匕產(chǎn)=一她等=—段)，

函數(shù)以X)為奇函數(shù).

(3)顯然函數(shù)/U)的定義域?yàn)?-8,0)U(0,+8),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

"當(dāng)x<0時(shí)，-r>0,

則八一X)=—(-X)2—X=~X2—X=-/(X)；

當(dāng)x>0時(shí)，—x<0?

則/(_X)=(_X)2-X=X2-X=-?r)：

綜上可知：對(duì)于定義域內(nèi)的任意X,總有人一x)=f>)成立，...函數(shù).小0為奇函數(shù).

【規(guī)律方法】判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個(gè)必備條件：

(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；

(2)判斷40與八一X)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān)系式

x)=0(奇函數(shù))或/(X)—/(—x)=0(偶函數(shù)))是否成立.

【訓(xùn)練1】(1)下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是()

A.y=x+sin2xB.y=x2-cosx

C.y=21+JD.y=x2+sinx

(2)已知/)=冃，g(x)=5,則下列結(jié)論正確的是()

A.ycw+g。)是偶函數(shù)B且x)+g(x)是奇函數(shù)

C<x)g(x)是奇函數(shù)DJ(x)g(x)是偶函數(shù)

【答案】(1)D(2)A

【解析】⑴對(duì)于A,定義域?yàn)镽,x)=—x+sin2(—x)=-(x+sin2x)=-/(x),為奇函數(shù)：對(duì)于B,定

義域?yàn)镽,人一x)=(—X)2—COS(—X)=X2—cosx=/(x),為偶函數(shù)；對(duì)于C,定義域?yàn)镽,K—x)=2r+六=

2v+5=Ax),為偶函數(shù)；對(duì)于D,y=x2+sinx既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù).

(2)令〃(x)=/(x)+g(x)，

YX

因?yàn)?U)=5=，g(x)=]，

所以/心尸宀+尹,

2x—122(厶-1)

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定義域?yàn)?一8,0)U(0,+00).

丄—x-2x—xx(1+2x)

h

因?yàn)閔(-x)-2(2-A—1)~2(2v—1)~^'

所以h(x)=J(x)+g(x)是偶函數(shù)，

令尸(x)=?x)g(x)=2(￡])，

定義域?yàn)?一00,0)U(0,+00).

ll…(-X)2X2-2X

所以F(r)=2(2I)=2(L2\)，

因?yàn)槭?一無(wú))我尸(此且尸(一工沖一尸。)，

所以F(x)=g(x)/(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).

考點(diǎn)二函數(shù)的周期性及其應(yīng)用

【例2】(1)(一題多解)(2018?全國(guó)H卷)已知府)是定義域?yàn)?一co,+oo)的奇函數(shù)，滿足*-x)=/(l+x).若

犬1)=2,則式1)+42)+式3)+…+沢50)=()

A.-50B.OC.2D.50

(2)已知J(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)必<2時(shí)，/(x)=x3—x,則函數(shù)y=/(x)的圖象在區(qū)間[0,

6]上與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為.

【答案】(1)C(2)7

【解析】(1)法一，.)。)在R上是奇函數(shù)，且汽l—x)=/U+x).

；J(x+1)=1),即/U+2)=

因此7U+4)=Ax),則函數(shù)人x)是周期為4的函數(shù)，

由于/(l-x)=/U+x),人1)=2,

故令x=l,得10)=/(2)=0

令x=2,得人3)=/(—1)=一八1)=-2,

令x=3,得貝4)可—2)=-/(2)=0,

故人1)+八2)+八3)+沢4)=2+0—2+0=0,

所以7U)+/(2)+犬3)+…+沢50)=12x0+/(1)+沢2)=2.

法二取一個(gè)符合題意的函數(shù)負(fù)x)=2sin竽，則結(jié)合該函數(shù)的圖象易知數(shù)列伏”)}(〃eN*)是以4為周期的周

期數(shù)列.

故/1)+犬2)+13)+…+/(50)=12x[/(l)+/(2)+/(3)+1/(4)]+/(l)+_A2)=l2x[2+0+(-2)+0]+2+0=2.

⑵因?yàn)楫?dāng)0Sv<2時(shí)，/(x)=x3—x.又於)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且人0)=0,

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則/6)=/(4)=/(2)=/(0)=0.

又1Al)=0,.7/(3)=/(5)=/(1)=0,

故函數(shù)y=/(x)的圖象在區(qū)間[0,6]上與x軸的交點(diǎn)有7個(gè).

【規(guī)律方法】

1.根據(jù)函數(shù)的周期性和奇偶性求給定區(qū)間上的函數(shù)值或解析式時(shí)，應(yīng)根據(jù)周期性或奇偶性，由待求區(qū)間轉(zhuǎn)化

到已知區(qū)間.

2.若大x+a)=-/(x)(a是常數(shù)，且存0),則2a為函數(shù);(x)的一個(gè)周期.第(1)題法二是利用周期性構(gòu)造一個(gè)特

殊函數(shù)，優(yōu)化了解題過(guò)程.

【訓(xùn)練2】(1)(2019?南充二模)設(shè)/U)是周期為4的奇函數(shù)，當(dāng)0W爛1時(shí)，於)=x(l+x),貝4一?=()

3113

A--4B--4C4D4

(2)(2017?山東卷)已知府)是定義在R上的偶函數(shù)，且式X+4)=/(L2).若當(dāng)xG[-3,0]時(shí)，於)=6-x,則加19)

【答案】(1)A(2)6

【解析】(D'VU)是周期為4的奇函數(shù)，

?,?/_3=_局=_盾

又0<x<l時(shí)，J(x)=x(l+x)

故GD=-短=-美+9=

(2)..7U+4)=_/(x—2),

??J[(x+2)+4]=/[(x+2)—2],即式x+6)=/(x),

??択919)=4153x6+1)=川)，

又/U)在R上是偶函數(shù)，

?,?/(l)=/(-l)=6-(-i)=6,即丸919)=6.

考點(diǎn)三函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用

角度1函數(shù)單調(diào)性與奇偶性

【例3—1](2019?石家莊模擬)設(shè)式x)是定義在[—26,3+句上的偶函數(shù)，且在[—26,0]上為增函數(shù)，則./(x

―1)次3)的解集為()

A.I-3,3]B.[-2,4JC.[-l,5]D.[0,6]

【答案】B

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【解析】因?yàn)閒(x)是定義在［-2b,3+b］上的偶函數(shù)，

所以有一2b+3+b=0,解得b=3,

由函數(shù)f(x)在［-6,0］上為增函數(shù)，得f(x)在(0,6］上為減函數(shù).故f(x-l巨f(3)=f(lx-l|)Nf(3)=lx-l區(qū)3,故

—2<x<4.

【規(guī)律方法】1.函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合.注意函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對(duì)稱

性.

2.本題充分利用偶函數(shù)的性質(zhì)大x)=/(bd),避免了不必要的討論，簡(jiǎn)化了解題過(guò)程.

角度2函數(shù)的奇偶性與周期性

【例3—2】(1)(2019檢測(cè))已知定義在R上的奇函數(shù)段)滿足式x+5)=/(x),且當(dāng)xC(0,|)

時(shí)，fl,x)=x3-3x,則人2018)=()

A.2B.-18C.18D.-2

TT

(2)(2019?洛陽(yáng)模擬)已知函數(shù)y=/(x)滿足y=/(—x)和y=/(x+2)是偶函數(shù)，且八1)=扌設(shè)P(x)=/(x)+./(—x),

則F⑶=()

7127t47t

A?B.-C.TtD.—

【答案】(1)D(2)B

【解析】(i)\"(x)滿足yu+5)=/a),

二加)是周期為5的函數(shù)，

二八2018)=/(403x5+3)=X3)=汽5-2)-2),

?；本)是奇函數(shù)，且當(dāng)xG(0,D時(shí)，/(x)=x3—3x,

；.丸-2)=-y(2)=-(23-3x2)=-2,

故式2018)=—2.

⑵由y=A—x)和y=/(x+2)是偶函數(shù)知/(一x)=/(x),且y(x+2)=/(—x+2),貝iJ/(x+2)=/(x—2).

，於+4)=/)，則y=/(x)的周期為4.

所以尸(3)=犬3)+八-3)=現(xiàn)3)=認(rèn)-1)=?1)=亨.

【規(guī)律方法】周期性與奇偶性結(jié)合的問(wèn)題多考查求值問(wèn)題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行交換，將所求函

數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合.解決此類問(wèn)題通常先利

用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解.

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【訓(xùn)練3】(1)(2019?重慶九校模擬)已知奇函數(shù)式x)的圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱，當(dāng)3］時(shí)，火x)=-x,

則人-16)=.

(2)若函數(shù)./)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間［0,+8)上是單調(diào)遞增函數(shù).如果實(shí)數(shù)r滿足川n0+./(ln{)

<2/(1),那么，的取值范圍是.

【答案】(1)2(2)e

【解析】(1)根據(jù)題意，函數(shù)式x)的圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱，則有/(x)=A6-x),

又由函數(shù)為奇函數(shù)，則犬—x)=-/(x),

則有負(fù)x)=-X6-x)=y(x-12),

則人x)的最小正周期是12,

故犬-16)=/(_4)=一穴4)=-/(2)=_(_2)=2.

(2)由于函數(shù)凡丫)是定義在R上的偶函數(shù)，

所以Ainr)=/(1no,

由加it)+jn興紈1),

得加1伽).

又函數(shù)/U)在區(qū)間［0,+8)上是單調(diào)遞增函數(shù)，

所以即一iWln江1,故卜出e.

【反思與感悟】

I.判斷函數(shù)的奇偶性，首先應(yīng)該判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性

的一個(gè)必要條件.

2.利用函數(shù)奇偶性可以解決以下問(wèn)題：

(1)求函數(shù)值；(2)求解析式；(3)求函數(shù)解析式中參數(shù)的值；(4)畫函數(shù)圖象，確定函數(shù)單調(diào)性.

3.在解決具體問(wèn)題時(shí)，要注意結(jié)論“若7是函數(shù)的周期，則WGZ且厚0)也是函數(shù)的周期”的應(yīng)用.

【易錯(cuò)防范】

1{0)=0既不是兀0是奇函數(shù)的充分條件，也不是必要條件.

2.函數(shù)兀0滿足的關(guān)系/(a+x)=/S—x)表明的是函數(shù)圖象的對(duì)稱性，函數(shù)式x)滿足的關(guān)系式a+x)=/S+x)(四%)

表明的是函數(shù)的周期性，在使用這兩個(gè)關(guān)系時(shí)不要混淆.

【核心素養(yǎng)提升】

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【數(shù)學(xué)運(yùn)算】——活用函數(shù)性質(zhì)中“三個(gè)二級(jí)”結(jié)論

類型1奇函數(shù)的最值性質(zhì)

己知函數(shù)共乃是定義在區(qū)間。上的奇函數(shù)，則對(duì)任意的Xd。，都有xx)+_A—x)=0.特別地，若奇函數(shù)兀v)

在。上有最值，則沢辦儂+兀”価:①且若。右。，則式0)=。.

(Y+1)2*4~sinY

【例1】設(shè)函數(shù)/)=-」口油最大值為最小值為〃，，則M+，"=.

【答案】2

【解析】顯然函數(shù)./U)的定義域?yàn)镽，

(x+1)2+sinx2x+sin)

危)=喬i=1X2+1

2r+sinA:

設(shè)g(X)=，則g(-x)=-g(x),

g(x)為奇函數(shù),

山奇函數(shù)圖象的對(duì)稱性知g(X)max+ga)min=°，

???M+"Eg(X)+llmax+[g(X)+I1而n=2+g(X)max+g(X)min=2?

類型2抽象函數(shù)的周期性

(1)如果/(x+a)=-/(x)(分0),那么呎尤)是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期T=2a.

(2)如果J(x+a)=Uy"(存0),那么貝x)是周期函數(shù)，其中的一個(gè)周期7=2°.

(3)如果J(x+a)+/(x)=c(存0),那么式x)是周期函數(shù)，其中的一個(gè)周期7=2億

【例2】已知函數(shù)段)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)后0時(shí)，有兀r+3)=-/(x),且當(dāng)x￡(0,3)時(shí)，段)=x

+1,則八一2017)+./(2018)=()

A.3B.2C.lD.0

【答案】C

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)人x)為定義在R上的奇函數(shù)，

所以八一2017)=~/(2017),

因?yàn)楫?dāng)忘0時(shí)，有人x+3)=-_/(x),

所以人工+6)=—/U+3)=Ax),即當(dāng)它0時(shí)，自變量的值每增加6,對(duì)應(yīng)函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)一次.

又當(dāng)xG(0,3)時(shí)，,/(x)=x+l,

；017)=/(336x6+1)=/(1)=2,

42018)=火336x6+2)=42)=3.

故人一2017)+./(2018)=-/(2017)+3=1.

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類型3抽象函數(shù)的對(duì)稱性

已知函數(shù)/U)是定義在R上的函數(shù).

(1)若/(a+x)=/S—x)恒成立，則的圖象關(guān)于直線x=42對(duì)稱，特別地，若式“+x)=/(a—x)恒成立,

則產(chǎn)危)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱.

(2)若函數(shù))，=/(x)滿足式a+x)+/(a—x)=0,即犬x)=-/(2a-x),則/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱.

[例3](2019?日照調(diào)研)函數(shù)y=/(x)對(duì)任意xCR都有/(x+2)=/(—x)成立，且函數(shù)y=J(x—1)的圖象關(guān)于

點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，火1)=4,則42016)+42017)+42018)的值為.

【答案】4

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y=/(x-l)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，

所以函數(shù)y=4r)的圖象關(guān)于(0,0)對(duì)稱，

所以人x)是R匕的奇函數(shù)，

j(x+2)=—*x),所以_/(x+4)=—/(尤+2)=/(x),故y(x)的周期為4.

所以/2017)=7(504x4+1)=沢1)=4,

所以火2016)+貝2018)=-/(2014)+.我2014+4)

=一*2014)+^2014)=0,

所以人2016)+/(2017)+/(2018)=4.

【分層訓(xùn)練】

【基礎(chǔ)鞏固題組】(建議用時(shí)：40分鐘)

一、選擇題

1.(2019?玉溪模擬)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在(0,1)上單調(diào)遞增的函數(shù)是()

A.y=llog3xlB.y=x3

C.y=ewD.y=cosLrl

【答案】C

【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)定義域是(0,+8),故是非奇非偶函數(shù)，顯然B項(xiàng)中，y=x3是奇函數(shù).

對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)的定義域是R,是偶函數(shù)，且當(dāng)xG(0,+oo)時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，故在(0,1)上單調(diào)遞增,

正確.

對(duì)于D選項(xiàng)，y=cosbd在(0,1)上單調(diào)遞減.

2.(一題多解)(2019?河北“五個(gè)一”名校聯(lián)盟二模)設(shè)函數(shù)仆)是定義在R上的奇函數(shù)，且火x)=

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flog,(x+1),x>0,

則g(—8)=()

[g(x),x<0,

A.-2B.-3C.2D.3

【答案】A

,—x>0,且./U)為奇函數(shù)，

則艮—x)=log3(l—X),所以>X)=-10g3(l—X).

因此g(x)=-log^1—x),x<0,

故g(_8)=_=—2.

法二由題意知，g(-8)=/(-8)=-/(8)=-log39=-2.

3.已知府)在R上是奇函數(shù)，且滿足於+4)=/)，當(dāng)xG(—2,0)時(shí)，/)=如，則彤019)等于()

A.-2B.2C.-98D.98

【答案】B

【解析】由?r+4)=/(x)知，犬x)是周期為4的函數(shù)，

019)=/(504x4+3)=/(3),

又兀v+4)=/H),.\/(3)=/(_1),

由一16(—2,0)得八-1)=2,

二八2019)=2.

4.(一題多解)(2017?天津卷)已知奇函數(shù)人x)在R上是增函數(shù)，g(x)=4>).若a=g(—log/.l),b=g(2o.s),c=

g(3),則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<a<cD.b<c<a

【答案】c

【解析】法一易知ga)=m>)在R上為偶函數(shù)，

?.?奇函數(shù)4X)在R上是增函數(shù)，且/0)=0.

...g(X)在(0,+8)上是增函數(shù).

又3>log25.1>2>2o,8,且a=^(—log25.1)=^(Iog25.1),

^(3)>^(log25.1)>^(2O.8),則c>a>b.

法二(特殊化)取/(x)=x,則g(x)=m為偶函數(shù)且在(0,+oo)上單調(diào)遞增，又3>log,5.1>2o.8,

從而可得c>a>h.

5.(2019?山東、湖北部分重點(diǎn)中學(xué)模擬)已知定義在R上的函數(shù)式x)在［1,+8)上單調(diào)遞減，且Ax+1)是偶函

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數(shù)，不等式人機(jī)+2)次x—1)對(duì)任意的無(wú)￡[—1,0]恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

A.L3,1]B.[-4,2]

C.(-oo,-3]U[1,+oo)D.(—oo,-4]U[2,+oo)

【答案】A

【解析】因?yàn)門U+1)是偶函數(shù)，所以八一x+l)=/U+l),所以/(x)的圖象關(guān)于x=l對(duì)稱，由式m+2后為1

—1)得1?！?2)—1灼(%—1)—II,即応+1區(qū),一21在工￡[―1，0]恒成立，所以kn+1區(qū)21疝/所以1〃?+1區(qū)2,

解得一3合疋1.

二、填空題

6.若函數(shù)/U)=xln(x+、〃+x2)為偶函數(shù),則a=.

【答案】1

【解析】/U)為偶函數(shù)，則y=ln(x+5T3)為奇函數(shù)，

所以lna+y〃+x2)+ln(—x+{〃+x2)=0,

則In3+x2—x2)=0,.\a=l.

7.若函數(shù)兀()是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0<%<1時(shí)，./(x)=4x,則./(一1)+沢2)=.

【答案】-2

【解析】..VU)是定義在R上的奇函數(shù)，.\4))=0,

又代r)在R上的周期為2,

/./(2)=A0)=0.

又GDX—4-/?=-42=-2,

M-3+人2)=-2.

8.設(shè)函數(shù)八x)=ln(l+ld)一則使得1)成立的x的取值范圍是.

【答案】(；，1)

【解析】由/(x)=ln(l+kl)一不上，知/U)為R上的偶函數(shù)，于是_Ax)>/(2x-D即為大助>/(l2x-II).

當(dāng)定0時(shí)，Jx)=ln(l+尤)-所以於)為[0,+oo)上的增函數(shù),則由用d)>JI2x-lD得反1>以一11,兩

邊平方得3X2-4X+1<0,解得;VxV1.

三、解答題

拼搏的你，背影很美!

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—X2+2X,X>0,

9.已知函數(shù)人x)=<0,x=0，是奇函數(shù).

.x2-\-mx,x<0

⑴求實(shí)數(shù)，”的值；

⑵若函數(shù)段)在區(qū)間[-1,。-2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

【答案】見(jiàn)解析

【解析】⑴設(shè)x<0,則一x>0,

所以/(一x)=一(_X)2+2(-X)=_X2_2X.

又兀v)為奇函數(shù)，所以/一x)=-y(x).

于是x<0時(shí)，f(x}=xi+2x=x2+mx,

所以in=2.

(2)要使/(x)在[-1,“-2]上單調(diào)遞增，

[a-2>-1,

結(jié)合/(x)的圖象知”_2<]所以1(心3,

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,3].

io.設(shè)函數(shù)式x)是定義在R上的奇函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有y(|+x)=r(1—x)成立.

(1)證明y=/(x)是周期函數(shù)，并指出其周期；

(2)若11)=2,求42)+/(3)的值；

(3)若g(x)=JC2+ax+3,且y=|/(x"g(x)是偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值.

【答案】見(jiàn)解析

【解析】⑴由

且火_》)=-fix),知貝3+x)=j[|+(|+x)]=

-7_1-G+X)]=-A-X)=/U),

所以)，=/(x)是周期函數(shù)，且7=3是其一個(gè)周期.

(2)因?yàn)?(X)為定義在R上的奇函數(shù)，所以八0)=0,

且八-1)=一八1)=-2,又7=3是y="x)的一個(gè)周期，所以沢2)+汽3)=/(—1)+,/(0)=—2+0=—2.

(3)因?yàn)閥=[/U)lw(x)是偶函數(shù)，

且見(jiàn)一x)l=l-/U)l=!/Wl，所以(/U)l為偶函數(shù).

故g(K)=X2+公+3為偶函數(shù),即g(—x)=g。)恒成立,

拼搏的你，背影很美!

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于是(一x)2+a(—x)+3=x2+ax+3恒成立.

于是2ax=0恒成立，所以a=0.

【能力提升題組】(建議用時(shí)：20分鐘)

11.(2019?石家莊模擬)已知奇函數(shù)人x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，且犬1)=0,

若大x—1)>0,則x的取值范圍為()

A.{xl0<x<l或_r>2}B.{xLx<0或x>2}

C.{xlx<0或x>3}D.{XLT<-1或X>1}

【答案】A

【解析】由題意知函數(shù)./U)在(-8,0)上單調(diào)遞增，且火-1)=0,

不等式於-1)>0鈍倣—1)/1)或加一1)次—1).

.'.X-1>1或0>x—1>—1,

解之得x>2或0?<1.

12.定義在R上的奇函數(shù)段)滿足於+2)=一%)，且在［0,1］上是減函數(shù)，則有()

B^GMT)晶

D1-加?<0

【答案】C

【解析】由題設(shè)知：/(x)=—/0—2)=/(2—x),所以函數(shù)/U)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱；函數(shù)J(x)是奇函數(shù),

其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，由于函數(shù);(x)在［0,