專題6.2 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和【十大題型】（舉一反三）（新高考專用）（解析版）2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

第第頁(yè)專題6.2等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和【十大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1等比數(shù)列的基本量計(jì)算】 2【題型2等比中項(xiàng)及其應(yīng)用】 4【題型3等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用】 5【題型4等比數(shù)列的判定與證明】 7【題型5等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求解】 9【題型6等比數(shù)列中的單調(diào)性與最值問題】 11【題型7等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)】 14【題型8等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的求解】 16【題型9等比數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用】 18【題型10等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用】 201、等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和等比數(shù)列是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，屬于高考的?？純?nèi)容之一.從近幾年的高考情況來(lái)看，等比數(shù)列的基本量計(jì)算和基本性質(zhì)、等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)、判定是高考考查的熱點(diǎn)，主要以選擇題、填空題的形式考查，難度較易；等比數(shù)列的證明、求和及綜合應(yīng)用是高考考查的重點(diǎn)，一般出現(xiàn)在解答題中，難度偏難；高考中數(shù)列內(nèi)容一般設(shè)置一道選擇題和一道解答題，需要靈活求解.【知識(shí)點(diǎn)1等比數(shù)列的基本運(yùn)算的解題策略】1.等比數(shù)列基本量的運(yùn)算的求解思路：等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題，等比數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過(guò)列方程（組）便可迎刃而解.【知識(shí)點(diǎn)2等比數(shù)列的判定方法】1.證明數(shù)列是等比數(shù)列的主要方法：(1)定義法：（常數(shù)）為等比數(shù)列；(2)中項(xiàng)法：為等比數(shù)列；(3)通項(xiàng)公式法：（k，q為常數(shù)）為等比數(shù)列；證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項(xiàng)法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可.2.在利用遞推關(guān)系判定等比數(shù)列時(shí)，要注意對(duì)n=1的情形進(jìn)行驗(yàn)證.【知識(shí)點(diǎn)3等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用】1.等比數(shù)列的性質(zhì)：等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：一是通項(xiàng)公式的變形；二是等比中項(xiàng)的變形；三是前n項(xiàng)和公式的變形.根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口.2.等比數(shù)列的單調(diào)性與最值問題涉及等比數(shù)列的單調(diào)性與最值的問題，一般要考慮公比與首項(xiàng)的符號(hào)對(duì)其的影響.【知識(shí)點(diǎn)4等比數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)特征】1.Sn與q的關(guān)系(1)當(dāng)公比q≠1時(shí)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是，它可以變形為,設(shè)，則上式可以寫成的形式，由此可見，數(shù)列{Sn}的圖象是函數(shù)圖象上的一群孤立的點(diǎn)；(2)當(dāng)公比q=1時(shí)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是，則數(shù)列{Sn}的圖象是函數(shù)圖象上的一群孤立的點(diǎn).2.Sn與an的關(guān)系當(dāng)公比q≠1時(shí)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是，它可以變形為,設(shè)，則上式可以寫成的形式，則Sn是an的一次函數(shù).【題型1\t"/gzsx/zj165996/_blank"\o"等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算"等比數(shù)列的基本量計(jì)算】【例1】（2023·河北·石家莊一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在遞增的等比數(shù)列an中，若a3?a1=52，a2=3，則公比q=（

）A．43 B．32 C．2 【解題思路】結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入計(jì)算即可.【解答過(guò)程】由題得a2=a1q=3，a故選:B.【變式1-1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列an滿足2a2a5=aA．12 B．32 C．2 【解題思路】設(shè)出等比數(shù)列的公比q，利用2a2a5=a3【解答過(guò)程】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q由2a2a解得q=1又log====10得a1故選：A.【變式1-2】（2023·云南·云南師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知an為遞增的等比數(shù)列，且滿足a3=4，1a1A．12 B．1 C．16 【解題思路】首先化簡(jiǎn)等式，并結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)求得a1,a【解答過(guò)程】由題意，a1聯(lián)立a1a5=16因?yàn)閧an}設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為∴a故選：C.【變式1-3】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S4=15，Sn+1A．22022?1 B．22023 C．2【解題思路】由S4=15，Sn+1=2Sn+1求出S3和S5【解答過(guò)程】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q由Sn+1=2Sn+1由Sn+1=2Sn+1得S4=2所以q=a5a4=故選：C.【題型2等比中項(xiàng)及其應(yīng)用】【例2】（2023·山東臨沂·模擬預(yù)測(cè)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a5=9A．2 B．3 C．4 D．9【解題思路】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合等比中項(xiàng)求解即可.【解答過(guò)程】由題意得log3a4故log3故選：C.【變式2-1】（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·文昌中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列an，若a3a5=64,A．16 B．32 C．48 D．64【解題思路】根據(jù)等比中項(xiàng)，先求出a4，然后根據(jù)a5【解答過(guò)程】根據(jù)等比中項(xiàng)，a3又an是正項(xiàng)數(shù)列，故a設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由a即a4q+2a故a故選：B.【變式2-2】（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考二模）已知公差不為零的等差數(shù)列an滿足：a2+a7=aA．2023 B．?2023 C．0 D．1【解題思路】根據(jù)條件列出關(guān)于等差數(shù)列基本量的方程組，即可求解.【解答過(guò)程】設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為則a2+a因?yàn)閍2,a4,因?yàn)閐≠0，所以d=1，所以a2023故選：A.【變式2-3】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列an滿足an+12=anan+2,A．32 B．64 C．128 D．256【解題思路】判斷an為等比數(shù)列并求an的公比,再化簡(jiǎn)am【解答過(guò)程】因?yàn)閍n+12=anan+2因?yàn)閍9=a8+2a7所以am因?yàn)?m所以m+n=1當(dāng)且僅當(dāng)n=2,m=6時(shí)等號(hào)成立，所以am故選：B.【題型3等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用】【例3】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an滿足對(duì)任意的正整數(shù)m，n都有am+n=amanA．18 B．24 C．22【解題思路】對(duì)于am+n=aman，取m=1，得到數(shù)列an是首項(xiàng)為a【解答過(guò)程】解法一

對(duì)于am+n=ama所以數(shù)列an是首項(xiàng)為a1，公比為所以an=a1n所以a3解法二

對(duì)于am+n=aman，取所以a3=22故選：B．【變式3-1】（2023·四川巴中·南江中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在等比數(shù)列an中，a1+a3=2，A．3 B．6 C．9 D．18【解題思路】已知條件作商可求得q2【解答過(guò)程】因?yàn)閍1+a3=2，a5+故選：B.【變式3-2】（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考二模）設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)之積為Sn，若S3=1，S9=512，則A．2 B．4 C．8 D．16【解題思路】根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可得a2=1，a5【解答過(guò)程】因?yàn)镾3=1，S9=512，所以解得a2=1，則q3=a故選：C.【變式3-3】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)積為Mn，且M2024=3M2019，若A．15 B．25 C．35【解題思路】根據(jù)題意可得a2020a2021【解答過(guò)程】∵M(jìn)2024=3M∴a2020a2021∴a20225=3∴b1023故選：B．【題型4等比數(shù)列的判定與證明】【例4】（2023·廣西南寧·南寧三中?？寄M預(yù)測(cè)）在數(shù)列an中，a1=1．若命題p:an+1+an=A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要【解題思路】根據(jù)充分性和必要性分別考慮即可.【解答過(guò)程】充分性：若p:an+1+則數(shù)列an?2n是以a1?2必要性：若q:an?2n則t為不為0的常數(shù)，故q不能推出p,必要性不成立，所以p是q的充分不必要條件.故選：A.【變式4-1】（2023·吉林·統(tǒng)考二模）已知an是等比數(shù)列，下列數(shù)列一定是等比數(shù)列的是（

A．{kan}（k∈R） B．a(chǎn)n+a【解題思路】主要分析數(shù)列中的項(xiàng)是否可能為0，如果可能為0，則不能構(gòu)成等比數(shù)列，當(dāng)不為0時(shí)，根據(jù)等比數(shù)列的定義確定.【解答過(guò)程】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q當(dāng)k=0時(shí)，kan=0當(dāng)q=?1時(shí)，an+a當(dāng)an=?1時(shí)，an因?yàn)閍n+1數(shù)列an故選：D.【變式4-2】（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列an的首項(xiàng)為3，且滿足a(1)求證：an(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式，并判斷數(shù)列a【解題思路】（1）化簡(jiǎn)變形為an+1（2）由a2【解答過(guò)程】（1）由an+1+a得an+1?2所以{an?2n（2）由（1）得an?2所以a所以數(shù)列{a【變式4-3】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，(1)證明：數(shù)列an+1是等比數(shù)列，并求(2)若bn=nn+1Sn+n+2【解題思路】（1）由題可求得2a1?S1=1，根據(jù)2an?（2）由（1）求得bn【解答過(guò)程】（1）由題設(shè)a1=1，得因?yàn)?a所以2a所以2a②－①，得2an+1?2所以an+1+1=2an+1所以數(shù)列an所以an+1=2（2）由（1）知，Sn所以bn解法一

bn+1?bn=當(dāng)n=1時(shí)，bn+1?bn>0，即b1<當(dāng)n≥3時(shí)，bn+1?bn<0，即b所以數(shù)列bn的最大項(xiàng)為b2=解法二

bn+1bn令bn+1bn>1，解得n<2；令bn+1bn因?yàn)閎n>0，所以b1所以數(shù)列bn的最大項(xiàng)為b2=【題型5等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求解】【例5】（2023·四川南充·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列an是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，公比q>0，且a4是6a(1)求an(2)設(shè)數(shù)列bn滿足bn=1log【解題思路】（1）根據(jù)已知條件得到2a4=6a2+a（2）利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【解答過(guò)程】（1）∵數(shù)列an是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，a4是6a∴2a4=6∵a1=2，∴2q2?q?6=0，解得q=2∴an（2）∵bn∴T2023∴bn的前2023項(xiàng)和T【變式5-1】（2023·四川南充·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列an是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列,且a4是6a(1)求an(2)若數(shù)列an的公比q>0,設(shè)數(shù)列bn滿足bn=1【解題思路】(1)設(shè)數(shù)列an的公比為qq≠0,根據(jù)題意得2a4=6(2)根據(jù)題意得an=2【解答過(guò)程】（1）設(shè)數(shù)列an的公比為qq≠0∵a4是6a2和a3的等差中項(xiàng),∴2a4=6a2∴當(dāng)q=2時(shí),a當(dāng)q=?32（2）∵q>0,由(1)知an=∴∴故bn的前2023項(xiàng)和T2023【變式5-2】（2023·廣東潮州·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列an滿足a1=3(1)證明數(shù)列l(wèi)nan?1(2)若bn=1an+1an【解題思路】（1）根據(jù)遞推公式證明lna（2）由an+1=an2?2an+2，得an+1?2=【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閍n+1=a則lna又lna所以數(shù)列l(wèi)nan?1是以ln則lna所以an（2）由an+1=a則1a所以1a所以bn所以S==2因?yàn)?22n所以Sn【變式5-3】（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）在等比數(shù)列an中，a7=8a4，且1(1)求an(2)設(shè)bn=?1nlog2an，數(shù)列bn【解題思路】（1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合等差中項(xiàng)的意義求出公比及首項(xiàng)作答.（2）由（1）的結(jié)論求出bn【解答過(guò)程】（1）設(shè)an的公比為q，由a7=8a4由12a2，a3?4，a4?12所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式是a（2）由（1）知，bn=?1當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，Tk=(b1+當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，Tk=Tk+1?所以k=40或37.【題型6等比數(shù)列中的單調(diào)性與最值問題】【例6】（2023·上海閔行·上海市七寶中學(xué)?？级＃┮阎獢?shù)列an為等比數(shù)列，首項(xiàng)a1>0，公比q∈A．?dāng)?shù)列an的最大項(xiàng)為a1 B．?dāng)?shù)列aC．?dāng)?shù)列anan+1為嚴(yán)格遞增數(shù)列 【解題思路】分別在n為偶數(shù)和n為奇數(shù)的情況下，根據(jù)項(xiàng)的正負(fù)和an+2?an的正負(fù)得到最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，知AB正誤；利用【解答過(guò)程】對(duì)于A，由題意知：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an>0，an+2綜上所述：數(shù)列an的最大項(xiàng)為a對(duì)于B，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an<0，an+2當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an綜上所述：數(shù)列an的最小項(xiàng)為a對(duì)于C，∵ana∴a∵?1<q<0，∴q2?1<0∴數(shù)列an對(duì)于D，∵a2n?1+∴a∵?1<q<0，∴1+q>0，q2?1<0，又∴a2n+1+a2n+2故選：D.【變式6-1】（2023·四川自貢·統(tǒng)考三模）等比數(shù)列an公比為qq≠1，若Tn=a1a2aA．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分又不必要條件【解題思路】由等比數(shù)列及已知，要Tn為遞增數(shù)列只需a1qn?1>1在n≥2上恒成立，討論q<0、0<q<1【解答過(guò)程】由題設(shè)TnTn?1=an=a1當(dāng)q<0，不論a1取何值，總存在a當(dāng)0<q<1，a1<0，則a1>0，總存在當(dāng)q>1，a1<0，則0<a1<1，若a1=13a1≥1，則a1所以Tn為遞增數(shù)列有a1≥1所以，“數(shù)列Tn為遞增數(shù)列”是“a1>0故選：B.【變式6-2】（2023·上海青浦·統(tǒng)考一模）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，其前n項(xiàng)之積為Tn，并且滿足條件：a1>1，a2019a2020>1，a2019?1aA．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④【解題思路】由題意可得a2019>1，【解答過(guò)程】∵a1>1，a∴a2019>1∴0<q<1，故①正確；a2019a2021∵a2020<1，∴T4039=a∴使Tn>1成立的最大自然數(shù)等于∴正確結(jié)論的序號(hào)是①③．故選：B．【變式6-3】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，其前n項(xiàng)和為Sn，前n項(xiàng)積為Tn，且滿足條件a1>1，aA．0<q<1 B．SC．T2020是數(shù)列Tn中的最大項(xiàng) 【解題思路】根據(jù)題意，分析可得a2020>1，a2021<1，從而有a1【解答過(guò)程】等比數(shù)列{an}的公比為q，若a由a1>1，可得q>0，則數(shù)列若(a2020?1)(a2021?1)<0，當(dāng)q≥1時(shí)，由a1>1則an因?yàn)?<a2021<1，所以S根據(jù)a1>a2>…>a2020由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a1a所以T4041=a故選：D．【題型7等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)】【例7】（2023·浙江·統(tǒng)考一模）已知Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且S2=3，S6A．11 B．13 C．15 D．17【解題思路】由Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和得S2【解答過(guò)程】因?yàn)閍n是等比數(shù)列，Sn是等比數(shù)列an所以S2,S所以(S又因?yàn)镾6=5S所以(S4?3)2=3(5S4因?yàn)镾4所以S4故選：C．【變式7-1】（2022·貴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列an中，a1=1，anan+1=A．3 B．4 C．5 D．6【解題思路】由題知當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an=2n+12?1；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an=2n2，前n【解答過(guò)程】解：由題意得a1a2=2，a2所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an=2n+12設(shè)an的前n項(xiàng)和為Sn，則S2k若m為奇數(shù)，則am+am+1+?+當(dāng)m為偶數(shù)，則a=2m2+4+2?3故選：B.【變式7-2】（2023·陜西榆林·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S4S8A．41 B．45 C．36 D．43【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可得S4,S【解答過(guò)程】設(shè)S4=xx≠0因?yàn)閍n可得S4因?yàn)镾8?S所以S12=43x，故故選：D.【變式7-3】（2023·江西贛州·統(tǒng)考一模）若等比數(shù)列an的公比為q，其前n項(xiàng)和為Sn，前n項(xiàng)積為Tn，并且0<A．q>1 B．0<C．Sn的最大值為S8 D．T【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列定義以及0<a9<1<a8可得q∈0,1且a1>1，即AB均錯(cuò)誤，再由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)性質(zhì)可知【解答過(guò)程】由0<a9<1<又a8=a1q由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式可知Sn=a即Sn設(shè)Tn為數(shù)列an前n項(xiàng)積的最大值，則需滿足Tn又0<a9<1<a8可得n=8故選：D.【題型8\t"/gzsx/zj165996/_blank"\o"求等差數(shù)列中的最大（小）項(xiàng)"等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的求解】【例8】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且公比大于1．若S2=4,28SA．28 B．21 C．7 D．7或28【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)和前n項(xiàng)和公式求解.【解答過(guò)程】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q(q>1)因?yàn)镾2=4，所以7S即7?a化簡(jiǎn)，得7(1+q即2q因?yàn)閝>1，所以q2所以S6故選：A．【變式8-1】（2023·陜西咸陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列an滿足anan+1=22n?1A．1024 B．512 C．1023 D．5【解題思路】根據(jù)所給遞推關(guān)系，分別求出等比數(shù)列的公比與首項(xiàng)即可得解.【解答過(guò)程】因?yàn)閍n所以an+1an+2因?yàn)閍nan+1所以q=2，又a2a3∴S故選：C.【變式8-2】（2023·云南紅河·統(tǒng)考一模）已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，其中公比q≠?1,a(1)求數(shù)列an(2)若bn=log2an,n【解題思路】（1）根據(jù)等比數(shù)列基本量的計(jì)算即可求解，（2）根據(jù)分組求和，結(jié)合等比求和公式即可求解.【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閍n是等比數(shù)列，公比q≠?1，所以a4+由S3=a11?12（2）由（1）得bn則T=?(1+3+?+2n?1)+=?=4【變式8-3】（2023·山西臨汾·?？寄M預(yù)測(cè)）在數(shù)列an中，a1+(1)求an(2)設(shè)Sn為an的前n項(xiàng)和，求使得Sn【解題思路】（1）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可根據(jù)奇偶數(shù)項(xiàng)求解，（2）根據(jù)等比數(shù)列求解公式，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性即可求解.【解答過(guò)程】（1）由anan+1所以an+2an由a1+a由a1a2因此ana故an（2）S2n此時(shí)S若Sn>2023，則23由于fn=3所以此時(shí)滿足3n2>20252當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，此時(shí)Sn由Sn>2023，則23由于gn=3×3所以此時(shí)滿足Sn>2023的最小的綜上可得使得Sn>2023成立的最小正整數(shù)n【題型9等比數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用】【例9】（2023·陜西安康·陜西省安康中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）中國(guó)古代著作《張丘建算經(jīng)》有這樣一個(gè)問題：“今有馬行轉(zhuǎn)遲，次日減半疾，七日行七百里”，意思是說(shuō)有一匹馬行走的速度逐漸減慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里路，則該馬第五天走的里程數(shù)約為（

）A．2.76 B．5.51 C．11.02 D．22.05【解題思路】設(shè)該馬第nn∈N?天行走的里程數(shù)為an，分析可知，數(shù)列an是公比為q=【解答過(guò)程】設(shè)該馬第nn∈N?由題意可知，數(shù)列an是公比為q=所以，該馬七天所走的里程為a11?1故該馬第五天行走的里程數(shù)為a5故選：D.【變式9-1】（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）“勾股樹”，也被稱為畢達(dá)哥拉斯樹，是根據(jù)勾股定理所畫出來(lái)的一個(gè)可以無(wú)限重復(fù)的樹形圖形．如圖所示，以正方形ABCD的一邊為直角三角形的斜邊向外作一個(gè)等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的兩直角邊為正方形的邊長(zhǎng)向外作兩個(gè)正方形，如此繼續(xù)，若共得到127個(gè)正方形，且AB=8，則這127個(gè)正方形的周長(zhǎng)之和為（

）A．480+2242 B．C．60+282 D．【解題思路】確定不同邊長(zhǎng)的正方形的個(gè)數(shù)，構(gòu)成等比數(shù)列，求出不同正方形的種數(shù)，結(jié)合正方形的邊長(zhǎng)構(gòu)成以8為首項(xiàng)，22【解答過(guò)程】依題意可知，不同邊長(zhǎng)的正方形的個(gè)數(shù)，構(gòu)成以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故令1+2+22+?+即有7種邊長(zhǎng)不同的正方形，又因?yàn)檎叫蔚倪呴L(zhǎng)構(gòu)成以8為首項(xiàng)，22故邊長(zhǎng)為8的正方形有1個(gè)，邊長(zhǎng)為42邊長(zhǎng)為4的正方形有4個(gè)，邊長(zhǎng)為22邊長(zhǎng)為2的正方形有16個(gè)，邊長(zhǎng)為2的正方形有32個(gè)，邊長(zhǎng)為1的正方形有64個(gè)，這127個(gè)正方形的周長(zhǎng)之和為1×4×8+2×4×4+16×4×2+32×4×2故選：A.【變式9-2】（2023·貴州遵義·校考模擬預(yù)測(cè)）公元前1650年的埃及萊因德紙草書上載有如下問題：“十人分十斗玉米，從第二人開始，各人所得依次比前人少八分之一，問每人各得玉米多少斗？”在上述問題中，前五人得到的玉米總量為（

）A．10×8585+C．10×8585?【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式計(jì)算．【解答過(guò)程】由題意記10人每人所得玉米時(shí)依次為a1,a2,?,a10，則n≥2由已知a1[1?(S5故選：A．【變式9-3】（2023·北京門頭溝·統(tǒng)考一模）中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》是人類科學(xué)史上應(yīng)用數(shù)學(xué)的最早巔峰.書里記載了這樣一個(gè)問題“今有女子善織，日自倍，五日織五尺.問日織幾何？”譯文是“今有一女子很會(huì)織布，每日加倍增長(zhǎng)，5天共織5尺，問每日各織布多少尺？”，則該女子第二天織布（

）A．531尺 B．1031尺 C．1516尺 【解題思路】由題得每日織布尺數(shù)成公比為2的等比數(shù)列，根據(jù)前5項(xiàng)和得第二天織布數(shù).【解答過(guò)程】由題，設(shè)每日織布數(shù)的數(shù)列為an，則a由題知a1(1?25)故選：B.【題型10等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用】【例10】（2023·河南·信陽(yáng)高中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且Sn=n(1)求證：數(shù)列an+1(2)求數(shù)列bn(3)設(shè)cn=an?22bn，且數(shù)列cn【解題思路】（1）利用an=Sn?Sn?1整理化簡(jiǎn)可得n?2an+6=n?1an?1（2）利用數(shù)列an的通項(xiàng)公式即可得數(shù)列b（3）先利用錯(cuò)位相減法求出Tn，再將Tn+λn+1≥3恒成立轉(zhuǎn)化為【解答過(guò)程】（1）當(dāng)n=1時(shí)，a1=S當(dāng)n≥2時(shí)，Sn?1所以an整理得n?2a所以n?1a由①-②得2an=因?yàn)閍1=6,a4=12所以an設(shè)Mn則Mn因?yàn)镸n+1所以數(shù)列an+1（2）設(shè)數(shù)列bn的公比為q結(jié)合（1）及已知得b1解得q=2，所以bn（3）由（1）（2）得，cn所以Tn又12①-②，得12所以Tn由Tn+λ設(shè)fn=n+1故fn+1因?yàn)?n故fn+1?fn故fn的最大值為f1=4，則λ≥4，即λ【變式10-1】（2023·廣西·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)an是等差數(shù)列，bn是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列．且a1=b1=1(1)求an，b(2)設(shè)cn=an?3a【解題思路】（1）應(yīng)用等差、等比通項(xiàng)公式及已知列方程求基本量，進(jìn)而寫出an，b（2）由（1）得cn=2n?1?3【解答過(guò)程】（1）由已知得a32a聯(lián)立①②，得q2+q?6=q+3q?2=0因?yàn)閎n是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，所以q=2，代入①式可得d=2所以an=1+2n?1（2）由題意及（1）及cn=a∴Tn3T兩式相減得?2=3+2?9∴Tn【變式10-2】（2023·天津津南·天津校考模擬預(yù)測(cè)）已知an是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn.bn是公比為q(1)求an和b(2)設(shè)cn=anbn,n【解題思路】（1）根據(jù)題意結(jié)合等差、等邊數(shù)列的通項(xiàng)公式列式求解即可；（2）利用分組求和，結(jié)合裂項(xiàng)相消法和錯(cuò)位相減法運(yùn)算求解.【解答過(guò)程】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d>0由題意可得：3+3d=3q12+6d=6+dq，解得d=2所以an（2）由（1）可得Sn當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，則cn設(shè)An則9A兩式相減得?8=?4n+1所以An當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，則cn設(shè)Bn=c所以Bn綜上所述：cn當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，則T=A當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，則T=A綜上所述：Tn【變式10-3】（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=4n2(1)求bn(2)設(shè)cn=(?1)nbn，記數(shù)列cn．的前n項(xiàng)和為Sn，從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，判斷是否存在符合條件的正整數(shù)k，m，①k，m，n成等比數(shù)列且S2k，S2m，②m，n成等差數(shù)列且S2k?1，S2m?1，注：如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【解題思路】（1）利用anbn=k=1（2）表示出數(shù)列cn=(?1)nbn，用裂項(xiàng)相消法，進(jìn)一步表示出相應(yīng)的S2k，S2m，【解答過(guò)程】（1）當(dāng)n=1時(shí)，a1b1由題意知a1則當(dāng)n≥2時(shí)，a1兩式相減，得an所以bn=n4n2?1（2）（2）若選①，因?yàn)閏n所以S=1假設(shè)存在正整數(shù)k，m，n(k<m<n)使得k，m，n成等比數(shù)列，且S2k，S2n，則kn=m2，且S2k整理得kn16kn+4k+4n+1=m所以4?+4n=8m，即k+n=2m，因?yàn)閗≠n，所以k+n>2kn=2m，與所以不存在正整數(shù)k，m，n(k<m<n)，使得k，m，n成等比數(shù)列且S2，S2，若選②，因?yàn)閏n所以S=1假設(shè)存在正整數(shù)k，m，n(k<m<n)使得k，m，n成等差數(shù)列，且S2k?1，S2m?1，則k+n=2m，且S2k?1+S去分母整理得，4m(k+n)?8kn+k+n?2m=0，因?yàn)閗+n=2m，所以有4m即(?+n)2?4?n=(k?n)2=0所以不存在正整數(shù)k，m，n(k<m<n)使得k，m，n成等差數(shù)列，且S×?1，S2,?1，1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和Sn，若a1=1，S5A．158 B．658 C．15【解題思路】根據(jù)題意列出關(guān)于q的方程,計(jì)算出q,即可求出S4【解答過(guò)程】由題知1+q+q即q3+q4=4q+4由題知q>0,所以q=2.所以S4故選:C.2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若S4=?5，S6A．120 B．85 C．?85 D．?120【解題思路】方法一：根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出公比，再根據(jù)S4方法二：根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)求解．【解答過(guò)程】方法一：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，首項(xiàng)為a若q=?1，則S4=0≠?5，與題意不符，所以若q=1，則S6=6a由S4=?5，S6=21S由①可得，1+q2+所以S8=故選：C．方法二：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q因?yàn)镾4=?5，S6=21S從而，S2所以有，?5?S22=S當(dāng)S2=?1時(shí)，S2易知，S8+21=?64，即當(dāng)S2=5與S4故選：C．3．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知等比數(shù)列an的前3項(xiàng)和為168，a2?a5A．14 B．12 C．6 D．3【解題思路】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,q≠0，易得q≠1【解答過(guò)程】解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,q≠0若q=1，則a2所以q≠1，則a1+a所以a6故選：D.4．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和．若8S6=7S3【解題思路】先分析q≠1，再由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和平方差公式化簡(jiǎn)即可求出公比q.【解答過(guò)程】若q=1，則由8S6=7S3所以q≠1.當(dāng)q≠1時(shí)，因?yàn)?S所以8?a即8?1?q6=7?1?解得q=?1故答案為：?15．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）我國(guó)度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國(guó)時(shí)期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來(lái)測(cè)量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列an，該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且a1=1,a5=12,a9=192，則a7【解題思路】方法一：根據(jù)題意結(jié)合等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列式求解d,q，進(jìn)而可求得結(jié)果；方法二：根據(jù)等比中項(xiàng)求a7【解答過(guò)程】方法一：設(shè)前3項(xiàng)的公差為d，后7項(xiàng)公比為q>0，則q4=a9a則a3=1+2d=a5q空1：可得a3空2：a方法二：空1：因?yàn)閍n,3≤n≤7為等比數(shù)列，則且an>0，所以又因?yàn)閍52=空2：設(shè)后7項(xiàng)公比為q>0，則q2=a可得a1+a故答案為：48；384.6．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知an為等比數(shù)列，a2a4a5=a【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列公式對(duì)a2a4a5=a3a【解答過(guò)程】設(shè)an的公比為qq≠0，則a2則a4=q2，即a1q3則q15=q53故答案為：?2.7．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已