數(shù)學(xué)文化與人類文明及數(shù)學(xué)與文學(xué)的共鳴

隨著科學(xué)研究的發(fā)展與進(jìn)步，數(shù)學(xué)已經(jīng)空前廣泛地滲入到數(shù)學(xué)以外的學(xué)科和我們的生活，然而現(xiàn)代數(shù)學(xué)在人們心中的地位卻沒有達(dá)到它應(yīng)當(dāng)達(dá)到的高度。隨著數(shù)學(xué)專業(yè)化程度的提高、分支的逐步細(xì)化，專業(yè)知識(shí)因?yàn)槠D澀和高深僅僅掌握在少數(shù)人手中而無法被大眾共享，新的成果無人理解，獎(jiǎng)項(xiàng)無人關(guān)注，數(shù)學(xué)仿佛離人們?cè)絹碓竭h(yuǎn)。對(duì)于數(shù)學(xué)這樣一門富有深刻文化內(nèi)涵的學(xué)科，就連一些受過良好教育的人也持無視態(tài)度，這是一個(gè)普遍的事實(shí)，也是令人擔(dān)憂的現(xiàn)象，真實(shí)地反映了我們數(shù)學(xué)教育人文精神培養(yǎng)的嚴(yán)重缺失。本文從人類文化與人類文明的角度探索數(shù)學(xué)的本質(zhì)，分析數(shù)學(xué)的文化屬性及功能特征，闡述數(shù)學(xué)的起源、發(fā)展、完善和應(yīng)用的過程對(duì)于人類產(chǎn)生的重大影響，既包括對(duì)人類生產(chǎn)生活方式的改變，也包括對(duì)人的觀念、思想和思維方式的潛移默化的作用，同時(shí)體現(xiàn)了人類在探索、認(rèn)識(shí)真理的過程中展現(xiàn)的精神和崇高境界。通過對(duì)近十年關(guān)于“數(shù)學(xué)文化”與“數(shù)學(xué)教育”的文獻(xiàn)進(jìn)行閱讀分析，從一個(gè)側(cè)面展現(xiàn)了研究者們經(jīng)歷的理論上學(xué)習(xí)一一反思一一醞釀一一創(chuàng)新的研究過程，從觀念上到實(shí)際上、從宏觀上到微觀上的認(rèn)識(shí)和實(shí)踐過程，通過分析梳理十年來關(guān)于數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)文化教學(xué)觀、教學(xué)策略等的研究?jī)?nèi)容和研究成果，進(jìn)而了解文化觀下的數(shù)學(xué)教育的演變和發(fā)展，并對(duì)數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育的研究和實(shí)踐提出了一些建議。本文也通過對(duì)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值及人文價(jià)值的分析，闡述了成功的數(shù)學(xué)教育應(yīng)當(dāng)注重?cái)?shù)學(xué)的文化屬性，在傳授知識(shí)的過程中訓(xùn)練思維，培養(yǎng)綜合素養(yǎng)，并體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的應(yīng)用教育價(jià)值、思維教育價(jià)值、精神教育價(jià)值。同時(shí)，本文通過對(duì)我國(guó)高等數(shù)學(xué)教育現(xiàn)狀的分析，尋找當(dāng)前我國(guó)高校數(shù)學(xué)教育存在的不足并試圖對(duì)數(shù)學(xué)課程的建設(shè)提出一些建議，指出從全面提升學(xué)生素質(zhì)的角度出發(fā)，重視數(shù)學(xué)文化教育勢(shì)在必行。數(shù)學(xué)文化與人類文明文化是一個(gè)使用頻率極高且含義極廣的概念，千百年來，哲學(xué)家、社會(huì)學(xué)家、人類學(xué)家、歷史學(xué)家和語言學(xué)家等一直試圖從各自學(xué)科的角度來界定文化的概念，卻始終沒有獲得一個(gè)公認(rèn)的、令大家都滿意的定義。目前我們所知道的為文化人類學(xué)與社會(huì)學(xué)所繼承的最經(jīng)典的文化定義是泰勒給出的描述性定義，即“文化或文明是一個(gè)復(fù)雜的整體，它包括知識(shí)、信仰、藝術(shù)、法律、倫理道德、風(fēng)俗和作為社會(huì)成員的人通過學(xué)習(xí)而獲得的任何其他能力和習(xí)慣”，而國(guó)內(nèi)學(xué)者比較認(rèn)同的是“人類物質(zhì)和精神文明的總和”即為文化。文化是人類知識(shí)與社會(huì)生活經(jīng)驗(yàn)的積累，是一個(gè)具有子文化的、隨著歷史進(jìn)程不斷傳播的復(fù)合整體。而數(shù)學(xué)是人類創(chuàng)造的非自然的產(chǎn)物，凝聚了人類的知識(shí)、意識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，在傳播、影響、融合的過程中發(fā)展，具有文化的所有特點(diǎn)，所以應(yīng)該被看作是一種文化。20世紀(jì)60年代，西方學(xué)者率先提出了數(shù)學(xué)文化觀，從新的立場(chǎng)為數(shù)學(xué)哲學(xué)研究提出新的觀點(diǎn)和方法。近20年來，數(shù)學(xué)文化逐漸引起了國(guó)內(nèi)學(xué)者的關(guān)注，與數(shù)學(xué)文化相關(guān)的研究也轟轟烈烈地開展起來。按照現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究，數(shù)學(xué)文化可以表述為以數(shù)學(xué)科學(xué)為核心，以數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、內(nèi)容等所輻射的相關(guān)文化領(lǐng)域?yàn)橛袡C(jī)組成部分的一個(gè)具有特定功能的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，其基本要素是數(shù)學(xué)及與數(shù)學(xué)有關(guān)的各種文化現(xiàn)象。數(shù)學(xué)文化研究開展以來，數(shù)學(xué)的抽象、確定、繼承、簡(jiǎn)潔、統(tǒng)一的文化屬性和滲透、傳播、應(yīng)用、預(yù)見的功能特征被挖掘出來，數(shù)學(xué)的藝術(shù)性也深深吸引了人們的眼球。然而這只是數(shù)學(xué)功能的外顯式表現(xiàn)，數(shù)學(xué)文化研究表明，數(shù)學(xué)的起源、發(fā)展、完善和應(yīng)用的過程對(duì)于人類產(chǎn)生重大的影響，既包括對(duì)于人的觀念、思想和思維方式的一種潛移默化的作用，也包括在人類認(rèn)識(shí)和發(fā)展數(shù)學(xué)的過程中體現(xiàn)出的探索精神。邏輯思維是人類特有的精神活動(dòng)，是人所以能進(jìn)行邏輯思考原因，而人的邏輯思維能力的養(yǎng)成與數(shù)學(xué)有著密切的關(guān)系。邏輯思維的過程實(shí)際上就是演繹或推理的過程，而演繹推理得以實(shí)現(xiàn)的前提是人們?cè)谝庾R(shí)中首先形成抽象的概念，即把概念從實(shí)體中抽象出來。在早期的人類文明，數(shù)學(xué)的創(chuàng)始之初，人類就已經(jīng)學(xué)會(huì)了思考數(shù)字并進(jìn)行運(yùn)算，而這種數(shù)的抽象概念的形成僅僅是邏輯思維的第一步，更有意義的是人們?cè)跀?shù)字之間建立起來的邏輯關(guān)系。當(dāng)人們?cè)跀?shù)的概念之間建立起某種邏輯關(guān)系并確信這種邏輯關(guān)系的可靠性的時(shí)候，便開啟了邏輯思維過程。在這一意義上說，邏輯思維始于數(shù)學(xué)，而邏輯能力也是通過數(shù)學(xué)培養(yǎng)起來的。當(dāng)人們有能力在概念之間建立邏輯關(guān)系的時(shí)候，便意味著人們已經(jīng)為自己構(gòu)造了一個(gè)由概念組成的純思的世界。數(shù)學(xué)為人們展現(xiàn)的是由諸多與實(shí)體分離的概念組成的純思的世界，在這個(gè)世界里，任何結(jié)論都是邏輯推理的結(jié)果。與數(shù)學(xué)的邏輯本質(zhì)相似，思想也是人類理性思維的產(chǎn)品，在思想的世界里，人們所獲得的任何認(rèn)識(shí)和結(jié)論同樣依賴于邏輯推理。故而在東西方思想文化史上存在一個(gè)顯而易見的事實(shí):凡是數(shù)學(xué)發(fā)展水平較高的民族，其思想文化的邏輯程度也相對(duì)較高。在完成了自身的邏輯過程以后，探求數(shù)學(xué)真理便成了數(shù)學(xué)的基本精神，也導(dǎo)向了人們對(duì)于普遍必然性的關(guān)注。歐幾里得說:“在幾何學(xué)里，沒有專為國(guó)王鋪設(shè)的大道”;亞里士多德說:“關(guān)于真理的探索，在一種意義上是困難的，在另一種意義上又是容易的”，由此可見，數(shù)學(xué)家與哲學(xué)家在這一至關(guān)重要的一點(diǎn)上是一致的，即真理面前，每個(gè)人都有同等的機(jī)會(huì)，無論是數(shù)學(xué)真理還是道德真理，只能通過人們的思辨獲得。人類基本的思維傾向便是對(duì)普遍必然性的關(guān)注，而數(shù)學(xué)的發(fā)展使思想家對(duì)必然性的探求進(jìn)入新的境界。人們通過邏輯發(fā)現(xiàn)，客觀的物質(zhì)世界所以變化的原因應(yīng)當(dāng)通過物質(zhì)世界本身解釋，而不能簡(jiǎn)單地用神意來說明。西方近代思想家笛卡爾甚至試圖在哲學(xué)領(lǐng)域通過數(shù)學(xué)演繹法建立一個(gè)具有數(shù)學(xué)般確定性和可靠性的哲學(xué)體系，“帶頭重建哲學(xué)基礎(chǔ)”，將哲學(xué)重新拉回理性時(shí)代，使得人們沖破宗教迷信的藩籬成為可能?？梢娊鞣皆?jīng)產(chǎn)生過巨大影響的理性主義同樣是數(shù)學(xué)精神融入思想文化領(lǐng)域的結(jié)果。以往有關(guān)數(shù)學(xué)史和文化史的研究中，人們更多注意到的是數(shù)學(xué)與自然科學(xué)之間的關(guān)系，卻很少談到數(shù)學(xué)史與思想史之間的聯(lián)系。事實(shí)上，數(shù)學(xué)的發(fā)展與人類思想的發(fā)展有著密切的相關(guān)性。除了幫助人類完成邏輯進(jìn)程，喚醒人類的理性精神，數(shù)學(xué)還參與到促進(jìn)人類思想解放的過程當(dāng)中。在人類的精神世界里，理性達(dá)不到的地方才是鬼魅神怪的領(lǐng)域。人們通過學(xué)習(xí)和掌握知識(shí)來擺脫宗教迷信的束縛、改善生活，源于數(shù)學(xué)的理性精神的普及過程，就是人們形成理性的生活態(tài)度，擺脫精神栓桔，把宗教迷信從人們的口常生活中驅(qū)逐出去的過程，也是人們積累知識(shí)，跳出思維定式，創(chuàng)造新思維新生活的過程。真理誕生總是伴隨著曲折的，獲得真理的道路也通常是坎坷的。數(shù)學(xué)史不但向我們展示了數(shù)學(xué)的發(fā)展進(jìn)程，還向我們展示了人類探索真理、奮斗求真的艱辛過往。通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史，我們看到人類對(duì)真理的追求、對(duì)超越自身的向往、對(duì)智力極限的挑戰(zhàn)。這一切都在鼓舞我們后來之人要敢于懷疑和突破，要勇于獨(dú)立思考，更要在追求真理的道路上堅(jiān)持不懈。一直以來，說到人的文化素質(zhì)，人們大多以為文化素質(zhì)主要是指人們?cè)谏鐣?huì)科學(xué)方面的知識(shí)修養(yǎng)，而很少提及在自然科學(xué)特別是數(shù)學(xué)方面的修養(yǎng)。我們認(rèn)為，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是人的文化素質(zhì)最為重要的構(gòu)成要素之一。數(shù)學(xué)素養(yǎng)是人們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中養(yǎng)成的基本素質(zhì)，這種素質(zhì)在現(xiàn)實(shí)的生活中主要體現(xiàn)為邏輯思考的能力與習(xí)慣，體現(xiàn)為理性的生活態(tài)度，體現(xiàn)為對(duì)真理的熱愛，還體現(xiàn)為良好的個(gè)人品格。就每一個(gè)社會(huì)成員而言，他們也許沒有足夠的能力解決那些高深的數(shù)學(xué)問題，在他們的生活和工作中，也可能不需要很強(qiáng)的數(shù)學(xué)計(jì)算能力，但是對(duì)于大多數(shù)人來說，只要他能夠理解數(shù)學(xué)探求真理、尊重真理的客觀性的基本精神，對(duì)各種問題能以“數(shù)學(xué)方式”理性思考，善于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象和過程進(jìn)行合理的簡(jiǎn)化和量化，他在事實(shí)上便已經(jīng)獲得了對(duì)于人生相當(dāng)寶貴的東西。也就是說，在口常的社會(huì)生活中，良好的思維方式與生活態(tài)度、習(xí)慣，遠(yuǎn)比數(shù)學(xué)技能更為重要。在這一意義上說，數(shù)學(xué)文化教育的重要性是不言而喻的。從提高國(guó)民文化素質(zhì)的目的出發(fā)，我們應(yīng)該適時(shí)調(diào)整高等學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)特別是非數(shù)學(xué)專業(yè)的教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)方案，從以往偏重?cái)?shù)學(xué)技能的教學(xué)理念轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)技能與數(shù)學(xué)素養(yǎng)并重，把培育學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)作為數(shù)學(xué)教學(xué)的基本目的，從而，使高等學(xué)校的數(shù)學(xué)教學(xué)真正成為提高國(guó)民文化素質(zhì)的可靠途徑。目前我國(guó)高等院校重?cái)?shù)學(xué)技能培養(yǎng)而輕數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的課程結(jié)構(gòu)，遠(yuǎn)不能適應(yīng)提高人們數(shù)學(xué)素養(yǎng)乃至于國(guó)民整體文化素質(zhì)的需要。在高等院校普及數(shù)學(xué)文化教育已經(jīng)勢(shì)在必行，但是還有很多函待解決的問題，如課程建設(shè)上將數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教學(xué)，迅速培養(yǎng)一支能夠滿足數(shù)學(xué)文化教學(xué)需要的教師隊(duì)伍，把教材建設(shè)迅速提上議事口程等。對(duì)于數(shù)學(xué)文化的研究，國(guó)內(nèi)外的學(xué)者依舊在熱火朝天地進(jìn)行著，而數(shù)學(xué)文化教學(xué)效果的反饋還要經(jīng)歷一個(gè)比較長(zhǎng)的時(shí)期。我們?cè)噲D從自己對(duì)數(shù)學(xué)和文化的理解發(fā)掘數(shù)學(xué)的文化功能，希望能夠拋磚引玉，對(duì)數(shù)學(xué)文化及數(shù)學(xué)教育的研究作出一點(diǎn)貢獻(xiàn)。關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)文化，數(shù)學(xué)教育，人類文明我們手邊的詞典對(duì)文化是這樣解釋的:1、在人類社會(huì)歷史和發(fā)展過程中所創(chuàng)造的精神財(cái)富和物質(zhì)財(cái)富的總和，特指精神財(cái)富，如文學(xué)、藝術(shù)、教育、科學(xué)等;2、考古學(xué)用語，指同一歷史時(shí)期不依分布地點(diǎn)為轉(zhuǎn)移的真跡、遺物的綜合體。同樣的工具、用具，同樣的制造技術(shù)等，是同一種文化的特征，如仰韶文化、龍山文化;3、指運(yùn)用文字的能力及一般知識(shí)，文化知識(shí)、大學(xué)文化。后面兩條解釋似乎比較好理解，而第一條即從“大”的方面定義文化成了人們爭(zhēng)議的焦點(diǎn)。據(jù)美國(guó)學(xué)者克魯伯(A.L.Kroeber)和克拉克洪(C.Kluckhohn)的統(tǒng)計(jì)，從1871年到19_51年的80年間，學(xué)術(shù)界有關(guān)文化的定義達(dá)到164種之多。他們將這些定義整理歸納為描述性、歷史性、行為規(guī)范性、心理性、結(jié)構(gòu)性、遺傳性和不完整性七組。典型定義摘錄如下:1、泰勒(E.B.Tylor1871年)文化或文明是一個(gè)復(fù)雜的整體，它包括知識(shí)、信仰、藝術(shù)、法律、倫理道理、風(fēng)俗和作為社會(huì)成員的人通過學(xué)習(xí)而獲得的任何其他能力和習(xí)慣(屬描述性的定義);2、帕克和伯吉斯(R.E.ParkandE.Burgess1921年)一個(gè)群體的文化是指這一群體所生活的社會(huì)遺傳結(jié)構(gòu)的總和，而這些社會(huì)遺傳結(jié)構(gòu)又因這一群體人特定的歷史生活和種族特點(diǎn)而獲得其社會(huì)意義(屬歷史性的定義);3、威斯勒(Wissler1929年)某個(gè)社會(huì)或部落所遵循的生活方式被稱作文化，它包括所有標(biāo)準(zhǔn)化的社會(huì)傳統(tǒng)行為。部落文化是該部落的人所遵循的共同信仰和傳統(tǒng)行為的總和(屬行為規(guī)范性的定義);4、斯莫爾(Small190_5年)文化”是指某一特定時(shí)期的人們?yōu)樵噲D達(dá)到他們的目的而使用的技術(shù)、機(jī)械、智力和精神才能的總和。“文化”包括人類為達(dá)到個(gè)人或社會(huì)目的所采用的方法手段(屬心理性的定義);_5、威利(Willey1929年)文化是一個(gè)反應(yīng)行為的相互關(guān)聯(lián)和相互依賴的習(xí)慣模式系統(tǒng)。(屬結(jié)構(gòu)性的定義);6、亨廷頓(S.P.Huntington194_5年)我們所說的文化是指人類生產(chǎn)或創(chuàng)造的，而后傳給其他人，特別是傳給下一代人的每一件物品、習(xí)慣、觀念、制度、思維模式和行為模式(屬遺傳性的定義);7、薩皮爾(E.Sapi1921年)文化可以定義為是一個(gè)社會(huì)所做、所思的事情(屬不完整性的定義)。[1l值得一提的是泰勒的關(guān)于文化的概念出自他所著的《原始文化》，這是目前我們所知道的最早也是最經(jīng)典的有關(guān)文化的定義，也為后來文化人類學(xué)與社會(huì)學(xué)所繼承。事實(shí)上，由于文化這一概念本身所具有的特性所致，在學(xué)科背景以及思想方式各不相同的人們那里，對(duì)于文化一定會(huì)有各不相同的理解，也一定會(huì)有各不相同的定義。其實(shí)，關(guān)于文化的定義，還是國(guó)內(nèi)的一些學(xué)者說得更為簡(jiǎn)捷，那就是，文化是“人類物質(zhì)文明和精神文明的總和”。在如何理解文化這一概念的問題上，能否給出一個(gè)確切而又為人們廣泛接受的定義并不重要，重要的是對(duì)于文化本身的理解。我認(rèn)為，把握文化的基本特征才是理解文化的基本途徑。首先，文化是人類的知識(shí)與社會(huì)生活經(jīng)驗(yàn)的積累，是人們通過自身的活動(dòng)影響自然和改造自然的結(jié)果。在辭源學(xué)的意義上說，英語中的“文化”一詞來源于拉丁文的cultura，其意為耕作、培養(yǎng)、教育和發(fā)展出來的事物，同樣，英語中的culture也有相近的意義，一些與culture詞根相同的詞，也都同樣具有相同的意義，如，cultivate意為耕種、培養(yǎng)、修養(yǎng)、教養(yǎng)，而agriculture則意為農(nóng)業(yè)、農(nóng)學(xué)，也具有人工培育的意思。由此可見，英語世界里的“文化”(culture)，所指的就是人們根據(jù)自己的需要培養(yǎng)或養(yǎng)成的一切事物，凡是人們有意識(shí)培育、改造或者影響的事物，便都具有了文化的內(nèi)涵。是否凝聚了人類的知識(shí)、意識(shí)與生活經(jīng)驗(yàn)，是區(qū)別文化特質(zhì)與自然事物的分水嶺。其次，文化是一個(gè)復(fù)合的整體。作為一個(gè)無所不含的概念，文化涉及到人類社會(huì)生活的方方面面，而在特定的歷史條件下，在社會(huì)生活中每一個(gè)方面又都會(huì)形成某種意義上的子文化，一個(gè)民族的文化實(shí)際上是由各種子文化構(gòu)成的體系，構(gòu)成這一體系的每一個(gè)子系統(tǒng)相互之間都是整合的，也就是說，人們?cè)谏鐣?huì)生活的每一個(gè)方面形成的文化，與整體文化的其他方面都有著一致性，所以，對(duì)于一個(gè)民族來說，每一個(gè)子文化系統(tǒng)都是不可能孤立存在的，它總是依存于這個(gè)民族整體的生活方式。在另一方面，構(gòu)成整體文化的各個(gè)文化子系統(tǒng)之間又是相互聯(lián)系、相互支持的。例如，在一個(gè)文化體系內(nèi)，人們對(duì)于數(shù)理科學(xué)的理解可能會(huì)影響到哲學(xué)及其他人文科學(xué)，數(shù)理科學(xué)的發(fā)展水平也將直接影響到人文社會(huì)科學(xué)的發(fā)展水平，同樣，在一個(gè)社會(huì)里，社會(huì)成員在自然科學(xué)與人文、社會(huì)科學(xué)方面的修養(yǎng)，將會(huì)滲透到社會(huì)生活的方方面面。再次，文化是特定時(shí)期特定人群的行為活動(dòng)，且具備某種活動(dòng)“產(chǎn)品”，其核心為傳統(tǒng)的思想和價(jià)值，是地域的、歷史的和民族的。由于地理?xiàng)l件和生活范圍等方面條件的限制，在漫長(zhǎng)的歷史進(jìn)程中，生活在不同地域的人們都形成了自己的文化，文化在任何歷史都是依存于一定的民族主體而存在的。它是每一個(gè)民族特定的生活方式的體現(xiàn)，在這一意義上說，不同民族以及不同社會(huì)之間的差別，在本質(zhì)上是文化的差別。同時(shí)，文化本身又有其積淀和發(fā)展的過程，每一個(gè)歷史時(shí)代都必然有不同于其他時(shí)代的文化，人們既是既定的文化傳統(tǒng)的傳承者，又是自己時(shí)代的文化的創(chuàng)造者。所以，生活在特定歷史條件下的人們既不可能與以往的文化傳統(tǒng)相隔絕，也不可能使以往的文化傳統(tǒng)完全復(fù)原。第四，文化是隨著歷史進(jìn)程不斷傳播的。就文化的民族性而言，每一個(gè)民族的文化都具有封閉和排異的特性，如果一個(gè)民族或者社會(huì)的文化不具有這樣的特性，這個(gè)民族的文化就不可能存在。但在另一方面，文化又具有不斷擴(kuò)散的傳播的屬性。隨著人們生活經(jīng)驗(yàn)的積累，生活空間的擴(kuò)展，以及不同地區(qū)的人們相互交往和溝通的口益頻繁，不同地區(qū)、民族之間的文化必然會(huì)相互影響和相互融合。可以說，每一個(gè)民族的文化都是在與其他民族的文化相互影響的過程中發(fā)展的，沒有文化傳播，文化乃至于人類文明也就無法發(fā)展。在這一意義上說，沒有哪一個(gè)民族的文化可以在完全封閉的狀態(tài)下得以保存和發(fā)展。例如，中國(guó)文化是在不斷吸收外來文化而不斷發(fā)展的，而中國(guó)古代的科學(xué)發(fā)現(xiàn)與發(fā)明也通過文化傳播的方式影響了其他地區(qū)的文化。發(fā)源于小亞細(xì)亞的數(shù)學(xué)傳播到了希臘，最終在希臘完成了邏輯化的過程。而希臘數(shù)學(xué)邏輯化過程的完結(jié)又促進(jìn)了古希臘哲學(xué)的發(fā)展，最終形成了以希臘、羅馬文化為代表的西方文化傳統(tǒng)。而數(shù)學(xué)是人類智慧的產(chǎn)物故不對(duì)文化與文明進(jìn)行區(qū)別。1.3數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵數(shù)學(xué)作為一種科學(xué)的語言、工具和技術(shù)滲透在現(xiàn)代科技的方方面面早已是不爭(zhēng)的事實(shí)，但是現(xiàn)代數(shù)學(xué)在人們心中的地位卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有達(dá)到它應(yīng)當(dāng)達(dá)到的高度。隨著數(shù)學(xué)專業(yè)化程度的提高，它仿佛離人們?cè)絹碓竭h(yuǎn)了。專業(yè)的知識(shí)因?yàn)槠D澀和高深僅僅掌握在少數(shù)人手中而無法被大眾共享，這直接導(dǎo)致了新的成果無人理解，獲得的獎(jiǎng)項(xiàng)無人關(guān)注，所以數(shù)學(xué)人是“孤獨(dú)的”。孤獨(dú)造成高傲，高傲造成疏遠(yuǎn)，這其中有誤解也有無奈。所以我們強(qiáng)調(diào)文化，因?yàn)槊撾x了文化基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)只能離人們?cè)絹碓竭h(yuǎn)。受目前學(xué)校教育情況的影響，很多人認(rèn)為數(shù)學(xué)是高高在上的，除了作為升學(xué)的工具，毫無用處。這樣一來，對(duì)于數(shù)學(xué)這樣一門富有深刻文化內(nèi)涵的學(xué)科，就連一些受過良好教育的人也持無視的態(tài)度，對(duì)數(shù)學(xué)的無知成了一種很普遍的社會(huì)現(xiàn)象，這是一個(gè)令人十分擔(dān)憂的事實(shí)。就像美麗的圖畫并非只是線條和色彩，動(dòng)人的樂曲并非只是音符和節(jié)拍，數(shù)學(xué)也不是只有數(shù)字、符號(hào)和運(yùn)算。了解數(shù)學(xué)的人都知道，運(yùn)算只是數(shù)學(xué)微不足道的方面，數(shù)學(xué)的精神、思想、方法都蘊(yùn)藏著無比深刻的內(nèi)涵，滲透到科學(xué)的每個(gè)角落。如果將數(shù)學(xué)比作一棵大樹，那么這棵大樹的生命力是旺盛的，這種生命力體現(xiàn)在數(shù)學(xué)起源、發(fā)展、完善和應(yīng)用的每一個(gè)過程當(dāng)中，而數(shù)學(xué)文化就像土壤一樣幾百幾千年來滋養(yǎng)這棵大樹，使它繁衍生息，長(zhǎng)盛不衰。因此，扎根于文化土壤的數(shù)學(xué)教育是十分必要的，也是我們目前十分需要的，這一點(diǎn)將在第五章進(jìn)行詳細(xì)論述。19世紀(jì)末到20世紀(jì)初的幾十年是數(shù)學(xué)哲學(xué)研究領(lǐng)域的黃金時(shí)代，關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的討論十分活躍，也形成了不同的學(xué)派，包括邏輯主義學(xué)派、形式主義學(xué)派、直覺主義學(xué)派、集合論公理化學(xué)派等，大家都在籌劃為數(shù)學(xué)建立牢固的哲學(xué)基礎(chǔ)。雖然幾個(gè)學(xué)派各有優(yōu)缺點(diǎn)，但都為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的嚴(yán)密性做出了貢獻(xiàn)。然而哥德爾的工作擊碎了他們的幻想，使數(shù)學(xué)哲學(xué)的研究一度陷入谷底。直到20世紀(jì)60年代，西方學(xué)者提出了數(shù)學(xué)文化觀，從新的立場(chǎng)為數(shù)學(xué)哲學(xué)研究提出新的觀點(diǎn)、新的方法。最早系統(tǒng)地完成這一開創(chuàng)性工作的是美國(guó)數(shù)學(xué)家懷爾德(R.Wilder，他提出了數(shù)學(xué)作為文化體系的數(shù)學(xué)哲學(xué)觀。懷爾德是一名出色的數(shù)學(xué)家，主要從事拓?fù)鋵W(xué)和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究。他的《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)引論》和《數(shù)學(xué)概念演變初探》對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究有著深遠(yuǎn)的意義。受到人類學(xué)家朋友的影響，他對(duì)人類學(xué)產(chǎn)生了濃厚的興趣，并大膽地從人類學(xué)的視角考察數(shù)學(xué)的本質(zhì)和發(fā)展，在數(shù)學(xué)研究中融入了人類學(xué)的研究體會(huì)，出版了著作《數(shù)學(xué)概念的進(jìn)化》和《作為文化體系的數(shù)學(xué)》。他在著作中從文化生成和發(fā)展的理論等角度考察數(shù)學(xué)，率先提出了數(shù)學(xué)文化的概念并構(gòu)建了數(shù)學(xué)文化的理論體系，形成了很長(zhǎng)時(shí)期以來出現(xiàn)的第一個(gè)成熟的數(shù)學(xué)哲學(xué)觀，強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)的發(fā)展動(dòng)力、發(fā)展規(guī)律、思維方式等文化內(nèi)涵，強(qiáng)調(diào)了遺傳、環(huán)境、人類以及人類文化等對(duì)數(shù)學(xué)的作用影響。第一，不同于物理、化學(xué)的以特定物質(zhì)為研究對(duì)象，數(shù)學(xué)相對(duì)于認(rèn)識(shí)主體而言描述的是眾多物質(zhì)形態(tài)的抽象，凝聚了人類的知識(shí)、意識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，是人類創(chuàng)造的非自然的產(chǎn)物，符合廣義的文化定義。第二，數(shù)學(xué)的思想、規(guī)則等形成了一種相對(duì)穩(wěn)定的行為系統(tǒng)，這使得數(shù)學(xué)成為一種獨(dú)立的文化形態(tài)，與文化系統(tǒng)內(nèi)的其他文化形態(tài)相互影響、相互滲透，成為人類文化一個(gè)相對(duì)獨(dú)立并開放的子系統(tǒng)。第三，以數(shù)學(xué)家作為特定人群，數(shù)學(xué)觀和數(shù)學(xué)規(guī)范作為思想和價(jià)值，使得數(shù)學(xué)成為一種以數(shù)學(xué)家作為共同體主體，并在一定文化環(huán)境下所從事的創(chuàng)造性活動(dòng)，是一種群體的特有行為，滿足人類文化學(xué)中關(guān)于文化的觀點(diǎn)。數(shù)學(xué)具有自身獨(dú)特的發(fā)展規(guī)律，“遺傳力量”和“環(huán)境力量”共同決定了數(shù)學(xué)的發(fā)展和進(jìn)化，具備了文化的“歷史性”、“地域性”和“民族性”特征。第四，數(shù)學(xué)隨著歷史進(jìn)程以不同的方式不斷傳播，在傳播、影響、融合的過程中發(fā)展。從這些意義上講，數(shù)學(xué)具有文化的基本特征，應(yīng)該被看作是一種文化。按照現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究，廣義地講，數(shù)學(xué)文化可以表述為以數(shù)學(xué)科學(xué)為核心，以數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、內(nèi)容等所輻射的相關(guān)文化領(lǐng)域?yàn)橛袡C(jī)組成部分的一個(gè)具有特定功能的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，其基本要素是數(shù)學(xué)及與數(shù)學(xué)有關(guān)的各種文化對(duì)象。[4數(shù)學(xué)文化首先研究的是數(shù)學(xué)本身，包括從科學(xué)體系角度對(duì)數(shù)學(xué)科學(xué)進(jìn)行研究和從哲學(xué)角度對(duì)數(shù)學(xué)哲學(xué)進(jìn)行研究。數(shù)學(xué)科學(xué)研究就是一般意義上的數(shù)學(xué)理論研究，而數(shù)學(xué)哲學(xué)研究則是對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、數(shù)學(xué)悖論和數(shù)學(xué)本體論進(jìn)行探討，包括數(shù)學(xué)的對(duì)象、性質(zhì)、特點(diǎn)、地位與作用，數(shù)學(xué)新分支、新課題提出的哲學(xué)意義，著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)流派的數(shù)學(xué)和哲學(xué)思想以及數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)的實(shí)在性和真理性等。[5]數(shù)學(xué)文化同時(shí)研究的是數(shù)學(xué)學(xué)科與其他學(xué)科、數(shù)學(xué)文化與其他文化之間的交互作用，比如數(shù)學(xué)與文學(xué)、數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)之間的滲透影響等。數(shù)學(xué)文化研究從文化因素思考數(shù)學(xué)的演變和發(fā)展，為數(shù)學(xué)史的研究提供新的思考方向。數(shù)學(xué)文化的歷史研究不同于數(shù)學(xué)史的研究，數(shù)學(xué)史研究追求的是完善數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想的演化史，數(shù)學(xué)文化的歷史研究是基于全局視角，思考數(shù)學(xué)與其他文化系統(tǒng)歷史的互動(dòng)關(guān)系，關(guān)注這些關(guān)系對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的影響和啟示。如中國(guó)的傳統(tǒng)文化和實(shí)用哲學(xué)使中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重視實(shí)用性，制定實(shí)際問題的算法成為中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，也是中國(guó)數(shù)學(xué)存在和發(fā)展的基點(diǎn)。古希臘的數(shù)學(xué)思想產(chǎn)生在城邦航海貿(mào)易的氛圍中，兼容并追求獨(dú)立的思辨思想孕育了演繹數(shù)學(xué)，這是古希臘哲學(xué)的深入滲透和文化價(jià)值觀的體現(xiàn)。從中西文化的差異角度，我們找到了東西方數(shù)學(xué)體系大相徑庭的原因，不是數(shù)學(xué)本身的要求，而是文化的要求。數(shù)學(xué)文化研究強(qiáng)調(diào)和突出社會(huì)文化心理、價(jià)值觀念以及人類文化對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)生的作用，從新的角度診釋了某些理論出現(xiàn)、發(fā)展、停滯或覆滅的原因。如古希臘的數(shù)學(xué)之所以昌盛，是因?yàn)橄ＥD人以數(shù)學(xué)為萬學(xué)之基，二元論的宇宙觀也引導(dǎo)科學(xué)家將物質(zhì)與自身分離而進(jìn)行科學(xué)有效的客觀分析。中國(guó)的儒家思想將數(shù)學(xué)放在六藝之末，天人合一的宇宙觀使得東方人表現(xiàn)出長(zhǎng)于直覺而短于抽象，擅于綜合而不擅分析。這也是古代東方數(shù)學(xué)不能蓬勃發(fā)展的原因。數(shù)學(xué)文化研究提出了數(shù)學(xué)對(duì)于“環(huán)境力量”的反作用，也從新的角度加深了人們對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)。科學(xué)研究的發(fā)展和進(jìn)步使得現(xiàn)代數(shù)學(xué)的抽象程度越來越高，數(shù)學(xué)概念與方法空前廣泛地滲透到數(shù)學(xué)之外的其他學(xué)科領(lǐng)域和我們的生活。數(shù)學(xué)的起源、發(fā)展、完善和應(yīng)用的過程對(duì)于人類產(chǎn)生重大的影響，既包括對(duì)于人的觀念、思想和思維方式的一種潛移默化的作用，也包括在人類認(rèn)識(shí)和發(fā)展數(shù)學(xué)的過程中體現(xiàn)出的探索精神和所能達(dá)到的崇高境界。數(shù)學(xué)文化的價(jià)值標(biāo)準(zhǔn)著眼于全局，關(guān)于數(shù)學(xué)的任何片面和狹義的理解都是不被接受的。數(shù)學(xué)不能脫離其他文化系統(tǒng)、脫離社會(huì)獨(dú)立存在，而是一個(gè)相對(duì)獨(dú)立并開放的動(dòng)態(tài)的文化系統(tǒng)，我們對(duì)數(shù)學(xué)的理解也應(yīng)當(dāng)是全面、動(dòng)態(tài)的。近20年來，數(shù)學(xué)文化研究逐漸引起了國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)家的關(guān)注，“數(shù)學(xué)文化”一詞使用頻率的口益增加正體現(xiàn)了它旺盛的生命力，體現(xiàn)了人們從文化角度對(duì)它的理解。然而，數(shù)學(xué)文化研究最主要的價(jià)值當(dāng)屬教育價(jià)值。通過數(shù)學(xué)文化研究為教育者搭建一個(gè)平臺(tái)，以此來分析進(jìn)而解決教育中面臨的一些困境和難題。在2003年教育部頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中提到“數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)素質(zhì)是公民所必須具備的一種基本素質(zhì)”、“數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當(dāng)反映數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢(shì)，數(shù)學(xué)對(duì)推動(dòng)社會(huì)發(fā)展的作用，數(shù)學(xué)的社會(huì)需求，社會(huì)發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的推動(dòng)作用，數(shù)學(xué)科學(xué)的思想體系，數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值，數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神。數(shù)學(xué)課程應(yīng)幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用，逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀。為此，高中數(shù)學(xué)課程提倡體現(xiàn)數(shù)學(xué)的人文價(jià)值，并在適當(dāng)?shù)膬?nèi)容中提出對(duì)“數(shù)學(xué)文化”的學(xué)習(xí)要求，設(shè)立“數(shù)學(xué)史選講”等專題?！琜6]《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》將數(shù)學(xué)文化作為選講要求單獨(dú)提出，表明了數(shù)學(xué)教育對(duì)數(shù)學(xué)文化的需求。不過，由于數(shù)學(xué)文化研究在我國(guó)開始的時(shí)間不長(zhǎng)，目前國(guó)內(nèi)真正進(jìn)行數(shù)學(xué)文化研究的學(xué)者屈指可數(shù)。國(guó)家對(duì)數(shù)學(xué)文化研究的立項(xiàng)和支持不夠，各個(gè)高校的研究尚處萌芽階段，高質(zhì)量研究成果、論文也很少。這些都是我們應(yīng)當(dāng)注意的方面，有待進(jìn)一步加強(qiáng)?？上驳氖?，很多高校已經(jīng)注意到大學(xué)生文化素質(zhì)培養(yǎng)方面的不足，在教育中有意識(shí)地加強(qiáng)了科學(xué)素質(zhì)與人文素質(zhì)的培養(yǎng)，以彌補(bǔ)先期教育的不足，全面提高大學(xué)生的文化素質(zhì)。2001年2月，南開大學(xué)面向全校所有專業(yè)的學(xué)生開設(shè)了“數(shù)學(xué)文化”公共選修課。國(guó)家級(jí)教學(xué)名師顧沛教授帶領(lǐng)他的團(tuán)隊(duì)經(jīng)過十輪教學(xué)實(shí)踐出版了普通高等教育“十一五”國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材《數(shù)學(xué)文化》，也被其他高校數(shù)學(xué)文化課作為選用教材。課程不以數(shù)學(xué)的知識(shí)系統(tǒng)為線索，而以數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)觀點(diǎn)為載體，介紹數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)精神，探討數(shù)學(xué)與人文的交叉;不過深涉及數(shù)學(xué)理論，而對(duì)于數(shù)學(xué)的歷史、現(xiàn)狀和未來以及數(shù)學(xué)與人文的各種關(guān)系進(jìn)行探討。課程講究知識(shí)性、趣味性、和思想性的統(tǒng)一，旨在提高大學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)、文化素質(zhì)和思想素質(zhì)。f}l2003年4月，《南開大學(xué)開設(shè)“數(shù)學(xué)文化”課的做法》在教育部教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)的刊物《大學(xué)數(shù)學(xué)》上發(fā)表;2003年10月，“全國(guó)數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化教學(xué)與教材研討會(huì)”邀請(qǐng)顧沛作大會(huì)報(bào)告;2006年9月，《理工科教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)通訊》全文轉(zhuǎn)載了《南開大學(xué)開設(shè)的“數(shù)學(xué)文化”課及其中的素質(zhì)教育》;2007年4月顧沛的《“數(shù)學(xué)文化”課與大學(xué)生文化素質(zhì)教育》在《中國(guó)大學(xué)教學(xué)》上發(fā)表。南開大學(xué)的“數(shù)學(xué)文化”課在全國(guó)產(chǎn)生了較大的影響，逐漸形成品牌。該課程于2007年被評(píng)為國(guó)家精品課程，“數(shù)學(xué)文化”課程組獲得了2007年全國(guó)五一勞動(dòng)獎(jiǎng)狀。[8j學(xué)生通過選修課程，開辟了思考解決問題的新途徑，并有多篇結(jié)業(yè)報(bào)告和論文在刊物上發(fā)表，數(shù)個(gè)課題項(xiàng)目獲獎(jiǎng)?！皵?shù)學(xué)之美”論壇的創(chuàng)立及刊物的出版都在全國(guó)形成了一定的影響。2002年，吉林大學(xué)也面向全校各專業(yè)本科生開設(shè)了“數(shù)學(xué)文化”選修課，主要研究和介紹數(shù)學(xué)美學(xué)、數(shù)學(xué)與人的發(fā)展、數(shù)學(xué)與哲學(xué)、數(shù)學(xué)與文學(xué)藝術(shù)、數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)等方面的內(nèi)容。通過課程的學(xué)習(xí)，使具備一定數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的學(xué)生能夠換個(gè)角度思考數(shù)學(xué)，逐步體會(huì)到數(shù)學(xué)作為一種文化的含義，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的趣味性，從而陶冶學(xué)生的性情，提高學(xué)生的文化素質(zhì)。該課程作為大學(xué)生文化素質(zhì)的基礎(chǔ)課，重在對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)文化熏陶，同時(shí)，為其它課程的學(xué)習(xí)提供重要的思想、方法和語言。[9]該課程由數(shù)學(xué)學(xué)院博士生導(dǎo)師李輝來教授第一輪主講，持續(xù)至今。李輝來教授在吉林大學(xué)開創(chuàng)了綜合院校數(shù)學(xué)教育學(xué)研究方向，并于2003年建立了數(shù)學(xué)教育學(xué)碩士點(diǎn)。李輝來教授在數(shù)學(xué)教育方面取得了矚目的成就，在數(shù)學(xué)方法論和數(shù)學(xué)教育學(xué)等方面有較深的造詣，主持了多項(xiàng)國(guó)家級(jí)和省部級(jí)教學(xué)研究項(xiàng)目，獲得了多項(xiàng)教學(xué)獎(jiǎng)勵(lì)，在國(guó)內(nèi)公共數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)教育等方面具有較大的影響。2.1數(shù)學(xué)的文化特征2.1.1數(shù)學(xué)的抽象性在早期的人類文明，數(shù)學(xué)的創(chuàng)始之初，人類學(xué)會(huì)了思考數(shù)字并進(jìn)行一定程度的運(yùn)算。蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家亞歷山大洛夫(A.D.Aleksandrov)說:“抽象性在簡(jiǎn)單的計(jì)算中就已經(jīng)表現(xiàn)出來。我們運(yùn)用抽象的數(shù)字，卻并不打算每次都把它們同具體的對(duì)象聯(lián)系起來。我們?cè)趯W(xué)校學(xué)的是抽象的乘法表一一總是數(shù)字的乘法表，而不是男孩的數(shù)目乘上蘋果的數(shù)目，或者蘋果的數(shù)目乘上蘋果的價(jià)錢等等?！睌?shù)學(xué)成為抽象的學(xué)科，人們將這一巨大的功勞記在希臘人身上，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派純憑心智考慮抽象問題，認(rèn)為數(shù)是真實(shí)物質(zhì)的終極組成部分，是宇宙的要素，完全的演繹推理證明也加深了數(shù)學(xué)的抽象程度。希臘人有意識(shí)地承認(rèn)并強(qiáng)調(diào):數(shù)學(xué)上的東西如數(shù)和圖形是思維的抽象，同實(shí)際事物或?qū)嶋H形象是完全不同的。yob物質(zhì)實(shí)體是短暫的、不完善的，而抽象概念卻是永恒的、完美的。雖然抽象相對(duì)實(shí)體更困難，但它的優(yōu)點(diǎn)也是實(shí)體無法企及的，那就是一般性。在抽象的世界里，點(diǎn)沒有大小，線沒有寬度，面沒有厚度，堆積的石子、成捆的樹枝都可以表示數(shù)量關(guān)系。一張小小的卡片是矩形，一塊籬笆圍成的土地也可以是矩形，兩個(gè)完全不相關(guān)的物質(zhì)實(shí)體我們卻可以用同樣的數(shù)學(xué)公式求得它們的面積，這只是一個(gè)簡(jiǎn)單的例子。為了解決一個(gè)領(lǐng)域中的問題而得到的定理在另一個(gè)完全不同的領(lǐng)域里也能成功運(yùn)用，這樣的例子比比皆是，也正是數(shù)學(xué)的奧秘所在。我國(guó)數(shù)學(xué)家徐利治和他的合作者對(duì)數(shù)學(xué)抽象的問題進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，并對(duì)數(shù)學(xué)抽象進(jìn)行了定性分析。就內(nèi)容上講，數(shù)學(xué)抽象就是指由具體事物中抽取出量的方面、屬性或關(guān)系，「川這里的“量，，與質(zhì)相對(duì)，包含了我們通常意義的數(shù)與形。例如人類剔除物質(zhì)實(shí)體抽象出了計(jì)數(shù)符號(hào)1,2,3,4，理想化忽略球體的大小和形狀抽象出點(diǎn)。就方法上講，因?yàn)閿?shù)學(xué)研究的對(duì)象并非真實(shí)世界的客觀存在，所以我們無法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)等直觀的研究活動(dòng)，而只能進(jìn)行一種邏輯上的構(gòu)造、演繹和推理，即對(duì)已經(jīng)抽象出的概念進(jìn)行深加工。例如人類學(xué)會(huì)計(jì)數(shù)后，利用“加1”的累次疊加從具體的自然數(shù)得到了一般形態(tài)的自然數(shù)1000001000000等，利用點(diǎn)、線、面定義出錐等。就程度上講，深加工的并非是單純的由具體事物中抽象出的概念，還在原有認(rèn)知基礎(chǔ)上進(jìn)行逐步的理論構(gòu)建，這種構(gòu)建也是抽象的，并且是逐層進(jìn)行的，發(fā)展越深，層次越高。例如由一般的自然數(shù)計(jì)數(shù)到基本的自然數(shù)運(yùn)算、自然數(shù)集合再到今天的數(shù)論，由面積、體積的計(jì)算到歐式幾何、非歐幾何到今口具有龐大分支的幾何學(xué)，還包括很多完全由思維自由創(chuàng)造得到的產(chǎn)物例如虛數(shù)、多維空間等。數(shù)學(xué)抽象的方法與抽象度分析法是數(shù)學(xué)方法論的重要組成部分。鄭毓信在《數(shù)學(xué)方法論》中對(duì)數(shù)學(xué)抽象的方法論原則有如下總結(jié):┌────────┬───────────────────┐│思維形式│方法論原則│├────────┼───────────────────┤│構(gòu)造性思維│模式構(gòu)建形式化原則│├────┬───┼───────────────────┤│同向思維│弱抽象│特性分離一般化原則││├───┼───────────────────┤││對(duì)偶化│結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)對(duì)偶化原則││├───┼───────────────────┤││類比│類比聯(lián)想拓廣性原則│├────┼───┼───────────────────┤│逆向思維│弱抽象│關(guān)系定性特征化原則││├───┼───────────────────┤││精確化│逆向分析精確化原則││├───┼───────────────────┤││完備化│新元素添加完備化原則│├────┴───┼─────────┬─────────┤│悖向思維│悖向思維和諧性原則│公理變更和諧化原則││││概念擴(kuò)展和諧化原則││││觀念更新和諧化原則│└────────┴─────────┴─────────┘靈活運(yùn)用這些方法對(duì)于構(gòu)建數(shù)學(xué)定義、定理和理論框架是很有幫助的，如果數(shù)學(xué)抽象活動(dòng)能夠經(jīng)得起所有的推敲，滿足“廣度”、“清晰度”、“深度”三個(gè)條件，那么對(duì)數(shù)學(xué)及其他學(xué)科的發(fā)展是十分有利的。抽象度分析法則是對(duì)數(shù)學(xué)抽象的定量分析，計(jì)算并標(biāo)注出抽象步驟各鏈條上的相對(duì)抽象度，清晰地描述各個(gè)概念在整個(gè)理論中的地位，對(duì)于了解并從整體把握數(shù)學(xué)分支及數(shù)學(xué)理論的結(jié)構(gòu)很有幫助?？傊?，抽象的概念是永恒的，它不會(huì)隨物質(zhì)的變化而變化，抽象的數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)以外其他方面得到最大程度的應(yīng)用;而抽象的演繹法孕育了理性精神，使得數(shù)學(xué)結(jié)論千年成立，對(duì)文化有著千年的影響。故而希臘人對(duì)數(shù)學(xué)的這一貢獻(xiàn)最大限度地決定了今天文明的本質(zhì)。2.1.2數(shù)學(xué)的確定性數(shù)學(xué)追求一種完全確定、完全可靠的知識(shí)。這種結(jié)果得益于數(shù)學(xué)體系的特殊而有效的方法，即從一系列不證自明的公理出發(fā)，準(zhǔn)確地描述將要討論的概念和定義，經(jīng)過嚴(yán)密的邏輯推理演繹得出明確無誤的結(jié)論，這也是數(shù)學(xué)得以長(zhǎng)足發(fā)展的動(dòng)力因素。幾千年來，數(shù)學(xué)的真理性得到人們的高度認(rèn)同和尊崇。然而，十九世紀(jì)以后，數(shù)學(xué)的這種真理性地位卻一次次受到巨大的沖擊。非歐幾何、四元數(shù)理論、集合論悖論給數(shù)學(xué)“真理的化身”形象籠罩上了陰影，使得數(shù)學(xué)喪失了揭示客觀世界的“真理性”，也喪失了自身基礎(chǔ)的嚴(yán)密性?？巳R因(MorrisKline)在《數(shù)學(xué):確定性的喪失》中提到“數(shù)學(xué)的當(dāng)前困境是有許多種數(shù)學(xué)而不是只有一種，而且由于種種原因每一種都無法使對(duì)立學(xué)派滿意。顯然，普遍接受的概念、正確無誤的推理體系一一1800年時(shí)的尊貴數(shù)學(xué)和那時(shí)人的自豪一一現(xiàn)在都成了癡心妄想。與未來數(shù)學(xué)相關(guān)的不確定性和可疑，取代了過去的確定性和自滿。關(guān)于“最確定的”科學(xué)的基礎(chǔ)意見不一致不僅讓人吃驚，而且，溫和一點(diǎn)說，是讓人尷尬?！比绻覀兯f的確定是客觀實(shí)在、可以實(shí)現(xiàn)的現(xiàn)實(shí)，那數(shù)學(xué)一定不是確定的。羅素說:“數(shù)學(xué)是這樣一門學(xué)科:我們不知道它說的是什么，也不知道所說的正確與否?！笨此茻o理的語言卻揭示了數(shù)學(xué)的本質(zhì)。不知道數(shù)學(xué)說的是什么，是因?yàn)閿?shù)學(xué)研究的抽象對(duì)象與實(shí)際意義無關(guān);不知道說的正確與否，是因?yàn)閿?shù)學(xué)研究的結(jié)果不必證實(shí)與現(xiàn)實(shí)世界相符合。任何一門學(xué)科都不是靜止固定的，都是由誕生而后動(dòng)態(tài)發(fā)展的，這個(gè)動(dòng)態(tài)發(fā)展的過程也必然是曲折的。數(shù)學(xué)經(jīng)過幾千年曲折動(dòng)態(tài)的發(fā)展，經(jīng)過幾次危機(jī)的洗禮過后才有了今天的面貌，既沒有最初的起點(diǎn)，也沒有最終的結(jié)束，口益扎深的根部、龐大的分支無時(shí)無刻不在體現(xiàn)著它旺盛的生命力。這樣巨大的數(shù)學(xué)體系脫離了“確定”是必然的，因?yàn)槲覀兿胍慕^對(duì)不是一個(gè)單純描述客觀世界的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，克萊因想要說明的正是這一點(diǎn)。然而相對(duì)于現(xiàn)實(shí)的不確定，數(shù)學(xué)在各自體系各自模式下的確定性卻是無疑的。例如“三角形內(nèi)角和為180度”，這絕不是說“在某種條件下，絕大部分三角形的內(nèi)角和在某種誤差范圍內(nèi)為180度”，而是在命題規(guī)定的范圍內(nèi)，一切三角形的內(nèi)角和不多不少為180度。這種“模式下的”確定性通過純粹的思想在認(rèn)識(shí)上給人以極大的啟發(fā)。故而幾百年前證明的定理、構(gòu)建的體系可以沿用至今。數(shù)學(xué)確定性相對(duì)的喪失與存在對(duì)我們是個(gè)嚴(yán)峻的考驗(yàn)，可以說態(tài)度將決定未來數(shù)學(xué)的發(fā)展。數(shù)學(xué)研究的自由化傾向使得人們擔(dān)心數(shù)學(xué)將會(huì)出現(xiàn)一事無成的局面。然而不使數(shù)學(xué)從與自然界直接對(duì)照的實(shí)在論中擺脫出來，數(shù)學(xué)就不能前進(jìn)。}i2]慶幸的是這種局面沒有阻礙數(shù)學(xué)的進(jìn)步和發(fā)展，也沒有削弱數(shù)學(xué)在科學(xué)領(lǐng)域的指導(dǎo)力量。這種確定性相對(duì)的喪失更大的拓展了數(shù)學(xué)的外延，使數(shù)學(xué)的邊界更加開闊，也更堅(jiān)定了我們對(duì)未來數(shù)學(xué)的信心。2.1.3數(shù)學(xué)的繼承性科學(xué)知識(shí)是在長(zhǎng)期的歷史發(fā)展過程中形成的，其過程就說明了知識(shí)具有繼承性，沒有繼承，就沒有積累。我認(rèn)為繼承性應(yīng)該從兩方面理解。從個(gè)人來講，我們學(xué)習(xí)一些知識(shí)，無須重新經(jīng)歷科學(xué)家們艱苦的實(shí)踐過程，短時(shí)間內(nèi)就可以掌握到一門學(xué)科千百年來積累的成果。這種繼承通過教育實(shí)現(xiàn)，極大的加速了科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，故而現(xiàn)在一個(gè)中學(xué)生掌握的知識(shí)可以超過若干古代著名的科學(xué)家?！爸挥杏行У乩^承人類知識(shí)，同時(shí)把世界最先進(jìn)的科學(xué)技術(shù)知識(shí)拿到手，我們?cè)傧蚯斑~出半步，就是最先進(jìn)的水平，第一流的科學(xué)家(諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)得主溫伯格((StevenWeinberg))o”正因如此，知識(shí)領(lǐng)域才能發(fā)展成今天的面貌。法國(guó)的著名科學(xué)家龐加萊被譽(yù)為“全能數(shù)學(xué)家”，因?yàn)樗跀?shù)學(xué)、天文、物理的幾乎每一個(gè)領(lǐng)域都做出了杰出的貢獻(xiàn)，然而今天，一個(gè)人想要掌握全部數(shù)學(xué)知識(shí)的三分之一都是不可能的。從知識(shí)本身來講，體系的形成是具有連續(xù)性的，這種連續(xù)體現(xiàn)了繼承關(guān)系。以函數(shù)的概念發(fā)展為例，17世紀(jì)的函數(shù)概念產(chǎn)生于對(duì)運(yùn)動(dòng)的研究，是“一些量通過一系列代數(shù)運(yùn)算得到的”，以現(xiàn)在的觀點(diǎn)看則僅適用于代數(shù)函數(shù)部分。18世紀(jì)，隨著數(shù)學(xué)研究的深入，人們發(fā)現(xiàn)了三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等，原有的代數(shù)函數(shù)的概念已經(jīng)不能滿足需要，于是函數(shù)的概念得到了擴(kuò)張，“由一個(gè)變量與一些常量通過任何方式形成的解析表達(dá)式”，適用于現(xiàn)今的解析函數(shù)。19世紀(jì)，傅立葉明確提出函數(shù)不必表示為解析式，函數(shù)的概念擺脫解析式的束縛，“如果對(duì)于給定區(qū)間上的每一個(gè)x值有唯一的一個(gè)y值與它對(duì)應(yīng)，那么就稱y為x的一個(gè)函數(shù)”。這個(gè)概念的演變過程中后者即為前者的深化，體現(xiàn)了知識(shí)的繼承關(guān)系。與其他自然學(xué)科相比，數(shù)學(xué)具有無法比擬的繼承性，每一次發(fā)展都是將前人的理論作為特例、基礎(chǔ)，是一種延續(xù)的、積累的、不斷進(jìn)步的整體。在整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展史中，雖然發(fā)生了幾次大的危機(jī)，但是經(jīng)過數(shù)學(xué)家們的努力，都找到了解決的辦法，而幾乎沒有完全推翻前人理論的例子。反觀其他學(xué)科，后人理論完全推翻前人學(xué)說的例子屢見不鮮?！翱谛恼f”取代“地心說”，伽利略在比薩斜塔的鐵球落地實(shí)驗(yàn)推翻了持續(xù)近2000年的“下落速度正比于物體重量”的學(xué)說，氧氣的發(fā)現(xiàn)否定了“燃素’，說…,..[13]唯有數(shù)學(xué)，給了我們一個(gè)一脈相承的知識(shí)體系，從萌芽階段發(fā)展到現(xiàn)今的眾多分支，不斷地?cái)U(kuò)充壯大。不可否認(rèn)，戰(zhàn)爭(zhēng)、災(zāi)害和危機(jī)等因素在某種程度上影響了它的進(jìn)程，但卻無法改變它的方向，也不足以否定數(shù)學(xué)體系的協(xié)調(diào)性，有利的社會(huì)環(huán)境和有效的科學(xué)組織卻能大大加速其發(fā)展。2.1.4數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔性簡(jiǎn)潔性是數(shù)學(xué)的主要特征之一，這里所說的簡(jiǎn)潔性是指數(shù)學(xué)表達(dá)、方法、邏輯結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)潔，而并非數(shù)學(xué)知識(shí)體系的簡(jiǎn)單。數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔性首先體現(xiàn)在數(shù)學(xué)的語言及其邏輯的表述上。數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)思維的載體，具有獨(dú)特的符號(hào)、語法和表達(dá)方式，準(zhǔn)確、嚴(yán)密。數(shù)學(xué)的每一個(gè)定義定理都是經(jīng)過反復(fù)推敲的，數(shù)學(xué)家們力求以最簡(jiǎn)練的語言表達(dá)最準(zhǔn)確最充分的意思，摒棄了口常用語的混亂意義，用簡(jiǎn)潔明確的符號(hào)敘述復(fù)雜的關(guān)系。萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)，是17世紀(jì)自然科學(xué)最偉大的成果之一。它第一次解釋了(自然界中四種相互作用之一)一種基本相互作用的規(guī)律，在人類認(rèn)識(shí)自然的歷史上樹立了一座里程碑。這一重要理論的數(shù)學(xué)表示只有一個(gè)公式:F=G最深刻的內(nèi)容和最簡(jiǎn)潔的表示得到了高度的統(tǒng)一。敘述復(fù)雜的交換律、結(jié)合律、分配率僅用幾個(gè)字母和符號(hào)就得以清晰的表達(dá)，“當(dāng)且僅當(dāng)”、“有且僅有”的精確詞句也充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔和嚴(yán)謹(jǐn)。數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔性還體現(xiàn)在解決問題的方法上。計(jì)算中換元法用變量代替整體，化高為低，化分為整，化無理為有理，大大簡(jiǎn)化了計(jì)算過程。一元二次方程的求根公式給出了解一元二次方程的標(biāo)準(zhǔn)方法，使得方程的求解和判斷簡(jiǎn)單明了。邏輯中的化歸法將一個(gè)非基本的問題通過分解、變形或旋轉(zhuǎn)、伸縮等多種方式轉(zhuǎn)化為一個(gè)熟悉的基本問題，從而求出解答，減少重復(fù)勞動(dòng)。遞歸法將規(guī)模較大的復(fù)雜問題分解成規(guī)模較小的問題，將規(guī)模較小的問題分解為規(guī)模更小的問題，直至分解成規(guī)模為1的可直接得解的問題，通過得到的小規(guī)模問題的解構(gòu)造大規(guī)模問題的解，降低了問題的復(fù)雜度。還有建模法、代入法、消元法、圖像法等，無不體現(xiàn)了數(shù)學(xué)方法的簡(jiǎn)潔與解題的智慧。數(shù)學(xué)體系的結(jié)構(gòu)也體現(xiàn)出了簡(jiǎn)潔性。歐幾里德的《幾何原本》建立起的嚴(yán)密的幾何理論系統(tǒng)，兩千多年來對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。這樣一部具有無與倫比偉大意義的巨著僅由_5個(gè)公設(shè)和_5個(gè)公理出發(fā)，這些公設(shè)和公理可以立刻證明出一些簡(jiǎn)單的定理，而這些簡(jiǎn)單的定理就是那些更深?yuàn)W的定理的基石，這樣，一個(gè)精密的幾何體系就一點(diǎn)點(diǎn)建立起來。雖然深?yuàn)W的定理不能立刻很簡(jiǎn)單的證明，但是無論如何復(fù)雜的定理，都不過是由一系列簡(jiǎn)單的演繹論證組成的。yob詩歌之所以動(dòng)人，就在于它能以最簡(jiǎn)練的語言表達(dá)最熱烈的感情、最復(fù)雜的思想。漫畫之所以讓人喜愛，就在于它用寥寥數(shù)筆勾勒出了事物的形象。[14]數(shù)學(xué)用最簡(jiǎn)單的形式表示出最復(fù)雜的理論，簡(jiǎn)潔卻不簡(jiǎn)單，給了我們心靈最大的震撼。2.1.5數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性馬克思主義哲學(xué)認(rèn)為世界是統(tǒng)一的，但這種統(tǒng)一是多樣性的統(tǒng)一，并非無差別的單一的統(tǒng)一。統(tǒng)一性以差異多樣性為前提，共同形成了客觀事物內(nèi)在的一對(duì)基本矛盾。畢達(dá)哥拉斯說過:凡是美的東西都有一個(gè)共同特征，這就是部分與部分彼此之間，以及部分與整體間固有的協(xié)調(diào)一致。這種協(xié)調(diào)一致就是統(tǒng)一性。數(shù)學(xué)龐大的分支系統(tǒng)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的差異多樣性，而數(shù)學(xué)客觀反映物質(zhì)世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)則體現(xiàn)了統(tǒng)一性，差異多樣性和統(tǒng)一性共同作用推動(dòng)著數(shù)學(xué)體系不斷深化、發(fā)展。按照數(shù)學(xué)的發(fā)展脈絡(luò)，早期的代數(shù)、幾何各自為政，獨(dú)立發(fā)展。隨著研究的深入，人們注意到幾何曲線研究中數(shù)量方法的必要性，于是費(fèi)馬和笛卡爾開始用代數(shù)研究幾何，將代數(shù)方程和曲線曲面聯(lián)系起來，創(chuàng)立坐標(biāo)幾何，即解析幾何。解析幾何的創(chuàng)立將代數(shù)和幾何緊密的聯(lián)系在一起，成為變量數(shù)學(xué)發(fā)展的第一個(gè)里程碑。到18世紀(jì)末，統(tǒng)一幾何天下的一直是歐氏幾何，而非歐幾何的出現(xiàn)打破了這一局面，揭示了空間的彎曲性質(zhì)，將歐式幾何變成了平直空間的特例。射影幾何、高維幾何、微分幾何、黎曼幾何的研究展現(xiàn)了幾何學(xué)無限廣闊的發(fā)展前景，數(shù)學(xué)家們開始設(shè)想并尋找這些幾何學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)而統(tǒng)一整個(gè)幾何世界。19世紀(jì)，射影幾何的研究脫離了歐式幾何的框架，使得歐式幾何與非歐幾何都成為了射影幾何的特例，為幾何學(xué)的統(tǒng)一鋪平了道路。新的數(shù)學(xué)理論逐漸產(chǎn)生后，數(shù)學(xué)也發(fā)展出若干小的分支，這些數(shù)學(xué)分支領(lǐng)域涉及方方面面，但是沒有哪一分支可以剝離其他理論而單獨(dú)存在。科學(xué)在進(jìn)步，數(shù)學(xué)在發(fā)展，各個(gè)分支之間的聯(lián)系越發(fā)緊密，而這些錯(cuò)綜復(fù)雜的親緣關(guān)系構(gòu)建了一座和諧統(tǒng)一的數(shù)學(xué)大廈。統(tǒng)一后出現(xiàn)差異，差異后再進(jìn)行統(tǒng)一，數(shù)學(xué)的發(fā)展中貫穿著這種統(tǒng)一與差異的矛盾運(yùn)動(dòng)，數(shù)學(xué)就在這種運(yùn)動(dòng)中蓬勃發(fā)展著。2.2數(shù)學(xué)的功能特征2.2.1數(shù)學(xué)的滲透性數(shù)學(xué)的應(yīng)用越來越廣泛，人類智力活動(dòng)中尚未受到數(shù)學(xué)的影響而大為改觀的領(lǐng)域已寥寥無幾了，數(shù)學(xué)作為一種技術(shù)已口益成為科技的支撐，成為推動(dòng)科學(xué)發(fā)展的關(guān)鍵。近代科學(xué)發(fā)展常常涉及不同學(xué)科和方法的相互滲透，各種類型的交叉學(xué)科應(yīng)運(yùn)而生?？茖W(xué)的數(shù)學(xué)化是科學(xué)發(fā)展的顯著特征，因?yàn)閿?shù)學(xué)本身的定量、抽象、方法性等特點(diǎn)決定了數(shù)學(xué)在眾多學(xué)科中的橋梁和中介地位。生物數(shù)學(xué)、金融數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)物理、數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)等是我們?cè)缫讯炷茉敳l(fā)展到一定規(guī)模的交叉學(xué)科，體育學(xué)、地質(zhì)學(xué)、易學(xué)、語言學(xué)、圖書館學(xué)等也都與數(shù)學(xué)交叉產(chǎn)生了一些新學(xué)科。體育數(shù)學(xué)的主要任務(wù)是探討體育運(yùn)動(dòng)中的數(shù)學(xué)理論，建立數(shù)學(xué)模型和計(jì)算方法，描述人體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律與運(yùn)動(dòng)環(huán)境、器械、規(guī)則和心理作用對(duì)人體運(yùn)動(dòng)的影響。[15]數(shù)學(xué)地質(zhì)是用數(shù)學(xué)的方法研究地球歷史和發(fā)展規(guī)律，從理論和實(shí)踐上解決地質(zhì)領(lǐng)域各種問題的應(yīng)用性科學(xué)，目的是定量地研究和解決地質(zhì)科學(xué)中用傳統(tǒng)的定性描述和成因推理方法難以解決、或者爭(zhēng)論不體的許多模糊不清的理論和實(shí)際問題。[16]易學(xué)經(jīng)典著作《易經(jīng)》中處處可以找到模糊概念的描述[l7]，64卦卦象符號(hào)中則蘊(yùn)含著拓?fù)淙航Y(jié)構(gòu)。「‘“]數(shù)理語言學(xué)把數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)程序運(yùn)用于語言學(xué)研究，采用定量化和形式化的描述方法使得語言學(xué)和數(shù)學(xué)一樣精密?！浮盷還有環(huán)境數(shù)學(xué)、工程數(shù)學(xué)、計(jì)算化學(xué)、生物信息學(xué)、文獻(xiàn)計(jì)量學(xué)等等，不勝枚舉。可以說數(shù)學(xué)向其他領(lǐng)域的滲透已經(jīng)形成了相當(dāng)?shù)囊?guī)模，對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用程度成了衡量一門學(xué)科發(fā)展水平的標(biāo)志。諾貝爾獎(jiǎng)雖然沒有設(shè)立數(shù)學(xué)獎(jiǎng)，但是諾貝爾獎(jiǎng)中處處都有數(shù)學(xué)的影子。僅以2008年諾貝爾獎(jiǎng)為例，經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)的得主是保羅·克魯格曼(PaulR.Krugman，他在20世紀(jì)90年代創(chuàng)立了新經(jīng)濟(jì)地理學(xué)，提供了可以更好地解釋貿(mào)易理論的區(qū)域經(jīng)濟(jì)學(xué)新研究方法。新經(jīng)濟(jì)地理學(xué)的基礎(chǔ)就是數(shù)學(xué)模型，理論假設(shè)，邏輯實(shí)證，用模型解釋發(fā)展理論?；瘜W(xué)獎(jiǎng)得主之一錢永健對(duì)數(shù)學(xué)有著深入廣泛的研究，并能將數(shù)學(xué)與化學(xué)、物理、生物等學(xué)科很好的結(jié)合。物理學(xué)獎(jiǎng)的得主之一益川敏英也是一個(gè)對(duì)數(shù)學(xué)有著非凡熱情的人。除去與數(shù)學(xué)緊密相關(guān)的經(jīng)濟(jì)、物理、化學(xué)、生物等領(lǐng)域，英國(guó)數(shù)學(xué)家羅素CBertrandRussell)以作品《哲學(xué)一數(shù)學(xué)一文學(xué)》獲得了19_50年的諾貝爾文學(xué)獎(jiǎng)。數(shù)學(xué)家哈沃斯(J.Howarth)憑借校準(zhǔn)時(shí)鐘變速的獨(dú)特算法恢復(fù)出1949年老磁帶的原始聲音面貌，獲得了2008格萊美最佳歷史專輯獎(jiǎng)。計(jì)算專家通過數(shù)學(xué)、力學(xué)研究投擲技術(shù)，改進(jìn)訓(xùn)練措施，使鐵餅世界冠軍在短期內(nèi)成績(jī)提高，創(chuàng)造了連破三次世界紀(jì)錄的驕人成績(jī)。以1994年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)得主數(shù)學(xué)家約翰·納什CJohnForbesNash的傳奇經(jīng)歷拍攝的電影《美麗心靈》深深觸動(dòng)了人們的內(nèi)心，一舉獲得了第74屆奧斯卡最佳影片、最佳導(dǎo)演、最佳改編劇本和最佳女配角四項(xiàng)大獎(jiǎng)?？梢姅?shù)學(xué)的研究范圍口益擴(kuò)大，給其他學(xué)科的研究注入了新鮮的血液，展現(xiàn)了無窮的動(dòng)力和活力。然而這只是數(shù)學(xué)滲透性的外顯式的表現(xiàn)，內(nèi)在方式則表現(xiàn)在數(shù)學(xué)對(duì)人類思想的滲透。數(shù)學(xué)的理性精神對(duì)人類方方面面的影響是巨大的，這一點(diǎn)在第三章加以陳述。2.2.2數(shù)學(xué)的傳播性人們通過某種方式交流傳遞思想、觀點(diǎn)、信息即為文化傳播，包括文化的交流、借鑒與融合，傳播的主要途徑有商人的貿(mào)易活動(dòng)、人口遷徙和教育。商人進(jìn)行貿(mào)易活動(dòng)時(shí)，不僅通過商品交換將商品中蘊(yùn)涵的豐富文化加以交流，人與人之間的交往過程交流文化。數(shù)學(xué)也通過絲綢之路傳播到印度、阿拉伯?dāng)?shù)字通過絲綢之路傳入中國(guó)而且通過中國(guó)古代阿拉伯地區(qū)。航海貿(mào)易的盛行將大量希臘和東方學(xué)術(shù)著作帶到歐洲人面前，大量數(shù)學(xué)譯著的傳播促進(jìn)了數(shù)學(xué)的繁榮發(fā)展，也成為歐洲文化復(fù)興的重要力量。公元前221年，羅馬士兵一刀殺死了阿基米德，希臘數(shù)學(xué)開始籠罩在羅馬帝國(guó)統(tǒng)治的陰影之下，直到亞歷山大學(xué)術(shù)寶庫的珍貴手稿被付之一炬，輝煌的希臘數(shù)學(xué)終于流盡了最后一滴淚。然而什么也阻擋不了文化的交流與傳播，不堪統(tǒng)治重壓的希臘學(xué)者帶著他們先進(jìn)的知識(shí)和理性精神遷往歐洲。希臘學(xué)術(shù)的出現(xiàn)震驚了歐洲，西方學(xué)者大量吸取希臘著作中的新鮮思想，創(chuàng)造了對(duì)數(shù)，完成了三四次方程的求解并建立了符號(hào)化體系，可以說希臘文化像一顆發(fā)光發(fā)熱的太陽將文明普照在歐洲的大地上。教育是文化傳播的又一重要途徑，人們通過學(xué)習(xí)各種文化課程獲得不同的文化知識(shí)，數(shù)學(xué)知識(shí)也是這樣一代一代傳承下來的。希臘在數(shù)學(xué)史上的地位是至高無上的，希臘時(shí)期，每個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展的中心點(diǎn)都有一些無正式組織的學(xué)者在幾個(gè)偉大學(xué)者的領(lǐng)導(dǎo)下開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，這些組織漸漸形成各自的學(xué)派，招募學(xué)者、學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)研究、傳授數(shù)學(xué)知識(shí)。16至19世紀(jì)上半葉，歐洲開始在大學(xué)里講授數(shù)學(xué)課程，取代僅有的數(shù)學(xué)家貴族團(tuán)體，培養(yǎng)了大批優(yōu)秀的數(shù)學(xué)人才，大大拓展了數(shù)學(xué)研究團(tuán)隊(duì)。除了傳承教育傳播，交流教育傳播也是新知識(shí)獲取的重要手段之一。從古至今，各國(guó)間互派留學(xué)生和訪問學(xué)者進(jìn)行的文化交流就從未中斷過，凡是文化交流的中心都有大批慕名前去的學(xué)者。改革開放30年，中國(guó)有超過121萬的學(xué)子赴各國(guó)留學(xué)，數(shù)學(xué)方向的留學(xué)生占有相當(dāng)大的比例。他們帶回大量先進(jìn)的知識(shí)、技術(shù)，使我國(guó)的科研水平能夠躋身世界前列。19世紀(jì)后，很多專業(yè)的數(shù)學(xué)團(tuán)體與學(xué)會(huì)相繼建立起來，定期召開會(huì)議、通報(bào)科研成果與議題，組織交流會(huì)談，出版會(huì)議通訊，極大加速了數(shù)學(xué)研究成果的傳播。會(huì)議也由地域性逐步發(fā)展為全球性，更加專業(yè)、準(zhǔn)確、權(quán)威，對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展有著重大的推動(dòng)作用。雖然目前文化交流中語言和翻譯都不是大問題，但數(shù)學(xué)相對(duì)獨(dú)立的語言系統(tǒng)依然具有其他學(xué)科無法比擬的優(yōu)越性，形式化和符號(hào)化形成了數(shù)學(xué)這一語言系統(tǒng)的統(tǒng)一和一致性，打破了文化傳播過程中的很多局限。2.2.3數(shù)學(xué)的工具性2003年《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中首先提到數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，是刻畫自然規(guī)律和社會(huì)規(guī)律的科學(xué)語言和有效工具，這表明了我們的數(shù)學(xué)教育從基礎(chǔ)階段對(duì)數(shù)學(xué)工具性的要求。雖然多數(shù)人還未意識(shí)到數(shù)學(xué)等同于語文地位的工具性，數(shù)學(xué)技術(shù)的巨大威力早已發(fā)揮開來。首先，數(shù)學(xué)是科學(xué)的語言，在科學(xué)研究中發(fā)揮重要的工具作用。采用數(shù)學(xué)方法研究經(jīng)濟(jì)已經(jīng)不是什么新鮮事了，諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)也多次授予了對(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué)研究做出重大貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家。經(jīng)濟(jì)學(xué)家用數(shù)學(xué)語言描述經(jīng)濟(jì)問題，用相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想和方法研究解決問題，使得經(jīng)濟(jì)理論迅速發(fā)展。采用數(shù)學(xué)方法研究經(jīng)濟(jì)在歷史上由來已久，但無論是微積分，還是拓?fù)鋵W(xué)抑或集合論，在經(jīng)濟(jì)學(xué)研究中都存在著一個(gè)共同的局限性，即它們只在均衡分析中才充分發(fā)揮效力。由于數(shù)學(xué)工具的這一局限性，導(dǎo)致均衡與完全競(jìng)爭(zhēng)成為經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的主要前提條件，束縛了經(jīng)濟(jì)學(xué)自身的發(fā)展。}20}1944年，博弈論體系誕生，從更普遍的和更基本的假設(shè)出發(fā)探討經(jīng)濟(jì)秩序的起源，迅速成為經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的重要工具，使經(jīng)濟(jì)學(xué)研究得以突破均衡和完全競(jìng)爭(zhēng)的限制?？梢哉f，博弈論的出現(xiàn)為經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究做出了開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)。20世紀(jì)20年代，意大利數(shù)學(xué)家建立的魚類捕食與被捕食關(guān)系模型標(biāo)志著數(shù)學(xué)與生物學(xué)合作的開始，而后這種群體建模的方法又被應(yīng)用到流行病學(xué)。在生命科學(xué)的研究中，數(shù)學(xué)并非只是應(yīng)用在海量數(shù)據(jù)的處理上，通過建立模型，將雜亂無章的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)整理成清晰的數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而透析問題的本質(zhì)。通過微分方程進(jìn)行腫瘤抑制基因p_53調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的推導(dǎo)和設(shè)計(jì)，根據(jù)設(shè)計(jì)結(jié)果進(jìn)行生物學(xué)實(shí)驗(yàn)，這種由數(shù)學(xué)完成的理性的“假設(shè)驅(qū)動(dòng)”實(shí)驗(yàn)改變了生物學(xué)實(shí)驗(yàn)的經(jīng)驗(yàn)科學(xué)面貌，“可以導(dǎo)致新型的細(xì)胞工程和促進(jìn)人們對(duì)自然界存在的調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的理解’，。[21]模糊數(shù)學(xué)、分形和混沌理論等作為工具也在生命科學(xué)的研究中發(fā)揮了重要的作用。其次，系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法論是很多重大決策的理論依據(jù)。糧食產(chǎn)量是關(guān)系到國(guó)計(jì)民生的大事，糧食產(chǎn)量預(yù)測(cè)專家整理大量數(shù)據(jù)，結(jié)合農(nóng)業(yè)、生物、經(jīng)濟(jì)、氣象等因素采用投入產(chǎn)出占用技術(shù)、非線性預(yù)測(cè)方程方法對(duì)糧食產(chǎn)量做出準(zhǔn)確預(yù)測(cè)，為中央安排糧食收購、儲(chǔ)存、進(jìn)口、出口和消費(fèi)等提供了重要的決策參考，為判斷農(nóng)業(yè)和糧食生產(chǎn)形勢(shì)，進(jìn)行高層農(nóng)業(yè)決策提供了科學(xué)依據(jù)。石油峰值是指油田的原油產(chǎn)量達(dá)到頂峰并開始下降的時(shí)間和產(chǎn)量，隨著石油戰(zhàn)略地位的口益突出，石油峰值問題引起了各國(guó)的關(guān)注。自20世紀(jì)g0年代起，我國(guó)學(xué)者開始了對(duì)石油峰值問題的研究，先后建立了“翁氏模型”、“威布爾模型”、“胡一陳一張模型”、“瑞利模型”、“廣義I型數(shù)學(xué)模型”和“廣義II型數(shù)學(xué)模型”等。石油峰值研究在世界范圍內(nèi)的興起，促使一些國(guó)家對(duì)該問題口漸重視。瑞典是全球第一個(gè)承認(rèn)石油峰值并認(rèn)真采取對(duì)策的政府。挪威將其上升到了國(guó)家決策層面。美國(guó)能源部委托專門委員會(huì)對(duì)“石油峰值論”展開研究，并依此制定長(zhǎng)期能源戰(zhàn)略。澳大利亞相當(dāng)重視石油峰值研究，2005年11月成立的ASPD澳大利亞分會(huì)，目前已向澳能源會(huì)議提供了200多條有價(jià)值的建議。[22]再次，數(shù)學(xué)在口常生活生產(chǎn)中應(yīng)用是極為廣泛的。我們的口常交易、收支管理、經(jīng)營(yíng)買賣、銀行貸款等等都需要數(shù)學(xué)的思想、理論和方法，一個(gè)燒水泡茶的過程利用華羅庚著名的統(tǒng)籌方法都可以得到最有效率的過程安排。網(wǎng)購時(shí)計(jì)算貨品重量最大限度的節(jié)省快遞費(fèi)用，商店促銷滿300收I50、買200送200與六折哪個(gè)更合算，燉1小時(shí)的牛肉用煤氣和用電哪個(gè)更便宜，利率升高后多長(zhǎng)時(shí)間以內(nèi)的存款提取后重新儲(chǔ)蓄利息更多，如何安排家俱讓室內(nèi)空間得到最大最合理的應(yīng)用……數(shù)學(xué)無處不在，有效地將數(shù)學(xué)作為生活的工具，可以極大地提高我們生活的質(zhì)量和效率，節(jié)約成本，提高產(chǎn)出。2.2.4數(shù)學(xué)的預(yù)見性數(shù)學(xué)抽象的自我發(fā)展?fàn)顟B(tài)給人以與文化分離的錯(cuò)覺，因?yàn)樵谝欢ǖ臅r(shí)期內(nèi)某些數(shù)學(xué)理論尚未體現(xiàn)其應(yīng)用價(jià)值。事實(shí)上，許多數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用具有滯后效應(yīng)，也就是說，數(shù)學(xué)知識(shí)本身具有超前性?！皬臍W氏幾何對(duì)物理空間的描述，圓錐曲線理論應(yīng)用于近代天文學(xué)，微積分對(duì)于近代科學(xué)發(fā)展的決定性影響，直到麥克斯韋的電磁學(xué)微分方程組、廣義相對(duì)論所利用的黎曼幾何，似乎都在證實(shí)，而且在不斷證實(shí):上帝在一開始就創(chuàng)造了數(shù)學(xué)，然后再按照數(shù)學(xué)定律創(chuàng)造了宇宙和地球。;[23]首先，數(shù)學(xué)理論本身具有預(yù)見性。1847年，英國(guó)數(shù)學(xué)家喬治·布爾(GeorgeBoole)發(fā)表了《邏輯學(xué)的數(shù)學(xué)分析》，初步建立了邏輯代數(shù)，并創(chuàng)造了一套符號(hào)系統(tǒng)。在邏輯代數(shù)中，只有0和1兩種邏輯值，只有與、或、非三種基本邏輯運(yùn)算，這門理論在當(dāng)時(shí)既沒有物理意義，也沒有現(xiàn)實(shí)意義。然而，這種無意義的理想設(shè)計(jì)為計(jì)算機(jī)的發(fā)明做好了鋪墊。1946年計(jì)算機(jī)問世，邏輯代數(shù)成了自動(dòng)化系統(tǒng)和計(jì)算機(jī)科學(xué)的奠基石，可以說，沒有邏輯代數(shù)，就沒有計(jì)算機(jī)、沒有網(wǎng)絡(luò)、沒有今天的信息技術(shù)。相信布爾如果看到對(duì)思維規(guī)律的運(yùn)算幾乎以一個(gè)世紀(jì)前他預(yù)言的方式發(fā)展將會(huì)很高興。[24]其次，對(duì)那些由于技術(shù)條件有限而暫時(shí)無法或很難觀測(cè)的客觀世界，數(shù)學(xué)發(fā)揮了重大作用，指明了科學(xué)發(fā)展的方向。1766年，德國(guó)業(yè)余天文學(xué)家丟提斯發(fā)現(xiàn)，取數(shù)列0,3,6,12,24,48,96ww}將每個(gè)數(shù)加上4再除以10就可以得到一系列恰好等于各行星到太陽距離的數(shù)據(jù)。1772年德國(guó)天文學(xué)家波德用a。表示行星到太陽的平均距離，將上述結(jié)果總結(jié)成公式。=0.4+0.3x2"-2，其中對(duì)水星n取一二而非1，得出了著名的“丟提斯一波德規(guī)則’，。}Zs]依據(jù)此規(guī)則計(jì)算出的數(shù)據(jù)，之后的40年里天文學(xué)家們陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了天王星及谷神星、智神星、婚神星、灶神星等組成的火星與木星之間的小行星帶。麥克斯韋是運(yùn)用數(shù)學(xué)工具分析物理問題的大師，他善于應(yīng)用嫻熟的數(shù)學(xué)技巧大膽地提出有實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)的假設(shè)，建立新的理論，再通過實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)理論及預(yù)言的結(jié)論，逐漸完善，形成系統(tǒng)的理論。186_5年，他預(yù)言了電磁波的存在，同時(shí)說明電磁波只可能是橫波，并計(jì)算了電磁波的傳播速度等于光速，揭示了光現(xiàn)象和電磁現(xiàn)象之間的聯(lián)系，直到1888年，麥克斯韋去世的9年后，德國(guó)物理學(xué)家赫茲才用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了電磁波的存在，開創(chuàng)了無線電電子技術(shù)的新紀(jì)元。還有氫光譜公式、激光照排技術(shù)等等也都充分說明了數(shù)學(xué)思維成果對(duì)后期人類實(shí)踐活動(dòng)的預(yù)見和指導(dǎo)調(diào)控。再次，采用數(shù)學(xué)手段的模擬預(yù)測(cè)成為科技發(fā)展的新技術(shù)。隨著IT和互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的發(fā)展，虛擬技術(shù)口益成為核心技術(shù)。它利用各種人機(jī)交互技術(shù)，在現(xiàn)實(shí)空間之外創(chuàng)造另一個(gè)盡可能真實(shí)的、互動(dòng)的虛幻世界，使人類可以不受任何限制地在自己的夢(mèng)想里散步、觀察并且動(dòng)手操作，這種虛擬技術(shù)的主要手段之一就是數(shù)學(xué)建模。工業(yè)領(lǐng)域里，利用計(jì)算機(jī)可視化技術(shù)及網(wǎng)絡(luò)技術(shù)，對(duì)產(chǎn)品的設(shè)計(jì)、制造、生產(chǎn)和各項(xiàng)試驗(yàn)進(jìn)行準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)建模和仿真，在產(chǎn)品試制之前就能預(yù)見性地模擬出產(chǎn)品的全部制造、運(yùn)動(dòng)仿真和部分試驗(yàn)性能，從而檢測(cè)產(chǎn)品的設(shè)計(jì)正確性和工藝可行性。在此基礎(chǔ)上預(yù)測(cè)產(chǎn)品的性能、制造周期及使用壽命，并通過交互性、浸沒感來感知產(chǎn)品的效果，使得產(chǎn)品開發(fā)和生產(chǎn)周期最短、成本最低，提高企業(yè)的市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力。f261因?yàn)閿?shù)學(xué)是關(guān)于客觀世界的數(shù)量關(guān)系和結(jié)構(gòu)關(guān)系的科學(xué)，而事物是量和質(zhì)的統(tǒng)一體，數(shù)學(xué)科學(xué)不斷地總結(jié)和積累人類關(guān)于現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的思維成果，因而必然成為人們認(rèn)識(shí)世界的有力工具。這是數(shù)學(xué)的魅力，也充分體現(xiàn)了理性思維所能達(dá)到的高度。2.3數(shù)學(xué)的藝術(shù)特征2.3.1數(shù)學(xué)的藝術(shù)性用美學(xué)的原則衡量數(shù)學(xué)，使得數(shù)學(xué)本身成為具有特定美學(xué)性質(zhì)的藝術(shù)。羅素，這位抽象數(shù)學(xué)思想的大師曾直言不諱地說:數(shù)學(xué)，如果正確地看待它，則具有……至高無上的美一正像雕刻的美，是一種冷而嚴(yán)肅的美，這種美不是投合我們天性的微弱的方面，這種美沒有繪畫或音樂的那些華麗的裝飾，它可以純凈到崇高的地步，能夠達(dá)到嚴(yán)格的只有最偉大的藝術(shù)才能顯示的那種完美的境地。一種真實(shí)的喜悅的精神，一種精神上的亢奮，一種覺得高于人的意識(shí)一一這些是至善至美的標(biāo)準(zhǔn)，能夠在詩里得到，也能夠在數(shù)學(xué)里學(xué)到。[27]傳說有人問畢達(dá)哥拉斯結(jié)交朋友時(shí)是否有數(shù)的作用，畢達(dá)哥拉斯回答說:“朋友是你的靈魂的倩影，要象220和284一樣親密，什么叫朋友?就象這兩個(gè)數(shù)，一個(gè)是你，另一個(gè)是我?！边@兩個(gè)朋友一樣的數(shù)就是一對(duì)親和數(shù)，甲的所有真因數(shù)的美妙性質(zhì)令探尋的人折服;幻方、魔方神秘的美令人震顫;黃金分割使藝術(shù)家們創(chuàng)作出令人贊嘆的作品;永無體止的莫比鳥斯圈，四葉玫瑰線同樣吸引著人們的目光，帶給人們無盡的美的享受。數(shù)學(xué)追求的目標(biāo)是，從混沌中找出秩序，使經(jīng)驗(yàn)升華為規(guī)律，將復(fù)雜還原為基本[[27]，所有這些都是美的標(biāo)志，而進(jìn)行數(shù)學(xué)創(chuàng)造的最主要的動(dòng)力就是對(duì)美的追求。法國(guó)數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪(J.Hndamard)說:數(shù)學(xué)家的美感猶如一個(gè)篩子，沒有它的人永遠(yuǎn)成不了數(shù)學(xué)家?？梢?，數(shù)學(xué)美感和審美能力是進(jìn)行一切數(shù)學(xué)研究和創(chuàng)造的基礎(chǔ)。}Zs平可根廷《21世紀(jì)趨勢(shì)》周刊網(wǎng)站報(bào)道，挪威卑爾根大學(xué)的數(shù)學(xué)家和心理學(xué)家首次證明，美是發(fā)現(xiàn)真理的源泉，無論是對(duì)美感還是對(duì)真理的判斷，都取決于大腦思維處理的流暢性。卑爾根大學(xué)數(shù)學(xué)家羅爾夫·雷伯用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)證明了這一推斷。在實(shí)驗(yàn)中專家發(fā)現(xiàn)，人們使用對(duì)稱性來作為檢驗(yàn)算術(shù)結(jié)果是否正確的指標(biāo)。對(duì)稱性被視為是美的代表。結(jié)合此前在數(shù)學(xué)認(rèn)知和直覺判斷領(lǐng)域的研究，科學(xué)家指出，人的直覺判斷可能受某種與美感有關(guān)的機(jī)制指揮，至少在解決as3.1數(shù)學(xué)是人類邏輯能力的來源思維，是人腦對(duì)客觀現(xiàn)實(shí)的概括的和間接的反映，它反映的是事物的本質(zhì)和事物間規(guī)律性的聯(lián)系，嚴(yán)格意義上的思維主要是指邏輯思維，是人們?cè)谡J(rèn)識(shí)過程中借助于概念、判斷、推理等方式能動(dòng)地反映客觀世界的理性認(rèn)識(shí)過程。所謂邏輯思維，人們也常常稱之為抽象思維(abstractthinking，是根據(jù)人為制定的思維規(guī)則與思維形式進(jìn)行的思維活動(dòng)。在從事邏輯思維的過程中，人們把通過感官系統(tǒng)感覺到的事物抽象為概念，并且在概念之間建立起某種聯(lián)系，再通過一定的推理過程，從而得出進(jìn)一步的結(jié)論。通過邏輯思維，人們得以認(rèn)識(shí)和把握客觀事物的本質(zhì)與發(fā)展規(guī)律。邏輯思維是人類特有的精神活動(dòng)。亞里士多德在《形而上學(xué)》一書中說，“除了人之外，動(dòng)物都憑表象與記憶生活，只有很少有聯(lián)系的經(jīng)驗(yàn);但是，人類的生活還憑技術(shù)與推理。},[35]亞里士多德的這句話的意思是說，在這個(gè)世界上，尚無法斷定其他動(dòng)物具有與人類相似的邏輯思維能力。正是由于人類具有邏輯思維能力，人們的認(rèn)識(shí)便不再停留在感覺的世界里，人們能夠把感性經(jīng)驗(yàn)上升到理性?？梢哉f，人們所以在擁有物質(zhì)生活的同時(shí)也擁有自己的精神生活，在根本上取決于人類所特有的邏輯思維能力。人所以能夠進(jìn)行邏輯思考的根本原因，在于人類所特有的邏輯思維能力。而人的邏輯思維能力的養(yǎng)成，與數(shù)學(xué)有著密切的關(guān)系。人的邏輯思維過程，實(shí)際上就是演繹或推理的過程，而任何推理過程得以實(shí)現(xiàn)的前提，便是人們?cè)谧约旱囊庾R(shí)中首先形成抽象的概念。實(shí)際上，作為認(rèn)識(shí)主體的人，并不能直接地反映我們所生活的世界，只能借助于語言賦予我們通過感官系統(tǒng)所感覺到的事物以某種概念，形成有關(guān)客觀事物的概念。不過，人們最初所獲得的有關(guān)客觀事物的概念是感性的，在這一階段上形成的概念與事物的實(shí)體是密不可分的，當(dāng)人們?cè)谑褂眠@些概念的時(shí)候，在意識(shí)的層面上往往伴隨著具體事物的影像。于是，把概念從實(shí)體中抽象出來便成了邏輯思維不可或缺的前提。由于其自身的邏輯本質(zhì)，數(shù)學(xué)對(duì)人的邏輯思維能力的養(yǎng)成有著至關(guān)重要的作用。關(guān)于數(shù)學(xué)的本質(zhì)，學(xué)術(shù)界歷來有著各種各樣的解釋，數(shù)學(xué)實(shí)在論者認(rèn)為數(shù)學(xué)是客觀命題(哥德爾)，直覺主義認(rèn)為數(shù)學(xué)是直覺的構(gòu)造(海寧、布勞維爾)，數(shù)學(xué)邏輯主義則認(rèn)為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是邏輯，全部的數(shù)學(xué)都可以歸化為邏輯(羅素)。我們認(rèn)為數(shù)學(xué)邏輯主義的理解更接近于數(shù)學(xué)的本質(zhì)。毫無疑問，人們對(duì)于“數(shù)”的認(rèn)識(shí)最初來自于客觀世界，但是數(shù)的概念卻是對(duì)于客觀事物的高度抽象，如前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)哲學(xué)家阿·亞歷山大洛夫所說:“數(shù)學(xué)有確定的完全現(xiàn)實(shí)的材料作為自己的對(duì)象，不過它考察對(duì)象時(shí)完全舍棄了其具體內(nèi)容和質(zhì)的特點(diǎn)。},[36]當(dāng)人們?cè)谧约旱念^腦中形成諸如1,2,3這樣的數(shù)的概念時(shí)，這些數(shù)的概念不再是一個(gè)蘋果或者兩個(gè)梨，而是高度抽象化的數(shù)字，它們可以用來代表任何一種具體的量。抽象的數(shù)的概念的形成僅僅是邏輯思維的第一步，更有意義的是人們?cè)跀?shù)字之間建立起了某種邏輯關(guān)系，依據(jù)這種邏輯關(guān)系，便可以確切地知道任意兩個(gè)或更多的數(shù)字的運(yùn)算結(jié)果，而沒有必要用累計(jì)具體事物的方法去求得計(jì)算結(jié)果。在數(shù)之間建立起邏輯關(guān)系對(duì)于人的邏輯思維能力的發(fā)展是至關(guān)重要的。這是因?yàn)?，雖然邏輯思維必然是抽象思維，但抽象思維并不等于是邏輯的。但是，當(dāng)人們?cè)跀?shù)的概念之間建立起某種邏輯關(guān)系，并且確信這種邏輯關(guān)系的可靠性的時(shí)候，便開啟了嚴(yán)格意義上的邏輯思維過程。在這一意義上說，邏輯思維確實(shí)始于數(shù)學(xué)，而人的邏輯思維能力也是通過數(shù)學(xué)培養(yǎng)起來的。具有堅(jiān)實(shí)的邏輯基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)為人們提供了更加有效的探求未知世界的工具，當(dāng)人們?cè)谧约旱乃伎歼^程中把概念與實(shí)體分離開來，并且有能力在概念之間建立起某種邏輯關(guān)系的時(shí)候，這一事實(shí)便意味著，人們已經(jīng)為自己構(gòu)造了一個(gè)由概念組成的純思的世界，在這個(gè)世界里，人們通過邏輯的方式使得那些來自于客觀物質(zhì)世界的感覺片斷成為一個(gè)有機(jī)的整體，同時(shí)，它也為人們認(rèn)識(shí)的進(jìn)步提供了這樣一種可能，人們無須閱盡全部的具體存在物，便能夠?qū)崿F(xiàn)客觀世界的整體把握，從而建立起關(guān)于我們所生活的世界乃至于全部的社會(huì)生活的邏輯化的知識(shí)體系。在歷史上，人類思想的邏輯化進(jìn)程，是思想家用邏輯思維反省人類社會(huì)生活，從最初訴諸于直接經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)而訴諸于人的理性的過程，也是從最初的感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)的過程。這一思想過程主要發(fā)生在古希臘，而推動(dòng)這一思想進(jìn)程的主要?jiǎng)恿σ瞾碜杂跀?shù)學(xué)。歷史上曾經(jīng)存在的每一種文化，都產(chǎn)生了某種意義的數(shù)學(xué)，不過，在當(dāng)今世界占主流的數(shù)學(xué)只有一種，這種數(shù)學(xué)產(chǎn)生于古代埃及和巴比倫，然后傳播到古希臘，并且在那里完成了邏輯化的過程，其典型代表便是歐幾里得的《幾何原本》。在歐幾里得的《幾何原本》中，所討論的都是概念與概念之間的關(guān)系，而沒有任何一個(gè)具體的應(yīng)用問題，歐幾里得所使用的術(shù)語是點(diǎn)、線、平面、圓等概念，同時(shí)，依據(jù)這些基本概念，這一時(shí)期的幾何學(xué)也形成了一整套的基本命題或者定理，這些命題或定理成為推導(dǎo)出進(jìn)一步的定理的基礎(chǔ)，而更高層次的定理只能通過推理或演繹而獲得。這標(biāo)志著數(shù)學(xué)已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了其自身的邏輯化。在東西方各民族的歷史上，人們最初形成的對(duì)于社會(huì)生活的理解大都是感性的，由于認(rèn)識(shí)水平的相對(duì)低下，人們無法憑借自己的理性對(duì)優(yōu)良的社會(huì)生活做出邏輯的構(gòu)想，而只能訴諸于經(jīng)驗(yàn)性的歷史過程或者神明，荷馬時(shí)代的詩人對(duì)于諸神的崇拜便是典型的例證。在荷馬時(shí)代的人們看來，現(xiàn)實(shí)社會(huì)的秩序以及支配整個(gè)世界的法則是由至高無上的神安排的。然而，在荷馬以后，以赫拉克利特、畢達(dá)哥拉斯為代表的自然哲學(xué)用邏輯的方式進(jìn)行思考的時(shí)候，人們開始相信，決定世界秩序的不是神，而是可以名之為“邏各斯(logos”的終極原因，而且人可以通過邏輯推理來認(rèn)識(shí)“邏各斯’，。[37]古希臘的思想學(xué)說自此開始了邏輯化的過程。一個(gè)十分重要的事實(shí)是，這一時(shí)期的思想家都有著良好的數(shù)學(xué)修養(yǎng)，甚至他們本身便是數(shù)學(xué)家(如畢達(dá)哥拉斯)，在思想邏輯化的進(jìn)程中，來自數(shù)學(xué)的影響是顯而易見的。在實(shí)現(xiàn)了自身的邏輯化過程以后，數(shù)學(xué)便與思想的發(fā)展有著密切相關(guān)性，這種相關(guān)性主要體現(xiàn)為數(shù)學(xué)與哲學(xué)的相互影響。在古希臘，柏拉圖創(chuàng)立的柏拉圖學(xué)園門口掛著一塊木牌，牌上寫著“不懂?dāng)?shù)學(xué)者不得入內(nèi)”，由此可見，在柏拉圖的時(shí)代，人們便已經(jīng)意識(shí)到了數(shù)學(xué)修養(yǎng)對(duì)于哲學(xué)家的重要性。另外，據(jù)文獻(xiàn)記載，大數(shù)學(xué)家歐幾里得也曾有過到柏拉圖學(xué)園求學(xué)的經(jīng)歷，由此可見，生活在那個(gè)歷史時(shí)代的數(shù)學(xué)家，也意識(shí)到了哲學(xué)修養(yǎng)對(duì)于數(shù)學(xué)的重要性。數(shù)學(xué)與哲學(xué)之間的這種相關(guān)性，一直延續(xù)到近代，在近代西方哲學(xué)史上那些有著重要影響的哲學(xué)家，如笛卡爾、康德、萊布尼茨，對(duì)于數(shù)學(xué)都有著深刻的理解，可以說，良好的數(shù)學(xué)修養(yǎng)是他們?cè)谡軐W(xué)上有所建樹的重要原因。一直以來，在數(shù)學(xué)史與哲學(xué)史研究中有一個(gè)爭(zhēng)論不休的話題，即究竟是數(shù)學(xué)在先還是哲學(xué)在先，換句話說，究竟是哲學(xué)的發(fā)展促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，還是數(shù)學(xué)的邏輯思維促進(jìn)了哲學(xué)的發(fā)展。對(duì)于這一問題，偏好不同的人們給出了不同的答案。以為哲學(xué)在先的人們認(rèn)為，在基礎(chǔ)的層面上，哲學(xué)決定著實(shí)踐，哲學(xué)承擔(dān)著決定數(shù)學(xué)的任務(wù)。而持相反觀點(diǎn)的人們則根據(jù)數(shù)學(xué)史的實(shí)際，認(rèn)為哲學(xué)先在的說法是不真實(shí)的。[38]在這里，我們無意于討論究竟是數(shù)學(xué)在先還是哲學(xué)在先的問題，不過，應(yīng)該說明的是，數(shù)學(xué)，從其產(chǎn)生的那一天起，便有著獨(dú)立、確切的研究對(duì)象，這個(gè)研究對(duì)象是客觀存在的，而不是由其他學(xué)科規(guī)定的，在這一意義上說，很難說數(shù)學(xué)的邏輯思維是在哲學(xué)的推動(dòng)下發(fā)生的。此外，究竟是數(shù)學(xué)先在還是哲學(xué)先在，似乎也可以通過每一個(gè)人認(rèn)知外部世界的過程來加以說明。在每一個(gè)人從原初意義上的生物人發(fā)展成為理性存在者的生物過程中，人們獲得數(shù)的概念的時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)早于有關(guān)世界的本原是什么的哲學(xué)觀念。所以，在文化發(fā)生學(xué)的意義上，在最初也一定是數(shù)學(xué)推動(dòng)了哲學(xué)的發(fā)展而不是哲學(xué)推動(dòng)了數(shù)學(xué)。而哲學(xué)與數(shù)學(xué)之間的相互促進(jìn)則應(yīng)該是人類文明發(fā)展到一定階段以后的事情。數(shù)學(xué)為人們展現(xiàn)的是由諸多與實(shí)體分離的概念組成的純思的世界，在這個(gè)世界里，人們所獲得的任何結(jié)論都是邏輯推理的結(jié)果，與數(shù)學(xué)的邏輯本質(zhì)相似，思想也是人類理性思維的產(chǎn)品，在思想的世界里，人們所獲得的任何認(rèn)識(shí)和結(jié)論，同樣都要依賴于邏輯推理。于是，在東西方思想文化史上，便存在著一個(gè)顯而易見的事實(shí):凡是數(shù)學(xué)發(fā)展水平較高的民族，其思想文化的邏輯化程度也相對(duì)較高。在某種意義上說，中國(guó)傳統(tǒng)思想與古希臘的思想所以能夠成為東西方文化傳統(tǒng)的代表，都在很大程度上得益于這種文化傳統(tǒng)中數(shù)學(xué)的發(fā)展水平。3.2數(shù)學(xué)喚醒人類理性精神