中考數(shù)學(xué)拉分壓軸題專題17 幾何綜合壓軸題（含答案與解析全國(guó)通用）

第第頁專題17解密幾何綜合壓軸題1．【問題情境】：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們開展了以折疊為主題的探究活動(dòng)，如圖1，已知矩形紙片，其中寬．(1)【動(dòng)手實(shí)踐】：如圖1，威威同學(xué)將矩形紙片折疊，點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕為，連接，然后將紙片展平，得到四邊形，則折痕的長(zhǎng)度為______．(2)【探究發(fā)現(xiàn)】：如圖2，勝勝同學(xué)將圖1中的四邊形剪下，取邊中點(diǎn)，將沿折疊得到，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，將沿折疊，當(dāng)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在線段上時(shí)，求此時(shí)的值；(3)【反思提升】：明明同學(xué)改變圖2中點(diǎn)的位置，即點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)仍是邊上一動(dòng)點(diǎn)，按照（2）中方式折疊，使點(diǎn)落在線段上，明明同學(xué)不斷改變點(diǎn)的位置，發(fā)現(xiàn)在某一位置與（2）中的相等，請(qǐng)直接寫出此時(shí)的長(zhǎng)度．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）通過折疊的性質(zhì)可證明△BMN是等腰直角三角，利用勾股定理即可求出BN；（2）先證明．再證明，接著證明，即有∴，進(jìn)而求出NF，MF，則在Rt△BFM中，有，即得解；（3）過作交BM于點(diǎn)S，過P點(diǎn)作交KS于點(diǎn)K點(diǎn)，根據(jù)（2）的結(jié)果得到tan∠QPM=，即可得，先證明四邊形KPMS是矩形，再證，即有，設(shè)SQ=m，=n，則有，，利用勾股定理可表示出，∴，根據(jù)KP=SM=SQ+QM，有，可得，即=，∴，在結(jié)合tan∠FBM=可得，進(jìn)而有，解得：，則BQ得解．(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)有∠A=∠ABM=90°，根據(jù)折疊的性質(zhì)有∠A=∠BMN，AB=BM，AN=MN，∴∠A=∠ABM=90°=∠BMN，即四邊形ABMN是矩形，∴AB=MN，BM=AN，∵AB=BM，AN=MN，∴矩形ABMN是正方形，∴MN=BM=AB，∵AB=8，∴MN=BM=8，∴△BMN是等腰直角三角形，∴BN=MN=，故答案為：；(2)連接EF，如圖，在（1）中已得矩形ABMN是正方形，∴AN=MN=BM=AB=8，，∵E為AN中點(diǎn)，Q為BM中點(diǎn)，∴AE=EN=4=BQ=QM，∴根據(jù)翻折的性質(zhì)有，，，，，∴，，∴，∵，∴．∵，，，∴，∴，又∵，，∴，∵，∴，∴結(jié)合有，∴，∵AB=8，AE=EN=4，∴，即NF=2，∴MF=MN-NF=8-2=6，∴在Rt△BFM中，，∵，∴；(3)過作交BM于點(diǎn)S，過P點(diǎn)作交KS于點(diǎn)K點(diǎn)，如圖，在（2）中求得tan∠PQM=，∵∠QPM與（2）中的∠PQM相等，∴可知tan∠QPM=tan∠PQM=，∴在Rt△PQM中，，∴根據(jù)翻折的性質(zhì)有，=90°，∴∠KP+∠QS=90°，∵，，PM⊥BM，∴KS⊥KP，KS⊥BM，KP⊥MN，∴∠K=90°=∠KSQ，且四邊形KPMS是矩形，∴∠SQ+∠QS=90°，∴∠KP=∠SQ，∴，∴，設(shè)SQ=m，=n，則有，，∴在Rt△中，，∴，∵四邊形KPMS是矩形，∴KP=SM=SQ+QM，∴，可得，即=，∴，∵在（2）中已求得tan∠FBM=，∴，∵BS=BM-SQ-QM=8-m-=，∴，解得：，∴BQ=BM-QM=．【我思故我在】本題主要考查了翻折的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行的判斷與性質(zhì)、解直角三角形、正方形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，構(gòu)造合理的輔助線證得是解答本題的關(guān)鍵．2．綜合與實(shí)踐綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．(1)操作判斷操作一：對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；操作二：在AD上選一點(diǎn)P，沿BP折疊，使點(diǎn)A落在矩形內(nèi)部點(diǎn)M處，把紙片展平，連接PM，BM．根據(jù)以上操作，當(dāng)點(diǎn)M在EF上時(shí)，寫出圖1中一個(gè)30°的角：______．(2)遷移探究小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：將正方形紙片ABCD按照（1）中的方式操作，并延長(zhǎng)PM交CD于點(diǎn)Q，連接BQ．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在EF上時(shí)，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；②改變點(diǎn)P在AD上的位置（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，D重合），如圖3，判斷∠MBQ與∠CBQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)拓展應(yīng)用在（2）的探究中，已知正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為8cm，當(dāng)FQ＝1cm時(shí)，直接寫出AP的長(zhǎng)．【答案】(1)或或或(2)①15，15；②，理由見解析(3)cm或【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，結(jié)合矩形的性質(zhì)得，進(jìn)而可得；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)，可證，即可求解；（3）由（2）可得，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)F的下方時(shí)，當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)F的上方時(shí)，設(shè)分別表示出PD，DQ，PQ，由勾股定理即可求解．（1）解：，sin∠BME=（2）∵四邊形ABCD是正方形∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°由折疊性質(zhì)得：AB=BM，∠PMB=∠BMQ=∠A=90°∴BM=BC①∴②（3）當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)F的下方時(shí)，如圖，，DQ=DF+FQ=4+1=5(cm)由（2）可知，設(shè)，即解得：∴；當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)F的上方時(shí)，如圖，cm，DQ=3cm，由（2）可知，設(shè)，即解得：∴．【我思故我在】本題主要考查矩形與折疊，正方形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的全等，掌握相關(guān)知識(shí)并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．3．將正方形的邊繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，記旋轉(zhuǎn)角為．連接，過點(diǎn)作垂直于直線，垂足為點(diǎn)，連接，如圖1，當(dāng)時(shí)，的形狀為，連接，可求出的值為；當(dāng)且時(shí)，①中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立?如果成立，請(qǐng)僅就圖2的情形進(jìn)行證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由；②當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．【答案】（1）等腰直角三角形，；（2）①結(jié)論不變，理由見解析；②3或1．【分析】（1）根據(jù)題意，證明是等邊三角形，得，計(jì)算出，根據(jù)，可得為等腰直角三角形；證明，可得的值；（2）①連接BD，通過正方形性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)，表示出，結(jié)合，可得為等腰直角三角形；證明，可得的值；②分為以CD為邊和CD為對(duì)角線兩種情況進(jìn)行討論即可．【詳解】（1）由題知°，°，∴°，且為等邊三角形∴°，∴∵∴°∴°∴為等腰直角三角形連接BD，如圖所示∵°∴即∵∴∴故答案為：等腰直角三角形，（2）①兩個(gè)結(jié)論仍然成立連接BD，如圖所示：∵，∴∵∴∴∵∴∴是等腰直角三角形∴∵四邊形為正方形∴∴∵∴∴∴∴結(jié)論不變，依然成立②若以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，分兩種情況討論第一種：以CD為邊時(shí)，則，此時(shí)點(diǎn)在線段BA的延長(zhǎng)線上，如圖所示：此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，∴，得；②當(dāng)以CD為對(duì)角線時(shí)，如圖所示：此時(shí)點(diǎn)F為CD中點(diǎn)，∵∴∵∴∴∴∴∴綜上：的值為3或1．4．如圖（1），已知點(diǎn)G在正方形的對(duì)角線上，，垂足為點(diǎn)E，，垂足為點(diǎn)F．(1)證明與推斷：①求證：四邊形是正方形：②推斷：的值為_____________；(2)探究與證明：將正方形繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角（），如圖（2）所示，試探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)拓展與運(yùn)用：正方形在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)B，E，F(xiàn)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，如圖（3）所示，延長(zhǎng)交于點(diǎn)H．①求證：．②若，，則_________________．【答案】(1)①見解析；②(2)，理由見解析(3)①見解析；②【分析】（1）①由GE⊥BC、GF⊥CD結(jié)合可得四邊形CEGF是矩形，再由即可得證；②由正方形性質(zhì)知，據(jù)此可得，，利用平行線分線段成比例定理可得；（2）連接CG，只需證△ACG∽△BCE即可得；（3）①根據(jù)題意可求出∠BEC=135°．再根據(jù)△ACG∽△BCE，即得出∠AGC=∠BEC=135°，從而可求出∠AGH=∠CAH=45°．即證明△AHG∽△CHA；②由△AHG∽△CHA得，設(shè)BC=CD=AD=a，則，由得：，從而可求出，DH=，，再由得：，解出a即可．【詳解】（1）①∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，∠BCA=45°，∵GE⊥BC、GF⊥CD，∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，∴四邊形CEGF是矩形，∠CGE=∠ECG=45°，∴EG=EC，∴四邊形CEGF是正方形；②由①知四邊形CEGF是正方形，∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，∴，，∴，故答案為；（2）如圖，連接CG，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知∠BCE=∠ACG=α，在Rt△CEG和Rt△CBA中，，∴，∴△ACG∽△BCE，∴，∴線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系為；（3）①∵∠CEF=45°，點(diǎn)B、E、F三點(diǎn)共線，∴∠BEC=135°．∵△ACG∽△BCE，∴∠AGC=∠BEC=135°，∴∠AGH=∠CAH=45°．∵∠CHA=∠AHG，∴△AHG∽△CHA；②∵△AHG∽△CHA，∴，設(shè)BC=CD=AD=a，則，則由得：，∴，∴DH=AD-AH=，∴，∴由得：，解得：，即BC=，故答案為：．【我思故我在】本題考查了正方形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，正確添加輔助線，熟練掌握正方形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，點(diǎn)D是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)A，B重合），以CD為邊作正方形CDEF，連接AE，AF．(1)觀察猜想當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，線段BD與AF的數(shù)量關(guān)系是______，∠CAE的度數(shù)是______．(2)探究證明當(dāng)點(diǎn)D不在線段AB上時(shí)，（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)僅就圖2的情形進(jìn)行證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由．(3)解決問題當(dāng)BD時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段AE的長(zhǎng)．【答案】(1)BD=AF，90°(2)當(dāng)點(diǎn)D不在線段AB上時(shí)，（1）中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立，證明見解析(3)線段AE的長(zhǎng)為1【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)與正方形的性質(zhì)，得出，得到；過作，，根據(jù)得到，確定四邊形是矩形，通過在和中角度關(guān)系得出，進(jìn)而得到，確定四邊形是正方形，根據(jù)正方形對(duì)角線性質(zhì)得出；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)與正方形的性質(zhì)，得出，得到；過作，，根據(jù)得到，確定四邊形是矩形，再根據(jù)正方形內(nèi)角為直角可以得出，進(jìn)而得到，確定四邊形是正方形，根據(jù)正方形對(duì)角線性質(zhì)得出；（3）在等腰直角△ABC中，利用勾股定理得到斜邊長(zhǎng)為，可知在邊上，根據(jù)（1）中求解過程即可利用全等性質(zhì)及勾股定理求出線段長(zhǎng)．（1）解：四邊形CDEF是正方形，，在△ABC中，∠ACB＝90°，，，，在和中，，，；過作，，如圖所示：由得，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，，，，四邊形是矩形，令與交于，在和中，，，，在和中，，，，四邊形是正方形，是正方形的對(duì)角線，，；故答案為：；；（2）解：當(dāng)點(diǎn)D不在線段AB上時(shí)，（1）中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立．證明如下：四邊形CDEF是正方形，，在△ABC中，∠ACB＝90°，，，，在和中，，，；過作，，如圖所示：由得，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，，，，四邊形是矩形，，，，，在和中，，，，四邊形是正方形，是正方形的對(duì)角線，，；故答案為：；；（3）解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，點(diǎn)D是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)A，B重合），，，根據(jù)可知點(diǎn)D在線段AB上，由（1）知，，，過作于，如圖所示：由等面積法可得，在中，，，正方形邊長(zhǎng)，在中，，設(shè)，則，，，根據(jù)勾股定理可得，解得或（舍棄），在正方形中，是其對(duì)角線，則．【我思故我在】本題考查幾何綜合，涉及到全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理求線段長(zhǎng)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)、難度較大，根據(jù)題意構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)妮o助線是解決問題的關(guān)鍵．6．已知，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，∠BDE=∠A且DB=DE，連接BE，EC，其中．問題發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，若∠A=60°，∠BCE與∠A怎樣的數(shù)量關(guān)系？k的值為多少？直接寫出答案．類比探究：（2）如圖2，若，點(diǎn)D在AC的延長(zhǎng)線上，∠BCE與∠A有怎樣的數(shù)量關(guān)系？k的值為多少？請(qǐng)說明理由．拓展應(yīng)用：（3）如圖3，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10，D為AC上一點(diǎn)，以BD為邊，在如圖所示位置作正方形BDEF，點(diǎn)O為正方形BDEF的對(duì)稱中心，且OA=，請(qǐng)直接寫出DE的長(zhǎng)．

【答案】（1），；（2），；（3）．【分析】問題發(fā)現(xiàn)：（1）證明，可得出，，類比探究：（2）證明，得出，證明，得出．則，．拓展應(yīng)用：（3）證明，得出，則，求出，則可求出．【詳解】解：?jiǎn)栴}發(fā)現(xiàn)：（1）；．，，，和都是等邊三角形，，，，，，，，．類比探究：（2），．理由如下：由于，，，，，，，又，即，（對(duì)應(yīng)邊成比例，夾角相等），．，．拓展應(yīng)用：（3）．連接、，∵點(diǎn)O為正方形BDEF的對(duì)稱中心，∴是等腰直角三角形，又∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10，∴是等腰直角三角形，∴，，，，∴，，，，，，．【我思故我在】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，掌握全等三角形的判定方法與相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．7．在四邊形中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，點(diǎn)為對(duì)角線上的一點(diǎn)，且．（1）若四邊形為正方形；①如圖1，請(qǐng)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系；②將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置，連接、，猜想與的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（2）如圖3，若四邊形為矩形，，其它條件都不變，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，連接，，請(qǐng)?jiān)趫D3中畫出草圖，并求出與的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）①DF=AE；②DF=AE，理由見詳解；（2）．【分析】（1）①利用正方形的性質(zhì)得△ABD為等腰直角三角形，則BF=AB，再證明△BEF為等腰直角三角形得到BD=BE，所以BDBF=ABBE，從而得到DF=AE；②利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠ABE=∠DBF，加上，則根據(jù)相似三角形的判定可得到△ABE∽△DBF，所以；（2）先畫出圖形得到圖3，利用勾股定理得到BD=AB，再證明△BEF∽△BAD得到，則，接著利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠ABE′=∠DBF′，BE′=BE，BF′=BF，所以，然后根據(jù)相似三角形的判定方法得到△ABE′∽△DBF′，再利用相似的性質(zhì)可得．【詳解】解：（1）①∵四邊形ABCD為正方形，∴△ABD為等腰直角三角形，∴BD=AB，∵EF⊥AB，∴△BEF為等腰直角三角形，BF=BE，∴BD-BF=ABBE，即DF=AE；故答案為：DF=AE；②DF=AE．理由如下：∵△EBF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置，∴∠ABE=∠DBF，∵，，∴，∴△ABE∽△DBF，∴，即DF=AE；（2）如圖3，∵四邊形ABCD為矩形，∴AD=BC=mAB，∴BD=AB，∵EF⊥AB，∴EF∥AD，∴△BEF∽△BAD，∴，∴，∵△EBF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）得到△E'BF'，∴∠ABE′=∠DBF′，BE′=BE，BF′=BF，∴，∴△ABE′∽△DBF′，∴，即．【我思故我在】本題考查了相似形的綜合題：熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形和正方形的性質(zhì)；靈活應(yīng)用相似三角形的判定和性質(zhì)，會(huì)利用相似比表示線段之間的關(guān)系．8．（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，連接AC，BD交于點(diǎn)M．填空：①的值為；②∠AMB的度數(shù)為．（2）類比探究如圖2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，連接AC交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．請(qǐng)判斷的值及∠AMB的度數(shù)，并說明理由；（3）拓展延伸在（2）的條件下，將△OCD繞點(diǎn)O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，AC，BD所在直線交于點(diǎn)M，若OD=1，OB=，請(qǐng)直接寫出當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時(shí)AC的長(zhǎng)．【答案】（1）①1；②40°；（2），90°；（3）AC的長(zhǎng)為3或2．【分析】（1）①證明△COA≌△DOB（SAS），得AC=BD，比值為1；②由△COA≌△DOB，得∠CAO=∠DBO，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得：∠AMB=180°-（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°-140°=40°；（2）根據(jù)兩邊的比相等且夾角相等可得△AOC∽△BOD，則，由全等三角形的性質(zhì)得∠AMB的度數(shù)；（3）正確畫圖形，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時(shí)，有兩種情況：如圖3和4，同理可得：△AOC∽△BOD，則∠AMB=90°，，可得AC的長(zhǎng)．【詳解】（1）問題發(fā)現(xiàn)：①如圖1，∵∠AOB=∠COD=40°，∴∠COA=∠DOB，∵OC=OD，OA=OB，∴△COA≌△DOB（SAS），∴AC=BD，∴②∵△COA≌△DOB，∴∠CAO=∠DBO，∵∠AOB=40°，∴∠OAB+∠ABO=140°，在△AMB中，∠AMB=180°-（∠CAO+∠OAB+∠ABD）=180°-（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°-140°=40°，（2）類比探究：如圖2，，∠AMB=90°，理由是：Rt△COD中，∠DCO=30°，∠DOC=90°，∴，同理得：，∴，∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC=∠BOD，∴△AOC∽△BOD，∴，∠CAO=∠DBO，在△AMB中，∠AMB=180°-（∠MAB+∠ABM）=180°-（∠OAB+∠ABM+∠DBO）=90°；（3）拓展延伸：①點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時(shí)，如圖3，同理得：△AOC∽△BOD，∴∠AMB=90°，，設(shè)BD=x，則AC=x，Rt△COD中，∠OCD=30°，OD=1，∴CD=2，BC=x-2，Rt△AOB中，∠OAB=30°，OB=，∴AB=2OB=2，在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，(x)2+(x?2)2＝(2)2，x2-x-6=0，（x-3）（x+2）=0，x1=3，x2=-2，∴AC=3；②點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時(shí)，如圖4，同理得：∠AMB=90°，，設(shè)BD=x，則AC=x，在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，(x)2+（x+2）2=(2)2.x2+x-6=0，（x+3）（x-2）=0，x1=-3，x2=2，∴AC=2；.綜上所述，AC的長(zhǎng)為3或2．【我思故我在】本題是三角形的綜合題，主要考查了三角形全等和相似的性質(zhì)和判定，幾何變換問題，解題的關(guān)鍵是能得出：△AOC∽△BOD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，并運(yùn)用類比的思想解決問題，本題是一道比較好的題目．9．解答題(1)如圖1，和都是等邊三角形，連接、，求證，；[類比探究](2)如圖2，和都是等腰直角三角形，，連接．求的值．[拓展提升](3)如圖3，和都是直角三角形，，．連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接．若恰好等于，請(qǐng)直接寫出此時(shí)之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）證明，從而得出結(jié)論；（2）證明，從而得出結(jié)果；（3）過點(diǎn)B作，垂足為點(diǎn)H，令和相交于點(diǎn)O．通過證明以及，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例，即可將三條線段表示出來，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵和都是等邊三角形，∴，，，∴，即：，在和中，，∴，∴．（2）解：∵和都是等腰直角三角形，∴，，∴，∴，則，∵，即：，在和中，，，∴，∴，令，根據(jù)勾股定理可得：，∴．（3）過點(diǎn)B作，垂足為點(diǎn)H，令和相交于點(diǎn)O．∵，，∴，，∴，則，∴，即：，∵，∴，∴，在和中，，，∴，設(shè)，，則，∵，，∴，∴，即，，∴，∵，，∴，∴，即，，∵，，∴，∵，∴．【我思故我在】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握“手拉手”模型及其變形．10．如圖1，已知矩形中，，O是矩形的中心，過點(diǎn)O作于E，作于F，得矩形BEOF．(1)線段AE與CF的數(shù)量關(guān)系是，直線AE與CF的位置關(guān)系是；(2)固定矩形，將矩形繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，連接．那么（1）中的結(jié)論是否依然成立？請(qǐng)說明理由；(3)若，當(dāng)矩形旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)O在CF上時(shí)（如圖3），設(shè)OE與BC交于點(diǎn)P，求PC的長(zhǎng)．【答案】(1)，(2)（1）中的結(jié)論仍然成立，理由見解析(3)【分析】（1）根據(jù)是矩形的中心，于，于可知，四邊形為矩形，可推知各線段的數(shù)量及位置關(guān)系；（2）延長(zhǎng)交于，交于，由已知得，進(jìn)而得到，構(gòu)造相似三角形和，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行判斷；（3）根據(jù)已知條件，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，判斷出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出的長(zhǎng)．【詳解】（1）解：是矩形的中心，于，于，，，，，即；，點(diǎn)、分別是、上的點(diǎn)，；故答案為；；（2）解：（1）中的結(jié)論仍然成立．如圖1，延長(zhǎng)交于，交于，由已知得，，，，，，，，，，且．（3）解：，，，，，點(diǎn)在上，，

，，，，，，設(shè)，則，，解得：，．【我思故我在】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，做出適當(dāng)輔助線是關(guān)鍵．11．（1）如圖1，正方形ABCD的中心為點(diǎn)O，正方形OA′B′C′與正方形ABCD的邊長(zhǎng)相等．正方形OA′B′C′繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，運(yùn)動(dòng)過程中兩個(gè)正方形重疊部分的面積是否發(fā)生變化？如果變化，重疊部分的面積如何變化；如果不變，重疊部分的面積與正方形ABCD的面積有何關(guān)系？請(qǐng)寫出結(jié)論并證明．結(jié)論：______________________________________________________證明：______________________________________________________【提出問題】“其他形狀相同的兩個(gè)圖形，在類似上述旋轉(zhuǎn)的過程中，上面發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是否依然成立？”現(xiàn)對(duì)正三角形進(jìn)行研究．（2）如圖2，正三角形ABC的中心為點(diǎn)O，正三角形OA′B′與正三角形ABC的邊長(zhǎng)相等，邊OA′經(jīng)過點(diǎn)B．正三角形OA′B′繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°≤α≤120°），運(yùn)動(dòng)過程中兩個(gè)正三角形重疊部分的面積是否發(fā)生變化？如果變化，重疊部分的面積如何變化；如果不變，重疊部分的面積與正三角形ABC的面積有何關(guān)系？請(qǐng)寫出研究過程．【答案】（1）兩個(gè)正方形重疊部分的面積不變，是正方形ABCD面積的；證明見解析；（2）發(fā)生變化．當(dāng)增大時(shí)，重疊部分的面積先增大再減小，面積最大為正三角形面積的，最小為正三角形面積的．【分析】（1）證明△BOE≌△COF（ASA），可得結(jié)論S△BOE=S△COF，則可得出（2）分四種情況，當(dāng)α＝0時(shí)，當(dāng)α＝30時(shí)，當(dāng)α＝90時(shí)，當(dāng)α＝120時(shí)，畫出運(yùn)動(dòng)過程中兩個(gè)正三角形重疊部分的圖形，根據(jù)面積的大小關(guān)系寫出變化結(jié)論即可．【詳解】（1）解：結(jié)論：兩個(gè)正方形重疊部分的面積不變，是正方形ABCD面積的；證明：連接AC，BD，∵四邊形ABCD是正方形，四邊形OA′B′C′是正方形，∴AC⊥BD，OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，∠A′OC′=90°，∴∠BOC=∠A′OC′=90°，∴∠BOE=∠COF，∴△BOE≌△COF（ASA），∴S△BOE=S△COF，∴S四邊形OEBF=S△OBC=S正方形ABCD；（2）發(fā)生變化．如圖2，當(dāng)時(shí)，重疊部分的形狀為直角三角形，S重疊部分＝；如圖3，當(dāng)時(shí)，重疊部分的形狀為菱形，S重疊部分＝S△ABC；如圖4，當(dāng)時(shí)，重疊部分的形狀為等邊三角形，S重疊部分＝；如圖5，當(dāng)時(shí)，重疊部分的形狀為直角三角形，S重疊部分＝；綜上所述，運(yùn)動(dòng)過程中兩個(gè)三角形重疊部分的面積發(fā)生變化，當(dāng)增大時(shí)，重疊部分的面積先增大再減小，面積最大為正三角形面積的，最小為正三角形面積的．【我思故我在】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．12．在一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，李老師設(shè)計(jì)了一份活動(dòng)單：已知線段，使用作圖工具作，嘗試操作后思考：（1）這樣的點(diǎn)A唯一嗎？（2）點(diǎn)A的位置有什么特征？你有什么感悟？“追夢(mèng)”學(xué)習(xí)小組通過操作、觀察、討論后匯報(bào)：點(diǎn)A的位置不唯一，它在以為弦的圓弧上（點(diǎn)B、C除外），……．小華同學(xué)畫出了符合要求的一條圓弧（如圖1）．（1）小華同學(xué)提出了下列問題，請(qǐng)你幫助解決．①該弧所在圓的半徑長(zhǎng)為___________；②面積的最大值為_________；（2）經(jīng)過比對(duì)發(fā)現(xiàn)，小明同學(xué)所畫的角的頂點(diǎn)不在小華所畫的圓弧上，而在如圖1所示的弓形內(nèi)部，我們記為，請(qǐng)你利用圖1證明；（3）請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，結(jié)合以上活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，解決問題：如圖2，已知矩形的邊長(zhǎng)，，點(diǎn)P在直線的左側(cè)，且．①線段長(zhǎng)的最小值為_______；②若，則線段長(zhǎng)為________．【答案】（1）①2；②；（2）見解析；（3）①；②【分析】（1）①設(shè)O為圓心，連接BO，CO，根據(jù)圓周角定理得到∠BOC=