全國初中數(shù)學優(yōu)質(zhì)課一等獎《包裝盒中的數(shù)學制作盡可能大的長方體》教學設計

制成盡可能大的無蓋長方體的教學設計一、教學內(nèi)容解析：本節(jié)課的教學內(nèi)容是探究利用邊長為20cm的正方形如何能折成容積盡量大的無蓋長方體。本節(jié)對學生而言是一種新的學習方式，它需要學生綜合所學過的數(shù)學知識、技能與方法，通過問題的逐步解決從而獲得對相關知識與方法的進一步的理解，體會各個部分之間的聯(lián)系。讓學生經(jīng)歷實驗、想像、分析、猜測、交流、推理和反思等一系列過程，培養(yǎng)學生的實踐探索及創(chuàng)新能力，加強學生的合作、交流以及事必求真的科學精神，更好地激發(fā)學生的學習熱情。盡管問題的最后不一定要得到剪去的小正方形邊長x的具體值，但是通過學生的不斷探究來驗證自己的結論，發(fā)現(xiàn)更多的探究現(xiàn)象。同時在活動過程中，讓學生感受一種新的解決問題的方法逐漸逼近的數(shù)學方法。二、教學目標設置1．讓學生經(jīng)歷“問題－建模－解決”的過程，進一步豐富學生的空間觀念和數(shù)感。2．在探究事物變化趨勢的活動中,發(fā)展學生的推理能力，借助計算器讓學生體會“逐漸逼近”的數(shù)學方法。3．通過經(jīng)歷克服困難和獲得成功的體驗，增進學生應用數(shù)學的自信心，形成對知識的深刻理解。三、學生學情分析完成7年上冊數(shù)學的學習，學生已經(jīng)有了一定空間觀念、數(shù)感和符號感，學會了用字母表示數(shù)，會求代數(shù)式的值，會初步應用統(tǒng)計知識來描述事物的特征，會應用計算器進行簡單的計算，對數(shù)學的學習方法也有了一定的認識。具備了進行本課題學習、研究的基本的條件和能力，但是學生對于逐漸逼近的數(shù)學學習方法大部分學生還是第一次接觸。對于剪去小正方形邊長取整數(shù)之后，為什么要在3cm和4cm之間探究，在其他區(qū)間是否可能存在更大的，為什么不存在等等都需要學生在逐步探究中去體會。對于本課的內(nèi)容是學生在以后的學習中會利用三次函數(shù)等其他的數(shù)學知識求出在給定一張正方形的紙板要制作出最大的無蓋長方體需剪掉的小正方形邊長是原正方形邊長的，這個對于現(xiàn)階段的學生是沒有能力探究出來的，但是在課堂上學生可能會猜想出來，至于具體原因可以告知學生后續(xù)學習這個問題也可以不用這樣逐漸逼近的方法解決的，這樣也激發(fā)學生進一步學習的欲望。本節(jié)課的教學難點是感受數(shù)量之間相依變化的狀態(tài)和趨勢，體驗逐漸逼近的數(shù)學方法和從特殊到一般的探究過程。對于教學難點的突破是利用學生繪制的統(tǒng)計圖和統(tǒng)計表由學生自己來分析數(shù)量間的變化狀態(tài)和趨勢，從而找到進一步探究的方案。學生對于逐漸逼近的數(shù)學方法讓學生在探究過程中由繪制的所有的統(tǒng)計表中的數(shù)據(jù)來總結出來。四、教學策略分析確定參加本次活動時已是7年級上學期的期末，此時的學生已經(jīng)具備了一定的探究能力，所以選擇學期末的課題學習應該是合適的選擇，我選擇了新課程標準中課程內(nèi)容及實施建議中的綜合實踐的例76：包裝盒中的數(shù)學。同時也是北師版初中數(shù)學教材7年級上的課題學習：如何制作盡量大的無蓋長方體盒子。對于本節(jié)課的教學方法是以學生的數(shù)學活動為主體，老師創(chuàng)設好既有啟發(fā)性又有挑戰(zhàn)性的問題情景，讓學生通過觀察、操作實驗、猜測、合作交流、歸納得出結論。本節(jié)課的教學重點引導學生感受課題學習這種探究學習方式;體會用數(shù)學知識解決實際問題需要建模?；谶@樣的教學重點。給學生的問題從瓜子驗證同樣大小的正方形制成無蓋長方體確實有的容積大有的容積小？讓學生分析為什么開始，設置了像究竟剪去的小正方形大一些得到的無蓋長方體容積大還是剪去小些的容積大？該如何來解決這樣的問題？進一步探究應該從那里開始？為什么要這樣想等等來引導學生參與本節(jié)課的數(shù)學活動。對于不同認知基礎的學生中認知基礎較好的引導他們在用計算器計算完數(shù)據(jù)后分析變化規(guī)律及能否從不同角度分析同一個問題等，對于認知基礎相對較差的學生在探究的同時給予他們適度的指導，同時也給這樣的學生展示自己的機會，以提高學生的學習熱情和信心。對于學生的學習反饋一個是借助課上學生對于設置的問題解決的情況，再一個就是讓學生在課下利用邊長為30cm的正方形紙板制作盡可能大的無蓋長方體，同時要求他們找找這個問題和課上解決的問題有什么相同點和不同點，通過這個檢測學生對于本節(jié)課的接受程度。五、教學過程（一）展示與設疑

1．學生展示課前準備的用邊長為20cm的正方形紙板自制的無蓋長方體，說明是怎么制作的。2．利用瓜子測量各小組制成的無蓋長方體的容積是否相等?不相等的原因是什么？3．因剪去的小正方形邊長不定，所制長方體的容積該如何變化?如何能更直觀地表達這個變化趨勢?（二）驗證

1．由學生分析得出若剪去的小正方形的邊長按整數(shù)值變化，即分別取1cm，2cm，…，9cm時，折成的無蓋長方體的容積將如何變化?請你制作適當?shù)慕y(tǒng)計圖表，展示這個變化狀況。(借助計算器求代數(shù)式的值，制作統(tǒng)計表，可以形象地表達這個變化。)

2．通過自己所做的統(tǒng)計圖表，你發(fā)現(xiàn)了什么?

3．觀察統(tǒng)計表，當小正方形邊長取什么值時，所得長方體的容積最大?(學生通過制作的統(tǒng)計圖表得出：在這10組數(shù)中，當邊長取3cm時，容積最大為588cm3。)表一邊長x/cm123456789容積V/cm332451258857650038425212836（三）再質(zhì)疑

用邊長為20cm的正方形紙板，你能制作出容積盡可能大的無蓋長方體嗎?教師設疑：是否存在容積大于588cm3的可能?學生先獨立思考，然后小組合作交流，結合制作出的統(tǒng)計圖表，觀察無蓋長方體的容積隨剪去的小正方形邊長的增大而變化的趨勢：容積先增大后減小。有的小組發(fā)現(xiàn)，可能當剪去的小正方形邊長在3cm～4cm之間取值時，無蓋長方體的容積V大于588cm3。探究出這個問題以后，接著教師設疑：若剪去的小正方形邊長為小數(shù)，那么整數(shù)部分是幾?如何來確定?學生分小組合作，教師參與。（四）再驗證

1．由學生分析得出所剪的小正方形邊長按0．1cm的間隔取值，即分別取3．1cm，3．2cm，…，3．9cm，計算折成的無蓋長方體的容積。學生制作統(tǒng)計圖表，表示這個變化狀況(借助計算器，小組合作，教師參與。）

2．觀察你制作的統(tǒng)計圖表，你發(fā)現(xiàn)了什么?(要求學生根據(jù)統(tǒng)計圖表中數(shù)據(jù)的變化，探索長方體容積的變化趨勢和規(guī)律，再次得出：隨著所剪去的小正方形邊長的增大，容積先增大后減小。)

3．觀察統(tǒng)計圖表，當小正方形邊長取什么值時，所得長方體的容積最大?(學生回答：當邊長取3.3cm時，容積最大為591.5cm3。)表二邊長x/cm3.13.23.33.43.53.63.73.83.9容積V/cm3590.4591.9592.5592.4591.5589.8587.4584.3580.54.引導學生感受在探究過程中所得數(shù)據(jù)的范圍在逐漸的縮小。（五）再試試

是不是邊長取3.3cm時，容積就最大了，如果不是我們又該如何進一步探究呢？學生分析得出所剪的小正方形邊長按0.01cm的間隔取值，十分位應取3。制作統(tǒng)計圖表，讓學生觀察分析發(fā)現(xiàn)了什么?若所剪的小正方形邊長按0.001cm的間隔取值呢?(學生按剛才的思路，分小組合作，進一步細化代數(shù)式的值考察無蓋長方體容積的變化情況。其中有的小組發(fā)現(xiàn)：每一次按不同的間隔取值，沒有必要9個數(shù)據(jù)都算出來，只要最大值出現(xiàn)即可。這樣可以減少運算量，將節(jié)省下來的時間多取幾個間隔進行估測。)

表三邊長x/cm3.313.323.333.343.35容積V/cm3592.57592.58592.5921592.5908592.5815表四邊長x/cm3,3313.3323.3333.334容積V/cm3592.5924592.59252592.59259592.59257（六）得結論

要使所折成的無蓋長方體的容積盡可能大，如何確定剪去的小正方形的邊長?學生結合自己做的細化統(tǒng)計圖表，探索規(guī)律：用邊長為20cm的正方形紙板，四個角各剪去四個全等的小正方形，當小正方形的邊長取3.333…cm，即越來越接近cm時，所折成的無蓋長方體的容積將越來越大，但找不到最大的無蓋方體。同時和學生一起感受一種新的數(shù)學方法逐漸逼近的數(shù)學方法。（七）布置作業(yè)

探究用邊長為30cm的正方形紙板，制作出容積盡可能大的無蓋長方體?同時與今天的結論相比較，能得出什么樣的結論。（活動目的：邊長是30cm的正方形是能制成最大的無蓋長方體盒子的，也就是剪去邊長是5cm的小正方形，力爭讓學生產(chǎn)生聯(lián)想是不是剪去的小正方形邊長是原來正方形的時得到無蓋長方體的容積就是最大的？如果是有沒有其他更簡單的方法？）

點評這是一節(jié)屬于“綜合與實踐”范疇的課，素材為新課標的案例76“包裝盒中的數(shù)學”。“綜合與實踐”是新課標所要求的一項重要課程內(nèi)容，由于開放程度較大，教師不易把握，因此，歷來被認為是教學中的一個難點課程。對此，劉永偉老師在本節(jié)課上有所突破，表現(xiàn)上乘，這體現(xiàn)在：1、綜合實踐課的靈魂應是探索與思考，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維是綜合實踐課的核心任務，本節(jié)課始終貫徹了這一原則和要求。教師布置學生用大小相同的紙板做出底面為正方形的無蓋長方體紙盒，由于沒有限定底面邊長，自然就要引出容積大小的問題。教師讓學生往盒子里倒瓜子，使學生對于容積的大小不同先有了直觀的感知。這一環(huán)節(jié)教師設計得很精心很巧妙，激發(fā)了學生的求知欲望，使學生在課堂一開始就進入了狀態(tài)，為后續(xù)的探索做了很好的鋪墊。在師生共同歸納出盒子的體積的數(shù)學表達式V＝x(20－2x)2(x為地面正方形邊長)后，教師不失時機地將課堂推向了第二個高潮。等號左邊的代數(shù)式是一個關于x的三次式，其最大值的理論求法超出了現(xiàn)在學生的知識范圍，那么這個問題目前真的就無從解決了嗎？這就構成了本節(jié)課的最大認知沖突。在尋求解決途徑的過程中，教師不惜大量的時間，為學生提供充分的討論平臺，有力地促進了學生的深度思考，從而“生成”(對學生而言)了解決此問題的合理策略。我們看到，學生在短短的45分鐘內(nèi)，提出了許多大膽而合理的猜想。因此，本節(jié)課關于培養(yǎng)學生的數(shù)學思維的目標很好地得以實現(xiàn)。2、新課標對于數(shù)學課堂的“雙基”教學，擴展為“四基”，其中對滲透數(shù)學基本思想提出了明確要求。本節(jié)課在這方面做得很突出，“逼近思想”貫徹始終。教學的落腳點不是容積的最大值究