整式的因式分解講義(沈上楠)

澤仕學(xué)堂學(xué)科教師輔導(dǎo)講義學(xué)員姓名:沈上楠輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)年級：初一學(xué)科教師：張先安授課日期及時段10月11日課題整式的因式分解知識點總結(jié)重點、難點、考點熟練整式的乘除知識點熟練掌握整式因式分解的四種方法學(xué)習(xí)目標教學(xué)內(nèi)容整式乘除與因式分解講義一、知識要點：1.乘方公式：①②③④⑤()2.單項式與單項式相乘的法那么：。3.乘法公式：①單多：反過來提公因式因式分解②多多：=反過來十字相乘因式分解③平方差：反過來：④完全平方：=反過來：==反過來：=4.把一個多項式化為的形式，這樣的變形叫因式分解〔或分解因式〕。所以；因為所以；6.單項式單項式的法那么：。7.多項式單項式公式：。二、重點題型穩(wěn)固練習(xí)：1．冪的運算〔1〕同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加?！瞞、n為正整數(shù)〕例題：〔1〕計算①=④⑤〔2〕假設(shè)求=.。假設(shè)，那么n=.〔3〕用簡便方法計算①②〔4〕，那么。〔5〕(2)冪的乘方:冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘?！瞞、n為正整數(shù)〕例題：〔1〕計算①②③④〔2〕假設(shè)求的值?！?〕n為正整數(shù)，且求9的值?！?〕計算①②=〔5〕如果，求n的值?！?〕，，求的值。(3)積的乘方:積的乘方，等于把積中每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘?！瞡為正整數(shù)〕例題：〔1〕計算①②③④⑤=⑥假設(shè)求的值。比擬與的大小〔4〕P=,那么=〔5〕(4)同底數(shù)冪的除法:同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減?！瞞、n為正整數(shù)，m>n，a〕例題：〔1〕計算①=②③=④〔2〕那么求?！?〕計算〔1〕〔4〕2a-3b-4c=4,求的值。2.整式的乘法〔1〕單項式與單項式相乘將它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，對于只在一個單項式中出現(xiàn)的字母，那么連同它的指數(shù)一起作為積的一個因式。例題：〔1〕計算①②③練習(xí)：〔1〕〔2〕先化簡，在求值，其中a=-1,b=1,c=-1如果單項式與是同類項，那么這兩個單項式的積為?！?〕單項式與多項式相乘將單項式分別乘以多項式的每一項，再將所得的積相加。例題：〔1〕計算①②〔2〕，那么a=?！?〕中不含有x的三次項，試確定a的值。當，求代數(shù)式的值。解方程：解不等式：〔3〕多項式與多項式相乘先用一個多項式的每一項分別乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加?！瞐+b〕(m+n)=am+bm+an+bn例題：〔1〕計算①〔2x-3y〕(4x+5y)=②2(2a-5)()=〔2〕化簡，并計算當時的值?！?〕如果，那么〔a-5〕(a-6)=?！?〕如果x+q與x+0.2的積中不含有x項，那么q的值為?！?〕假設(shè)使恒成立，那么a=,b=?！?〕x=(a+3)(a-4)，y=(2a-5)(a+2)，比擬x,y的大小。3.乘法公式(1)平方差公式：兩數(shù)和乘以這兩數(shù)的差，等于這兩個數(shù)的平方差。例題：〔1〕計算①(4x+5y)(4x-5y)②(-4x-5y)(-4x+5y)③(m+n+p)(m+n-p)④m+n-p)(m-n+p)⑤⑥用簡便方法計算①103×97②③④112×108計算①，x+y=6,求的值。(2)完全平方公式：兩數(shù)和〔或差〕的平方，等于它們的平方和加上〔或減去〕這兩數(shù)積的2倍。例題1：〔1〕計算①②③④用簡便方法計算①②〔3〕填空①②③例題2：〔1〕〔2〕如果是一個完全平方式，那么k=?！?〕，那么?！?〕，那么〔5〕那么〔6〕a,b,c為△ABC的三邊，試確定的符號。4．整式的除法〔1〕單項式除以單項式把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式中出現(xiàn)的字母，那么連同它的指數(shù)一起作為商的一個因式。例題：〔1〕計算①②③④化簡有四個單項式：，請你用加減乘除四種運算中的一種或幾種，使它們的結(jié)果為，請你寫出算式?！?〕多項式除以單項式先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加。例題：〔1〕計算①②③化簡求值，其中x=3,y=1.5?！?〕假設(shè)多項式M與的乘積為，那么M為?！?〕長方形的面積為，假設(shè)它的一條邊為2x，那么它的周長是?！?〕多項式能被整除，且商式為3x+1，求的值。5．因式分解例題：以下各式從左到右屬于因式分解的是()①am+bm-1=m(a+b)-1②③④⑤〔2〕公因式：多項式ma+mb+mc中的每一項都含有一個相同的因式m，我們稱之為公因式。例題：找出的公因式?！?〕提取公因式法：把公因式提出來，多項式ma+mb+mc就可以分解成兩個因式m和〔a+b+c〕的乘積，這種因式分解的方法，叫做提取公因式法。例題：〔1〕用提取公因式法分解因式①②③用簡便方法計算①②×××20③〔3〕如果，那么m的值為。分解因式：=〔4〕當，求的值?！?〕公式法：將乘法公式反過來用，對多項式進行因式分解的，這種因式分解的方法成為公式法。例題1：〔1〕用平方差公式分解因式①②用簡便方法計算①②×10.1③分解因式①②例題2：〔1〕用完全平方公式分解因式①②用簡便方法計算：①②例題3：〔1〕分解因式①②a,b,c是△ABC的三條邊，①判斷的值的正負。②假設(shè)a,b,c滿足，判斷△ABC的形狀?！?〕十字相乘法：=〔a、b是常數(shù)〕例題：因式分解①②③整式乘除復(fù)習(xí)題練習(xí)一：同底數(shù)冪的乘法1、=___；2、=___；3、=___；4、=_；5、=___；6、=____練習(xí)二：冪的乘方1、=__；2、=__；3、=___；4、,那么____；練習(xí)三：積的乘方1、=___；2、=___；3、=___；4、=___；5、以下計算結(jié)果正確的選項是〔〕A.B.C.D.6、計算：〔-8〕3·〔0.125〕4=___；7、：，求的值。假設(shè)2m=a,2n=b，求23m+10n的值。練習(xí)四：單項式乘單項式計算：1、；2、；3、；;5、；8、練習(xí)五：單項式乘多項式；2、2a2(3a2-5b)；3、；5、；6、練習(xí)六：多項式乘多項式1．以下各式中，計算結(jié)果是的是〔〕ABCD計算：1、；2、3、；4、；練習(xí)七：平方差公式平方差公式為：2、______3、以下運算結(jié)果錯誤的選項是〔〕ABCD4、以下各式計算中，結(jié)果正確的選項是〔〕ABCD運用平方差公式計算：〔1〕；〔2〕；〔3〕；；〔5〕；〔6〕；〔8〕；〔9〕；〔11〕；〔13〕練習(xí)八：完全平方公式1、完全平方公式為：2、以下等式，不成立的是〔〕A.(3a-b)B.(a+b－c)C.(x+D.(x+y)(x－y)(x3、以下式子中是完全平方式的是()A． B．C． D．4、用完全平方公式計算：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；；〔6〕；〔7〕；〔8〕〔10〕〔10〕用簡便方法運算：〔1〕〔2〕6._________．7.,．那么____________8.設(shè)是一個完全平方式，那么=____________9．如果是一個完全平方式,那么的值為______,那么m2=________________11．|x+2|+y2-2y+1=0,那么x+2y=_______________12.一個多項式的平方是,那么=()A、B、C、D、13、(x＋y)2＝1，(x－y)2＝49，求x2＋y2與xy的值，求與的值。練習(xí)九：同底數(shù)冪的除法1.；；__；；2.以下計算中，正確的選項是〔〕A、B、C、D、3．假設(shè)，那么有〔〕A、B、C、D、計算1、；2、；3、；練習(xí)十：單項式除以單項式1.2.以下計算錯誤的選項是〔〕A、B、C、D、計算：1、；2、；3、；；5、；6、練習(xí)十一：多項式除以單項式計算：1、；2、；3、；；7、練習(xí)十二：整式的混合運算1、以下計算正確的選項是〔〕．A、B、C、D、2、以下運算正確的選項是〔〕．A．B．C．·=D．3、計算：〔1〕2xy·x2y-〔x3y2-y2)〔2〕〔3〕〔4〕〔(2x+y)2–(x+y)(y-x)-8x〕÷2x〔5〕2〔6〕練習(xí)十三：1.化簡，求值：，其中x=-4化簡求值：，其中x=.3.先化簡，再求值：，其中．4.先化簡，再求值：其中a=-3,b=10.先化簡，再求值：的值，其中先化簡，再求值：其中x=-1,y=.練習(xí)十四：整體代入1.，那么代數(shù)式的值為2.，求代數(shù)式的值.3.，求代數(shù)式的值4.，求的值.5.，求的值6.：．求代數(shù)式的值分解因式復(fù)習(xí)題一、填空：1、假設(shè)是完全平方式，那么的值等于_____。2、那么=____=____3、與的公因式是____________4、假設(shè)=，那么m=_______，n=_________。5、在多項式中，可以用平方差公式分解因式的有__________，其結(jié)果是________。6、假設(shè)是完全平方式，那么m=_______。7、8、那么9、假設(shè)是完全平方式M=_____。10、，11、假設(shè)是完全平方式，那么k=_______。12、假設(shè)的值為0，那么的值是________。13、假設(shè)那么=_____。14、假設(shè)那么___。15、方程，的解是________。二、選擇題：1、多項式的公因式是〔〕A、－a、B、C、D、2、假設(shè)，那么m，k的值分別是〔〕A、m=—2，k=6，B、m=2，k=12，C、m=—4，k=—12、Dm=4，k=12、3、以下名式：中能用平方差公式分解因式的有〔〕A、1個，B、2個，C、3個，D、4個計算的值是〔〕A、B、三、分解因式：1、2、3、5、6.8、9、a2(b－c)＋b2(c－a)＋c2(a－b)(x＋1)2－9(x－1)2；11、4a2b2－(a2＋b2－c2)2；12、ab2－ac2＋4ac－4a；x2＋4xy＋3y214、－m4＋18m2－17；15、(x2＋x)(x2＋x－1)－2。四、證明(求值)：1．a(chǎn)＋b=0，求a3－2b3＋a2b－2ab2的值．2.求證：四個連續(xù)自然數(shù)的積再加上1，一定是一個完全平方數(shù)．3.證明：(ac－bd)2＋(bc＋ad)2=(a2＋b2)(c2＋d2)．4.a=k＋3，b=2k＋2，c=3k－1，求a2＋b2＋c2＋2ab－2bc－2ac的值．5．假設(shè)x2＋mx＋n=(x－3)(x＋4)，求(m＋n)2的值．6．當a為何值時，多項式x2＋7xy＋ay2－5x＋43y－24可以分解為兩個一次因式的乘積．7．假設(shè)x，y為任意有理數(shù)，比擬6xy與x2＋9y2的大?。?．兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差是4的倍數(shù)．五、代數(shù)式求值，，求的值。，求的值假設(shè)x、y互為相反數(shù)，且，求x、y的值計算：〔1〕〔2〕〔3〕六、利用分解因式計算1、一種光盤的外D=11.9厘米，內(nèi)徑的d=3.7厘米，求光盤的面積?！步Y(jié)果保存兩位有效數(shù)字〕2、正方形1的周長比正方形2的周長長96厘米，其面積相差960平方厘米求這兩個正方形的邊長。七、分解因式在證明題中的應(yīng)用1.求證：1111－1110－119=119×1092．求證：四個連續(xù)自然數(shù)的積再加上1，一定是一個完全平方數(shù)．3．證明：(ac－bd)2＋(bc＋ad)2=(a2＋b2)(c2＋d2)．4．假設(shè)x，y為任意有理數(shù)，比擬6xy與x2＋9y2的大?。?．兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差是4的倍數(shù)．6、對于任意自然數(shù)n，都能被動24整除。7.：a、b、c為三角形的三邊，比擬的大小。中，三邊a,b,c滿足求證：9.：a、b、c是非零實數(shù)，且，求a+b+c的值。10.將11.求證：是6的倍數(shù)?！财渲衝為整數(shù)〕12.假設(shè)x為任意整數(shù)，求證：的值不大于100。13.求證：多項式的值一定是非負數(shù)因式分解經(jīng)典習(xí)題一、填空：1、假設(shè)是完全平方式，那么的值等于_____。2、那么=____=____3、與的公因式是＿4、假設(shè)=，那么m=_______，n=_________。6、假設(shè)是完全平方式，那么m=_______。7、8、那么9、假設(shè)是完全平方式M=________。10、，11、假設(shè)是完全平方式，那么k=_______。12、假設(shè)的值為0，那么的值是________。13、假設(shè)那么=_____。14、假設(shè)那么___。15、方程，的解是________。二、選擇題：1、多項式的公因式是〔〕A、－a、B、C、D、2、假設(shè)，那么m，k的值分別是〔〕A、m=—2，k=6，B、m=2，k=12，C、m=—4，k=—12、Dm=4，k=12、3、以下名式：中能用平方差公式分解因式的有〔〕A、1個，B、2個，C、3個，D、4個計算的值是〔〕A、