第08講平行線的性質(zhì)（十一大題型）

第08講平行線的性質(zhì)（十一大題型）1．掌握平行線的性質(zhì)，并能依據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行簡單的推理；2．了解平行線的判定與性質(zhì)的區(qū)別和聯(lián)系，理解兩條平行線的距離的概念；題型1：兩直線平行，同位角相等【典例1】．如圖，已知直線與直線都相交．若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，平行線的性質(zhì)．熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)兩直線平行同位角相等即可得出，再根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求解即可．【解析】解：如圖，∵，∴，∴．故選B．【典例2】．如圖，梯子的各條橫檔互相平行，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)；由兩直線平行同位角相等即可求解．【解析】解：∵梯子的各條橫檔互相平行，，∴，故選：B．【典例3】．如圖，直線直線，則的值是（

）．A．20 B．30 C．40 D．50【答案】B【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握兩直線平行，同位角相等．先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再求出，然后求出結(jié)果即可．【解析】解：如圖，，∵，∴，∴，∴，故選：B．題型2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等【典例4】．如圖，直線a，b被直線c所截，若，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查平行線性質(zhì)，根據(jù)平行線性質(zhì)得到內(nèi)錯(cuò)角的大小，結(jié)合鄰補(bǔ)角互補(bǔ)即可得到答案；【解析】解：∵，，∴，∴，故選：D．【典例5】．如圖，已知，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，平角的定義，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，即可求解．【解析】解：∵，∴，故選：A．【典例6】．如圖，，E是上一點(diǎn)，若平分，，則為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)角平分線的定義得到，再由平行線的性質(zhì)得到．【解析】解：∵平分，，∴，∵，∴．故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)【典例7】．如圖，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)兩直線平行線，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可求解，熟練掌握其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【解析】解：，且，，故選：A．【典例8】．如圖，，直線分別交，于點(diǎn)，，平分，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)；根據(jù)角平分線的定義求出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求出．【解析】解：∵，平分，∴，∴，∵，∴，故選：C．【典例9】．如圖，直線，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，連接，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)和垂線的定義，熟知：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出，結(jié)合已知條件即可求出的度數(shù)．【解析】解：如圖所示，∵，∴，∴∵，∴，∵，∴，∴，故選：C．題型4：根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系【典例10】．如圖，，EF分別截于點(diǎn)E，F(xiàn)，連結(jié)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)．利用平行線的性質(zhì)對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行分析即可．【解析】，，，，故A結(jié)論正確，不符合題意；，，，故C結(jié)論正確，不符合題意；，，，，，故D結(jié)論正確，不符合題意；無法求得，故B結(jié)論錯(cuò)誤，符合題意．故選：B．【典例11】．如圖，直線，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)頂角相等，鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，以及平行線的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【解析】解：如圖，∵，∴，∵，∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角．熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，理清角度之間的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．【典例12】．如圖，，，設(shè)，，則與之間的數(shù)量關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．與沒有數(shù)量關(guān)系【答案】A【分析】過C作∥，得到∥，因此，，由垂直的定義得到，由鄰補(bǔ)角的性質(zhì)即可得到答案．【解析】解：過C作∥，∥，，，，，，，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是過C作，得到，由平行線的性質(zhì)來解決問題．【典例13】．如圖所示，，若，下列各式：①

②

③

④其中正確的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①④【答案】D【分析】過點(diǎn)E作，點(diǎn)F作，根據(jù)平行公理得，根據(jù)平行線的性質(zhì)逐一計(jì)算解題即可．【解析】解：如圖，過點(diǎn)E作，∵，∴，∴，，∴，故①正確；如圖，過點(diǎn)F作，∵，∴，∴，，∴，即，故②不正確；又∵，∴，即，故③不正確；∵，∴，∵，∴，，故④正確；∴正確的為①④，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，能作輔助線構(gòu)造平行線轉(zhuǎn)化角是解題的關(guān)鍵．題型5：根據(jù)平行線的性質(zhì)求角度【典例14】．如圖，若，則、、之間關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，然后由整理后可得答案．【解析】解：如圖，作，∵，∴，∴，，又∵，∴，即．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟知兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵．【典例15】．如圖，，，平分，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，垂直的性質(zhì)，合理作出平行線是解題的關(guān)鍵．如圖所示，作交于，作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求出的度數(shù)，根據(jù)垂直的性質(zhì)可求出的度數(shù)，最后根據(jù)即可求解．【解析】解：如圖所示，作交于，作，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴．【典例16】．將一塊直角三角尺如圖放置，若，，則為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查的是角的和差運(yùn)算，平行線的性質(zhì)，證明，再結(jié)合已知條件即可得到答案，掌握兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解本題的關(guān)鍵．【解析】解：如圖，由題意可得：，，，∴，∵，∴，∴，故選A【典例17】．如圖，已知直線，現(xiàn)將含角的直角三角板放入平行線之間，兩個(gè)銳角頂點(diǎn)分別落在兩條直線上．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．根據(jù)已知條件得出，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等即可得出答案．【解析】解：∵，，∴，∵，∴．【典例18】．將一副三角尺（厚度不計(jì)）按如圖所示方式擺放．使邊與邊互相平行，則圖中的大小為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角板中角度的計(jì)算，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)三角板的特點(diǎn)得到，，再由平行線的性質(zhì)得到，由平角的定義即可求解．【解析】解：由題意得：，，，，，故選：D．【典例19】．如圖，，直線分別交，于點(diǎn)，，且滿足，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．不確定【答案】B【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，過作，由平行的判定方法得，由平行線的性質(zhì)得，，，等量代換計(jì)算得，即可求解；掌握性質(zhì)，作出輔助線求解是解題的關(guān)鍵．【解析】解：如圖，過作，，，，，，，，，；故選：B．題型6：平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用【典例20】．如圖，一條街道有兩個(gè)拐角和，已知，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，由，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，可得的度數(shù)，解題的關(guān)鍵是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題求解．【解析】∵∴（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．故選：D．【典例21】．生活中常見一種折疊攔道閘如圖1所示．若想求解某些特殊狀態(tài)下的角度，需將其抽象為如圖2所示的幾何圖形，其中，垂足為A，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】過B作，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)和垂線的定義即可得解．【解析】解：如圖，過B作，∵，則，∴，∵，∴，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的綜合應(yīng)用，熟練掌握平行線的性質(zhì)和垂線的定義是解題關(guān)鍵．【典例22】．一輛行駛中的汽車經(jīng)過兩次拐彎后，仍向原方向行駛，則兩次拐彎的角度可能是（

）A．先右轉(zhuǎn)，后左轉(zhuǎn) B．先左轉(zhuǎn)，后右轉(zhuǎn)C．先右轉(zhuǎn)，后左轉(zhuǎn) D．先右轉(zhuǎn)，后左轉(zhuǎn)【答案】D【分析】利用平行的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等來選擇即可．【解析】解：兩次拐彎后，仍在原來的方向上平行行駛，即轉(zhuǎn)彎前與轉(zhuǎn)彎后的道路是平行的，因而右轉(zhuǎn)的角與左轉(zhuǎn)的角應(yīng)相等，理由是兩直線平行，同位角相等．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，能夠根據(jù)條件，找到解決問題的依據(jù)是解決本題的關(guān)鍵．題型7：根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定求角度【典例23】．如圖，為直線上兩點(diǎn)，且平分．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】略【典例24】．如圖，直線，和的數(shù)量關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)．熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．過作，則，則，根據(jù)，計(jì)算求解即可．【解析】解：如圖，過作，則，∴，∵，∴，即，故選：C．【典例25】．如圖，，的平分線與的平分線交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查平行線的性質(zhì)、角平分線的定義，過G作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義求解即可．添加平行線求解是解答的關(guān)鍵．【解析】解：過G作，則，∴，，∵，∴，則，∵的平分線與的平分線交于點(diǎn)，∴，，∴，∵，∴，即，∴，故選：C．題型8：根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定證明【典例26】．如圖，下列推理及括號(hào)中所注明的推理依據(jù)錯(cuò)誤的是（

）A．∵，（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）B．，（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）C．，（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）D．，（同位角相等，兩直線平行）【答案】A【分析】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，利用平行線的判定方法與性質(zhì)逐一分析即可得到答案，熟記平行線的判定方法與平行線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【解析】解：∵，（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），故A符合題意；，（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），故B不符合題意；，（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），故C不符合題意；，（同位角相等，兩直線平行），故D不符合題意；故選A【典例27】．下面是投影屏上出示的搶答題，需要回答橫線上序號(hào)代表的內(nèi)容．已知，求證：的內(nèi)角和是．證明：如圖，作①，∴②（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∴（兩直線平行，③相等）．∵④，∴．則序號(hào)代表的內(nèi)容正確的是（

）A．①代表 B．②代表 C．③代表內(nèi)錯(cuò)角 D．④代表【答案】A【分析】本題主要考查平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和的判定，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，作，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同位角相等，再根據(jù)平角的性質(zhì)即可求解．【解析】解：如圖所示，作，∴（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∴（兩直線平行，同位角相等），∵，∴．∴①代表，②代表，③代表同位角，④代表，故選：．【典例28】．如圖，已知，現(xiàn)將一直角三角板放入圖中，其中，，與分別交于與分別交于．則下列結(jié)論：①；②；③；④．其中一定正確的結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】該題考查了平行線的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是正確做出輔助線；根據(jù)對(duì)頂角相等，平行線的性質(zhì)和判定解答即可．【解析】(對(duì)頂角相等)①正確；∵，，∵，，②正確；；和不一定相等；③錯(cuò)誤；過點(diǎn)E作∵，，，，，故④正確；正確的有三個(gè)，故選C．題型9：平行線間的距離【典例29】．如圖，已知直線，直線d與它們分別垂直且相交于A，B，C三點(diǎn)，若，，則平行線b，c之間的距離是（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】根據(jù)題意可求出，再根據(jù)平行線間的距離的定義即可解答．【解析】解：∵，，∴．∵，直線d與它們分別垂直且相交于A，B，C三點(diǎn)，∴平行線b，c之間的距離是4．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查線段的和與差，平行線間的距離．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．【典例30】．已知直線，，a與b的距離為，b與c的距離為，則a與c的距離為．【答案】7cm或3cm【分析】分①直線c在直線a、b外時(shí)，②直線c在直線a、b之間時(shí)，兩種情況討論求解．【解析】解：如圖①，直線c在直線a、b外時(shí)，∵a與b的距離為，b與c的距離為，∴a與c的距離為；如圖②，直線c在直線a、b之間時(shí)，∵a與b的距離為，b與c的距離為，∴a與c的距離為；故答案為：7cm或3cm．【點(diǎn)睛】此題考查的是平行線之間的距離，從一條平行線上的任意一點(diǎn)到另一條直線作垂線，垂線段的長度叫做兩條平行線之間的距離．【典例31】．如圖，已知，垂足分別為E，F(xiàn)．若，則AD與BC之間的距離是．【答案】5【解析】略題型10：利用平行線間的距離解決問題【典例32】．如圖，直線，且a，b之間相距．點(diǎn)P是直線a上一定點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線b上運(yùn)動(dòng)，則在Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，線段的最小值是．【答案】8【分析】根據(jù)垂線段最短進(jìn)行求解即可【解析】解：∵直線，點(diǎn)P是直線a上一定點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線b上運(yùn)動(dòng)，∴根據(jù)垂線段最短可知，在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)時(shí)，線段有最小值，∵a，b之間相距，∴線段的最小值為，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線之間的距離的定義和垂線段最短，牢記平行線之間距離的定義和垂線段最短是本題的關(guān)鍵．【典例33】．如圖，在平行四邊形中，甲的面積是46平方厘米，乙的面積是73平方厘米，則丙的面積是平方厘米．【答案】27【分析】連接，因?yàn)槊娣e＝面積（同底等高），可得面積＝面積,同理面積＝的面積，再根據(jù)甲、乙的面積即可求出丙的面積．【解析】解：如圖，連接，在平行四邊形中，,根據(jù)同底等高可得，，，同理，，因?yàn)榧椎拿娣e是46平方厘米，乙的面積是73平方厘米，所以丙的面積（平方厘米）；故答案為：27．【點(diǎn)睛】解答此題的關(guān)鍵是兩直線平行時(shí)三角形同底等高時(shí)面積相等的性質(zhì)，進(jìn)行分析，進(jìn)而解決問題．【典例34】．如圖，直線，點(diǎn)C在上．若，的面積為27，的面積為18，則．【答案】6【分析】過點(diǎn)A作于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作于點(diǎn)N，先根據(jù)三角形的面積公式求出，則，最后根據(jù)三角形面積公式求出即可．【解析】解：過點(diǎn)A作于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作于點(diǎn)N，∵，的面積為27，∴，解得：，∵，∴，∵的面積為18，∴，解得：，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的間的距離處處相等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線間距離處處相等．題型11：平行線的性質(zhì)與判定綜合解答題【典例35】．如圖，，，求的度數(shù)．【答案】【分析】本題考查平行線的性質(zhì)和判定，根據(jù)判定，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可解題．【解析】解：由圖可知，，，．，．【典例36】．如圖，已知，，，求（請(qǐng)?zhí)羁眨┙猓骸?，∴________（________________）又∵，∴（________________）∴________（________________________）∴________（________________________）∵，∴________（____________）【答案】，兩直線平行，同位角相等；等量代換；，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；，補(bǔ)角的定義．【分析】此題考查了平行線的性質(zhì)與判定，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)即可，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定及其應(yīng)用．【解析】∵，∴（兩直線平行，同位角相等）又∵，∴（等量代換）∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）∵，∴（補(bǔ)角的定義）；故答案為：，兩直線平行，同位角相等；等量代換；，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；，補(bǔ)角的定義．【典例37】．如圖，，，三點(diǎn)在一條直線上，，，三點(diǎn)在一條直線上，，，．求證：．【答案】見解析【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定；根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，進(jìn)而結(jié)合已知條件得出，即可得出，進(jìn)而根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，即可得證．【解析】證明：∵，∴．

∵，∴．

∵，∴，

即．

∴．

∴．【典例38】．如圖，，，，分別是邊上的點(diǎn)，，．(1)求證：；(2)若，，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由的對(duì)頂角+，可得，由平行線的性質(zhì)，可得，，由平行線的判定定理即可得證，（2）通過平行線的性質(zhì)求出的度數(shù)，再結(jié)合，，可求的度數(shù)，最后求出的度數(shù)，本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握平行線的性質(zhì)和判定定理，并通過等量代換進(jìn)行求解．【解析】（1）解：，，，（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），（兩直線平行，同位角相等），又，，（同位角相等，兩直線平行），（2），，由，，故答案為：．【典例39】．如圖①，已知，點(diǎn)、N分別在、上．(1)求證：；(2)如圖②，若，，，求的度數(shù)；(3)如圖③，若、分別平分、，，求證：．【答案】(1)證明見解析(2)(3)證明見解析【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，掌握“豬腳模型”的數(shù)量關(guān)系是解本題的關(guān)鍵；（1）利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，可得結(jié)論；（2）過F作，仿照（1）可得結(jié)論；（3）利用（1），（2）數(shù)量關(guān)系和角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理的和差關(guān)系得結(jié)論．【解析】（1）過點(diǎn)E作，，，，，即：；（2）

過F作，，，，，，，，由（1）得，，（3）

、分別平分、，，，，，，，，，，，，，一、單選題1．如圖，直線a、b被直線c所截，，若，則等于（

）A．120 B．130 C．140 D．150【答案】A【分析】利用“兩直線平行，同位角相等”可求出∠3的度數(shù)，再利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，即可求出∠1的度數(shù)．【解析】解：如圖，∵，∴∠3=．又∵∠1+∠3=，∴．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，牢記“兩直線平行，同位角相等”是解題的關(guān)鍵．2．下列圖形中，由，能得到的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可求解．【解析】解：A、因?yàn)?，所以，故本選項(xiàng)不符合題意；B、如圖，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，故本選項(xiàng)符合題意；C、因?yàn)?，所以，故本選項(xiàng)不符合題意；D、由，不能得到，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．3．如圖，直線a、b被直線c、d所截，若，，，則的度數(shù)是（

）A．105° B．115° C．125° D．135°【答案】D【分析】由題意得∠1＝∠5=100°，然后得出∠5+∠2＝180°，證出，由平行線的性質(zhì)即可得出答案．【解析】解：如圖∵∠1＝∠5=100°，∠2＝80°，∴∠5+∠2＝180°，∴，∴∠4＝∠3＝135°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的判定及性質(zhì)，掌握平行線的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．如圖，，直線EF分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，EG平分∠BEF，交CD于點(diǎn)G，若，則∠EGF的度數(shù)是（

）A．55° B．50° C．45° D．40°【答案】A【分析】先根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出，再根據(jù)角平分線的定義得到，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)求解．【解析】解：∵，∴，∵EG平分∠BEF，∴，∵，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了鄰補(bǔ)角的定義，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)．5．如圖，，，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由平行線的性質(zhì)可知，根據(jù)，，可知，進(jìn)而可知，可求出，再根據(jù)對(duì)頂角相等即可求出．【解析】解：∵，，，，，，，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)和對(duì)頂角的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是結(jié)合圖形利用平行線的性質(zhì)和對(duì)頂角的性質(zhì)進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化和計(jì)算．6．如圖，∠ACB=90°，直線lmn，BC與直線n所夾角為25°，則∠a等于（

）A．25° B．55° C．65° D．78°【答案】C【分析】先根據(jù)mn得出∠1的度數(shù)，再由余角的定義求出∠2的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解析】解：如圖，∵mn，邊BC與直線n所夾角為25°，∴∠1=25°，∴∠2=90°25°=65°．∵lm,∴∠α=∠2=65°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等．7．如圖，，平分，交于點(diǎn)D．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)和平角的定義進(jìn)行求解即可．【解析】解：∵平分，，∴，∵，∴，∴；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查利用平行線的性質(zhì)求角，利用角平分線和平行線的性質(zhì)合理的進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．8．如圖，小明在筆記本的橫格線中畫了兩條線段、，點(diǎn)、、、都在格線上，是上一點(diǎn)．若，，則的度數(shù)為（

）A．32° B．34° C．36° D．38°【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可．【解析】解：由題意得，∴∠BAD=∠2=119°，∠DCE=∠1=25°，∴∠ACE=180°∠BAD=61°，∴∠3=∠ACE∠DCE=36°，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟知平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．如圖，直線ABCD，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)O、點(diǎn)F在AB上，∠EOF的角平分線OG交CD于點(diǎn)G，過點(diǎn)F作FH⊥OE于點(diǎn)H，已知∠OGD＝148°，則∠OFH的度數(shù)為（

）A．26° B．30° C．32° D．36°【答案】A【分析】先由平角定義求得∠CGO，再由平行線的性質(zhì)求得∠BOG，由角平分的定義得∠HOF，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得結(jié)果．【解析】解：∵∠OGD=148°，∴∠CGO=180°∠OGD=32°，∵ABCD，∴∠BOG=∠CGO=32°，∵OG平分∠EOF，∴∠HOF=2∠BOG=64°，∵FH⊥OE，∴∠OHF=90°，∴∠OFH=180°∠OHF∠HOF=26°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，平角的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵在求∠BOG．10．如圖，AB∥CD，點(diǎn)E，P在直線AB上（P在E的右側(cè)），點(diǎn)G在直線CD上，EF⊥FG，垂足為F，M為線段EF上的一動(dòng)點(diǎn)，連接GP，GM，∠FGP與∠APG的角平分線交與點(diǎn)Q，且點(diǎn)Q在直線AB，CD之間的區(qū)域，下列結(jié)論：①∠AEF+∠CGF＝90°；②∠AEF+2∠PQG＝270°；③若∠MGF＝2∠CGF，則3∠AEF+∠MGC＝270°；④若∠MGF＝n∠CGF，則∠AEF∠MGC＝90°．正確的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】①過點(diǎn)F作FH∥AB，利用平行線的性質(zhì)以及已知即可證明；②利用角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得到∠3=2∠2，∠CGF+2∠1+∠3=180°，結(jié)合①的結(jié)論即可證明；③由已知得到∠MGC＝3∠CGF，結(jié)合①的結(jié)論即可證明；④由已知得到∠MGC＝(n+1)∠CGF，結(jié)合①的結(jié)論即可證明．【解析】解：①過點(diǎn)F作FH∥AB，如圖：∵AB∥CD，∴AB∥FH∥CD，∴∠AEF=∠EFH，∠CGF=∠GFH，∵EF⊥FG，即∠EFG=∠EFH+∠GFH=90°，∴∠AEF+∠CGF=90°，故①正確；②∵AB∥CD，PQ平分∠APG，GQ平分∠FGP，∴∠APQ=∠2，∠FGQ=∠1，∴∠3=∠APQ+∠2=2∠2，∠CGF+∠FGQ+∠1+∠3=∠CGF+2∠1+∠3=180°，即2∠1=180°2∠2∠CGF，∴2∠2+2∠1=180°∠CGF，∵∠PQG=180°(∠2+∠1)，∴2∠PQG=360°2(∠2+∠1)=360°(180°∠CGF)=180°+∠CGF，∴∠AEF+2∠PQG=∠AEF+180°+∠CGF=180°+90°=270°，故②正確；③∵∠MGF＝2∠CGF，∴∠MGC＝3∠CGF，∴3∠AEF+∠MGC＝3∠AEF+3∠CGF＝3(∠AEF+∠CGF)=390°＝270°；3∠AEF+∠MGC＝270°，故③正確；④∵∠MGF＝n∠CGF，∴∠MGC＝(n+1)∠CGF，即∠CGF=∠MGC，∵∠AEF+∠CGF=90°，∴∠AEF∠MGC＝90°，故④正確．綜上，①②③④都正確，共4個(gè)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，作輔助線求得∠AEF+∠CGF=90°，是解此題的關(guān)鍵．二、填空題11．如圖，直線，，則的度數(shù)是．【答案】/80度【分析】如圖，根據(jù)平角的定義（等于的角叫做平角）求出的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，代入求出即可．【解析】如圖，∵，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．12．如圖、已知，，則的度數(shù)為．【答案】/33度【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，即可求得的度數(shù)．【解析】解：∵，，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．13．如圖，直線ab，三角板的直角頂點(diǎn)放在直線b上，若∠1＝40°，則∠2＝°．【答案】【分析】先由直線ab，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出∠3＝∠1＝40°，再由已知直角三角板得∠4＝90°，然后由∠2+∠3+∠4＝180°求出∠2．【解析】解：已知直線ab，∴∠3＝∠1＝40°，∠4＝90°，∠2+∠3+∠4＝180°，∴∠2＝180°﹣40°﹣90°＝50°，故答案為：50．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線性質(zhì)，關(guān)鍵是由平行線性質(zhì)得出同位角相等求出∠3．14．如圖，AD是△ABC的角平分線，DEAC，DE交AB于點(diǎn)E，DFAB，DF交AC于點(diǎn)F，圖中∠1與∠2的關(guān)系是．【答案】∠1=∠2【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠BAD=∠CAD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠1=∠CAD，∠2=∠BAD，從而得解．【解析】解：∠1=∠2，理由如下：∵DEAC，∴∠1=∠CAD，∵DFAB，∴∠2=∠BAD，又∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD=∠CAD，∴∠1=∠2，故答案為：∠1=∠2．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”是解題的關(guān)鍵．15．如圖，∠A＝70°，O是AB上一點(diǎn)，直線OD與AB所夾角∠BOD＝83°，要使，直線OD繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向至少旋轉(zhuǎn)度．【答案】13【分析】反向推理，若OD旋轉(zhuǎn)到時(shí)，則，求，進(jìn)而解決此題．【解析】解：若OD旋轉(zhuǎn)到時(shí)，則，∵，∴，∴，∴要使，直線OD繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向至少旋轉(zhuǎn)13度．故答案為：13．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定，是解決本題的關(guān)鍵．16．如圖，于點(diǎn)C，交于點(diǎn)B，若，則的度數(shù)是度．【答案】30【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠3，根據(jù)垂直的定義可得∠HCE＝90°，根據(jù)角的和差計(jì)算即可．【解析】解：如圖，∵，∴∠3＝∠1＝60°，∵，∴∠HCE＝90°，∴∠2＝90°－∠3＝90°－60°＝30°，故答案為：30．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，掌握兩直線平行，同位角相等是解題的關(guān)鍵．17．如圖所示，已知，∶∶∶∶，則．【答案】/120度【分析】由條件可得，可表示出，再結(jié)合，∶∶∶∶可得求解的度數(shù)，進(jìn)而可求得的度數(shù)．【解析】解：，，，由，：：：：，可設(shè)，，，，解得，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線性質(zhì)，掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，即①同位角相等兩直線平行，②內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行，③同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行，④，．18．如圖，已知，∠ABG為銳角，AH∥BG，點(diǎn)C從點(diǎn)B（C不與B重合）出發(fā)，沿射線BG的方向移動(dòng)，CD∥AB交直線AH于點(diǎn)D，CE⊥CD交AB于點(diǎn)E，CF⊥AD，垂足為F（F不與A重合），若∠ECF＝n°，則∠BAF的度數(shù)為度．（用n來表示）【答案】n或180﹣n【分析】分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)在線段上；點(diǎn)在延長線上，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到結(jié)論．【解析】解：過A作AM⊥BC于M，如圖1，當(dāng)點(diǎn)C在BM延長線上時(shí)，點(diǎn)F在線段AD上，∵AD∥BC，CF⊥AD，∴CF⊥BG，∴∠BCF＝90°，∴∠BCE+∠ECF＝90°，∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∴∠B+∠BCE＝90°，∴∠B＝∠ECF＝n°，∵AD∥BC，∴∠BAF＝180°﹣∠B＝180°﹣n°，過A作AM⊥BC于M，如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在線段BM上時(shí)，點(diǎn)F在DA延長線上，∵AD∥BC，CF⊥AD，∴CF⊥BG，∴∠BCF＝90°，∴∠BCE+∠ECF＝90°，∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∴∠B+∠BCE＝90°，∴∠B＝∠ECF＝n°，∵AD∥BC，∴∠BAF＝∠B＝n°，綜上所述，∠BAF的度數(shù)為n°或180°﹣n°，故答案為：n或180﹣n．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，解題時(shí)注意：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．三、解答題19．如圖，直線，，求的度數(shù)．

【答案】【分析】根據(jù)，兩直線平行，可知、兩內(nèi)錯(cuò)角相等；已知，即可得的度數(shù)．【解析】解：，，又，．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，掌握兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解題關(guān)鍵．20．如圖，直線，點(diǎn)在直線上，且，，求的度數(shù)．【答案】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可知，結(jié)合，即可求出的度數(shù)．【解析】解：∵直線，∴，∵，∴，∵，∴，∵點(diǎn)在直線上，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、垂直的定義和平角的概念，熟知兩直線平行，同位角相等是解答本題的關(guān)鍵．21．如圖，已知，，求．【答案】【分析】首先證明出，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求出．【解析】解：∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，難度不大，掌握平行線的判定定理和性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．22．如圖，和相交于點(diǎn)O，，，，求的度數(shù).【答案】【分析】根據(jù)即可推出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可推出的度數(shù)．【解析】解：，，．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，本題中由內(nèi)錯(cuò)角相等推出兩直線平行是解題關(guān)鍵．23．完成下列證明：已知：如圖，直線與，分別相交于點(diǎn)，，與，分別相交于點(diǎn)，，，．求證：．證明：∵（已知）又∵（①）∴（等量代換）∴（②）∴（③）又∵（已知）∴（等量代換）∴（④）【答案】①對(duì)頂角相等；②同位角相等，兩直線平行；③兩直線平行，同位角相等；④內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行【分析】先根據(jù)各角之間的關(guān)系得出①的答案，再根據(jù)和是同位角，且相等得出②的答案，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得出③的條件，最后根據(jù)和是內(nèi)錯(cuò)角，且相等得出答案.【解析】∵（已知），∵（對(duì)頂角相等），∴（等量代換），∴（同位角相等，兩直線平行），∴（兩直線平行，同位角相等）．又∵（已知），∴（等量代換），∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定，靈活選擇定理是解題的關(guān)鍵．24．如圖，，，，請(qǐng)將求的過程填寫完整．解：因?yàn)?，所以（）又因?yàn)?，所以．所以（）所以（）．因?yàn)椋裕敬鸢浮?；兩直線平行，同位角相等；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)推出，推出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，代入求出即可．【解析】解：因?yàn)椋裕▋芍本€平行，同位角相等）又因?yàn)?，所以．所以（?nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）所以（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．因?yàn)?，所以．故答案為：；兩直線平行，同位角相等；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．25．已知：如圖，點(diǎn)D，E分別在AB和AC上，CD平分，，．求證：．【答案】證明見解析．【分析】根據(jù)角平分線定義可求，然后利用等量代換可得，再利用平行線判定定理同位角相等，兩直線平行可得．【解析】證明：∵CD平分（已知），∴（角平分線的定義）．∵（已知），∴（等量代換）．∴（同位角相等，兩直線平行）．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線定義，平行線判定，正確識(shí)別“三線八角”中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角是正確答題的關(guān)鍵．26．已知：如圖，BE，DF分別平分∠ABD和∠BDC，且BE⊥DF．求證：AB∥CD．【答案】見解析【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠ABE=∠DBE=∠ABD，∠BDF=∠EDF=∠BDE，根據(jù)BE⊥DF得出∠DBE+∠BDF=90°，從而得出∠ABD+∠BDE=180°，由平行線的判定方法即可得出AB∥CD．【解析】解：證明：∵BE⊥DF，∠BFD=90°，∴∠DBE+∠BDF=90°，∵BE，DF分別平分∠ABD和∠BDC，∴∠ABE=∠DBE=∠ABD，∠BDF=∠EDF=∠BDE，∴∠ABD+∠BDE=2∠DBE+2∠BDF=180°，∴AB∥CD．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，靈活運(yùn)用角平分線的定義和角的和差的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，注意正確識(shí)別“三線八角”中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角．27．如圖，∠ADE+∠BCF=180°,BE平分∠ABC.∠ADC=2∠E．（1）AD與BC平行嗎？請(qǐng)說明理由；（2）AB與EF的位置關(guān)系如何?為什么．解：（1）AD//BC.理由如下：∵∠ADE+∠ADF=180°（鄰補(bǔ)角的定義）∠ADE+∠BCF=180°(已如）∴∠ADF=∠（）∴AD//BC．（2）AB∥EF,理由如下：∵BE平分∠ABC（已知）∴∠ABE=∠ABC（）又∵∠ABC=2∠E.（已知）即∠E=∠ABC∴∠E=∠（）∴AB//EF（）【答案】（1）BCF，同角的補(bǔ)角相等，同位角相等，兩直線平行；（2）角平分線定義、ABE、等量代換、內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．【分析】（1）根據(jù)同角的補(bǔ)角相等證得∠ADF=∠BCF，再根據(jù)同位角相等，兩直線平行證得結(jié)論即可；（2）根據(jù)角平分線定義證得∠ABE=∠ABC，再根據(jù)等量代換得到∠E=∠ABE，然后根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行證明結(jié)論即可．【解析】解：（1）AD//BC.理由如下：∵∠ADE+∠ADF=180°（鄰補(bǔ)角的定義）∠ADE+∠BCF=180°(已如）∴∠ADF=∠BCF（同角的補(bǔ)角相等）∴AD//BC（同位角相等，兩直線平行）故答案為：BCF，同角的補(bǔ)角相等，同位角相等，兩直線平行；（2）AB∥EF,理由如下：∵BE平分∠ABC（已知）∴∠ABE=∠ABC（角平分線定義）又∵∠ABC=2∠E.（已知）即∠E=∠ABC∴∠E=∠ABE（等量代換）∴AB//EF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．故答案為：角平分線定義、ABE、等量代換、內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．【點(diǎn)睛】本題考查同角的補(bǔ)角相等、平行線的判定、角平分線定義、鄰補(bǔ)角定義，熟練掌握平行線的判定是解答的關(guān)鍵．28．如圖，BD⊥AC于點(diǎn)D，EF⊥AC于點(diǎn)F，DM∥BC，∠1＝∠2＝25°．(1)求∠GFC的度數(shù)；(2)求證：∠AMD＝∠AGF．【答案】(1)∠GFC＝115°(2)見解析【分析】（1）證出BD∥EF，由平行線的性質(zhì)得出∠EFG=∠1=25°，即可得出答案；（2）由平行線的性質(zhì)得出∠2=∠CBD，得出∠1=∠CBD，證出GF∥BC，再證出MD∥GF，即可得出∠AMD=∠AGF．【解析】（1）解：∵BD⊥AC，EF⊥AC，∴BD∥EF，∠EFC＝90°，∴∠EFG＝∠1＝25°，∴∠GFC＝90°+25°＝115°；（2）證明：∵BD∥EF，∴∠2＝∠CBD，∴∠1＝∠CBD，∴GF∥BC，∵∠AMD＝∠AGF，∴MD∥GF，∴∠AMD＝∠AGF．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行線的