1.1.3 集合的交與并

.1.3集合的交與并【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解兩個(gè)集合的交集與并集的含義,能求兩個(gè)集合的交集與并集.(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)2.能使用Venn圖表達(dá)集合的基本運(yùn)算,體會(huì)圖形對(duì)理解抽象概念的作用.(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)3.掌握交集與并集的相關(guān)性質(zhì)并會(huì)應(yīng)用.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【自主預(yù)習(xí)】預(yù)學(xué)憶思1.兩個(gè)集合的交集與并集的含義是什么?【答案】把所有既屬于A又屬于B的元素組成的集合稱為A與B的交集;把集合A,B中的元素放在一起組成的集合,叫作A與B的并集.2.如何用Venn圖表示集合的交集和并集?【答案】?jī)蓚€(gè)集合A,B交集的Venn圖如圖(1)所示,兩個(gè)集合A,B并集的Venn圖如圖(2)所示.3.交集和并集有哪些性質(zhì)?【答案】交集和并集的性質(zhì)如下:A∩A=A,A∩?=?,A∩B=B∩A,A∪A=A,A∪?=A,A∪B=B∪A.自學(xué)檢測(cè)1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)若A,B中分別有2個(gè)元素,則A∪B中必有4個(gè)元素.()(2)若A∪B=A,B≠?,則B中的每個(gè)元素都屬于集合A.()(3)并集定義中的“或”能改為“和”.()(4)若A∩B=C∩B,則A=C.()【答案】(1)×(2)√(3)×(4)×2.已知集合P={x|x<3},Q={x|-1≤x≤4},那么P∪Q=().A.{x|-1≤x<3} B.{x|-1≤x≤4}C.{x|x≤4} D.{x|x≥-1}【答案】C【解析】在數(shù)軸上表示出兩個(gè)集合,如圖,可得P∪Q={x|x≤4}.3.已知集合A={-1,0,1,2},B={-1,0,3},則A∩B=.

【答案】{-1,0}【解析】由A={-1,0,1,2},B={-1,0,3},得A∩B={-1,0}.4.若集合A={x|-3<x<4},B={x|x>2},C={x|x≤-3},則A∩B=,A∩C=.

【答案】{x|2<x<4}?【解析】由數(shù)軸法可知,A∩B={x|2<x<4},A∩C=?.【合作探究】探究1：兩個(gè)集合的交情境設(shè)置媽媽去超市買水果,洋洋喜歡吃葡萄、圣女果、蘋果、橙子、枇杷,哥哥喜歡吃圣女果、香梨、蘋果、櫻桃.問(wèn)題1:媽媽哪些水果要多買一些?【答案】?jī)扇硕枷矚g吃的水果是圣女果、蘋果,這兩種水果要多買一些.問(wèn)題2:若將洋洋喜歡吃的水果構(gòu)成的集合記為A,哥哥喜歡吃的水果構(gòu)成的集合記為B,兩人都喜歡吃的水果構(gòu)成的集合記為C,如何表達(dá)這三個(gè)集合之間的關(guān)系?【答案】洋洋喜歡吃的水果構(gòu)成的集合A={葡萄,圣女果,蘋果,橙子,枇杷},哥哥喜歡吃的水果構(gòu)成的集合B={圣女果,香梨,蘋果,櫻桃},兩人都喜歡吃的水果構(gòu)成的集合C={圣女果,蘋果},則集合C為集合A和集合B的公共部分.問(wèn)題3:如何用Venn圖表示上述三個(gè)集合的關(guān)系?【答案】新知生成交集的概念1.自然語(yǔ)言:把所有既屬于集合A又屬于集合B的元素組成的集合,稱為A與B的交集,記作A∩B(讀作“A交B”).2.符號(hào)語(yǔ)言:A∩B={x|x∈A且x∈B}.3.圖形語(yǔ)言:新知運(yùn)用例1(1)設(shè)集合M={m∈Z|-3<m<2},N={n∈Z|-1≤n≤3},則M∩N=().A.{0,1} B.{-1,0,1}C.{0,1,2} D.{-1,0,1,2}(2)已知集合A={x|2<x<4},B={x|x<3或x>5},則A∩B=().A.{x|2<x<5} B.{x|x<4或x>5}C.{x|2<x<3} D.{x|x<2或x>5}方法指導(dǎo)(1)化簡(jiǎn)集合M,N,根據(jù)交集定義求交集;(2)將集合A,B在數(shù)軸上標(biāo)出,用不等式表示其公共部分即可.【答案】(1)B(2)C【解析】(1)易知M={-2,-1,0,1},N={-1,0,1,2,3},根據(jù)交集定義可知M∩N={-1,0,1},故選B.(2)將集合A,B在數(shù)軸上標(biāo)出,如圖所示,由圖可知A∩B={x|2<x<3},故選C.【方法總結(jié)】1.離散型集合交集的運(yùn)算,多借助定義或Venn圖求解.2.若A,B是無(wú)限連續(xù)的數(shù)集,多利用數(shù)軸來(lái)求解A∩B,取它們的公共部分.但要注意,利用數(shù)軸表示不等式時(shí),含有端點(diǎn)的值用實(shí)心點(diǎn)表示,不含有端點(diǎn)的值用空心點(diǎn)表示.鞏固訓(xùn)練已知M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},則M∩N=().A.x=3,y=-1 B.(3,-1)C.{3,-1} D.{(3,-1)}【答案】D【解析】由x+y=2,x-y=4,得x=3,y=-1,故M∩N={(3,-探究2：兩個(gè)集合的并情境設(shè)置某次校運(yùn)動(dòng)會(huì)上,高一(1)班有10人報(bào)名參加田賽,有12人報(bào)名參加徑賽.問(wèn)題1:若沒(méi)有人兩項(xiàng)都報(bào),你能算出高一(1)班參賽的人數(shù)嗎?【答案】能,高一(1)班參賽的人數(shù)為10+12=22.問(wèn)題2:若兩項(xiàng)都報(bào)的有3人,你能算出高一(1)班參賽的人數(shù)嗎?【答案】能,19人.參賽人數(shù)包括參加田賽的,也包括參加徑賽的,但由于元素互異性的要求,兩項(xiàng)都報(bào)的不能重復(fù)計(jì)算,故有10+12-3=19(人).問(wèn)題3:如何用Venn圖表示問(wèn)題2中的案例?【答案】新知生成并集的概念1.自然語(yǔ)言:把集合A,B中的元素放在一起組成的集合,稱為集合A與B的并集,記作A∪B(讀作“A并B”).2.符號(hào)語(yǔ)言:A∪B={x|x∈A或x∈B}.3.圖形語(yǔ)言:新知運(yùn)用例2(1)已知集合M={x∈N+|x<8},N={-1,4,5,7},則M∪N等于().A.{4,5,7} B.{1,2,3,4,5,6,7}C.{1,2,3,4,5,6,7,-1,4,5,7} D.{-1,1,2,3,4,5,6,7}(2)已知集合A=x|3-x>0,3x+6>0,B={x|3>2x-方法指導(dǎo)(1)根據(jù)并集的定義可得;(2)集合A是不等式組3-x>0,3x+6>0的解集,集合B是不等式3>2x-1的解集,先確定集合A和B的元素,再根據(jù)并集的定義【答案】(1)D(2){x|x<3}【解析】(1)易知M={1,2,3,4,5,6,7},則M∪N={-1,1,2,3,4,5,6,7}.(2)解不等式組3-x>0,3x+6>0,得-2<x<3,則A={x|-2<x<3}解不等式3>2x-1,得x<2,則B={x|x<2}.用數(shù)軸表示集合A和B,如圖所示,則A∪B={x|x<3}.【方法總結(jié)】1.離散型集合并集的運(yùn)算,多借助定義或Venn圖求解.2.若A,B是無(wú)限連續(xù)的數(shù)集,多利用數(shù)軸來(lái)求解A∪B.但要注意,利用數(shù)軸表示不等式時(shí),含有端點(diǎn)的值用實(shí)心點(diǎn)表示,不含有端點(diǎn)的值用空心點(diǎn)表示.鞏固訓(xùn)練已知集合M={x|-3<x≤6},N={x|x<-5或x>5},則M∪N等于().A.{x|-5<x<5} B.{x|x<-5或x>-3}C.{x|-3<x≤5} D.{x|x<-3或x>5}【答案】B【解析】如圖,在數(shù)軸上標(biāo)出集合M,N,陰影部分即為M∪N.探究3：集合交與并的運(yùn)算性質(zhì)情境設(shè)置已知集合A,B.問(wèn)題1:若A∪B=?,則集合A與集合B之間的關(guān)系是什么?【答案】A∪B=?說(shuō)明A,B均為?.問(wèn)題2:若A∩B=?,則集合A與集合B之間的關(guān)系是什么?【答案】A∩B=?說(shuō)明集合A,B中沒(méi)有公共元素.問(wèn)題3:若A∪B=A,A∩B=A,則集合A與集合B之間的關(guān)系是什么?【答案】因?yàn)锳∪B=A?B?A,A∩B=A?A?B,所以A=B.新知生成1.交集的性質(zhì)(1)A∩A=A,A∩?=?,A∩B=B∩A;(2)A∩B?A;(3)A∩B=A?A?B.2.并集的性質(zhì)(1)A∪A=A,A∪?=A,A∪B=B∪A;(2)A?A∪B;(3)A∪B=B?A?B.新知運(yùn)用例3已知集合A={x|-1<x<3},B={x|k+1<x<3-k}.(1)當(dāng)k=-1時(shí),求A∩B;(2)若A∪B=A,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.方法指導(dǎo)(1)由k=-1,得B={x|0<x<4},再利用交集的運(yùn)算求解.(2)根據(jù)A∪B=A,得到B?A,然后分B=?和B≠?兩種情況求解.【解析】(1)當(dāng)k=-1時(shí),B={x|0<x<4},因?yàn)榧螦={x|-1<x<3},所以A∩B={x|0<x<3}.(2)因?yàn)锳∪B=A,所以B?A.當(dāng)B=?時(shí),k+1≥3-k,解得k≥1;當(dāng)B≠?時(shí),由B?A得k+1<3-k,解得0≤k<1.綜上,k的取值范圍是{k|k≥0}.【方法總結(jié)】利用集合交集、并集的性質(zhì)解題的方法:(1)在利用集合的交集、并集性質(zhì)解題時(shí),常常會(huì)遇到A∩B=A,A∪B=B等這類問(wèn)題,解答時(shí)常借助于交集、并集的定義及上節(jié)學(xué)習(xí)的集合間的關(guān)系去分析,如A∩B=A?A?B,A∪B=B?A?B等,解答時(shí)應(yīng)靈活處理.(2)當(dāng)集合B?A時(shí),如果集合A是一個(gè)確定的集合,而集合B不確定,運(yùn)算時(shí)要考慮B=?的情況,切不可漏掉.鞏固訓(xùn)練若集合A={x|-3≤x≤5},B={x|2m-1≤x≤2m+9},A∪B=B,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

【答案】{m|-2≤m≤-1}【解析】∵A∪B=B,∴A?B,如圖所示,∴2m-1≤-3,2m+9≥5,解得-2≤m≤-1∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m|-2≤m≤-1}.【隨堂檢測(cè)】1.設(shè)U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},則A∩(UB)=().A.{x|0≤x<1} B.{x|0<x≤1}C.{x|x<0} D.{x|x>1}【答案】B【解析】∵B={x|x>1},∴UB={x|x≤1},∴A∩(UB)={x|0<x≤1}.2.(多選題)已知集合A={x|x<2},B={x|3-2x>0},則().A.A∩B=xx<32 B.A∩B≠?C.A∪B=xx<32 D.A∪(RB)=R【答案】ABD【解析】∵A={x|x<2},B={x|3-2x>0}=xx<32,RB=xx≥32,∴A∩B=xx<32,A∩B≠?,A∪(RB)=R.故選ABD.3.滿足{1,3}∪A={1,3,5}的所有集合A的個(gè)數(shù)是().A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】由{1,3}∪A={1