線性代數(shù)向量及其線性運算

關(guān)于線性代數(shù)向量及其線性運算2.2ｎ維向量一ｎ維向量三應(yīng)用舉例二向量的運算五向量空間四向量組與矩陣第2頁,共54頁，2024年2月25日，星期天注意：集中精力，仔細理解第3頁,共54頁，2024年2月25日，星期天

確定飛機的狀態(tài)，需要以下6個參數(shù)：飛機重心在空間的位置參數(shù)P(x,y,z)機身的水平轉(zhuǎn)角機身的仰角機翼的轉(zhuǎn)角所以，確定飛機的狀態(tài)，會產(chǎn)生一個有序數(shù)組１、引入一、ｎ維向量（Vector）第4頁,共54頁，2024年2月25日，星期天２、定義ｎ個數(shù)組成的有序數(shù)組稱為一個ｎ維向量，其中稱為第個分量.記作如：ｎ維向量寫成一行，稱為行矩陣，也就是行向量，如：記作α,β,γ.ｎ維向量寫成一列，稱為列矩陣，也就是列向量，（RowVector）（ColumnVector）第5頁,共54頁，2024年2月25日，星期天注意１、行向量和列向量總被看作是兩個不同的向量；２、當(dāng)沒有明確說明時，都當(dāng)作實的列向量.第6頁,共54頁，2024年2月25日，星期天幾何上的向量可以認為是它的特殊情形，即n=2,3且F

為實數(shù)域的情形.在n>3時，n

維向量就沒有直觀的幾何意義了.我們所以仍稱它為向量，一方面固然是由于它包括通常的向量作為特殊另一方面也由于它與通常的向量一樣可以定義運算，并且有許多運算性質(zhì)是共同的，因而采取這樣一個幾何的名詞有好處.以后我們用小寫希臘字母

，

，

等來代表向量.情形，第7頁,共54頁，2024年2月25日，星期天三、n

維向量的運算1.兩個向量相等定義2.3

如果n

維向量

=(a1,a2,…,an)T,

=(b1,b2,…,bn

)T的對應(yīng)分量都相等，即ai=bi(i=1,2,…,n),就稱這兩個向量是相等的，記作

=

.第8頁,共54頁，2024年2月25日，星期天2.向量的加法1)定義定義2.4

向量

=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn

)T稱為向量

=(a1,a2,…,an)T,

=(b1,b2,…,bn

)T的和，記為

=+.第9頁,共54頁，2024年2月25日，星期天2)運算規(guī)律交換律

+=+.結(jié)合律

+(+)=(+)+

.4)負向量定義向量(-a1,-a2,…,-an

)T

稱為向量=(a1,a2,…,an)的負向量，記為-

.第10頁,共54頁，2024年2月25日，星期天顯然，對于所有的

，都有+0=

，

+(-

)=0.5)向量減法運算定義

-

=+(-

).第11頁,共54頁，2024年2月25日，星期天3.數(shù)量乘積定義2.5

設(shè)k

為數(shù)域F

中的數(shù)，向量(ka1,ka2,…,kan

)稱為向量

=(a1,a2,…,an)與數(shù)k

的數(shù)量乘積，記為k.1)定義向量的加法和數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算.顯然，數(shù)域F

上的向量經(jīng)過線性運算后，仍為數(shù)域F

上的向量.第12頁,共54頁，2024年2月25日，星期天2)運算規(guī)律k(+)=k

+k,(k+l)=k

+l,k(l

)=(kl)

,1=,0

=0,(-1)

=-

,k

0=0.如果k

0,

0,那么k

0.第13頁,共54頁，2024年2月25日，星期天3、向量與矩陣的關(guān)系其第ｊ個列向量記作ｍ個ｎ維行向量.按行分塊按列分塊ｎ個ｍ維列向量.其第ｉ個行向量記作矩陣與向量的關(guān)系中注意什么是向量的個數(shù)、什么是向量的維數(shù)，二者必須分清.第14頁,共54頁，2024年2月25日，星期天

若干個同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合叫做向量組．例如三、向量組、矩陣、線性方程組向量組稱為矩陣Ａ的列向量組.對于一個矩陣有ｎ個ｍ維列向量.記作：第15頁,共54頁，2024年2月25日，星期天向量組為矩陣Ａ的行向量組．類似的，矩陣有ｍ個ｎ維行向量.第16頁,共54頁，2024年2月25日，星期天四、線性方程組AX=b的向量表示方程組的解x1=c1,x2=c2,….,xn=cn,可以用n維列向量：

x=（c1,c2,….,cn)T來表示。此時稱為方程組的一個解向量。（P78）第17頁,共54頁，2024年2月25日，星期天例３ｎ維向量的集合是一個向量空間,記作.五、向量空間1、定義設(shè)Ｖ為ｎ維非空向量組，且滿足①對加法封閉②對數(shù)乘封閉那么就稱向量組Ｖ為向量空間（VectorSpace）．解任意兩個ｎ維向量的和仍是一個ｎ維向量；任意ｎ維向量乘以一個數(shù)仍是一個ｎ維向量．所以，所有ｎ維向量的集合構(gòu)成一個向量空間.易知該集合對加法封閉，對數(shù)乘也封閉，第18頁,共54頁，2024年2月25日，星期天第19頁,共54頁，2024年2月25日，星期天向量解析幾何線性代數(shù)既有大小又有方向的量有次序的實數(shù)組成的數(shù)組幾何形象：可隨意平行移動的有向線段代數(shù)形象：向量的坐標(biāo)表示式坐標(biāo)系2、結(jié)構(gòu)第20頁,共54頁，2024年2月25日，星期天空間解析幾何線性代數(shù)點空間：點的集合向量空間：向量的集合坐標(biāo)系代數(shù)形象：向量空間中的平面幾何形象：空間直線、曲線、空間平面或曲面一一對應(yīng)第21頁,共54頁，2024年2月25日，星期天2.3向量間的線性關(guān)系第22頁,共54頁，2024年2月25日，星期天回憶：向量線性運算數(shù)乘規(guī)定稱為數(shù)ｋ與向量α的數(shù)量積.設(shè)β=kα，那么兩個向量之間是什么樣的關(guān)系？引申到多個向量，關(guān)系又如何？第23頁,共54頁，2024年2月25日，星期天

向量能由向量組線性表示．一定義第24頁,共54頁，2024年2月25日，星期天①若α＝kβ，則稱向量α與β成比例．②零向量Ｏ是任一向量組的線性組合．④任一ｎ維向量都是基本向量組的一個線性組合．事實上，有③向量組中每一向量都可由該向量組線性表示．第25頁,共54頁，2024年2月25日，星期天b能夠為α1，α2，…αn線性表示：令x1，x2，…xn分別為λ1,λ2,….,λn，則以上線性組合可以表示為：第26頁,共54頁，2024年2月25日，星期天第27頁,共54頁，2024年2月25日，星期天第28頁,共54頁，2024年2月25日，星期天第29頁,共54頁，2024年2月25日，星期天定理1第30頁,共54頁，2024年2月25日，星期天第31頁,共54頁，2024年2月25日，星期天第32頁,共54頁，2024年2月25日，星期天注意:定義３二、線性相關(guān)性的概念則稱向量組是線性相關(guān)的，否則稱它線性無關(guān)．第33頁,共54頁，2024年2月25日，星期天相關(guān)結(jié)論P92例3-4第34頁,共54頁，2024年2月25日，星期天第35頁,共54頁，2024年2月25日，星期天定理向量組線性無關(guān)

齊次線性方程組只有零解；定理向量組線性相關(guān)

齊次線性方程組有非零解.二、線性相關(guān)性的判斷準(zhǔn)則P91第36頁,共54頁，2024年2月25日，星期天推論ｎ個ｎ維向量線性相關(guān)

.推論ｎ個ｎ維向量線性無關(guān)

.P91定理第37頁,共54頁，2024年2月25日，星期天第38頁,共54頁，2024年2月25日，星期天解例１第39頁,共54頁，2024年2月25日，星期天1、設(shè)向量組線性相關(guān)，則ｋ

.2、設(shè)向量組線性無關(guān)，則必滿足

.自己練習(xí)：第40頁,共54頁，2024年2月25日，星期天證法第41頁,共54頁，2024年2月25日，星期天第42頁,共54頁，2024年2月25日，星期天進一步：P94定理2.6向量組線性相關(guān)

至少有一個向量可由其余向量線性表示．定理第43頁,共54頁，2024年2月25日，星期天第44頁,共54頁，2024年2月25日，星期天第45頁,共54頁，2024年2月25日，星期天向量組線性無關(guān)

任何一個向量都不能由其向量線性表示．定理第46頁,共54頁，2024年2月25日，星期天P96例題9如果向量組線性相關(guān)，則α可由Ａ唯一線性表示.線性無關(guān)，而向量組證設(shè)∵Ａ線性無關(guān)，而向量組Ｂ線性相關(guān)，∴ｋ≠０，（否則與Ａ線性無關(guān)矛盾）∴α可由Ａ線性表示.即有第47頁,共54頁，2024年2月25日，星期天下證唯一性：兩式相減有∵Ａ線性無關(guān)，即表達式唯一.設(shè)第48頁,共54頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)設(shè)向量組若Ａ線性相關(guān),則向量組Ｂ也線性相關(guān)；反之，若向量組Ｂ線性無關(guān)，則向量組Ａ也線性無關(guān).P95例7此時A稱為B的一個部分組。第49頁,共54頁，2024年2月25日，星期天說明：第50頁,共54頁，2024年2月25日，星期天第51頁,共54頁，2024年