中考數(shù)學解題技巧 79倍半角模型

倍半角模型知識精講一、二倍角模型處理方法1. 作二倍角的平分線，構(gòu)成等腰三角形.例：如圖，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，作∠ABC的平分線交AC于點D，則∠DBC＝∠C，DB＝DC，即△DBC是等腰三角形.2. 延長二倍角的一邊，使其等于二倍角的另一邊，構(gòu)成兩個等腰三角形.例：如圖，在△ABC中，∠B＝2∠C，延長CB到點D，使得BD＝AB，連接AD，則△ABD、△ADC都是等腰三角形.例題：如圖，在△ABC中，∠C＝2∠A，AC＝2BC，求證：∠B＝90o.【解答】見解析【證法一】如圖1，作∠C的平分線CE交AB于點E，過點E作ED⊥AC于點D.則∠ACE＝∠A，AE＝CE，∵AE＝EC，ED⊥AC，∴CD＝AC，又∵AC＝2BC，∴CD＝CB，∴△CDE≌△CBE，∴∠B＝∠CDE＝90o；【證法二】如圖2，延長AC到點D，使得CD＝CB，連接BD，取AC的中點E，連接BE.由題意可得EC＝CD＝BC，∠DBE＝90o，∵CD＝CB，∠D＝∠CBD，∴∠ACB＝2∠D，∵∠ACB＝2∠A，∠A＝∠D，∴AB＝BD，又∵AE＝DC，∴△ABE≌△DBC，∴∠ABE＝∠DBC，∴∠ABC＝∠EBD＝90o.【證法三】如圖3，作∠C的平分線CD，延長CB到點E，使得CE＝AC，∴AC＝BC＋BE.∵AC＝2BC，∴BC＝BE，在△ACD與△ECD中，AC＝EC，∠ACD＝∠ECD，CD＝CD，∴△ACD≌△ECD，∴∠A＝∠E，又∵∠DCB＝∠DCA＝∠A，∴∠E＝∠DCB，∴DC＝DE，∴∠ABC＝90o.二、倍半角綜合1. 由“倍”造“半”已知倍角求半角，將倍角所在的直角三角形相應(yīng)的直角邊順勢延長即可.如圖，若，則（）2. 由“半”造“倍” 已知半角求倍角，將半角所在的直角三角形相應(yīng)的直角邊截取線段即可. 如圖，在Rt△ABC（∠A＜45o）的直角邊AC上取點D，當BD＝AD時，則∠BDC＝2∠A，設(shè)，則，在Rt△BCD中，由勾股定理可得，解得，故有.三、一些特殊的角度1. 由特殊角30o求tan15o的值 如圖，先構(gòu)造一個含有30o角的直角三角形，設(shè)BC＝1，，AB＝2，再延長CA至D，使得AD＝AB＝2，連接BD，構(gòu)造等腰△ABD，則∠D＝∠BAC＝15o，.2. 由特殊角45o求tan22.5o的值 由圖可得，.3. “345”三角形（1）如圖1，Rt△ABC三邊比為3:4:5，Rt△BCD三邊比為，若，則；（2）如圖2，Rt△ABC三邊比為3:4:5，Rt△BCD三邊比為，若，則；（3）如圖3，Rt△ABC三邊比為3:4:5，Rt△BCD三邊比為，若，則.倍半角模型鞏固練習（提優(yōu)）1. 如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在BC、AB上，且∠FDE＝45o，連接DE、DF、EF，試探究EF、AF、CE之間的數(shù)量關(guān)系.【解答】EF＝AF＋CE，證明見解析【解析】如圖，將△DCE繞著點D順時針旋轉(zhuǎn)90o得到△DGA.∵∠EDC＋∠ADF＋∠FDE＝90o，∠FDE＝45o，∴∠EDC＋∠ADF＝45o，又∵旋轉(zhuǎn)，∴DE＝DG，∠GDA＝∠EDC，∴∠GDA＋∠ADF＝∠GDF＝∠FDE＝45o，在△DGF與△DEF中，DF＝DF，∠GDF＝∠EDF，DG＝DE，∴△DGF≌△DEF，∴EF＝GF＝GA＋AF，∵旋轉(zhuǎn)，∴GA＝CE，∴EF＝AF＋CE.2. 如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90o，點D在CB的延長線上，連接AD，EA⊥AD，∠ACE＝∠ABD.（1）求證：AD＝AE；（2）點F為CD的中點，AF的延長線交BE于點G，求∠AGE的度數(shù).【解答】（1）見解析；（2）∠AGE＝90o【解析】（1）證明：∵EA⊥AD，∴∠DAE＝∠90o，∴∠DAB＋∠BAE＝90o，∵∠BAC＝90o，∴∠CAE＋∠BAE＝90o，∴∠DAB＝∠CAE，∵∠ACE＝∠ABD，AB＝AC，∴△ADB≌△ACE，∴AD＝AE；（2）如圖，延長AG至點H，使得FH＝FA.∵點F為CD的中點，∴DF＝CF，∵∠DFH＝∠CFA，∴△DFH≌△CFA，∴DH＝AC，∠H＝∠CAF，∴DH∥AC，∴∠ADH＋∠DAC＝180o，∵∠BAE＋∠DAC＝∠BAE＋∠DAE＋∠EAC＝90o＋90o＝180o，∴∠ADH＝∠BAE，∵AB＝AC，∴DH＝AB，∵AD＝AE，∴△ADH≌△EAB，∴∠DAH＝∠AEB，∵∠DAH＋∠GAE＝90o，∴∠AEB＋∠GAE＝90o，∴∠AGE＝180o－（∠AEB＋∠GAE）＝180o－90o＝90o.3. 如圖，在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于點E，CE＝CD，點F為CE的中點，點G為CD上的一點，連接DF、EG、AG，∠1＝∠2.（1）若CF＝2，AE＝3，求BE的長；（2）求證：∠CEG＝∠AGE.【解答】（1）；（2）見解析【解析】（1）∵CE＝CD，點F是CE的中點，CF＝2，∴DC＝CE＝2CF＝4，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD＝4，∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90o，在Rt△ABE中，由勾股定理可得；（2）如圖，過點G作GM⊥AE于點M.∵AE⊥BC，GM⊥AE，∴GM∥BC∥AD，在△DCF與△ECG中，∵，∴△DCF≌△ECG，∴CG＝CF，CE＝CD，∵CE＝2CF，∴CD＝2CG，即點G是CD的中點，∵AD∥GM∥BC，∴M為AE的中點，∴AM＝EM，∵GM⊥AE，∴AG＝EG，∴∠AGM＝∠EGM，∴∠AGE＝2∠MGE，∵GM∥BC，∴∠EGM＝∠CEG，∴∠CEG＝∠AGE.4. 如圖，在正方形ABCD中，E為AD邊上的中點，過點A作AF⊥BE交CD邊于點F，M是AD邊上一點，且BM＝DM＋CD.（1）求證：點F是CD邊上的中點；（2）求證：∠MBC＝2∠ABE.【解答】（1）見解析；（2）見解析【解析】（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝DC＝AB＝BC，∠C＝∠D＝∠BAD＝90o，AB∥CD，∵AF⊥BE，∴∠AOE＝90o，∴∠EAF＋∠AEB＝90o，∠EAF＋∠BAF＝90o，∴∠AEB＝∠BAF，∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠AFD，∴∠AEB＝∠AFD，∵∠BAD＝∠D，AB＝AD，∴△BAE≌△ADF，∴AE＝DF，∵點E是邊AD的中點，∴點F是CD邊上的中點；（2）延長AD至點G，使得MG＝MB，連接FG、FB，如圖所示：∵BM＝DM＋CD，∴DG＝DC＝BC，∵∠GDF＝∠C＝90o，DF＝CF，∴△FDG≌△FCB，∴∠DFG＝∠CFB，∴點B、F、G共線，∵點E為AD邊上的中點，點F是CD邊上的中點，AD＝CD，∴AE＝CF，∵AB＝BC，∠C＝∠BAD＝90o，AE＝CF，∴△ABE≌△CBF，∴∠ABE＝∠CBF，∵AG∥BC，∴∠AGB＝∠CBF＝∠ABE，∴∠MBC＝∠AMB＝2∠AGB＝2∠GBC＝2∠ABE，∴∠MBC＝2∠ABE.5. 如圖，在矩形ABCD中，F(xiàn)是DC上一點，AE平分∠BAF交BC于點E，且DE⊥AF，垂足為點M，BE＝3，，求MF的長.【解答】MF＝【解析】【方法一】∵AE平分∠BAF交BC于點E，且DE⊥AF，∠B＝90o，∴AB＝AM，BE＝EM＝3，又∵，∴，設(shè)，在△ADM與△DFM中，又∵△DMF∽△DCE，，即，，解得；【方法二】如圖，在AB上取點N并使得∠AEN＝∠EAN，連接EN，由題意可得AN＝NE，且∠BNE＝2∠BAE，∵BE＝3，，∴，設(shè)，則，在Rt△EBN中，由勾股定理得，解得，，，由和得DM＝1，由和DM＝1得MF＝.6. 如圖，在△ABC中，∠ACB＝90o，D是AB邊上的一點，M是CD的中點，若∠AMD＝∠BMD.求證：∠CDA＝2∠ACD.【解答】見解析【解析】證明：過點A作AG∥DC交BM延長線于點H交BC的延長線于點G，連接HC，如圖所示：由題意可得∠BMD＝∠AHB，∠AMD＝∠HAM，∠HAC＝∠ACD，即，∵CM＝DM，∴HG＝AH，即點H是AG的中點，∵AC⊥BC，∴，∴∠HCA＝∠HAC＝∠ACD，∴∠HCM＝∠HCA＋∠ACD＝∠ACD＋∠ACD＝2∠ACD，∵∠HAM＝∠AMD，∠AMD＝∠BMD，∠BMD＝∠AHB，∠BMD＝∠HMC，∴HM＝AM，∵MD＝MC，∠AMD＝∠HMC，AM＝HM，∴△AMD≌△HMC，∴∠ADM＝∠HCM＝2∠ACD.7. 如圖1：在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝ADC＝90°，E、F分別是BC，CD上的點，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學探究此問題的方法是：延長FD到點G，使DG＝BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，即可得出BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系，他的結(jié)論應(yīng)是．象上面這樣有公共頂點，銳角等于較大角的一半，且組成這個較大角的兩邊相等的幾何模型稱為半角模型．拓展如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是BC，CD上的點，且∠EAF=12∠BAD，則BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系是請證明你的結(jié)論．實際應(yīng)用如圖3，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，且兩艦艇到指揮中心的距離相等接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里小時的速度前進，1.2小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時兩艦艇之間的距離是海里（直接寫出答案）．【解答】見解析【解析】如圖1，EF＝BE+DF，理由如下：在△ABE和△ADG中，AB=AD∠B=∠ADG∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF=12∠∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，AE=AG∠EAF=∠GAF∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案為EF＝BE+DF；如圖2，EF＝BE+DF，理由：延長FD到點G．使DG＝BE．連結(jié)AG，在△ABE和△ADG中，BE=DG∠B=∠ADG∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF=12∠∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，A