第08講平行線的性質（十一大題型）

第08講平行線的性質（十一大題型）1．掌握平行線的性質，并能依據(jù)平行線的性質進行簡單的推理；2．了解平行線的判定與性質的區(qū)別和聯(lián)系，理解兩條平行線的距離的概念；題型1：兩直線平行，同位角相等【典例1】．如圖，已知直線與直線都相交．若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查鄰補角互補，平行線的性質．熟練掌握平行線的性質是解題關鍵．根據(jù)兩直線平行同位角相等即可得出，再根據(jù)鄰補角互補求解即可．【解析】解：如圖，∵，∴，∴．故選B．【典例2】．如圖，梯子的各條橫檔互相平行，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了平行線的性質；由兩直線平行同位角相等即可求解．【解析】解：∵梯子的各條橫檔互相平行，，∴，故選：B．【典例3】．如圖，直線直線，則的值是（

）．A．20 B．30 C．40 D．50【答案】B【分析】本題主要考查了平行線的性質，解題的關鍵是熟練掌握兩直線平行，同位角相等．先根據(jù)平行線的性質得出，再求出，然后求出結果即可．【解析】解：如圖，，∵，∴，∴，∴，故選：B．題型2：兩直線平行，內錯角相等【典例4】．如圖，直線a，b被直線c所截，若，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查平行線性質，根據(jù)平行線性質得到內錯角的大小，結合鄰補角互補即可得到答案；【解析】解：∵，，∴，∴，故選：D．【典例5】．如圖，已知，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了平行線的性質，平角的定義，根據(jù)平行線的性質可得，即可求解．【解析】解：∵，∴，故選：A．【典例6】．如圖，，E是上一點，若平分，，則為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)角平分線的定義得到，再由平行線的性質得到．【解析】解：∵平分，，∴，∵，∴．故選：D【點睛】此題考查了平行線的性質和角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．題型3：兩直線平行，同旁內角互補【典例7】．如圖，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了平行線的性質，根據(jù)兩直線平行線，同旁內角互補即可求解，熟練掌握其性質是解題的關鍵．【解析】解：，且，，故選：A．【典例8】．如圖，，直線分別交，于點，，平分，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質；根據(jù)角平分線的定義求出，再根據(jù)平行線的性質即可求出．【解析】解：∵，平分，∴，∴，∵，∴，故選：C．【典例9】．如圖，直線，點在直線上，點在直線上，連接，過點作，交直線于點．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質和垂線的定義，熟知：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補．根據(jù)兩直線平行，同旁內角互補得出，結合已知條件即可求出的度數(shù)．【解析】解：如圖所示，∵，∴，∴∵，∴，∵，∴，∴，故選：C．題型4：根據(jù)平行線的性質探究角的關系【典例10】．如圖，，EF分別截于點E，F(xiàn)，連結，則下列結論錯誤的是(

)A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查平行線的性質，解答的關鍵是熟記平行線的性質．利用平行線的性質對各項進行分析即可．【解析】，，，，故A結論正確，不符合題意；，，，故C結論正確，不符合題意；，，，，，故D結論正確，不符合題意；無法求得，故B結論錯誤，符合題意．故選：B．【典例11】．如圖，直線，則下列結論正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)對頂角相等，鄰補角互補，以及平行線的性質進行判斷即可．【解析】解：如圖，∵，∴，∵，∴，故選B．【點睛】本題考查平行線的性質，對頂角和鄰補角．熟練掌握相關知識點，理清角度之間的關系，是解題的關鍵．【典例12】．如圖，，，設，，則與之間的數(shù)量關系正確的是（

）A． B．C． D．與沒有數(shù)量關系【答案】A【分析】過C作∥，得到∥，因此，，由垂直的定義得到，由鄰補角的性質即可得到答案．【解析】解：過C作∥，∥，，，，，，，，，故選：A．【點睛】本題考查平行線的性質，關鍵是過C作，得到，由平行線的性質來解決問題．【典例13】．如圖所示，，若，下列各式：①

②

③

④其中正確的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①④【答案】D【分析】過點E作，點F作，根據(jù)平行公理得，根據(jù)平行線的性質逐一計算解題即可．【解析】解：如圖，過點E作，∵，∴，∴，，∴，故①正確；如圖，過點F作，∵，∴，∴，，∴，即，故②不正確；又∵，∴，即，故③不正確；∵，∴，∵，∴，，故④正確；∴正確的為①④，故選D．【點睛】本題考查平行線的性質，能作輔助線構造平行線轉化角是解題的關鍵．題型5：根據(jù)平行線的性質求角度【典例14】．如圖，若，則、、之間關系是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】作，根據(jù)平行線的性質可得，，然后由整理后可得答案．【解析】解：如圖，作，∵，∴，∴，，又∵，∴，即．故選：C．【點睛】本題考查了平行線的判定和性質，熟知兩直線平行，同旁內角互補；兩直線平行，內錯角相等是解題的關鍵．【典例15】．如圖，，，平分，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查平行線的性質，角平分線的性質，掌握平行線的性質，角平分線的性質，垂直的性質，合理作出平行線是解題的關鍵．如圖所示，作交于，作，根據(jù)平行線的性質可求出的度數(shù)，根據(jù)垂直的性質可求出的度數(shù)，最后根據(jù)即可求解．【解析】解：如圖所示，作交于，作，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴．【典例16】．將一塊直角三角尺如圖放置，若，，則為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查的是角的和差運算，平行線的性質，證明，再結合已知條件即可得到答案，掌握兩直線平行同旁內角互補是解本題的關鍵．【解析】解：如圖，由題意可得：，，，∴，∵，∴，∴，故選A【典例17】．如圖，已知直線，現(xiàn)將含角的直角三角板放入平行線之間，兩個銳角頂點分別落在兩條直線上．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了平行線的性質，解題的關鍵是熟練掌握平行線的性質，兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補．根據(jù)已知條件得出，根據(jù)兩直線平行，內錯角相等即可得出答案．【解析】解：∵，，∴，∵，∴．【典例18】．將一副三角尺（厚度不計）按如圖所示方式擺放．使邊與邊互相平行，則圖中的大小為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了平行線的性質，三角板中角度的計算，靈活運用所學知識是解題的關鍵．先根據(jù)三角板的特點得到，，再由平行線的性質得到，由平角的定義即可求解．【解析】解：由題意得：，，，，，故選：D．【典例19】．如圖，，直線分別交，于點，，且滿足，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．不確定【答案】B【分析】本題考查了平行線的性質，過作，由平行的判定方法得，由平行線的性質得，，，等量代換計算得，即可求解；掌握性質，作出輔助線求解是解題的關鍵．【解析】解：如圖，過作，，，，，，，，，；故選：B．題型6：平行線的性質在生活中的應用【典例20】．如圖，一條街道有兩個拐角和，已知，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了平行線的性質：兩直線平行，內錯角相等，由，根據(jù)兩直線平行，內錯角相等，可得的度數(shù)，解題的關鍵是將實際問題轉化為數(shù)學問題求解．【解析】∵∴（兩直線平行，內錯角相等）．故選：D．【典例21】．生活中常見一種折疊攔道閘如圖1所示．若想求解某些特殊狀態(tài)下的角度，需將其抽象為如圖2所示的幾何圖形，其中，垂足為A，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】過B作，然后根據(jù)平行線的性質和垂線的定義即可得解．【解析】解：如圖，過B作，∵，則，∴，∵，∴，∴，∴，故選：A．【點睛】本題考查平行線的綜合應用，熟練掌握平行線的性質和垂線的定義是解題關鍵．【典例22】．一輛行駛中的汽車經過兩次拐彎后，仍向原方向行駛，則兩次拐彎的角度可能是（

）A．先右轉，后左轉 B．先左轉，后右轉C．先右轉，后左轉 D．先右轉，后左轉【答案】D【分析】利用平行的性質：兩直線平行，同位角相等來選擇即可．【解析】解：兩次拐彎后，仍在原來的方向上平行行駛，即轉彎前與轉彎后的道路是平行的，因而右轉的角與左轉的角應相等，理由是兩直線平行，同位角相等．故選：D．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，能夠根據(jù)條件，找到解決問題的依據(jù)是解決本題的關鍵．題型7：根據(jù)平行線的性質與判定求角度【典例23】．如圖，為直線上兩點，且平分．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】略【典例24】．如圖，直線，和的數(shù)量關系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了平行線的判定與性質．熟練掌握平行線的判定與性質是解題的關鍵．過作，則，則，根據(jù)，計算求解即可．【解析】解：如圖，過作，則，∴，∵，∴，即，故選：C．【典例25】．如圖，，的平分線與的平分線交于點，當時，的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查平行線的性質、角平分線的定義，過G作，則，根據(jù)平行線的性質和角平分線的定義求解即可．添加平行線求解是解答的關鍵．【解析】解：過G作，則，∴，，∵，∴，則，∵的平分線與的平分線交于點，∴，，∴，∵，∴，即，∴，故選：C．題型8：根據(jù)平行線的性質與判定證明【典例26】．如圖，下列推理及括號中所注明的推理依據(jù)錯誤的是（

）A．∵，（兩直線平行，同旁內角互補）B．，（兩直線平行，同旁內角互補）C．，（內錯角相等，兩直線平行）D．，（同位角相等，兩直線平行）【答案】A【分析】本題考查的是平行線的判定與性質，利用平行線的判定方法與性質逐一分析即可得到答案，熟記平行線的判定方法與平行線的性質是解本題的關鍵．【解析】解：∵，（兩直線平行，同旁內角互補），故A符合題意；，（兩直線平行，同旁內角互補），故B不符合題意；，（內錯角相等，兩直線平行），故C不符合題意；，（同位角相等，兩直線平行），故D不符合題意；故選A【典例27】．下面是投影屏上出示的搶答題，需要回答橫線上序號代表的內容．已知，求證：的內角和是．證明：如圖，作①，∴②（兩直線平行，內錯角相等），∴（兩直線平行，③相等）．∵④，∴．則序號代表的內容正確的是（

）A．①代表 B．②代表 C．③代表內錯角 D．④代表【答案】A【分析】本題主要考查平行線的性質，三角形內角和的判定，掌握平行線的性質是解題的關鍵．根據(jù)題意，作，根據(jù)兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同位角相等，再根據(jù)平角的性質即可求解．【解析】解：如圖所示，作，∴（兩直線平行，內錯角相等），∴（兩直線平行，同位角相等），∵，∴．∴①代表，②代表，③代表同位角，④代表，故選：．【典例28】．如圖，已知，現(xiàn)將一直角三角板放入圖中，其中，，與分別交于與分別交于．則下列結論：①；②；③；④．其中一定正確的結論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】該題考查了平行線的性質和判定，解題的關鍵是正確做出輔助線；根據(jù)對頂角相等，平行線的性質和判定解答即可．【解析】(對頂角相等)①正確；∵，，∵，，②正確；；和不一定相等；③錯誤；過點E作∵，，，，，故④正確；正確的有三個，故選C．題型9：平行線間的距離【典例29】．如圖，已知直線，直線d與它們分別垂直且相交于A，B，C三點，若，，則平行線b，c之間的距離是（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】根據(jù)題意可求出，再根據(jù)平行線間的距離的定義即可解答．【解析】解：∵，，∴．∵，直線d與它們分別垂直且相交于A，B，C三點，∴平行線b，c之間的距離是4．故選B．【點睛】本題考查線段的和與差，平行線間的距離．利用數(shù)形結合的思想是解題關鍵．【典例30】．已知直線，，a與b的距離為，b與c的距離為，則a與c的距離為．【答案】7cm或3cm【分析】分①直線c在直線a、b外時，②直線c在直線a、b之間時，兩種情況討論求解．【解析】解：如圖①，直線c在直線a、b外時，∵a與b的距離為，b與c的距離為，∴a與c的距離為；如圖②，直線c在直線a、b之間時，∵a與b的距離為，b與c的距離為，∴a與c的距離為；故答案為：7cm或3cm．【點睛】此題考查的是平行線之間的距離，從一條平行線上的任意一點到另一條直線作垂線，垂線段的長度叫做兩條平行線之間的距離．【典例31】．如圖，已知，垂足分別為E，F(xiàn)．若，則AD與BC之間的距離是．【答案】5【解析】略題型10：利用平行線間的距離解決問題【典例32】．如圖，直線，且a，b之間相距．點P是直線a上一定點，點Q在直線b上運動，則在Q點的運動過程中，線段的最小值是．【答案】8【分析】根據(jù)垂線段最短進行求解即可【解析】解：∵直線，點P是直線a上一定點，點Q在直線b上運動，∴根據(jù)垂線段最短可知，在運動過程中，當時，線段有最小值，∵a，b之間相距，∴線段的最小值為，故答案為：8．【點睛】本題考查了平行線之間的距離的定義和垂線段最短，牢記平行線之間距離的定義和垂線段最短是本題的關鍵．【典例33】．如圖，在平行四邊形中，甲的面積是46平方厘米，乙的面積是73平方厘米，則丙的面積是平方厘米．【答案】27【分析】連接，因為面積＝面積（同底等高），可得面積＝面積,同理面積＝的面積，再根據(jù)甲、乙的面積即可求出丙的面積．【解析】解：如圖，連接，在平行四邊形中，,根據(jù)同底等高可得，，，同理，，因為甲的面積是46平方厘米，乙的面積是73平方厘米，所以丙的面積（平方厘米）；故答案為：27．【點睛】解答此題的關鍵是兩直線平行時三角形同底等高時面積相等的性質，進行分析，進而解決問題．【典例34】．如圖，直線，點C在上．若，的面積為27，的面積為18，則．【答案】6【分析】過點A作于點M，過點C作于點N，先根據(jù)三角形的面積公式求出，則，最后根據(jù)三角形面積公式求出即可．【解析】解：過點A作于點M，過點C作于點N，∵，的面積為27，∴，解得：，∵，∴，∵的面積為18，∴，解得：，故答案為：6．【點睛】本題主要考查了平行線的間的距離處處相等，解題的關鍵是熟練掌握平行線間距離處處相等．題型11：平行線的性質與判定綜合解答題【典例35】．如圖，，，求的度數(shù)．【答案】【分析】本題考查平行線的性質和判定，根據(jù)判定，再根據(jù)兩直線平行，同旁內角互補，即可解題．【解析】解：由圖可知，，，．，．【典例36】．如圖，已知，，，求（請?zhí)羁眨┙猓骸?，∴________（________________）又∵，∴（________________）∴________（________________________）∴________（________________________）∵，∴________（____________）【答案】，兩直線平行，同位角相等；等量代換；，內錯角相等，兩直線平行；，兩直線平行，同旁內角互補；，補角的定義．【分析】此題考查了平行線的性質與判定，根據(jù)平行線的判定與性質即可，解題的關鍵是熟練掌握平行線的性質與判定及其應用．【解析】∵，∴（兩直線平行，同位角相等）又∵，∴（等量代換）∴（內錯角相等，兩直線平行）∴（兩直線平行，同旁內角互補）∵，∴（補角的定義）；故答案為：，兩直線平行，同位角相等；等量代換；，內錯角相等，兩直線平行；，兩直線平行，同旁內角互補；，補角的定義．【典例37】．如圖，，，三點在一條直線上，，，三點在一條直線上，，，．求證：．【答案】見解析【分析】本題考查了平行線的性質與判定；根據(jù)平行線的性質得出，進而結合已知條件得出，即可得出，進而根據(jù)內錯角相等，兩直線平行，即可得證．【解析】證明：∵，∴．

∵，∴．

∵，∴，

即．

∴．

∴．【典例38】．如圖，，，，分別是邊上的點，，．(1)求證：；(2)若，，請直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由的對頂角+，可得，由平行線的性質，可得，，由平行線的判定定理即可得證，（2）通過平行線的性質求出的度數(shù)，再結合，，可求的度數(shù)，最后求出的度數(shù)，本題考查了平行線的性質和判定，解題的關鍵是：熟練掌握平行線的性質和判定定理，并通過等量代換進行求解．【解析】（1）解：，，，（同旁內角互補，兩直線平行），（兩直線平行，同位角相等），又，，（同位角相等，兩直線平行），（2），，由，，故答案為：．【典例39】．如圖①，已知，點、N分別在、上．(1)求證：；(2)如圖②，若，，，求的度數(shù)；(3)如圖③，若、分別平分、，，求證：．【答案】(1)證明見解析(2)(3)證明見解析【分析】本題考查了平行線的性質，掌握“豬腳模型”的數(shù)量關系是解本題的關鍵；（1）利用兩直線平行，內錯角相等，可得結論；（2）過F作，仿照（1）可得結論；（3）利用（1），（2）數(shù)量關系和角平分線的定義，三角形內角和定理的和差關系得結論．【解析】（1）過點E作，，，，，即：；（2）

過F作，，，，，，，，由（1）得，，（3）

、分別平分、，，，，，，，，，，，，，一、單選題1．如圖，直線a、b被直線c所截，，若，則等于（

）A．120 B．130 C．140 D．150【答案】A【分析】利用“兩直線平行，同位角相等”可求出∠3的度數(shù)，再利用鄰補角互補，即可求出∠1的度數(shù)．【解析】解：如圖，∵，∴∠3=．又∵∠1+∠3=，∴．故選A．【點睛】本題考查了平行線的性質，牢記“兩直線平行，同位角相等”是解題的關鍵．2．下列圖形中，由，能得到的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質，逐項判斷即可求解．【解析】解：A、因為，所以，故本選項不符合題意；B、如圖，因為，所以，因為，所以，故本選項符合題意；C、因為，所以，故本選項不符合題意；D、由，不能得到，故本選項不符合題意；故選：B【點睛】本題主要考查了平行線的性質，熟練掌握平行線的性質定理是解題的關鍵．3．如圖，直線a、b被直線c、d所截，若，，，則的度數(shù)是（

）A．105° B．115° C．125° D．135°【答案】D【分析】由題意得∠1＝∠5=100°，然后得出∠5+∠2＝180°，證出，由平行線的性質即可得出答案．【解析】解：如圖∵∠1＝∠5=100°，∠2＝80°，∴∠5+∠2＝180°，∴，∴∠4＝∠3＝135°，故選：D．【點睛】本題主要考查平行線的判定及性質，掌握平行線的判定及性質是解題的關鍵．4．如圖，，直線EF分別交AB，CD于點E，F(xiàn)，EG平分∠BEF，交CD于點G，若，則∠EGF的度數(shù)是（

）A．55° B．50° C．45° D．40°【答案】A【分析】先根據(jù)鄰補角的定義求出，再根據(jù)角平分線的定義得到，最后根據(jù)平行線的性質求解．【解析】解：∵，∴，∵EG平分∠BEF，∴，∵，∴，故選A．【點睛】本題考查了鄰補角的定義，角平分線的定義，平行線的性質，解題的關鍵是熟練掌握平行線的性質．5．如圖，，，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由平行線的性質可知，根據(jù)，，可知，進而可知，可求出，再根據(jù)對頂角相等即可求出．【解析】解：∵，，，，，，，．故選：D．【點睛】本題考查平行線的性質和對頂角的性質，解題關鍵是結合圖形利用平行線的性質和對頂角的性質進行角的轉化和計算．6．如圖，∠ACB=90°，直線lmn，BC與直線n所夾角為25°，則∠a等于（

）A．25° B．55° C．65° D．78°【答案】C【分析】先根據(jù)mn得出∠1的度數(shù)，再由余角的定義求出∠2的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質即可得出結論．【解析】解：如圖，∵mn，邊BC與直線n所夾角為25°，∴∠1=25°，∴∠2=90°25°=65°．∵lm,∴∠α=∠2=65°．故選：C．【點睛】本題考查的是平行線的性質，解決本題的關鍵是熟練掌握平行線的性質：兩直線平行，同位角相等，內錯角相等．7．如圖，，平分，交于點D．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質和平角的定義進行求解即可．【解析】解：∵平分，，∴，∵，∴，∴；故選：B．【點睛】本題考查利用平行線的性質求角，利用角平分線和平行線的性質合理的進行角的轉化是解題的關鍵．8．如圖，小明在筆記本的橫格線中畫了兩條線段、，點、、、都在格線上，是上一點．若，，則的度數(shù)為（

）A．32° B．34° C．36° D．38°【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質求解即可．【解析】解：由題意得，∴∠BAD=∠2=119°，∠DCE=∠1=25°，∴∠ACE=180°∠BAD=61°，∴∠3=∠ACE∠DCE=36°，故選C．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，熟知平行線的性質是解題的關鍵．9．如圖，直線ABCD，點E在CD上，點O、點F在AB上，∠EOF的角平分線OG交CD于點G，過點F作FH⊥OE于點H，已知∠OGD＝148°，則∠OFH的度數(shù)為（

）A．26° B．30° C．32° D．36°【答案】A【分析】先由平角定義求得∠CGO，再由平行線的性質求得∠BOG，由角平分的定義得∠HOF，最后根據(jù)三角形的內角和定理求得結果．【解析】解：∵∠OGD=148°，∴∠CGO=180°∠OGD=32°，∵ABCD，∴∠BOG=∠CGO=32°，∵OG平分∠EOF，∴∠HOF=2∠BOG=64°，∵FH⊥OE，∴∠OHF=90°，∴∠OFH=180°∠OHF∠HOF=26°，故選：A．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，平角的性質，角平分線的定義，三角形內角和定理，關鍵在求∠BOG．10．如圖，AB∥CD，點E，P在直線AB上（P在E的右側），點G在直線CD上，EF⊥FG，垂足為F，M為線段EF上的一動點，連接GP，GM，∠FGP與∠APG的角平分線交與點Q，且點Q在直線AB，CD之間的區(qū)域，下列結論：①∠AEF+∠CGF＝90°；②∠AEF+2∠PQG＝270°；③若∠MGF＝2∠CGF，則3∠AEF+∠MGC＝270°；④若∠MGF＝n∠CGF，則∠AEF∠MGC＝90°．正確的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】①過點F作FH∥AB，利用平行線的性質以及已知即可證明；②利用角平分線的性質以及平行線的性質得到∠3=2∠2，∠CGF+2∠1+∠3=180°，結合①的結論即可證明；③由已知得到∠MGC＝3∠CGF，結合①的結論即可證明；④由已知得到∠MGC＝(n+1)∠CGF，結合①的結論即可證明．【解析】解：①過點F作FH∥AB，如圖：∵AB∥CD，∴AB∥FH∥CD，∴∠AEF=∠EFH，∠CGF=∠GFH，∵EF⊥FG，即∠EFG=∠EFH+∠GFH=90°，∴∠AEF+∠CGF=90°，故①正確；②∵AB∥CD，PQ平分∠APG，GQ平分∠FGP，∴∠APQ=∠2，∠FGQ=∠1，∴∠3=∠APQ+∠2=2∠2，∠CGF+∠FGQ+∠1+∠3=∠CGF+2∠1+∠3=180°，即2∠1=180°2∠2∠CGF，∴2∠2+2∠1=180°∠CGF，∵∠PQG=180°(∠2+∠1)，∴2∠PQG=360°2(∠2+∠1)=360°(180°∠CGF)=180°+∠CGF，∴∠AEF+2∠PQG=∠AEF+180°+∠CGF=180°+90°=270°，故②正確；③∵∠MGF＝2∠CGF，∴∠MGC＝3∠CGF，∴3∠AEF+∠MGC＝3∠AEF+3∠CGF＝3(∠AEF+∠CGF)=390°＝270°；3∠AEF+∠MGC＝270°，故③正確；④∵∠MGF＝n∠CGF，∴∠MGC＝(n+1)∠CGF，即∠CGF=∠MGC，∵∠AEF+∠CGF=90°，∴∠AEF∠MGC＝90°，故④正確．綜上，①②③④都正確，共4個，故選：A．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，角平分線的定義等知識點，作輔助線求得∠AEF+∠CGF=90°，是解此題的關鍵．二、填空題11．如圖，直線，，則的度數(shù)是．【答案】/80度【分析】如圖，根據(jù)平角的定義（等于的角叫做平角）求出的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質得出，代入求出即可．【解析】如圖，∵，∴，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的性質的應用，兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內角互補；熟練掌握平行線的性質是解題關鍵．12．如圖、已知，，則的度數(shù)為．【答案】/33度【分析】根據(jù)平行線的性質可得，即可求得的度數(shù)．【解析】解：∵，，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查平行線的性質，掌握平行線的性質是解題關鍵．13．如圖，直線ab，三角板的直角頂點放在直線b上，若∠1＝40°，則∠2＝°．【答案】【分析】先由直線ab，根據(jù)平行線的性質，得出∠3＝∠1＝40°，再由已知直角三角板得∠4＝90°，然后由∠2+∠3+∠4＝180°求出∠2．【解析】解：已知直線ab，∴∠3＝∠1＝40°，∠4＝90°，∠2+∠3+∠4＝180°，∴∠2＝180°﹣40°﹣90°＝50°，故答案為：50．【點睛】此題考查了平行線性質，關鍵是由平行線性質得出同位角相等求出∠3．14．如圖，AD是△ABC的角平分線，DEAC，DE交AB于點E，DFAB，DF交AC于點F，圖中∠1與∠2的關系是．【答案】∠1=∠2【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠BAD=∠CAD，再根據(jù)兩直線平行，內錯角相等可得∠1=∠CAD，∠2=∠BAD，從而得解．【解析】解：∠1=∠2，理由如下：∵DEAC，∴∠1=∠CAD，∵DFAB，∴∠2=∠BAD，又∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD=∠CAD，∴∠1=∠2，故答案為：∠1=∠2．【點睛】此題考查了平行線的性質，熟記“兩直線平行，內錯角相等”是解題的關鍵．15．如圖，∠A＝70°，O是AB上一點，直線OD與AB所夾角∠BOD＝83°，要使，直線OD繞點O按逆時針方向至少旋轉度．【答案】13【分析】反向推理，若OD旋轉到時，則，求，進而解決此題．【解析】解：若OD旋轉到時，則，∵，∴，∴，∴要使，直線OD繞點O按逆時針方向至少旋轉13度．故答案為：13．【點睛】本題主要考查平行線的性質與判定，熟練掌握平行線的性質與判定，是解決本題的關鍵．16．如圖，于點C，交于點B，若，則的度數(shù)是度．【答案】30【分析】根據(jù)平行線的性質求出∠3，根據(jù)垂直的定義可得∠HCE＝90°，根據(jù)角的和差計算即可．【解析】解：如圖，∵，∴∠3＝∠1＝60°，∵，∴∠HCE＝90°，∴∠2＝90°－∠3＝90°－60°＝30°，故答案為：30．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，掌握兩直線平行，同位角相等是解題的關鍵．17．如圖所示，已知，∶∶∶∶，則．【答案】/120度【分析】由條件可得，可表示出，再結合，∶∶∶∶可得求解的度數(shù)，進而可求得的度數(shù)．【解析】解：，，，由，：：：：，可設，，，，解得，，．故答案為：．【點睛】本題主要考查平行線性質，掌握平行線的判定和性質是解題的關鍵，即①同位角相等兩直線平行，②內錯角相等兩直線平行，③同旁內角互補兩直線平行，④，．18．如圖，已知，∠ABG為銳角，AH∥BG，點C從點B（C不與B重合）出發(fā)，沿射線BG的方向移動，CD∥AB交直線AH于點D，CE⊥CD交AB于點E，CF⊥AD，垂足為F（F不與A重合），若∠ECF＝n°，則∠BAF的度數(shù)為度．（用n來表示）【答案】n或180﹣n【分析】分兩種情況討論：當點在線段上；點在延長線上，根據(jù)平行線的性質，即可得到結論．【解析】解：過A作AM⊥BC于M，如圖1，當點C在BM延長線上時，點F在線段AD上，∵AD∥BC，CF⊥AD，∴CF⊥BG，∴∠BCF＝90°，∴∠BCE+∠ECF＝90°，∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∴∠B+∠BCE＝90°，∴∠B＝∠ECF＝n°，∵AD∥BC，∴∠BAF＝180°﹣∠B＝180°﹣n°，過A作AM⊥BC于M，如圖2，當點C在線段BM上時，點F在DA延長線上，∵AD∥BC，CF⊥AD，∴CF⊥BG，∴∠BCF＝90°，∴∠BCE+∠ECF＝90°，∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∴∠B+∠BCE＝90°，∴∠B＝∠ECF＝n°，∵AD∥BC，∴∠BAF＝∠B＝n°，綜上所述，∠BAF的度數(shù)為n°或180°﹣n°，故答案為：n或180﹣n．【點睛】本題主要考查了平行線的性質的運用，解題時注意：兩直線平行，同旁內角互補；兩直線平行，內錯角相等．三、解答題19．如圖，直線，，求的度數(shù)．

【答案】【分析】根據(jù)，兩直線平行，可知、兩內錯角相等；已知，即可得的度數(shù)．【解析】解：，，又，．【點睛】本題主要考查平行線的性質，掌握兩直線平行，內錯角相等是解題關鍵．20．如圖，直線，點在直線上，且，，求的度數(shù)．【答案】【分析】根據(jù)平行線的性質可知，結合，即可求出的度數(shù)．【解析】解：∵直線，∴，∵，∴，∵，∴，∵點在直線上，∴，∴．【點睛】本題考查了平行線的性質、垂直的定義和平角的概念，熟知兩直線平行，同位角相等是解答本題的關鍵．21．如圖，已知，，求．【答案】【分析】首先證明出，然后根據(jù)平行線的性質求出．【解析】解：∵，∴，∴．【點睛】本題考查平行線的判定與性質，難度不大，掌握平行線的判定定理和性質定理是解題關鍵．22．如圖，和相交于點O，，，，求的度數(shù).【答案】【分析】根據(jù)即可推出，再根據(jù)平行線的性質即可推出的度數(shù)．【解析】解：，，．【點睛】本題考查平行線的判定與性質，本題中由內錯角相等推出兩直線平行是解題關鍵．23．完成下列證明：已知：如圖，直線與，分別相交于點，，與，分別相交于點，，，．求證：．證明：∵（已知）又∵（①）∴（等量代換）∴（②）∴（③）又∵（已知）∴（等量代換）∴（④）【答案】①對頂角相等；②同位角相等，兩直線平行；③兩直線平行，同位角相等；④內錯角相等，兩直線平行【分析】先根據(jù)各角之間的關系得出①的答案，再根據(jù)和是同位角，且相等得出②的答案，然后根據(jù)平行線的性質得出③的條件，最后根據(jù)和是內錯角，且相等得出答案.【解析】∵（已知），∵（對頂角相等），∴（等量代換），∴（同位角相等，兩直線平行），∴（兩直線平行，同位角相等）．又∵（已知），∴（等量代換），∴（內錯角相等，兩直線平行）．【點睛】本題主要考查了平行線的性質和判定，靈活選擇定理是解題的關鍵．24．如圖，，，，請將求的過程填寫完整．解：因為，所以（）又因為，所以．所以（）所以（）．因為，所以．【答案】；兩直線平行，同位角相等；內錯角相等，兩直線平行；；兩直線平行，同旁內角互補；【分析】根據(jù)平行線的性質推出，推出，根據(jù)平行線的性質得出，代入求出即可．【解析】解：因為，所以（兩直線平行，同位角相等）又因為，所以．所以（內錯角相等，兩直線平行）所以（兩直線平行，同旁內角互補）．因為，所以．故答案為：；兩直線平行，同位角相等；內錯角相等，兩直線平行；；兩直線平行，同旁內角互補；．【點睛】本題考查平行線的判定與性質，掌握平行線的判定與性質是解題的關鍵．25．已知：如圖，點D，E分別在AB和AC上，CD平分，，．求證：．【答案】證明見解析．【分析】根據(jù)角平分線定義可求，然后利用等量代換可得，再利用平行線判定定理同位角相等，兩直線平行可得．【解析】證明：∵CD平分（已知），∴（角平分線的定義）．∵（已知），∴（等量代換）．∴（同位角相等，兩直線平行）．【點睛】本題考查角平分線定義，平行線判定，正確識別“三線八角”中的同位角、內錯角、同旁內角是正確答題的關鍵．26．已知：如圖，BE，DF分別平分∠ABD和∠BDC，且BE⊥DF．求證：AB∥CD．【答案】見解析【分析】根據(jù)角平分線的性質得出∠ABE=∠DBE=∠ABD，∠BDF=∠EDF=∠BDE，根據(jù)BE⊥DF得出∠DBE+∠BDF=90°，從而得出∠ABD+∠BDE=180°，由平行線的判定方法即可得出AB∥CD．【解析】解：證明：∵BE⊥DF，∠BFD=90°，∴∠DBE+∠BDF=90°，∵BE，DF分別平分∠ABD和∠BDC，∴∠ABE=∠DBE=∠ABD，∠BDF=∠EDF=∠BDE，∴∠ABD+∠BDE=2∠DBE+2∠BDF=180°，∴AB∥CD．【點睛】本題考查了平行線的判定，靈活運用角平分線的定義和角的和差的關系是解決本題的關鍵，注意正確識別“三線八角”中的同位角、內錯角、同旁內角．27．如圖，∠ADE+∠BCF=180°,BE平分∠ABC.∠ADC=2∠E．（1）AD與BC平行嗎？請說明理由；（2）AB與EF的位置關系如何?為什么．解：（1）AD//BC.理由如下：∵∠ADE+∠ADF=180°（鄰補角的定義）∠ADE+∠BCF=180°(已如）∴∠ADF=∠（）∴AD//BC．（2）AB∥EF,理由如下：∵BE平分∠ABC（已知）∴∠ABE=∠ABC（）又∵∠ABC=2∠E.（已知）即∠E=∠ABC∴∠E=∠（）∴AB//EF（）【答案】（1）BCF，同角的補角相等，同位角相等，兩直線平行；（2）角平分線定義、ABE、等量代換、內錯角相等，兩直線平行．【分析】（1）根據(jù)同角的補角相等證得∠ADF=∠BCF，再根據(jù)同位角相等，兩直線平行證得結論即可；（2）根據(jù)角平分線定義證得∠ABE=∠ABC，再根據(jù)等量代換得到∠E=∠ABE，然后根據(jù)內錯角相等，兩直線平行證明結論即可．【解析】解：（1）AD//BC.理由如下：∵∠ADE+∠ADF=180°（鄰補角的定義）∠ADE+∠BCF=180°(已如）∴∠ADF=∠BCF（同角的補角相等）∴AD//BC（同位角相等，兩直線平行）故答案為：BCF，同角的補角相等，同位角相等，兩直線平行；（2）AB∥EF,理由如下：∵BE平分∠ABC（已知）∴∠ABE=∠ABC（角平分線定義）又∵∠ABC=2∠E.（已知）即∠E=∠ABC∴∠E=∠ABE（等量代換）∴AB//EF（內錯角相等，兩直線平行）．故答案為：角平分線定義、ABE、等量代換、內錯角相等，兩直線平行．【點睛】本題考查同角的補角相等、平行線的判定、角平分線定義、鄰補角定義，熟練掌握平行線的判定是解答的關鍵．28．如圖，BD⊥AC于點D，EF⊥AC于點F，DM∥BC，∠1＝∠2＝25°．(1)求∠GFC的度數(shù)；(2)求證：∠AMD＝∠AGF．【答案】(1)∠GFC＝115°(2)見解析【分析】（1）證出BD∥EF，由平行線的性質得出∠EFG=∠1=25°，即可得出答案；（2）由平行線的性質得出∠2=∠CBD，得出∠1=∠CBD，證出GF∥BC，再證出MD∥GF，即可得出∠AMD=∠AGF．【解析】（1）解：∵BD⊥AC，EF⊥AC，∴BD∥EF，∠EFC＝90°，∴∠EFG＝∠1＝25°，∴∠GFC＝90°+25°＝115°；（2）證明：∵BD∥EF，∴∠2＝∠CBD，∴∠1＝∠CBD，∴GF∥BC，∵∠AMD＝∠AGF，∴MD∥GF，∴∠AMD＝∠AGF．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質；熟練掌握平行線的