2021-2022學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)市五校協(xié)作體高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

2021-2022學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)市五校協(xié)作體高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件，利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】解：，故選：B.2．已知平面向量，滿足，且，則向量與向量的夾角余弦值為（

）A．1 B．-1 C． D．-【答案】C【分析】利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出．【詳解】平面向量，滿足，且，，解得.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積和夾角公式，屬于基礎(chǔ)題.3．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，，，則角為（

）A．60° B．60°或120° C．45° D．45°或135°【答案】B【分析】利用正弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】解：由正弦定理得得得，，，得或，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形的應(yīng)用，利用正弦定理進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．比較基礎(chǔ)．4．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】C【分析】先將函數(shù)的化為正弦型函數(shù)，在將函數(shù)的解析式表示為，并結(jié)合的符號(hào)與絕對(duì)值確定平移的方向與長(zhǎng)度．【詳解】由誘導(dǎo)公式可得，因此，只需在將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，即可得到函數(shù)的圖象，故選C．【點(diǎn)睛】在考查兩個(gè)三角函數(shù)平移的過(guò)程中，需注意以下兩個(gè)問(wèn)題；①兩個(gè)函數(shù)的名稱一定要一致；②左右平移法則中的“左加右減”指的是在自變量上變化了多少．5．已知，則A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意，利用誘導(dǎo)公式和二倍角的余弦函數(shù)公式，即可計(jì)算得到答案．【詳解】因?yàn)椋?，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，其中熟記三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和二倍角的余弦公式的合理運(yùn)用是解答的關(guān)鍵，著重考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．6．已知，，那么M，N，P，Q之間的大小順序是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由輔助角公式可得，逆用兩角和的正弦公式可得，逆用兩角差的正切公式可得，利用兩角和正切公式的變形可得，從而即可求解.【詳解】解：，，，又，即，所以，所以，故選：B.7．若關(guān)于x的方程在有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先化簡(jiǎn)三角函數(shù)為，再由的范圍，得到函數(shù)的值域，由此得到m的取值范圍.【詳解】，方程在有兩個(gè)不等實(shí)根，即與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)椋?，所以，要使方程在有兩個(gè)不等實(shí)根，如下圖，即則.故選：C.8．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，若,使得，且的最小值為，則（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】由三角函數(shù)平移變換可得，可確定或；在時(shí)，可求得的取值，由可構(gòu)造方程求得的值.【詳解】，，，若,使得，則或，不妨設(shè)，，則，，解得：，，，，即，又，當(dāng)時(shí)，，解得：.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是能夠通過(guò)函數(shù)值域確定分別對(duì)應(yīng)的最大值和最小值點(diǎn)，從而利用整體對(duì)應(yīng)的方式構(gòu)造方程確定的值.二、多選題9．函數(shù)(，，是常數(shù)，，)的部分圖象如圖所示，下列結(jié)論正確的是（

）A．B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．的圖象關(guān)于中心對(duì)稱D．將的圖象向左平移個(gè)單位，所得到的函數(shù)是偶函數(shù)【答案】ACD【分析】根據(jù)函數(shù)的部分圖象求出函數(shù)解析式，然后根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對(duì)各選項(xiàng)逐一分析即可得答案.【詳解】解：由圖可知，，解得，由五點(diǎn)作圖法可得，即，所以，對(duì)A：，故選項(xiàng)A正確；對(duì)B：因?yàn)?，所以，而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)C：因?yàn)椋缘膱D象關(guān)于中心對(duì)稱，故選項(xiàng)C正確；對(duì)D：將的圖象向左平移個(gè)單位，所得到的函數(shù)是，又，所以為偶函數(shù)，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.10．給出下列命題，其中正確的命題是（

）A．，； B．，； C．，； D．，【答案】CD【解析】求出、的值域后可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，故A，B錯(cuò)誤.因?yàn)?，故CD正確.故選：CD.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角的正弦、輔助角公式，注意利用三角變換公式把三角函數(shù)式整合成正弦型函數(shù)（或余弦型函數(shù)）的形式，從而可利用復(fù)合函數(shù)的方法來(lái)研究它們的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題.11．如圖，在矩形ABCD中，，E為邊AB的中點(diǎn)，若P為折線段DEC上的動(dòng)點(diǎn)，則的可能取值為（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求出數(shù)量積，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的取值范圍，即可得解；【詳解】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系：則，，，，當(dāng)在上時(shí)，設(shè)，，則，，所以，因?yàn)椋?，即．?dāng)在上時(shí)，設(shè)，，則，，所以，因?yàn)?，所以，即．故選：AD12．已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，已知O為的外心，，的面積S滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)余弦定理和三角形面積公式可得，利用兩角差的正弦公式可得，根據(jù)為三角形的內(nèi)角可得.再根據(jù)三角形的面積公式可求出三角形面積，知A正確；利用余弦定理求出，再根據(jù)正弦定理可求出，知B不正確；根據(jù)為三角形的外心可求出和，由此可求出，知C正確；將兩邊分別同時(shí)乘以和，得到兩個(gè)方程，解方程組可得，知D正確.【詳解】由得，得，得，得，得，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，故A正確；由余弦定理得，所以，所以，所以，故B不正確；因?yàn)?，所以，，所以，故C正確；又，所以，即，，所以，所以，聯(lián)立，解得，所以，故D正確.故選：ACD三、填空題13．若，則___________.【答案】【分析】將兩邊同時(shí)平方可得，進(jìn)而可得，，聯(lián)立方程可得，從而根據(jù)二倍角公式即可求解.【詳解】解：因?yàn)棰?，所以兩邊同時(shí)平方得，即，因?yàn)?，所以，所以，所以②，?lián)立①②可得，所以，故答案為：.14．在函數(shù)的圖像對(duì)稱中心中，與原點(diǎn)O最近的為點(diǎn)M，定點(diǎn)，則在上投影的數(shù)量是___________.【答案】【分析】由正切函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的圖像對(duì)稱中心為，進(jìn)而可得，從而利用向量數(shù)量積的幾何意義即可求解在上投影的數(shù)量為.【詳解】解：由題意，令，可得，所以函數(shù)的圖像對(duì)稱中心為，所以與原點(diǎn)O最近的為點(diǎn)，所以，，所以在上投影的數(shù)量為，故答案為：.15．設(shè)的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且滿足.則______.【答案】4【詳解】解法1

有題設(shè)及余弦定理得.故.解法2

如圖4，過(guò)點(diǎn)作，垂足為.則，.由題設(shè)得.又，聯(lián)立解得，.故.解法3

由射影定理得.又，與上式聯(lián)立解得，.故.16．若函數(shù)在內(nèi)有且僅有一個(gè)最大值點(diǎn)，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】根據(jù)降冪公式及二倍角余弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式為，從而利用正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求解.【詳解】解：函數(shù)，因?yàn)樵趦?nèi)有且僅有一個(gè)最大值，且，，所以，即，解得，所以的取值范圍是，故答案為：.四、解答題17．已知，其中為銳角，若與夾角為90°，(1)求的值(2)求的值【答案】(1)(2)【分析】（1）依題意可得，即可得到，從而求出，再利用誘導(dǎo)公式將式子化簡(jiǎn)，最后利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，代入計(jì)算可得；（2）利用二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得；【詳解】(1)解：因?yàn)榕c夾角為，所以，即，即，即，又，，即，所以，又為銳角，所以，所以(2)解：18．在①②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中并作答.在中，角A?B?C所對(duì)的邊分別是a?b?c，___________.(1)求角A﹔(2)若，的面積為，求的周長(zhǎng).【答案】(1)(2)【分析】（1）如選擇①，根據(jù)平方關(guān)系得到，再由正弦定理將角化邊，最后由余弦定理計(jì)算可得．選擇②，由正弦定理將邊化角，再利用誘導(dǎo)公式、和差公式即可得出．（2）由已知利用三角形的面積公式可求的值，進(jìn)而根據(jù)余弦定理可求的值，進(jìn)而可求的周長(zhǎng)．【詳解】(1)解：若選擇①，由，得，即，由正弦定理得，由余弦定理得，又，所以．若選擇②，因?yàn)?，由正弦定理可得，又，所以，則，所以．由于，，所以，，故．(2)因?yàn)?，，的面積為，所以，由余弦定理，可得，解得，所以的周長(zhǎng)．19．函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2)若銳角的三個(gè)角為A，B，C，其中，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用兩角和的正弦公式及降冪公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式為，解不等式即可得答案；（2）由，可得，進(jìn)而由為銳角三角形，可得，從而利用正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求解的取值范圍.【詳解】(1)解：函數(shù)，由，可得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；(2)解：因?yàn)?，即，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以，所以，即，因?yàn)?，所以，所以所以，所以的取值范圍?20．如圖，在中，已知(1)求；(2)已知點(diǎn)是上一點(diǎn)，滿足點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，滿足，是否存在非零實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)；(2)存在，.【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合向量數(shù)量積求出，再求出夾角B作答.（2）假定存在滿足條件的實(shí)數(shù)，利用向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算求解作答.【詳解】(1)在中，，，則，顯然有，于是得，，所以.(2)假設(shè)存在非零實(shí)數(shù)，使得，由，得，則，又，則，于是得，而，解得，所以存在非零實(shí)數(shù)，使得.21．某公園為了吸引更多的游客，準(zhǔn)備進(jìn)一步美化環(huán)境．如圖，準(zhǔn)備在道路AB的一側(cè)進(jìn)行綠化，線段AB長(zhǎng)為4百米，C，D都設(shè)計(jì)在以AB為直徑的半圓上．設(shè)．（1）現(xiàn)要在四邊形ABCD內(nèi)種滿郁金香，若，則當(dāng)為何值時(shí)，郁金香種植面積最大；（2）為了方便游客散步，現(xiàn)要鋪設(shè)一條棧道，棧道由線段BC，CD和DA組成，若BC＝CD，則當(dāng)為何值時(shí)，棧道的總長(zhǎng)l最長(zhǎng)，并求l的最大值（單位：百米）．【答案】（1）當(dāng)時(shí)，郁金香種植面積最大；（1）當(dāng)為時(shí)，棧道的總長(zhǎng)l最長(zhǎng)，l的最大值為6百米.【分析】(1)求出利用三角形的面積公式可得四邊形ABCD關(guān)于的函數(shù)，利用三角函數(shù)的恒等變換可以得到“一角一函”的形式,然后根據(jù)角的范圍利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得面積最大值；(2)利用余弦定理求得關(guān)于的三角函數(shù)，相加可求出關(guān)于的三角函數(shù)表達(dá)式，利用二倍角公式和換元思想轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值，進(jìn)而求解.【詳解】解：(1)∵線段AB長(zhǎng)為4百米，所以圓的半徑為2百米，即,當(dāng)時(shí)，由三角形的面積公式得：，，則，，當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，當(dāng)時(shí)，郁金香種植面積最大；(2)由余弦定理得：，，，令，∵，∴，，，即時(shí)，的最大值為6.故當(dāng)為時(shí)，棧道的總長(zhǎng)l最長(zhǎng)，l的最大值為6百米.22．已知向量，若函數(shù)的最小正周期為，且在上單調(diào)遞增.(1)求的解析式；(2)若關(guān)于x的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及降冪公式和輔助角