《三角形的外角》名師教案

第十一章三角形11.2與三角形有關(guān)的角11.2.2三角形的外角（袁梅）一、教學(xué)目標(biāo)（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解三角形的外角的概念.2.掌握三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.3.學(xué)會(huì)運(yùn)用說(shuō)理計(jì)算三角形相關(guān)的角.（二）學(xué)習(xí)重點(diǎn)三角形外角的性質(zhì).（三）學(xué)習(xí)難點(diǎn)運(yùn)用三角形外角的性質(zhì)計(jì)算與三角形有關(guān)的角時(shí)能準(zhǔn)確地推理.二、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）課前設(shè)計(jì)1.預(yù)習(xí)任務(wù)（1）三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線(xiàn)組成的角叫三角形的外角．（2）如圖，在△ABC中，∠ACD是△ABC的一個(gè)外角：①若∠A=70o，∠B=60o，由∠A+∠B+∠ACB=180o，得∠ACB=180o?∠A?∠B=180o?70o?60o=50o.由∠ACB+∠ACD=180o，得∠ACD=180o?∠ACB=130o.由計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)∠ACD=∠A+∠B.②若∠A=75o，∠B=70o，由∠A+∠B+∠ACB=180o，得∠ACB=180o?∠A?∠B=180o?75o?70o=35o.由∠ACB+∠ACD=180o，得∠ACD=180o?∠ACB=145o.由計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)∠ACD=∠A+∠B.③觀(guān)察上面的計(jì)算，你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.預(yù)習(xí)自測(cè)（1）如圖，在△ABC中，∠1，∠2，∠3哪個(gè)是△ABC的外角？【知識(shí)點(diǎn)】三角形外角的概念【思路點(diǎn)撥】三角形的外角是由三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線(xiàn)組成的角，由此可進(jìn)行判斷．【解題過(guò)程】解：由三角形的外角是由三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線(xiàn)組成的角，所以∠1，∠2都是三角形的外角.【答案】∠1和∠2（2）一個(gè)三角形的一個(gè)外角小于與它相鄰的內(nèi)角，則這個(gè)三角形是（）A．直角三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．不能確定【知識(shí)點(diǎn)】三角形的外角的概念，三角形的分類(lèi)．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形的外角的概念可知三角形的外角是相鄰的內(nèi)角的鄰補(bǔ)角，所以可知此外角與相鄰內(nèi)角互補(bǔ)，再根據(jù)三角形按角分類(lèi)可進(jìn)行判斷.【解題過(guò)程】解：根據(jù)三角形的外角的概念可知三角形的外角是相鄰的內(nèi)角的鄰補(bǔ)角，所以可知此外角與相鄰內(nèi)角互補(bǔ)，根據(jù)題意，此外角是銳角，所以相鄰的內(nèi)角是鈍角，故此三角形是鈍角三角形.故選C．【答案】C（3）求出下列圖形中∠1的度數(shù).【知識(shí)點(diǎn)】三角形外角的性質(zhì)．【思路點(diǎn)撥】由三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和即可得出結(jié)果．【解題過(guò)程】解：圖（1）∠1=35°+50°=85o；圖（2）∠1=90°+40°=130o【答案】85o，130o（4）如圖所示，直線(xiàn)BD∥EF，AE與BD交于點(diǎn)C，若∠ABC=35o，∠BAC=70o，則∠CEF的度數(shù)為（）A．105oB．90oC．60oD．75o【知識(shí)點(diǎn)】三角形外角的性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)．【思路點(diǎn)撥】由平行線(xiàn)的性質(zhì)可知，求∠CEF的度數(shù)即∠ACD即可，再根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和即可求出結(jié)果．【解題過(guò)程】解：由題可知∠ACD=∠A+∠B=70o+35o=105o，∵BD∥EF，∴∠CEF=∠ACD=105o，故選A.【答案】A(二)課堂設(shè)計(jì)1.知識(shí)回顧（1）什么是三角形的內(nèi)角？三角形的內(nèi)角和為.（2）直角三角形的兩個(gè)銳角.（3）若∠A與∠B互為鄰補(bǔ)角，則∠A與∠B的數(shù)量關(guān)系為.2.問(wèn)題探究探究一探究三角形外角的概念.●活動(dòng)①回顧舊知師：說(shuō)出△ABC的三個(gè)內(nèi)角，并指出每個(gè)內(nèi)角是由哪兩條邊組成的？學(xué)生回答，∠A是AB、AC組成的角，∠B是BC、BA組成的角，∠C是CB、CA組成的角.師：∠ACD是由哪兩條邊組成的？與三角形的內(nèi)角的組成有什么不同？學(xué)生回答，∠ACD是由CA、CD組成，三角形的內(nèi)角是由三角形的兩邊組成，而∠ACD是由三角形的一邊和三角形另一邊的延長(zhǎng)線(xiàn)組成的.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)對(duì)舊知識(shí)的復(fù)習(xí)，回顧三角形的內(nèi)角的概念，初步感知與內(nèi)角不同的外角的特征，為新知識(shí)的學(xué)習(xí)作鋪墊.●活動(dòng)②整合舊知，探究三角形外角的概念.學(xué)生自學(xué)教材第14頁(yè)最后一段話(huà)，然后完成下列問(wèn)題：?jiǎn)栴}1畫(huà)圖說(shuō)明什么是△ABC的外角，你能畫(huà)出多少個(gè)？它們有什么關(guān)系？問(wèn)題2如圖，請(qǐng)指出∠ADB、∠DEC、∠BEC分別是哪個(gè)三角形的外角？【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)自主學(xué)習(xí)，畫(huà)圖說(shuō)明，練習(xí)反饋，使學(xué)生掌握三角形外角的概念.尤其是在較復(fù)雜圖形中辨析三角形的外角，培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)圖能力，為進(jìn)一步運(yùn)用三角形性質(zhì)作準(zhǔn)備.探究二探究三角形外角的性質(zhì)★●活動(dòng)①大膽猜想，探究新知識(shí)填一填，仔細(xì)觀(guān)察你有何發(fā)現(xiàn)？若∠A=70o，∠B=60o，由三角形的內(nèi)角和為180o，得∠ACB=50°.由∠ACB+∠ACD=180o，得∠ACD=130°.由計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)∠ACD=∠A+∠B.∠A=75o，∠B=70o，由三角形的內(nèi)角和為180o，得∠ACB=35o.由∠ACB+∠ACD=180o，得∠ACD=145o.由計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)∠ACD=∠A+∠B.觀(guān)察上面的計(jì)算，大膽猜想：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.【設(shè)計(jì)意圖】已知三角形兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角的度數(shù)，再利用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可求出三角形一個(gè)外角的度數(shù)，從具體的計(jì)算過(guò)程中，初步感知三角形外角與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的關(guān)系，為證明三角形外角的性質(zhì)提供思路.●活動(dòng)②集思廣益，證明性質(zhì)如圖，根據(jù)以上計(jì)算你能證明∠ACD=∠A+∠B嗎？證明：∵∠A+∠B+∠ACB=180o，∠ACB+∠ACD=180o∴∠ACD=∠A+∠B.你還有其他方法可證明嗎？添加輔助線(xiàn)（平行線(xiàn)）進(jìn)行證明.如下圖：結(jié)論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)利用三角形內(nèi)角和定理、鄰補(bǔ)角的性質(zhì)證明三角形外角的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度和推理論證的能力.同時(shí)探究不同證明方法，發(fā)散學(xué)生思維，感受幾何問(wèn)題的解題策略的多樣性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.●活動(dòng)③發(fā)散思維深入理解如圖，∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，你能比較∠ACD與∠A、∠B的大小嗎？學(xué)生思考后回答，由三角形外角的性質(zhì)可知∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B.反思：三角形的外角大于任意一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角.【設(shè)計(jì)意圖】比較三角形的一個(gè)外角和與它不相鄰的內(nèi)角的大小是三角形外角性質(zhì)的進(jìn)一步延伸，可進(jìn)一步加深對(duì)外角性質(zhì)的理解，同時(shí)也是比較三角形中角的大小的有效方法.探究三運(yùn)用三角形外角的性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題.★▲●活動(dòng)①三角形外角的性質(zhì)例1如圖，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三個(gè)外角，它們的和是多少？【知識(shí)點(diǎn)】三角形外角的性質(zhì)【解題過(guò)程】由三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，可得∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）．由∠1+∠2+∠3=180o，得∠BAE+∠CBF+∠ACD=2×180o=360o.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求三角形外角的和可轉(zhuǎn)化為內(nèi)角來(lái)計(jì)算．【答案】360o題后反思：三角形共有6個(gè)外角，在每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，則三角形的3個(gè)外角和為360o練習(xí)：如圖所示，CE是△ABC的外角∠ACD的平分線(xiàn)，已知∠A=70o，∠B=40o，求∠ECD的度數(shù).【知識(shí)點(diǎn)】三角形外角的性質(zhì)【解題過(guò)程】由三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，可得∠ACD=∠A+∠B=70o+40o=110o，又∵CE是∠ACD的平分線(xiàn)，所以∠ECD=∠ACD=×110o=55o【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)易求∠ACD的度數(shù)，再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義可求得結(jié)果．【答案】55o●活動(dòng)2利用三角形外角的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題例2一個(gè)零件的形狀如圖所示，按規(guī)定∠A應(yīng)等于90o，∠B，∠D應(yīng)分別是21o和32o，檢驗(yàn)工人量得∠DCB=148o，就斷定這個(gè)零件不合格，這是為什么呢？【知識(shí)點(diǎn)】三角形外角的性質(zhì)【解題過(guò)程】延長(zhǎng)DC交AB于點(diǎn)E.因?yàn)椤螪CB是△CEB的一個(gè)外角，所以∠DCB=∠B+∠BEC.又因?yàn)椤螧EC是△ADE的一個(gè)外角，所以∠BEC=∠A+∠D.所以∠DCB=∠B+∠A+∠D=90o+21o+32o=143o≠148o.所以這個(gè)零件不合格.【思路點(diǎn)撥】添加輔助線(xiàn)利用三角形的外角，可以把不是同一個(gè)三角形的幾個(gè)角聯(lián)系起來(lái)，它是不同三角形的內(nèi)角之間相互轉(zhuǎn)化的“橋梁”．此類(lèi)題添加輔助線(xiàn)的方法不唯一，只要將此圖形分成三角形即可，如下圖.練習(xí)：如圖，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接BD、CD，∠ABD=20o，∠ACD=30o，∠A=35o，求∠BDC的度數(shù).【知識(shí)點(diǎn)】三角形外角的性質(zhì)【解題過(guò)程】延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E，因?yàn)椤螧EC是△ABE的一個(gè)外角，所以∠BEC=∠A+∠ABD.又因?yàn)椤螧DC是△CDE的一個(gè)外角，所以∠BDC=∠BEC+∠ACD.所以∠BDC=∠ABD+∠A+∠ACD=20o+35o+30o=85o.【思路點(diǎn)撥】添加輔助線(xiàn)利用三角形的外角，可以把不是同一個(gè)三角形的幾個(gè)角聯(lián)系起來(lái)，它是不同三角形的內(nèi)角之間相互轉(zhuǎn)化的“橋梁”．方法不唯一.【答案】85o●活動(dòng)3三角形外角的性質(zhì)與角平分線(xiàn)的綜合例3在△ABC中，∠B的平分線(xiàn)與∠ACB的外角∠ACD的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)E.（1）若∠A=36o，∠B=40o，求∠E的度數(shù).（2）若∠A=α，∠E=β，試探索圖中α與β的關(guān)系.【知識(shí)點(diǎn)】三角形外角的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義【解題過(guò)程】解：（1）因?yàn)椤螦CD是△ABC的一個(gè)外角，所以∠ACD=∠A+∠ABD=36o+40o=76o.又因?yàn)锽E、CE分別是∠ABC、∠ACD的平分線(xiàn)，所以∠EBC=∠ABC=20o，∠ECD=∠ACD=38o，又因?yàn)椤螮CD是△BCE的一個(gè)外角，所以∠ECD=∠EBC+∠E.所以∠E=∠ECD?∠EBC=38o?20o=18o.（2）因?yàn)椤螦CD是△ABC的一個(gè)外角，所以∠ACD=∠A+∠ABD.即∠ACD?∠ABD=∠A.又因?yàn)锽E、CE分別是∠ABC、∠ACD的平分線(xiàn)，所以∠EBC=∠ABC，∠ECD=∠ACD，又因?yàn)椤螮CD是△BCE的一個(gè)外角，所以∠ECD=∠EBC+∠E.所以∠E=∠ECD?∠EBC=∠ACD?∠ABC=（∠ACD?∠ABD）=∠A，即β=α.【思路點(diǎn)撥】第（1）小題知道三角形兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，可利用三角形外角性質(zhì)和角平分線(xiàn)的定義直接計(jì)算出結(jié)果；第（2）小題雖不知角的具體度數(shù)，但仍可類(lèi)比第（1）小題作法，將特殊歸納到一般情況即可解決.【答案】18o，β=α.練習(xí)：如圖，△ABC兩個(gè)外角∠DBC、∠ECB的角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)F，若∠A=50o，求F的度數(shù).【知識(shí)點(diǎn)】三角形外角的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義【解題過(guò)程】解：因?yàn)椤螪BC、∠ECB是△ABC外角，所以∠ECB=∠A+∠ABC，∠DBC=∠A+∠ACB.又因?yàn)锽F、CF分別是∠DBC、∠ECB的平分線(xiàn)，所以∠FBC=∠DBC，∠FCB=∠ECB，在△BCF中，∠F=180o?∠FBC?∠FCB=180o?（∠DBC+∠ECB）=180o?（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC），因?yàn)椤螦+∠ACB+∠ABC=180o，所以∠F=180o?（∠A+180o）=90o?∠A=65o.【思路點(diǎn)撥】此題與例題類(lèi)似，綜合利用三角形外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理將角的度數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.【答案】65o3.課堂總結(jié)知識(shí)梳理（1）三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線(xiàn)組成的角叫三角形的外角．（2）三角形外角的性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.（3）利用三角形的外角的性質(zhì)可解決與三角形的角有關(guān)的問(wèn)題.重難點(diǎn)歸納（1）三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.（2）三角形外角的性質(zhì)是解決幾何圖形中有關(guān)角度問(wèn)題的基本定理，需熟練掌握．（3）添加輔助線(xiàn)構(gòu)造三角形，利用三角形的外角可以把不是同一個(gè)三角形的幾個(gè)角聯(lián)系起來(lái)，它是不同三角形的內(nèi)角之間相互轉(zhuǎn)化的“橋梁”．(三)課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1.如圖，AB∥CD，∠B=58o，∠E=20o，則∠D的度數(shù)為（）A.28°B.38°C.48°D.58°【知識(shí)點(diǎn)】三角形外角的性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)【思路點(diǎn)撥】由AB∥CD的條件自然想到圖中有同位角、內(nèi)錯(cuò)角相等，已知∠E=20o，要求∠D，可利用三角形的外角性質(zhì)，求出∠BFD或∠CFE即可.【解題過(guò)程】∵AB∥CD，∴∠BFD=∠B=58o，因?yàn)椤螧FD是三角形DEF的外角，所以∠DFB=∠D+∠E，所以∠D=∠DFB?∠E=58o?20o=38o，故選B.【答案】B2.如圖所示，∠A、∠1、∠2的大小關(guān)系是（）A.∠A>∠1>∠2B.∠2>∠1>∠AC.∠A>∠2>∠1D.∠2>∠A>∠1【知識(shí)點(diǎn)】三角形外角的性質(zhì)【思路點(diǎn)撥】由三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，可知此外角一定大于與它不相鄰的內(nèi)角，這是比較角大小的重要依據(jù).【解題過(guò)程】因?yàn)椤?是△BEC的一個(gè)外角，所以∠2>∠1，因?yàn)槭恰?是△ADB的一個(gè)外角，所以∠1>∠A，所以∠2>∠1>∠A.故選B.【答案】B3.已知三角形的三個(gè)外角的度數(shù)比為2:3:4，則它的最大內(nèi)角的度數(shù)為()A.90°B.110°C.100°D.120°【知識(shí)點(diǎn)】三角形外角的和，鄰補(bǔ)角的定義【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形的外角和為360°，三個(gè)外角的度數(shù)比為2:3:4，可求出各外角的度數(shù)，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義可求出各內(nèi)角的度數(shù)，問(wèn)題得以解決.【解題過(guò)程】解：根據(jù)三角形的外角和為360°，三個(gè)外角的度數(shù)比為2:3:4，求出各外角的度數(shù)分別為80°、120°、160°，則三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為100°、60°、20°，故選C【答案】C4.如圖，從A處觀(guān)測(cè)C處仰角∠CAD=30o，從B處觀(guān)測(cè)C處的仰角∠CBD=45o，從C處觀(guān)測(cè)A、B兩處時(shí)視角∠ACB=.【知識(shí)點(diǎn)】三角形外角的性質(zhì)【思路點(diǎn)撥】利用三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.【解題過(guò)程】因?yàn)椤螩BD是△ABC的一個(gè)外角，所以∠CBD=∠ACB+∠A，所以∠ACB=∠CBD?∠A=45o?30o=15o.【答案】15o5.如圖，D、B、C在同一直線(xiàn)上，∠A=80°，∠C=62°，∠D=20°，則∠1=________.【知識(shí)點(diǎn)】三角形外角的性質(zhì)【思路點(diǎn)撥】在計(jì)算與三角形有關(guān)的角的問(wèn)題時(shí)，有時(shí)一個(gè)角既是三角形的內(nèi)角，又是另一個(gè)三角形的外角，如圖中∠ABC在圖形中需進(jìn)行辨認(rèn)，一般利用三角形外角的性質(zhì)計(jì)算更直接.【解題過(guò)程】在△ABC中，∠A=80°，∠C=62°，所以∠ABC=180°?80°?62°=38°，因?yàn)椤螦BC是△DBE的一個(gè)外角，所以∠1=∠ABC?∠D=18°.【答案】18°6.如圖，△ABC為直角三角形，∠C=90o，若沿圖中虛線(xiàn)剪去∠C，則∠1+∠2=.【知識(shí)點(diǎn)】三角形外角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理【思路點(diǎn)撥】由圖可知∠1、∠2分別是三角形的外角，利用外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和為180o，即可求解.整體思想的運(yùn)用是解決本題的關(guān)鍵.【解題過(guò)程】根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得：∠1=∠C+∠4，∠2=∠C+∠3.∴∠1+∠2=∠C+∠4+∠C+∠3，∵∠C+∠3+∠4=180o，∠C=90o，∴∠1+∠2=180o+90o=270o【答案】270o能力型師生共研7.如圖，在△ABC中∠B=65o，∠BAD=30o，∠ACB=72o，且CE平分∠ACB，求∠AEC的度數(shù)．【知識(shí)點(diǎn)】三角形外角的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義【思路點(diǎn)撥】利用外角的性質(zhì)和角平分線(xiàn)的定義即可求解【解題過(guò)程】根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得：∠ADC=∠B+∠BAD=30o+65o=95o，∵∠ACB=72o，且CE平分∠ACB，∴∠ECD=∠ACB=36o，∴∠AEC=∠ADC+∠ECD=131o.【答案】131o8.如圖所示，已知∠1=20°，∠2=25°，∠A=35°，求∠BCD的度數(shù).【知識(shí)點(diǎn)】三角形外角的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義【思路點(diǎn)撥】求角的度數(shù)應(yīng)聯(lián)想到運(yùn)用三角形的內(nèi)角和與三角形的外角的性質(zhì)解決，因此本題需作輔助線(xiàn)構(gòu)成三角形外角求解.【解題過(guò)程】如圖，作射線(xiàn)AC，根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得：∠3=∠1+∠5，∠4=∠2+∠6，∴∠BCD=∠3+∠4=∠1+∠5+∠6+∠2=20°+25°+35°=80o.【答案】80o探究型多維突破9.如圖所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的和為.【知識(shí)點(diǎn)】三角形外角的性質(zhì)【思路點(diǎn)撥】求幾個(gè)不在同一個(gè)三角形的和，一般添輔助線(xiàn)構(gòu)出三角形的外角，借助三角形外角的性質(zhì)將這些角聯(lián)系起來(lái)，從而解決問(wèn)題.【解題過(guò)程】如圖，延長(zhǎng)BE與AC相交于點(diǎn)F.由三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得：∠2=∠D+∠E，∠1=∠2+∠C，所以∠1=∠D+∠E+∠C，因?yàn)椤螦+∠B+∠1=180o，所以∠A+∠B+∠D+∠E+∠C=180o.【答案】180o10.如圖所示，在△ABC中，外角∠ACD的平分線(xiàn)與∠ABC的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)A1.∠A1BC與∠A1CD的平分線(xiàn)交于點(diǎn)A2，∠A2BC與∠A2CD的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)A3，若∠A=64o，則∠A3的度數(shù)為.【知識(shí)點(diǎn)】三角形外角的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形角平分線(xiàn)、外角性質(zhì)和找規(guī)律可求解.【解題過(guò)程】在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180o?∠A，∵∠ACD＝180o?∠ACB，CA1平分∠ACD，∴∠A1CD＝∠ACD＝（180o?∠ACB）＝90o?∠ACB，∵BA1平分∠ABC，∴∠A1BC＝∠ABC，∵∠A1CD是△A1BC的外角，∴∠A1CD＝∠A1+∠A1BC＝∠A1+∠ABC，∴∠A1+∠ABC＝90o?∠ACB，∴∠A1＝90o?（∠ABC+∠ACB）＝90o?（180o?∠A）＝∠A.同理可得：∠A2＝∠A1＝∠A，∠A2＝∠A，依次類(lèi)推：∠An＝∠A.則當(dāng)∠A＝64o，n＝3時(shí)，∠A3＝∠A＝8°【答案】8°自助餐1.將一塊三角板和直尺按如圖所示疊放在一起，∠2=45o，則圖中∠1的度數(shù)是（）A.20oB.45oC.15oD.25o【知識(shí)點(diǎn)】三角形外角的性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和平行線(xiàn)的性質(zhì)可求解.【解題過(guò)程】根據(jù)直尺對(duì)邊平行和三角形的外角的性質(zhì)，∠1=∠2?30o=15o，故選C【答案】C2.如圖，∠A=30o，∠D=42o，∠C=38o，則∠AFE的度數(shù)為（）A.50oB.60oC.70oD.80o【知識(shí)點(diǎn)】三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)【思路點(diǎn)撥】已知∠A=30o，求∠AFE的度數(shù)，只需求出∠AEF的度數(shù)即可，而∠AEF是△DEC的一個(gè)外角，又知∠D=42o，∠C=38o，利用三角形外角的性質(zhì)即可解決問(wèn)題.【解題過(guò)程】∵∠AEF是△DEC的一個(gè)外角，∴∠AEF=∠D+∠C=80o，在△AFE中，∠A=30o，∠AEF=80o，所以∠AFE=180o?30o?80o=70o.【答案】C3.如圖，在△ABC中，∠B=50o，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線(xiàn)交于點(diǎn)E，則∠AEC=.【知識(shí)點(diǎn)】三角形外角的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義【思路點(diǎn)撥】本題注意整體思想的運(yùn)用，求∠AEC則需求出∠ACE+∠EAC的值，利用三角形的外角的性質(zhì)可得：∠DAC=∠ACB+∠B，∠FCA=∠CAB+∠B，則∠DAC+∠FCA=∠ACB+∠B+∠CAB+∠B=180o+∠B=230o，問(wèn)題得以解決.【解題過(guò)程】根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，∠DAC=∠ACB+∠B，∠FCA=∠CAB+∠B，則∠DAC+∠FCA=∠ACB+∠B+∠CAB+∠B=180o+∠B=230o，又∵AE、EC分別平分∠DAC、∠FCA，∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠FCA，∴∠EAC+∠ECA=（∠DAC+∠FCA）=×230o=115o，∴∠AEC=180o?（∠EAC+∠ECA）=180o?115o=65o.【答案】65o4.如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE內(nèi)部使，則∠A與∠1，∠2間的數(shù)量關(guān)系為.【知識(shí)點(diǎn)】三角形的內(nèi)角和定理【思路點(diǎn)撥】先表示出圖中所有三角形的內(nèi)角和以及所有四邊形的內(nèi)角和，再整理化簡(jiǎn)即可得到所求角之間的關(guān)系．【解題過(guò)程】在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°①；在△ADE中∠A+∠ADE+∠AED=180°②；在四邊形BCDE中∠B+∠C+∠1+∠2+∠ADE+∠AED=360°③；①+②-③得2∠A=∠1+∠2．【答案】2∠A=∠1+∠2．5.如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，∠1=∠B，∠2=∠C，∠BAC=87o，求∠DAC的度數(shù).【知識(shí)點(diǎn)】三角形外角的性質(zhì)【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和得∠2=∠B+∠1=2∠B，從而得∠C=∠2=2∠B，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理建方程即可求得∠B的度數(shù)，從而不難求得∠BAC的度數(shù)．【解題過(guò)程】設(shè)∠1=∠B=x°，則∠2=2x°，∵∠2=∠C，所以∠C