1.1.2-1.1.3四種命題、四種命題間的相互關(guān)系

1.1.2四種命題

1.1.3四種命題間的相互關(guān)系第一章常用邏輯用語學(xué)習(xí)導(dǎo)航新知初探思維啟動1．四種命題的概念定義表示形式互逆命題對于兩個命題,如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的______和_____,那么這樣的兩個命題叫做互逆命題．其中一個命題叫做原命題,另一個叫做原命題的________原命題為“若p,則q”;逆命題為“_______”結(jié)論條件逆命題若q,則p定義表示形式互否命題對于兩個命題,其中一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的____________和_____________,這樣的兩個命題叫做互否命題．如果把其中的一個命題叫做原命題,那么另一個叫做原命題的________原命題為“若p,則q”;否命題為“______________”條件的否定結(jié)論的否定否命題若﹁p,則﹁q定義表示形式互為逆否命題對于兩個命題,其中一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的_____________和____________,這樣的兩個命題叫做互為逆否命題．如果把其中的一個命題叫做原命題,那么另一個叫做原命題的__________原命題為“若p,則q”;逆否命題為“______________”結(jié)論的否定條件的否定逆否命題若﹁q,則﹁p想一想在四種命題中,原命題是固定的嗎？提示:不是．原命題是人為指定的,是相對于其他三種命題而言的,可以把任何一個命題看作原命題,進(jìn)而研究它的其他形式．2．四種命題的相互關(guān)系做一做1.命題:“當(dāng)a>1時,函數(shù)y＝ax在R上是增函數(shù)”的逆否命題是___________________________________．若函數(shù)y＝ax在R上不是增函數(shù),則a≤13．四種命題的真假性(1)四種命題的真假性,有且僅有下面四種情況(2)四種命題的真假性之間的關(guān)系①兩個命題互為逆否命題,它們有______的真假性;②兩個命題為互逆命題或互否命題,它們的真假性___________．原命題逆命題否命題逆否命題真真________真假________假真________假假________真真假真真假假假相同沒有關(guān)系做一做2.判斷“若x2＋y2＝0,則x＝y(tǒng)＝0”的真假？解:利用逆否命題判斷．若x,y不全為0,則x2＋y2≠0是真命題,∴x2＋y2＝0,則x＝y(tǒng)＝0是真命題．典題例證技法歸納例1題型探究題型一四種命題的概念【解】

(1)原命題:若x＝2,則x2－3x＋2＝0.逆命題:若x2－3x＋2＝0,則x＝2.否命題:若x≠2,則x2－3x＋2≠0.逆否命題:若x2－3x＋2≠0,則x≠2.(2)原命題:若兩個角是內(nèi)錯角,則它們相等．逆命題:若兩個角相等,則它們是內(nèi)錯角．否命題:若兩個角不是內(nèi)錯角,則它們不相等．逆否命題:若兩個角不相等,則它們不是內(nèi)錯角．【名師點評】

寫出原命題的逆命題、否命題及逆否命題的關(guān)鍵是要分清條件p和結(jié)論q,對于語言形式的命題一定先寫成“若p,則q”的形式,敘述時要注意語句的通順性與邏輯性,并力求簡潔.跟蹤訓(xùn)練1.把命題“正數(shù)的平方根不等于0”寫成“若p,則q”的形式,并寫出它的逆命題、否命題與逆否命題.解:原命題:若a是正數(shù),則a的平方根不等于0.逆命題:若a的平方根不等于0,則a是正數(shù).否命題:若a不是正數(shù),則a的平方根等于0.逆否命題:若a的平方根等于0,則a不是正數(shù).例2寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題,并判斷它們的真假.(1)在△ABC中,若a>b,則A>B;(2)相等的兩個角的余弦值相等;(3)若x2－2x－3＝0,則x＝3;(4)若x∈A,則x∈(A∩B).題型二四種命題真假的判斷【解】

(1)逆命題:在△ABC中,若A>B,則a>b.真命題;否命題:在△ABC中,若a≤b,則A≤B.真命題;逆否命題:在△ABC中,若A≤B,則a≤b.真命題.(2)逆命題:若兩個角的余弦值相等,則這兩個角相等.假命題;否命題:若兩個角不相等,則這兩個角的余弦值也不相等.假命題;逆否命題:若兩個角的余弦值不相等,則這兩個角不相等.真命題.(3)逆命題:若x＝3,則x2－2x－3＝0.真命題;否命題:若x2－2x－3≠0,則x≠3.真命題;逆否命題:若x≠3,則x2－2x－3≠0.假命題.(4)逆命題:若x∈(A∩B),則x∈A.真命題;否命題:若x?A,則x?(A∩B).真命題;逆否命題:若x?(A∩B),則x?A.假命題.【名師點評】

“若p,則q”型命題真假的判斷方法:(1)若由“p”經(jīng)過邏輯推理得出“q”,則可確定“若p,則q”為真;而確定“若p,則q”為假時,則只需舉一個反例說明即可.(2)從集合的觀點看,我們建立集合A、B與命題中的p、q之間的一種特殊聯(lián)系:設(shè)集合A＝{x|p(x)成立},B＝{x|q(x)成立},就是說,A是全體能使條件p成立的對象x所構(gòu)成的集合,B是全體能使條件q成立的對象x所構(gòu)成的集合,此時,“若p,則q”為真意思就是“使p成立的對象也使q成立”.跟蹤訓(xùn)練2.寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題,并判斷命題的真假.(1)若m·n<0,則方程mx2－x＋n＝0有實數(shù)根.(2)當(dāng)c>0時,若a>b,則ac>bc.解:(1)逆命題:若方程mx2－x＋n＝0有實數(shù)根,則m·n<0,假命題;否命題:若m·n≥0,則方程mx2－x＋n＝0沒有實數(shù)根,假命題;逆否命題:若方程mx2－x＋n＝0沒有實數(shù)根,則m·n≥0,真命題.(2)逆命題:當(dāng)c>0時,若ac>bc,則a>b,真命題;否命題:當(dāng)c>0時,若a≤b,則ac≤bc,真命題;逆否命題:當(dāng)c>0時,若ac≤bc,則a≤b,真命題.例3題型三等價命題的應(yīng)用【證明】原命題的逆否命題為“已知函數(shù)f(x)是(－∞,＋∞)上的增函數(shù),a,b∈R,若a＋b<0,則f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)”.若a＋b<0,則a<－b,b<－a.又f(x)在(－∞,＋∞)上是增函數(shù),∴f(a)<f(－b),f(b)<f(－a).∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b),即逆否命題為真命題.∴原命題為真命題.【名師點評】

由于原命題和它的逆否命題有相同的真假性,即互為逆否命題的命題具有等價性,所以我們在直接證明某一個命題為真命題有困難時,可以通過證明它的逆否命題為真命題,來間接地證明原命題為真命題.互動探究3.在本例中,寫出命題的否命題,并判斷其真假.解:否命題:已知函數(shù)f(x)是(－∞,＋∞)上的增函數(shù),a、b∈R,若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b),則a＋b<0.若a＋b≥0,∴a≥－b,b≥－a,∵f(x)在(－∞,＋∞)上是增函數(shù).∴f(a)≥f(－b),f(b)≥f(－a),∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b),即否命題的逆否命題為真命題,∴否命題為真命題.1.寫出四種命題的方法(1)交換原命題的條件和結(jié)論,得到原命題的逆命題;(2)同時否定原命題的條件和結(jié)論,得到原命題的否命題;(3)交換原命題的條件和結(jié)論,并且同時否定,得到原命題的逆否命題.2.四種命題的真假關(guān)系若原命題為真,則它的逆命題、否命題不一定為真,但它的逆否命題一定為真;互為逆否命題的兩個命題的真假性相同.方法感悟3.在證明原命題為真命題有困難時,可以通過證明它的逆否命題為真命題來間接地證明原命題為真命題.精彩推薦典例展示因?qū)γ}的條件、結(jié)論否定不當(dāng)致誤命題:“a、b都是奇數(shù),則a＋b是偶數(shù)”的逆否命題是(

)A.a、b都不是奇數(shù),則a＋b是偶數(shù)B.a＋b是奇數(shù),則a、b都是偶數(shù)C.a＋b不是偶數(shù),則a、b都不是奇數(shù)D.a＋b不是偶數(shù),則a、b不都是奇數(shù)易錯警示例4【常見錯誤】該題易錯選為B,因原命題中對條件、結(jié)論否定不當(dāng),錯將逆否命題寫為:“a＋b是奇數(shù),則a、b都是偶數(shù)”.【解析】∵a、b都是奇數(shù)的否定為:a、b不都是奇數(shù),a＋b是偶數(shù)的否定為:a＋b不是偶數(shù).∴逆否命題為:若a＋b不是偶數(shù),則a、b不都是奇數(shù).【答案】

D【失誤防范】實際上在解答本類題時,關(guān)于條件或結(jié)論的正確否定是關(guān)鍵,要熟練掌握下列常見語句的否定方法:原詞語等于(＝)大于(>)小于(<)是都是至多有一個否定詞語不等于(≠)不大于(≤)不小于(≥)不是不都是至少有兩個原詞語至少有一個任意的能至多有n個否定詞語一個也沒有某一個(確定的)不能至少有(n＋1)個跟蹤訓(xùn)練4.判斷下列命題的真假,并寫出它們的逆命題、否命題、逆否命題,同時判斷這些命題的真假.(1)圓的內(nèi)接四邊形對角互補;(2)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac<0時,它的圖象與x軸有公共點.解:(1)該命題為真命題.原命題:若四邊形是圓的內(nèi)接四邊形,則四邊形的對角互補,為真命題.逆命題:若四邊形的對角互補,則該四邊形是圓的內(nèi)接四邊形,為真命題.否命題:若四邊形不是圓的內(nèi)接四邊形,則四邊形的對角不互補,為真命題.逆否命題:若四邊形的對角不互補,則該四邊形不是圓的內(nèi)接四邊形,為真命題.(2)該命題為假命題.∵當(dāng)b2－4ac<0時,二次方程ax2＋