中考數(shù)學總復習《直角三角形》專項測試卷(含答案)

第第頁中考數(shù)學總復習《直角三角形》專項測試卷(含答案)（考試時間：90分鐘；試卷滿分：100分）學校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分）。1．在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，則∠B的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．60° D．70°2．一直角三角形的兩直角邊長為6和8，則斜邊長為（）A．10 B．13 C．7 D．143．如圖，在△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，則斜邊AB上的高為（）A． B． C．30cm D．cm4．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD為AB邊上中線，過點D作DE⊥AB，連接AE，BE，若AE＝10，CD＝8，則DE的長為（）A．3 B．4 C．5 D．65．如圖，在△ABC中，∠ABC為直角，∠A＝30°，BD⊥AC于D，若CD＝2，則AC的長為（）A．8 B．6 C．4 D．26．如圖，若要用“HL”證明Rt△ABC≌Rt△ABD，則還需補充條件（）A．∠BAC＝∠BAD B．AC＝AD或BC＝BD C．∠ABC＝∠ABD D．以上都不正確7．如圖，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，則△ABC≌△DCB的依據(jù)是（）A．HL B．ASA C．AAS D．SAS8．下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（）A．1 B．0.6，0.8，1 C．5，11，12 D．8，15，179．如圖，長為8cm的橡皮筋放置在數(shù)軸上，固定兩端A和B，然后把中點C垂直向上拉升3cm到D點，則橡皮筋被拉長了（）A．2cm B．3cm C．4cm D．1cm10．勾股定理是幾何中的一個重要定理，在我國古算書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載．如圖1是由邊長相等的小正方形和直角三角形構成的，可以用其面積關系驗證勾股定理．圖2是由圖1放入長方形內得到的，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，點D，E，F(xiàn)，G，H，I都在長方形KLMJ的邊上，則長方形KLMJ的面積為（）A．420 B．440 C．430 D．410填空題(本題共6題，每小題2分，共12分）。11．直角三角形的一個銳角為25°，則它的另一個銳角為度．12．如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以AC為邊向外作正方形ADEC，若圖中陰影部分的面積為9cm2，BC＝4cm，則AB＝cm．13．如圖，CD是Rt△ABC的中線，∠ACB＝90°，∠CDA＝120°，則∠B的度數(shù)為．14．如圖，有兩棵樹，一棵高10米，另一棵高4米，兩樹相距8米，一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行米．15．如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分線交AB于點E，交BC于點F，若BF＝3.5，則CF＝．16．如圖是一個三級臺階，它的每一級長、寬、高分別是2米、0.3米、0.2米，A，B是這個臺階上兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物，則螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程是米．三、解答題（本題共7題，共58分）。17．（6分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE過點C且平行于AB，若∠BCE＝35°，求∠A的度數(shù)．18．（8分）如圖，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC與BD相交于點O．（1）求證：△ABC≌△DCB；（2）△OBC是何種三角形？證明你的結論．19．（8分）如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC，交AD于E，交AC于F．（1）求證：△AEF是等邊三角形；（2）求證：BE＝EF．20．（8分）如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點D，AC＝6，BC＝8，AB＝10．求：（1）△ABC的面積；（2）線段CD的長．21．（8分）如圖1，同學們想測量旗桿的高度h（米），他們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到了地面，并多出了一段，但這條繩子的長度未知．小明和小亮同學應用勾股定理分別提出解決這個問題的方案如下：小明：①測量出繩子垂直落地后還剩余1米，如圖1；②把繩子拉直，繩子末端在地面上離旗桿底部4米，如圖2．小亮：先在旗桿底端的繩子上打了一個結，然后舉起繩結拉到如圖3點D處（BD＝BC）．（1）請你按小明的方案求出旗桿的高度h米；（2）已知小亮舉起繩結離旗桿4.5米遠，此時繩結離地面多高？22．（10分）【閱讀理解】我國古人運用各種方法證明勾股定理，如圖①，用四個直角三角形拼成正方形，通過證明可得中間也是一個正方形．其中四個直角三角形直角邊長分別為a、b，斜邊長為c．圖中大正方形的面積可表示為（a+b）2，也可表示為c2+4×ab，即（a+b）2＝c2+4×ab，所以a2+b2＝c2．【嘗試探究】美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”如圖②所示，用兩個全等的直角三角形拼成一個直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根據(jù)拼圖證明勾股定理．【定理應用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所對的邊長分別為a、b、c．求證：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．23．（10分）如圖，在△ABC中，已知AB＝AC，BC＞AC，點P在線段BC上運動（P不與B、C重合），連接AP，作∠APM＝∠B，PM交AC于點M．（1）在圖①中，在P點運動過程中，若PM∥AB，求證：△ABP為等腰三角形；（2）在圖①中，若PC＝AC時，求證：△ABP≌△PCM；（3）在圖②中，若∠B＝45°時，過點A作PM的垂線交BC于點D，探究線段PB2、PD2、CD2之間的關系，并說明理由．參考答案與解析選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分）。1．在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，則∠B的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】B【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°則∠A+∠B＝90°∵∠A＝40°∴∠B＝90°﹣40°＝50°故選：B．2．一直角三角形的兩直角邊長為6和8，則斜邊長為（）A．10 B．13 C．7 D．14【答案】A【解答】解：由勾股定理可得斜邊長為：＝10故選：A．3．如圖，在△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，則斜邊AB上的高為（）A． B． C．30cm D．cm【答案】D【解答】解：過C作CH⊥AB于H∵∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm∴AB＝＝13（cm）∵△ABC的面積＝AB?CH＝AC?BC∴13CH＝5×12∴CH＝∴斜邊AB上的高為．故選：D．4．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD為AB邊上中線，過點D作DE⊥AB，連接AE，BE，若AE＝10，CD＝8，則DE的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD為AB邊上中線，CD＝8則AD＝CD＝8∵DE⊥AB，AE＝10∴DE＝＝＝6故選：D．5．如圖，在△ABC中，∠ABC為直角，∠A＝30°，BD⊥AC于D，若CD＝2，則AC的長為（）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】A【解答】解：∵△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°∴∠BCD＝60°∵BD⊥AC于D∴∠DBC＝∠A＝30°∵CD＝2∴BC＝4∴AC＝8故選：A．6．如圖，若要用“HL”證明Rt△ABC≌Rt△ABD，則還需補充條件（）A．∠BAC＝∠BAD B．AC＝AD或BC＝BD C．∠ABC＝∠ABD D．以上都不正確【答案】B【解答】解：若要用“HL”證明Rt△ABC≌Rt△ABD，則還需補充條件AC＝AD或BC＝BD故選：B．7．如圖，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，則△ABC≌△DCB的依據(jù)是（）A．HL B．ASA C．AAS D．SAS【答案】A【解答】解：HL理由是：∵∠A＝∠D＝90°∴在Rt△ABC和Rt△DCB中∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）故選：A．8．下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（）A．1，， B．0.6，0.8，1 C．5，11，12 D．8，15，17【答案】D【解答】解：A、，，不是正整數(shù)，因此不是勾股數(shù)，不符合題意；B、0.62+0.82＝12，0.6、0.8不是正整數(shù)，因此不是勾股數(shù)，不符合題意；C、52+112≠122因此不是勾股數(shù)，不符合題意；D、82+152＝172都是正整數(shù)，符合題意，因此是勾股數(shù)，符合題意．故選：D．9．如圖，長為8cm的橡皮筋放置在數(shù)軸上，固定兩端A和B，然后把中點C垂直向上拉升3cm到D點，則橡皮筋被拉長了（）A．2cm B．3cm C．4cm D．1cm【答案】A【解答】解：∵點C為線段AB的中點∴AC＝AB＝4cm在Rt△ACD中，CD＝3cm；根據(jù)勾股定理，得：AD＝＝5（cm）；∵CD⊥AB∴∠DCA＝∠DCB＝90°在△ADC和△BDC中∴△ADC≌△BDC（SAS）∴AD＝BD＝5cm∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2（cm）；∴橡皮筋被拉長了2cm．故選：A．10．勾股定理是幾何中的一個重要定理，在我國古算書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載．如圖1是由邊長相等的小正方形和直角三角形構成的，可以用其面積關系驗證勾股定理．圖2是由圖1放入長方形內得到的，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，點D，E，F(xiàn)，G，H，I都在長方形KLMJ的邊上，則長方形KLMJ的面積為（）A．420 B．440 C．430 D．410【答案】B【解答】解：如圖，延長AB交KL于P，延長AC交LM于Q由題意得，∠BAC＝∠BPF＝∠FBC＝90°，BC＝BF∴∠ABC+∠ACB＝90°＝∠PBF+∠ABC∴∠ACB＝∠PBF∴△ABC≌△PFB（AAS）同理可證△ABC≌△QCG（AAS）∴PB＝AC＝8，CQ＝AB＝6∵圖2是由圖1放入長方形內得到∴IP＝8+6+8＝22，DQ＝6+8+6＝20∴長方形KLMJ的面積＝22×20＝440．故選：B．填空題(本題共6題，每小題2分，共12分）。11．直角三角形的一個銳角為25°，則它的另一個銳角為65度．【答案】見試題解答內容【解答】解：∵直角三角形的一個銳角為25°∴它的另一個銳角為90°﹣25°＝65°．故答案為：65．12．如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以AC為邊向外作正方形ADEC，若圖中陰影部分的面積為9cm2，BC＝4cm，則AB＝5cm．【答案】5．【解答】解：∵正方形ADEC的面積為9∴AC2＝9在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝＝＝5（cm）故答案為：5．13．如圖，CD是Rt△ABC的中線，∠ACB＝90°，∠CDA＝120°，則∠B的度數(shù)為60°．【答案】60°．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是△ABC斜邊AB的中線∴AD＝CD＝BD∴∠DCB＝∠DBC．∵∠CDA是△CDB的一個外角∠CDA＝120°∴∠DCB+∠DBC＝120°．∴∠DBC＝60°．故答案為：60°．14．如圖，有兩棵樹，一棵高10米，另一棵高4米，兩樹相距8米，一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行10米．【答案】見試題解答內容【解答】解：如圖，設大樹高為AB＝10米小樹高為CD＝4米過C點作CE⊥AB于E，則EBDC是矩形連接AC∴EB＝4m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6（米）在Rt△AEC中，AC＝＝10（米）故答案為：10．15．如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分線交AB于點E，交BC于點F，若BF＝3.5，則CF＝7．【答案】7．【解答】解：連接AF，如圖∵AB＝AC，∠BAC＝120°∴∵EF垂直平分線段AB，BF＝3.5∴BF＝AF＝3.5∴∠B＝∠BAF＝30°∴∠FAC＝∠BAC﹣∠BAF＝90°∴在Rt△AFC中，∠C＝30°，有FC＝2AF＝7故答案為：7．16．如圖是一個三級臺階，它的每一級長、寬、高分別是2米、0.3米、0.2米，A，B是這個臺階上兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物，則螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程是2.5米．【答案】見試題解答內容【解答】解：三級臺階平面展開圖為長方形，長為2，寬為（0.2+0.3）×3則螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程是此長方形的對角線長．可設螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程為x由勾股定理得：x2＝22+[（0.2+0.3）×3]2＝2.52解得x＝2.5．三、解答題（本題共7題，共58分）。17．（6分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE過點C且平行于AB，若∠BCE＝35°，求∠A的度數(shù)．【答案】見試題解答內容【解答】解：∵DE∥AB∴∠B＝∠BCE＝35°∴∠A＝90°﹣35°＝55°．18．（8分）如圖，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC與BD相交于點O．（1）求證：△ABC≌△DCB；（2）△OBC是何種三角形？證明你的結論．【答案】見試題解答內容【解答】證明：（1）在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°在Rt△ABC和Rt△DCB中∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；（2）△OBC是等腰三角形由（1）得：Rt△ABC≌Rt△DCB∴∠ACB＝∠DBC∴OB＝OC∴△OBC是等腰三角形．19．（8分）如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC，交AD于E，交AC于F．（1）求證：△AEF是等邊三角形；（2）求證：BE＝EF．【答案】（1）證明見解答過程；（2）證明見解答過程．【解答】證明：（1）∵∠BAC＝90°，∠C＝30°∴∠ABC＝60°∵BF平分∠ABC∴∠ABF＝∠CBF＝30°∵AD⊥BC∴∠ADB＝90°∴∠AEF＝∠BED＝90°﹣∠CBF＝60°∵∠AFB＝90°﹣∠ABF＝60°∴∠AFE＝∠AEF＝60°∴△AEF是等邊三角形；（2）∵∠ADB＝90°，∠ABC＝60°∴∠BAE＝∠ABF＝30°∴AE＝BE由（1）知△AEF是等邊三角形∴AE＝EF∴BE＝EF．20．（8分）如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點D，AC＝6，BC＝8，AB＝10．求：（1）△ABC的面積；（2）線段CD的長．【答案】（1）24；（2）4.8．【解答】解：（1）∵AC＝6，BC＝8，AB＝10∴AC2+BC2＝AB2∴∠ACB＝90°∴△ABC的面積＝；（2）△ABC的面積＝∴6×8＝10CD∴CD＝4.8．21．（8分）如圖1，同學們想測量旗桿的高度h（米），他們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到了地面，并多出了一段，但這條繩子的長度未知．小明和小亮同學應用勾股定理分別提出解決這個問題的方案如下：小明：①測量出繩子垂直落地后還剩余1米，如圖1；②把繩子拉直，繩子末端在地面上離旗桿底部4米，如圖2．小亮：先在旗桿底端的繩子上打了一個結，然后舉起繩結拉到如圖3點D處（BD＝BC）．（1）請你按小明的方案求出旗桿的高度h米；（2）已知小亮舉起繩結離旗桿4.5米遠，此時繩結離地面多高？【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）如圖2，設旗桿的長度為x米，則繩子的長度為（x+1）米在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+42＝（x+1）2解得：x＝7.5故旗桿的高度為7.5米；（2）由題可知，BD＝BC＝7.5米，DE＝4.5米．在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2+4.52＝7.52解得：BE＝6∴EC＝BC﹣BE＝7.5﹣6＝1.5（米）∴DF＝EC＝1.5米．故繩結離地面1.5米高．22．（10分）【閱讀理解】我國古人運用各種方法證明勾股定理，如圖①，用四個直角三角形拼成正方形，通過證明可得中間也是一個正方形．其中四個直角三角形直角邊長分別為a、b，斜邊長為c．圖中大正方形的面積可表示為（a+b）2，也可表示為c2+4×ab，即（a+b）2＝c2+4×ab，所以a2+b2＝c2．【嘗試探究】美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”如圖②所示，用兩個全等的直角三角形拼成一個直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根據(jù)拼圖證明勾股定理．【定理應用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所對的邊長分別為a、b、c．求證：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．【答案】【嘗試探究】見解析；【定理應用】見解析．【解答】證明：【嘗試探究】梯形的面積為S＝（a+b）（b+a）＝ab+（a2+b2）利用分割法，梯形的面積為S＝S△ABC+S△ABE+SADE