《第四章》綜合拓展

1/1《第四章》綜合拓展過(guò)綜合專題l線段的有關(guān)計(jì)算1.如圖，C是線段AB上一點(diǎn)，M是AC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn).（1）若AM=1，BC=4，求MN的長(zhǎng)度；（2）若AB=6，求MN的長(zhǎng)度.2.[2018遼寧鞍山期末]已知關(guān)于a的方程2（a－2）=a＋4的解也是關(guān)于x的方程2（x－3）－b=7的解.（1）求a，b的值；（2）若線段AB=a，在直線AB上取一點(diǎn)P，恰好使=b，點(diǎn)Q為PB的中點(diǎn)，請(qǐng)畫出圖形并求出線段AQ的長(zhǎng).3.[2018江蘇南通啟東長(zhǎng)江中學(xué)月考]如圖，線段AB=24，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線AB運(yùn)動(dòng)，M為AP的中點(diǎn).（1）出發(fā)多少秒后，PB=2AM？（2）當(dāng)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試說(shuō)明2BM－BP為定值.（3）當(dāng)P在AB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，N為BP的中點(diǎn)，給出下列兩個(gè)結(jié)論：.①M(fèi)N的長(zhǎng)度不變；②MN＋PN的值不變.從中選出一個(gè)正確的結(jié)論，并求其值.專題2角度的有關(guān)計(jì)算4.如圖，O為直線AC上－點(diǎn)，OD是∠AOB的平分線，OE在∠BOC的內(nèi)部，∠BOE=36°，∠EOC=∠BOC.求∠AOD的度數(shù).5.已知∠AOB=100°，∠BOC=60°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的度數(shù).6.如圖，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.若∠BOC=70°，∠AOC=50°.（1）求出∠AOB及其補(bǔ)角的度數(shù)；（2）請(qǐng)求出∠DOC和∠AOE的度數(shù)，并判斷∠DOE與∠AOB是否互補(bǔ)，并說(shuō)明理由.過(guò)拓展素養(yǎng)解讀本章知識(shí)從常見(jiàn)的立體圖形入手，感受圖形世界的豐富性，體現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活的關(guān)系，是后續(xù)學(xué)習(xí)幾何圖形的基礎(chǔ).通過(guò)本章內(nèi)容的學(xué)習(xí)，可以培養(yǎng)學(xué)生的類比思想和空間想象能力，同時(shí)關(guān)注數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理.如第1題，通過(guò)對(duì)過(guò)平面上n個(gè)不在同一直線上的點(diǎn)可以畫直線的條數(shù)的探究，類比解決同學(xué)聚會(huì)中的握手問(wèn)題，關(guān)注類比思想和邏輯推理；第2題，根據(jù)從兩個(gè)方向看到的幾何體的平面圖形解決用小正方體搭形狀不唯一的幾何體問(wèn)題，關(guān)注空間想象能力和直觀想象；第3題，通過(guò)剪切幾何體，探究面數(shù)、棱數(shù)與頂點(diǎn)數(shù)之間的關(guān)系，關(guān)注直觀想象和邏輯推理.1.[過(guò)平面上n個(gè)點(diǎn)可畫直線條數(shù)的探究及類比應(yīng)用]（1）試驗(yàn)觀察：①平面上不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)其中任意兩點(diǎn)畫直線，最多可以畫______條直線；②平面上不在同一直線上的四個(gè)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)其中任意兩點(diǎn)畫直線，最多可以畫______條直線；③平面上不在同一直線上的五個(gè)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)其中任意兩點(diǎn)畫直線，最多可以畫______條直線.（2）探索歸納：如果平面上有個(gè)n（n≥3）點(diǎn)，且每3個(gè)點(diǎn)均不在同一條直線上，經(jīng)過(guò)其中任意兩點(diǎn)畫直線，那么最多可以畫______條直線.（用含n的式子表示）（3）解決問(wèn)題：七（1）班有45位同學(xué)，在一次聚會(huì)中，若每?jī)扇宋找淮问?，那么共握______次手.2.[用小正方形搭形狀不唯一的幾何體]用若干個(gè)相同的小正方體搭成一個(gè)幾何體，使它從正面和左面1看到的圖形如圖所示.（1）搭成這樣的一個(gè)幾何體，需要多少個(gè)小正方體？（2）試畫出三種從上而著到的圖形，并在相應(yīng)的圖形中標(biāo)出各個(gè)小正方形所在位置的小正方形的個(gè)數(shù).3.[剪切后所得幾何體的面數(shù)、棱數(shù)與頂點(diǎn)數(shù)之間的關(guān)系探究]圖1的正方體切去一塊，得到圖2~5的幾何體.（1）所得幾何體各有多少個(gè)面？多少條棱？多少個(gè)頂點(diǎn)？（2）舉例說(shuō)明其他形狀的幾何體也切去一塊，所得到的幾何體的面數(shù)、棱數(shù)和頂點(diǎn)數(shù)各是多少；（3）若面數(shù)記為F，棱數(shù)記為E，頂點(diǎn)數(shù)記為V，則F，V，E應(yīng)滿足什么關(guān)系？4.[與角平分線有關(guān)的角度之間數(shù)量關(guān)系的探究]如圖，以∠AOB的頂點(diǎn)O為端點(diǎn)畫一條射線OC，OM，ON分別是∠AOC和∠BOC的平分線.（1）如圖1，若∠AOC=50°，∠BOC=30°，則∠MON的度數(shù)是______；（2）如圖2，若∠AOB=100°，∠BOC=30°，則∠MON的度數(shù)是______；（3）根據(jù)以上解答過(guò)程，完成下列探究：探究一：如圖3，當(dāng)射線OC位于∠AOB內(nèi)部時(shí)，請(qǐng)寫出∠AOB與∠MON的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；探究二：如圖4，當(dāng)射線OC位于∠AOB外部時(shí)，請(qǐng)寫出∠AOB與∠MON的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

參考答案過(guò)綜合1.【解析】（1）因?yàn)镹是BC的中點(diǎn)，M是AC的中點(diǎn)，AM=1，BC=4，所以CN=2，CM=AM=1，所以MN=MC＋CN=3.（2）因?yàn)镸是AC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，所以MC=AC，CN=BC，所以MC＋NC=AC＋BC=（AC＋BC）=AB.因?yàn)镸N=MC＋NC，AB=6，所以MN=AB=3.2.【解析】（1）解方程2（a－2）=a＋4，得a=8.把x=8代入方程2（x－3）－b=7，得2（8－3）－b=7，解得b=3.（2）①如圖，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，因?yàn)?3，AP=3PB，所以AB=AP＋PB=3PB＋PB=4PB=8，所以PB=2，因?yàn)镼是PB的中點(diǎn)，所以PQ=BQ=1，所以AQ=AB－BQ=8－l=7；②如圖，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，因?yàn)?3，AP=3PB，所以AP=AB＋PB=3PB，所以AB=2PB=8，PB=4，因?yàn)镼是PB的中點(diǎn)，所以BQ=PQ=2，所以AQ=AB＋BQ=8＋2=10.綜上，AQ的長(zhǎng)為7或10.3.【解析】（1）設(shè)出發(fā)x秒后，PB=2AM，如圖，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左邊時(shí)，PA=2x，PB=24－2x，因?yàn)镸為AP的中點(diǎn)，所以AM=x，由題意，得24－2x=2x，解得x=6；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右邊，即點(diǎn)P′的位置時(shí)，P′A=2x，P′B=2x－24，AM=x，由題意，得2x－24=2x，方程無(wú)解.綜上，可得出發(fā)6秒后，PB=2AM.（2）當(dāng)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由（1）知AM=x，BM=24－x，PB=24－2x，所以2BM－BP=2（24－x）－（24－2x）=24.即2BM－BP為定值.（3）結(jié)論①正確.如圖，當(dāng)P在AB延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由（1）易知AM=PM=2x－24，PM=2x-24,所以PN=PB=x－12，所以MN=PM－PN=x－（x－l2）=12.所以MN的長(zhǎng)度不變，為12.名師點(diǎn)睛解答本題的關(guān)鍵是用含時(shí)間的式子表示出各線段的長(zhǎng)度，：再通過(guò)方程或列計(jì)算式求解.4.【解析】因?yàn)椤螮OC=∠BOC，所以∠BOE=∠BOC.因?yàn)椤螧OE=36°，所以∠BOC=108°，所以∠AOB=72°，因?yàn)镺D是∠AOB的平分線，所以∠AOD=36°.5.【解析】當(dāng)OC落在∠AOB的內(nèi)部時(shí)，如圖1，因?yàn)镺M平分∠AOB，ON平分∠BOC，所以∠BOM=∠AOB=50°，∠BON=∠BOC=30°，所以∠MON=∠BOM－∠BON=50°－30°=20°；當(dāng)OC落在∠AOB的外部時(shí)，如圖2，因?yàn)镺M平分∠AOB，ON平分∠BOC，所以∠BOM=∠AOB=50°，∠BON=∠BOC=30°，所以∠MON=∠BOM＋∠BON=50°＋30°=80°.綜上，∠MON的度數(shù)為20°或80°.6.【解析】（1）∠AOB=∠BOC＋∠AOC=70°＋50°=120°，其補(bǔ)角為180°－∠AOB=180°－120°=60°.（2）因?yàn)镺D平分∠BOC，OE平分∠AOC，所以∠DOC=∠BOC=×70°=35°，∠AOE=∠AOC=×50°=25°.∠DOE與∠AOB互補(bǔ).理由如下：因?yàn)椤螪OE=∠DOC＋∠COE=35°＋25°=60°，所以∠DOE＋∠AOB=60°＋120°=180°，所以∠DOE與∠AOB互補(bǔ).過(guò)拓展1.（1）①3；②6；③l0；（2）；（3）9902.【解析】（1）6個(gè)、7個(gè)、8個(gè)、9個(gè)、10個(gè)或11個(gè)小正方體均可搭成這樣的一個(gè)幾何體.（2）從上面看到的圖形中各個(gè)小正方形所在位置的小正方體的個(gè)數(shù)如圖.（答案不唯一，任選三種即可）3.【解析】（1）題圖2的幾何體有7個(gè)面、10個(gè)頂點(diǎn)、15條棱.題圖3的幾何體有7個(gè)面、9個(gè)頂點(diǎn)、14條棱.題圖4的幾何體有7個(gè)面、8個(gè)預(yù)點(diǎn)、13條棱.題圖5的幾何體有7個(gè)面、7個(gè)頂點(diǎn)、12條棱.（2）例如：三棱錐被切去一塊，如圖，所得到的幾何體有5個(gè)面、9條棱、6個(gè)頂點(diǎn).（3）F＋V－E=2.4.【解析】（1）40°因?yàn)镺M，ON分別是∠AOC和∠BOC的平分線，所以∠COM=∠AOC=25°，∠CON=∠BOC=15°，所以∠MON=∠MOC＋∠NOC=40°.（2）50°因?yàn)椤螦OB=100°，∠BOC=30°，所以∠AOC=∠AOB－∠BOC=70°.因?yàn)镺M，ON分別是∠AOC和∠BOC的平分線，所以∠COM=∠AOC=35°，∠CON=∠BOC=15°，所以∠MON=∠MOC＋∠NOC=50°.（3）探究一：∠MON=∠