12.3角的平分線的性質(zhì)（解析版）

12.3角的平分線的性質(zhì)知識點管理瞄準(zhǔn)目標(biāo)，牢記要點知識點管理歸類探究夯實雙基，穩(wěn)中求進歸類探究題型一：角平分線的性質(zhì)定理角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等。幾何語言：∵OP是∠AOB的平分線,P是OP上任意一點,PD⊥OB,PC⊥OA,垂足分別是D,C(已知)∴PD=PC(角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等).【例題1】（2022·廣東揭陽·八年級期中）如圖，平分，于點，點是射線上的一個動點，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接PQ，當(dāng)PQ⊥OM時，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出PQ=PA，利用直線外一點到直線的垂線段最短即可得出結(jié)論．【詳解】解：連接PQ，當(dāng)PQ⊥OM時，∵OP平分∠MON，PQ⊥OM，PA⊥ON，∴PQ=PA，此時點P到OM的距離PQ最小，∴PA≤PQ，故選：D．【點睛】題目主要考查角平分線的性質(zhì)，直線外一點到直線的距離中，垂線段最短，理解這兩個性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．變式訓(xùn)練【變式1-1】（2022·全國·八年級課時練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，則下列結(jié)論：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB，其中正確的有（

）

A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【分析】根據(jù)題中條件，結(jié)合圖形及角平分線的性質(zhì)得到結(jié)論，與各選項進行比對，排除錯誤答案，選出正確的結(jié)果．【詳解】解：∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠DAE，∵∠C=90°，DE⊥AB，∴∠C=∠E=90°，∵AD=AD，∴△DAC≌△DAE，∴∠CDA=∠EDA，∴①AD平分∠CDE正確；無法證明∠BDE=60°，∴③DE平分∠ADB錯誤；∵BE+AE=AB，AE=AC，∴BE+AC=AB，∴④BE+AC=AB正確；∵∠BDE=90°-∠B，∠BAC=90°-∠B，∴∠BDE=∠BAC，∴②∠BAC=∠BDE正確．綜上，正確的個數(shù)的3個，故選：C．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)；題目是一道結(jié)論開放性題目，考查了同學(xué)們利用角平分線的性質(zhì)解決問題的能力，有利于培養(yǎng)同學(xué)們的發(fā)散思維能力．【變式1-2】（2022·全國·八年級課時練習(xí)）如圖，平分，于點，，，則（

）A．28 B．21 C．14 D．7【答案】C【分析】作于，由角平分線的性質(zhì)得到，結(jié)合三角形面積公式解題．【詳解】解：作于，平分，，，，，故選：C．【點睛】本題考查角平分線的性質(zhì)定理，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型．【變式1-3】（2022·全國·八年級課時練習(xí)）如圖，有三塊菜地△ACD、△ABD、△BDE分別種植三種蔬菜，點D為AE與BC的交點，AD平分∠BAC，AD=DE，AB=3AC，菜地△BDE的面積為96，則菜地△ACD的面積是（

）A．24 B．27 C．32 D．36【答案】C【分析】利用三角形的中線平分三角形的面積求得S△ABD=S△BDE=96，利用角平分線的性質(zhì)得到△ACD與△ABD的高相等，進一步求解即可．【詳解】解：∵AD=DE，S△BDE=96，∴S△ABD=S△BDE=96，過點D作DG⊥AC于點G，過點D作DF⊥AB于點F，∵AD平分∠BAC，∴DG=DF，∴△ACD與△ABD的高相等，又∵AB=3AC，∴S△ACD=S△ABD=．故選：C．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．【變式1-4】（2020·湖北武漢·八年級期中）如圖所示，在△ABD中，∠BAD＝40°，C為BD延長線上一點，∠BAC＝，∠ABD的角平分線與AC交于點E，連接DE．(1)求證：點E到DA、DC的距離相等；(2)求∠BED的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)20°【分析】（1）過E作EGBA于G點，EPBC于P點，EHAD于H點，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理證得EH=EP=EG即可；（2）設(shè)，，根據(jù)角平分線的判定與性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)得到即可求解．（1）證明：過E作EGBA于G點，EPBC于P點，EHAD于H點，，，，∴AE為的角平分線，，又為的角平分線，EP=EG，∴EH=EP，點E到DA，DC的距離相等；（2）解：由（1）知，DE平分∠ADC，又BE平分∠ABD，∴設(shè)，，，∵∠ADC=∠ABD+∠DAB，，即，而，．【點睛】本題考查角平分線的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．【變式1-5】（2022·江西吉安·八年級期末）如圖，BD平分∠ABC交AC于點D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝BC＝8，若，求DE的長．【答案】DE＝3.5【分析】利用角平分線的性質(zhì)可得DE＝DF，再根據(jù)求解即可．【詳解】解：∵BD平分∠ABC交AC于點D，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF，

∵，，AB＝BC＝8，∴，∴8DE＝28，∴DE＝3.5．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，利用角平分線的性質(zhì)得出DE＝DF是解決本題的關(guān)鍵．【變式1-6】（2022·山東濟南·七年級期中）如圖，在Rt△ABC中，BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB，BC=4cm．(1)若ED=2cm，則DC=______cm；(2)求證：BE=BC；(3)若△AED的周長是4cm，AC=3cm，求AB的長．【答案】(1)2(2)見解析(3)5【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)可得出答案；（2）證明Rt△BCD≌Rt△BED（HL），由全等三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；（3）求出AE的長，則可得出答案．（1）解：∵BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB，DC⊥BC，∴DE=DC=2cm，故答案為：2；（2）證明：在Rt△BCD和Rt△BED中，，∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），∴BC=BE；（3）解：∵△AED的周長是4cm，∴AE+DE+AD=4cm，∵DE=DC，∴AE+DC+AD=4cm，即AC+AE=4cm，∵AC=3cm，∴AE=1cm，∵BC=BE=4cm，∴AB=BE+AE=4+1=5（cm)．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，證明△BCD≌△BED是解題的關(guān)鍵．【變式1-7】（2021·云南紅河·八年級期末）如圖，已知中，是的角平分線，于E點．(1)求的度數(shù)；(2)若，求．【答案】(1)60°(2)108【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠BAC=60°，從而得到∠BAD=30°，再由，即可求解；（2）過D作于F．根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得，再由，即可求解．（1）解：∵，∴，∵是的角平分線，∴，∵，∴，∴；（2）解∶如圖，過D作于F．∵是的角平分線，，∴，又∵，且，∴．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理，三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．題型二：角平分線的判定定理角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上。幾何語言：∵PD=PC,PD⊥OA,PC⊥OB,垂足分別是D,C(已知),∴點P在∠AOB的平分線上.【例題2】（2021·廣東·深圳市寶安區(qū)沙井上南學(xué)校八年級期中）如圖，已知∠A＝∠D＝90°，點E、F在線段BC上，DE與AF交于點O，且AB＝DC，BE＝CF．求證：(1)AF＝DE(2)若OP⊥EF，求證：OP平分∠EOF．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由于△ABF與△DCE是直角三角形，根據(jù)直角三角形全等的判定和性質(zhì)即可證明；（2）先根據(jù)三角形全等的性質(zhì)得出∠AFB=∠DEC，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出結(jié)論．（1）∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE，∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF與△DCE都為直角三角形，在Rt△ABF和Rt△DCE中，，∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），∴AF＝DE；（2）∵Rt△ABF≌Rt△DCE，∴∠AFB＝∠DEC，∴OE＝OF，∵OP⊥EF，∴OP平分∠EOF．【點睛】此題考查了直角三角形全等的判定和性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是由BE=CF通過等量代換得到BF=CE．變式訓(xùn)練【變式2-1】（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，已知AE⊥AB，AF⊥AC．AE＝AB，AF＝AC，BF與CE相交于點M．(1)EC＝BF；(2)EC⊥BF；(3)連接AM，求證：AM平分∠EMF．【答案】(1)見解析．(2)見解析．(3)見解析．【分析】（1）先求出∠EAC＝∠BAF，然后利用“邊角邊”證明△ABF和△AEC全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可證明；（2）根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠AEC＝∠ABF，設(shè)AB、CE相交于點D，根據(jù)∠AEC+∠ADE＝90°可得∠ABF+∠BDM＝90°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理推出∠BMD＝90°，從而得證．（3）作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．由△EAC≌△BAF，推出AP＝AQ（全等三角形對應(yīng)邊上的高相等）．由AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，可得AM平分∠EMF；（1）證明：∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠BAE＝∠CAF＝90°，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAF+∠BAC，即∠EAC＝∠BAF，在△ABF和△AEC中，∵，∴△ABF≌△AEC（SAS），∴EC＝BF；（2）根據(jù)（1），∵△ABF≌△AEC，∴∠AEC＝∠ABF，∵AE⊥AB，∴∠BAE＝90°，∴∠AEC+∠ADE＝90°，∵∠ADE＝∠BDM（對頂角相等），∴∠ABF+∠BDM＝90°，在△BDM中，∠BMD＝180°﹣∠ABF﹣∠BDM＝180°﹣90°＝90°，所以EC⊥BF．（3）作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．如圖：∵△EAC≌△BAF，∴AP＝AQ（全等三角形對應(yīng)邊上的高相等）．∵AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，∴AM平分∠EMF．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)條件找出兩組對應(yīng)邊的夾角∠EAC＝∠BAF是證明的關(guān)鍵，也是解答本題的難點．【變式2-2】2022·河北邯鄲·八年級期末）如圖，于E，于F，若．(1)求證：平分(2)判斷與之間的等量關(guān)系．【答案】(1)證明詳見解析(2)，證明詳見解析【分析】（1）根據(jù)直角三角形“HL”定理得出，故可得出，所以平分．（2）由可知，所以，故．（1）證明：∵于E，于F，∴，在和中，∴．∴．又∵于E，于F，∴平分．（2），證明：∴，∴，，∴．【點睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟知角平分線的性質(zhì)及其逆定理是解答此題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2022·河南洛陽·八年級期末）學(xué)習(xí)角的平分線之后，老師留了一道思考題：還有沒有其他作角平分線的方法（不限于圓規(guī)和直尺）．下面是兩位同學(xué)給出的兩種方法：(1)同學(xué)1：我是用三角板按下面方法畫角平分線：如圖1，在已知的上，分別?。俜謩e過點，作，的垂線，交點為，畫射線，則平分．請你幫這位同學(xué)證明：平分．(2)同學(xué)2：我是用圓規(guī)和直尺按下面方法畫角平分線：如圖2，以為圓心，以任意長為半徑畫弧與，交于點，，再以任意長為半徑畫弧與，交于點，，連接，交于點，連接，則平分．你認為同學(xué)2這種作角平分線的方法正確嗎？若正確，請你給出證明過程；若錯誤，說出你的理由．【答案】(1)見解析(2)同學(xué)2這種作角平分線的方法正確．證明過程見解析【分析】（1）由作法得，則可判斷，從而得到平分；（2）由作法得，則可判斷，可得到，因此可證明，再根據(jù)，可得，從而得到平分．（1）證明：由作法得，在和中，，∴，∴，∴平分；（2）解：同學(xué)2這種作角平分線的方法正確.理由如下：由作法得，，可知.在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，在與中，，∴，∴.即平分．【點睛】本題考查了作圖——基本作圖，全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，熟練掌握5種基本作圖（作已知角的角平分線）是解題的關(guān)鍵．題型三：角平分線性質(zhì)的實際應(yīng)用【例題3】（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，三條公路兩兩相交，現(xiàn)計劃在△ABC中內(nèi)部修建一個探照燈，要求探照燈的位置到這三條公路的距離都相等，則探照燈位置是△ABC（

）的交點．A．三條角平分線 B．三條中線C．三條高的交點 D．三條垂直平分線【答案】A【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到探照燈的位置在角平分線的交點處，即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵探照燈的位置到這三條公路的距離都相等，∴探照燈位置是△ABC的三條角平分線上，故選：A．【點睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)，數(shù)據(jù)角平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練【變式3-1】（2021·湖南長沙·八年級期中）如圖：AB、AC、BC是三條相互交叉的公路，現(xiàn)要在三條公路圍成的三角形區(qū)域內(nèi)修建一座加油站，要求加油站到三條公路的距離相等，則加油站應(yīng)修建在（

）A．△ABC三條角平分線的交點位置 B．△ABC三條高的交點位置C．△ABC三邊的中垂線的交點位置 D．以上說法都不正確【答案】A【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)解答．【詳解】解：∵加油站在三條公路圍成的平地上且到三條公路的距離相等，∴加油站應(yīng)該在△ABC三條角平分線的交點處．故選：A【點睛】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2022·全國·八年級）如圖，l3與兩條平行公路l1，l2三條公路相交，若要在l1上確定某個位置，使其到另兩條公路的距離相等，這樣的位置有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．無數(shù)個【答案】B【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可作直線l2與l3夾角的平分線與直線l1的交點即為符合條件的點．【詳解】解：作直線l2與l3夾角的平分線OA，OB，交直線l1于A，B兩點，如圖，則在l1上到另兩條公路的距離相等的位置有點A和點B兩個位置．故選：B．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角平分線上的任意一點點到角的兩條邊的距離相等，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．題型四：角平分線尺規(guī)作圖【例題4】（2021·山東威?！て吣昙壠谥校┫旅媸恰扒笞鳌螦OB的角平分線”的尺規(guī)作圖過程（

）已知：鈍角∠AOB．求作：∠AOB的角平分線．作法：①在OA和OB上，分別截取OD，OE，使OD=OE；②分別以D，E為圓心，大于DE的長為半徑作弧，交∠AOB內(nèi)部的點C；③作射線OC．所以，射線OC就是所求作的∠AOB的角平分線．上述尺規(guī)作圖的依據(jù)是（

）A．ASA B．SASC．AAS D．SSS【答案】D【分析】根據(jù)題意易得DC=EC，進而通過證明三角形全等，問題可求解．【詳解】解：如圖，由題意得：DC=EC，∵OC=OC，OD=OE，∴△ODC≌△OEC（SSS），∴∠DOC=∠EOC，即OC平分∠AOB；故選D．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)及角平分線的尺規(guī)作圖，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)及角平分線的尺規(guī)作圖是解題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練【變式4-1】（2022·河北滄州·八年級期末）小明用尺規(guī)在△ABC上作圖，并留下如圖所示的痕跡，若AB=6，AC=4，則△ABD與△ACD的面積之比為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由作圖痕跡可知，AD平分∠BAC，過點D分別作DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE=DF，再根據(jù)三角形面積公式求解即可．【詳解】解：由作圖痕跡可知，AD平分∠BAC，過點D分別作DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，∴DE=DF，∵S△ABD=AB?DE，S△ACD=AC?DF，∴，∵AB=6，AC=4，，故選：A．【點睛】此題考查了三角形的面積，熟記角平分線的作法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2022·陜西西安·七年級階段練習(xí)）如圖，在中，請用尺規(guī)作圖法求作射線，使它平分，交于點M．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】畫圖見解析【分析】以B為圓心，任意長為半徑畫弧交BA，BC于Q，H，再分別以Q，H為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線AP，交AC于M，則射線AM即為所求．【詳解】解：如圖，射線AM即為所求作的角平分線，【點睛】本題考查的是作已知角的角平分線，掌握“作已知角的角平分線的步驟”是解本題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2022·河南洛陽·八年級期末）如圖所示，三條筆直的公路，，兩兩相交，交點分別為點、點和點，要在三角形的區(qū)域內(nèi)建一個到三條公路距離相等的倉庫，請用直尺和圓規(guī)在圖中畫出點的位置（保留作圖痕跡）并說明理由．【答案】見解析【分析】作△ABC的任意兩個內(nèi)角平分線，交于點P即可．【詳解】解：如圖，點P即為所求；【點睛】此題主要考查了應(yīng)用設(shè)計與作圖，正確掌握角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式4-4】（2022·重慶·四川外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校七年級期末）如圖，點在線段上，//，，．(1)求作的平分線（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)若的平分線交于點，試證明：.請將以下推導(dǎo)過程補充完整．證明：∵AB//CE在和中（

）平分__________在和中．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）利用基本作圖作∠ADE的平分線即可；（2）先證明△ABD≌△DCE得到AD=DE．再證明△ADF≌△EDF，從而得到AF=EF．（1）解：如圖，DM為所作；（2）證明：∵AB∥CE，∴∠B=∠C．在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（SAS），∴AD=DE．∵DF平分∠ADE，∴∠ADF=∠EDF，在△ADF和△EDF中，，∴△ADF≌△EDF（SAS）．∴AF=EF．【點睛】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．【變式4-5】（2022·陜西西安·七年級階段練習(xí)）如圖，在中，請用尺規(guī)作圖法求作射線，使它平分，交于點M．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】畫圖見解析【分析】以B為圓心，任意長為半徑畫弧交BA，BC于Q，H，再分別以Q，H為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線AP，交AC于M，則射線AM即為所求．【詳解】解：如圖，射線AM即為所求作的角平分線，【點睛】本題考查的是作已知角的角平分線，掌握“作已知角的角平分線的步驟”是解本題的關(guān)鍵．鏈接中考體驗真題，中考奪冠鏈接中考【真題1】（2022·北京·中考真題）如圖，在中，平分若則____．【答案】1【分析】作于點F，由角平分線的性質(zhì)推出，再利用三角形面積公式求解即可．【詳解】解：如圖，作于點F，∵平分，，，∴，∴．故答案為：1．【點睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，通過作輔助線求出三角形ACD中AC邊的高是解題的關(guān)鍵．【真題2】（2022·湖南郴州·中考真題）如圖．在中，，．以點A為圓心，以任意長為半徑作弧交AB，AC于D，E兩點；分別以點D，E為圓心，以大于長為半徑作弧，在內(nèi)兩弧相交于點P；作射線AP交BC于點F，過點F作，垂足用G．若，則的周長等于________cm．【答案】8【分析】由角平分線的性質(zhì)，得到，然后求出的周長即可．【詳解】解：根據(jù)題意，在中，，，由角平分線的性質(zhì)，得，∴的周長為：；故答案為：8【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)．【真題3】（2022·湖南株洲·中考真題）如圖所示，點在一塊直角三角板上（其中），于點，于點，若，則_________度．【答案】15【分析】根據(jù)，，判斷OB是的角平分線，即可求解．【詳解】解：由題意，，，，即點O到BC、AB的距離相等，∴OB是的角平分線，∵，∴．故答案為：15．【點睛】本題考查角平分線的定義及判定，熟練掌握“到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上”是解題的關(guān)鍵．滿分沖刺能力提升，突破自我滿分沖刺【拓展1】（2022·山東省鄆城第一中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，某人有一塊三角形的土地，已知其面積為6m2，通過測量可知周長為12m，I為ABC的三條角平分線交點，求點I到每條邊的距離？【答案】1m【分析】先連接角平分線交點與各個定點，然后過交點作各個邊的高，根據(jù)三角形的面積和周長來求交點到各個邊的距離．【詳解】如圖，連接IA，IB，IC，作于一點D，于點E，于點F∵I為的三條角平分線的交點∴IA，IB，IC分別為三個內(nèi)角的角平分線∴ID=IE=IF∵，㎡∴即∴∵m∴∴m∴ID=IE=IF=1m即點I到每條邊的距離為1m．【點睛】本題考查了三角形角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用三角形的面積聯(lián)系三角形的周長求得高．【拓展2】（2022·四川·巴中市教育科學(xué)研究所七年級期末）如圖，和分別是的內(nèi)角平分線和外角平分線，是的角平分線，是的角平分線，是的角平分線，是的角平分線……，若，則為（

）°．A． B． C． D．【答案】