數(shù)學(xué)推理在數(shù)學(xué)課程中的應(yīng)用

邏輯推理和小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)存在密切的聯(lián)系，數(shù)、形都是在數(shù)學(xué)實(shí)踐中抽象出來(lái)的概念，對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的表現(xiàn)形式十分簡(jiǎn)單，只是單純地將客觀事物的特點(diǎn)和空間形式體現(xiàn)出來(lái)，而數(shù)學(xué)推理依據(jù)的思維方向不同。所以，需要從不同角度分析數(shù)學(xué)推理的過(guò)程，通過(guò)最嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆绞綄?shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)推理在數(shù)學(xué)課程中的利用［1-2］?？傮w來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)推理體現(xiàn)在演繹推理和合情推理兩個(gè)角度。但是，其都是對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的追求，教師在開(kāi)展課程教學(xué)中，應(yīng)該格外重視對(duì)數(shù)學(xué)資源的整合，積極地優(yōu)化推理方法，開(kāi)展推理活動(dòng)，方可讓學(xué)生得到更多推理體驗(yàn)的機(jī)會(huì)，從而有效促進(jìn)數(shù)學(xué)邏輯思維的構(gòu)建，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)推理過(guò)程中養(yǎng)成習(xí)慣，實(shí)現(xiàn)推理能力與核心素養(yǎng)同步提升。一、數(shù)學(xué)推理的概念分析新課標(biāo)中對(duì)數(shù)學(xué)推理的內(nèi)容都作出了嚴(yán)格的歸納，主要是從演繹推理和合情推理兩個(gè)角度進(jìn)行分析。演繹推理也就是從已知的實(shí)際出發(fā)，實(shí)現(xiàn)對(duì)公理、定理、定義等內(nèi)容分析；而合情推理是在已有事實(shí)的基礎(chǔ)上根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)進(jìn)行結(jié)果推斷。許多研究認(rèn)為，合情推理能力涉及到的內(nèi)容十分廣泛，其中除了包括不完全歸納推理和類比推理，還有統(tǒng)計(jì)推斷，而統(tǒng)計(jì)推斷也就是在特定的情境下做出的一種合理推斷，但這種推斷不能夠偏離實(shí)際的情境，具體如下。（一）演繹推理演繹推理就是從具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題入手，將一般化的數(shù)學(xué)問(wèn)題逐漸發(fā)展為特殊的問(wèn)題進(jìn)行推理。演繹推理最早發(fā)展在古希臘時(shí)期，該推理現(xiàn)象引起了許多人的關(guān)注，類似的研究逐漸變多。比如，古希臘的思想家亞里士多德曾經(jīng)詳細(xì)分析了關(guān)于演繹推理的三段論，其編寫的《工具論》其實(shí)就是一部影響較大的邏輯學(xué)著作，該著作中體現(xiàn)較為深刻的就是傳統(tǒng)形式邏輯，這是邏輯思維發(fā)展的關(guān)鍵體現(xiàn)。而古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得對(duì)推理相關(guān)思想進(jìn)行了嚴(yán)密深刻的分析，并且在實(shí)踐中逐漸將這種推理引入數(shù)學(xué)研究中，而《幾何原本》就有效構(gòu)建了完善的推理知識(shí)體系，保證在推理的過(guò)程中將定理和公理當(dāng)作基礎(chǔ)，從而實(shí)現(xiàn)演繹形式的優(yōu)化。在16世紀(jì)后期，自然科學(xué)隨著社會(huì)的發(fā)展形式不斷變化，這個(gè)過(guò)程中萊布尼茨假想就逐漸將推理的過(guò)程變得“運(yùn)算化”，在運(yùn)算中得到理想的結(jié)論，所以將運(yùn)算化的推理命名為“通用的科學(xué)語(yǔ)言”［3-5］。在發(fā)展中受到當(dāng)時(shí)社會(huì)歷史條件的影響，導(dǎo)致各種假想無(wú)法實(shí)現(xiàn)。因此，在后期的研究中，布爾、弗雷格等在研究中逐漸將數(shù)學(xué)推理理解為獨(dú)立的學(xué)科，認(rèn)為演繹推理就是數(shù)理邏輯發(fā)展的基礎(chǔ)條件，并且該發(fā)展過(guò)程逐漸趨于現(xiàn)代化，能夠滿足數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的需求。在后期的發(fā)展中，相關(guān)人員通過(guò)對(duì)智力活動(dòng)的解剖，詳細(xì)將推理的種類劃分為演繹推理和歸納推理兩個(gè)方面。通常來(lái)說(shuō)，演繹這一分支就是從三段論出發(fā)，科學(xué)地實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的推理傳遞，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的判斷，其對(duì)知識(shí)進(jìn)行歸納總結(jié)的時(shí)候，可以利用類比和因果分析的方法。三段論的主要內(nèi)容包括兩個(gè)假設(shè)前提、真假未定前提，體現(xiàn)為大、小前提與未知定論，而演繹推理的主要形式就是三段論，這種方式對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力發(fā)展和發(fā)展水平提升具有積極的意義，數(shù)學(xué)邏輯在一定程度上能夠促進(jìn)科學(xué)技術(shù)深化發(fā)展。比如，圖靈機(jī)理論就為計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，定理證明等發(fā)展利用都是將數(shù)理邏輯作為基礎(chǔ)。（二）合情推理合情推理是數(shù)學(xué)推理的另一個(gè)角度，開(kāi)始階段人們十分重視對(duì)數(shù)學(xué)推理形式的討論。但是，這種推理方式不能夠完全和單純的邏輯推理等同，其一般被賦予了十分深刻的內(nèi)涵。早在19世紀(jì)，龐加萊等針對(duì)“數(shù)學(xué)推理的本性”進(jìn)行詳細(xì)分析，根據(jù)自身對(duì)于數(shù)學(xué)的理解，勇敢提出了自己對(duì)于數(shù)學(xué)三段論的質(zhì)疑，從而在后期的發(fā)展中逐漸促進(jìn)推理過(guò)程的深入，認(rèn)為多數(shù)的數(shù)學(xué)推理與演繹推理的情況具有顯著的區(qū)別，其中除了演繹推理的成分也包含有歸納推理的成分，這種推理的過(guò)程體現(xiàn)了創(chuàng)造性特點(diǎn)，這個(gè)過(guò)程始終具有絕對(duì)嚴(yán)格的特征［6-7］。在20世紀(jì)50年代，數(shù)學(xué)家和教育家就編寫了《數(shù)學(xué)與猜想》的著作，首次將合情推理的概念提出，然后對(duì)其系統(tǒng)研究發(fā)展奠定良好的理論基礎(chǔ)。歐幾里也提出了自己的想法，他對(duì)于數(shù)學(xué)的理解就是演繹的科學(xué)。通過(guò)分析數(shù)學(xué)發(fā)展的形成過(guò)程，能夠發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的發(fā)展具有實(shí)驗(yàn)性質(zhì)。所以，近年來(lái)關(guān)于合情推理的研究和實(shí)驗(yàn)實(shí)踐從未停止，一些數(shù)學(xué)教育家、心理學(xué)家等對(duì)數(shù)學(xué)推理過(guò)程進(jìn)行全面分析，認(rèn)為分析性推理中演繹邏輯推理也發(fā)揮著十分關(guān)鍵的作用，而創(chuàng)造性推理比較重視對(duì)演繹過(guò)程的猜想，其中實(shí)踐性推理都將歸納的過(guò)程融入到特定的問(wèn)題情境中，然后通過(guò)合理的推測(cè)實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力培養(yǎng)。二、數(shù)學(xué)推理在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的應(yīng)用（一）合情推理和演繹推理融合發(fā)展在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了促進(jìn)學(xué)生對(duì)于推理相關(guān)知識(shí)的理解，提升學(xué)生推理能力，就要從不同角度分析數(shù)學(xué)推理，科學(xué)有效地在合情推理發(fā)展中融入演繹推理。因?yàn)樾W(xué)生的思維能力不高，認(rèn)知發(fā)展水平不高，所以演繹推理的開(kāi)展就變得更加困難，此時(shí)應(yīng)該重視推理歸納的過(guò)程，優(yōu)化推理的方式。在實(shí)際推理實(shí)踐中推理實(shí)踐所得出的結(jié)論和性質(zhì)，都需要讓學(xué)生認(rèn)同和驗(yàn)證。為了驗(yàn)證推理結(jié)論的正確性，就要在數(shù)學(xué)知識(shí)實(shí)踐中運(yùn)用各種方法，有利于促進(jìn)學(xué)生的思維能力提升。枚舉歸納是一種數(shù)學(xué)知識(shí)分析的有效方式，該方式能夠更加有效地揭示數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部的實(shí)質(zhì)，分析數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部的因果關(guān)系和本質(zhì)，讓學(xué)生更加清晰地掌握知識(shí)內(nèi)部的認(rèn)知特點(diǎn)，能夠嘗試更多科學(xué)歸納推理的方式。這就要求教師在教學(xué)的過(guò)程中重視提升學(xué)生的推理能力，讓學(xué)生在對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行解決的時(shí)候，可以同步利用合情推理與演繹推理兩種方式，使各種推理過(guò)程變得更加科學(xué)，讓學(xué)生在融合推理過(guò)程中掌握各種數(shù)學(xué)知識(shí)，促進(jìn)學(xué)生的邏輯水平提升［8-9］。比如，在講解《加法運(yùn)算定律》相關(guān)知識(shí)的時(shí)候，許多教師都會(huì)讓學(xué)生通過(guò)計(jì)算方法的利用達(dá)到計(jì)算的目的，讓學(xué)生通過(guò)觀察總結(jié)得出相關(guān)的結(jié)論：“兩個(gè)加數(shù)交換位置，和不變”，然后讓學(xué)生利用推理對(duì)這個(gè)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。如果教師通過(guò)零散的例子列舉讓學(xué)生在頭腦中理解事實(shí)，必然會(huì)無(wú)法深刻將命題的本質(zhì)揭示出來(lái)，這種學(xué)習(xí)的方式從根本上講就是一種機(jī)械的學(xué)習(xí)，所以需要通過(guò)一些案例的列舉進(jìn)行改進(jìn)。教師在授課的時(shí)候，可以在課桌上擺放兩種顏色的球，其中包括三個(gè)黑球和五個(gè)白球（如圖1），此時(shí)教師就要引導(dǎo)學(xué)生利用推理能力解決問(wèn)題。教師：“如下圖所示，從我的角度看圖形數(shù)量為5＋3，從你們的角度看到的與我的角度看到的一致嗎？”此時(shí)學(xué)生：“從我的角度看到的是3＋5。”這種實(shí)踐教學(xué)方式的利用，學(xué)生能夠理解5＋3和3＋5這兩個(gè)角度之間對(duì)物體推算方法的差異性，雖然算法不同，但得到的結(jié)果是相同的。如此可以讓學(xué)生深刻掌握數(shù)學(xué)運(yùn)算方法的本質(zhì)，掌握數(shù)學(xué)推理的根本原理，激發(fā)學(xué)生的邏輯思維能力，讓學(xué)生運(yùn)用推理能力解決問(wèn)題。圖1教師擺放球的位置（二）通過(guò)引導(dǎo)分析整合信息在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，任何推理都包括推理內(nèi)容和推理形式，具體而言，脫離具體內(nèi)容的推理并不存在。所以，只有加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，方能夠保證推理活動(dòng)的有序開(kāi)展，將學(xué)生的推理能力培養(yǎng)作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的前提。整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程中，為了讓學(xué)生能夠正確地理解數(shù)學(xué)信息，教師要盡量利用直觀的方式開(kāi)展操作活動(dòng)，讓學(xué)生能夠正確地理解數(shù)學(xué)信息。比如，在《圓的面積》相關(guān)內(nèi)容教學(xué)的時(shí)候，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行公式的推導(dǎo)，讓學(xué)生深刻理解圓形面積的計(jì)算過(guò)程，此時(shí)教師要帶領(lǐng)學(xué)生完成操作活動(dòng)，把圓平均分為若干個(gè)近似的長(zhǎng)方形后，然后觀察變化過(guò)程。教師提問(wèn)：“兩個(gè)圖形的面積是否相等？近似的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬和圓存在何種關(guān)系，具體的圓的面積應(yīng)該如何計(jì)算？”學(xué)生在觀察以后，能夠明白這兩個(gè)圖形的面積是相等的。但其形狀是截然不同的，從而理解圓的性質(zhì)，明白長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就是圓周長(zhǎng)一半，長(zhǎng)方形的寬就是圓的半徑，如此可以推理出圓的面積。比如，在《數(shù)列》相關(guān)知識(shí)講解的時(shí)候，要想讓學(xué)生掌握數(shù)列的填數(shù)規(guī)律：17，19，21，23，（），（），就要為學(xué)生樹(shù)立數(shù)列思維，在教學(xué)的過(guò)程中積極引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)列的特點(diǎn)，整合數(shù)列的排列規(guī)律，只有掌握數(shù)字排列規(guī)律，合理推理，方可得到正確的推理結(jié)果，讓學(xué)生掌握知識(shí)點(diǎn)，促進(jìn)推理教學(xué)的有序進(jìn)行。（三）在推理方法傳授中塑造推理品質(zhì)數(shù)學(xué)推理是一項(xiàng)邏輯思維較強(qiáng)的操控活動(dòng)，所以教師在實(shí)際的操控過(guò)程中，應(yīng)該積極地優(yōu)化操作方法，加強(qiáng)多種操作方式和演繹方式的利用，為學(xué)生提供足夠的數(shù)學(xué)推理機(jī)會(huì)。教師在推理教學(xué)的過(guò)程中，應(yīng)該加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的指導(dǎo)，讓學(xué)生理解操作方法和操作技巧，從而自行完成推理操作，如此方可建立推理品質(zhì)，塑造推理精神，讓學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程變得更加深刻。數(shù)學(xué)學(xué)科具有邏輯性和抽象性較強(qiáng)的特點(diǎn)。因此，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該更加直觀靈動(dòng)，教師要充分考慮小學(xué)生的思維特點(diǎn)，從教學(xué)實(shí)際出發(fā)，加強(qiáng)教學(xué)引導(dǎo)，在傳授學(xué)生推理方法的時(shí)候，應(yīng)該合理總結(jié)生活現(xiàn)象和生活經(jīng)驗(yàn)，為學(xué)生數(shù)學(xué)推理教學(xué)開(kāi)展奠定基礎(chǔ)，降低數(shù)學(xué)推理的學(xué)習(xí)難度。比如，在開(kāi)展《小數(shù)的加、減法》相關(guān)教學(xué)的時(shí)候［10］，教師要重視對(duì)學(xué)生推理品質(zhì)的塑造，做好整數(shù)的加減和乘除運(yùn)算，有效構(gòu)建全新的知識(shí)體系，消除數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的陌生感。由此，可以為學(xué)生創(chuàng)設(shè)“超市購(gòu)物”的教學(xué)情景，讓學(xué)生在“超市購(gòu)物”中學(xué)會(huì)小數(shù)加、減算式，從而理解小數(shù)點(diǎn)的特殊含義，明白1.5元＋5.1元就是1元5角＋5元1角；讓學(xué)生在實(shí)際的場(chǎng)景中，完成數(shù)學(xué)推理，學(xué)會(huì)小數(shù)加、減法的運(yùn)算相關(guān)知識(shí)。教師在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)小數(shù)加、減法運(yùn)算的時(shí)候，應(yīng)該利用“對(duì)齊數(shù)位”的基本原則，推理出小數(shù)加減法計(jì)算的方法，實(shí)現(xiàn)學(xué)生的核心素養(yǎng)培養(yǎng)，讓學(xué)生可以自覺(jué)地將推理知識(shí)利用在數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決中，在推理嘗試中實(shí)現(xiàn)推理品質(zhì)的塑造。教師在學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中，既要遵循學(xué)生推理學(xué)習(xí)的自主性，也