平行線的性質(zhì)（分層練習(xí)）（解析版）-七年級(jí) 下冊(cè)

第1章平行線1.4平行線的性質(zhì)精選練習(xí)基礎(chǔ)篇基礎(chǔ)篇1．如圖，已知，，則是（

）A．45° B．55° C．125° D．135°【答案】C【分析】首先利用求證，進(jìn)而得到，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：，，，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要是考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟練角相等，證明兩直線平行，然后利用平行關(guān)系證明其他角相等，這是解決該題的關(guān)鍵．2．如圖，是的平分線，，若，則的度數(shù)為（

）A．17.5° B．35° C．55° D．70°【答案】B【分析】根據(jù)兩直線平行，同位角相等，可得，再根據(jù)角平分線的定義可得，從而可得結(jié)果．【詳解】解：∵，∴，∵是的平分線，∴，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟記平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．如圖是舉世聞名的三星堆考古中發(fā)掘出的一個(gè)梯形殘缺玉片，工作人員從玉片上已經(jīng)量得，．已知梯形的兩底，則另外兩個(gè)角的度數(shù)為（

）．A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，，，∴，；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查平行線性質(zhì)的應(yīng)用．熟練掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，是解題的關(guān)鍵．4．如圖，已知，直角三角板的直角頂點(diǎn)在直線上，若，則等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直角三角形的直角與平角之間的關(guān)系可得到與互余，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可知的度數(shù)．【詳解】解：∵直角三角板的直角頂點(diǎn)在直線a上，∴∵∴故選：【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)以及垂線的定義的運(yùn)用，解題時(shí)注意：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．5．一條公路修到湖邊時(shí)，需拐彎繞道而過，第一次拐彎的度數(shù)為，第二次拐彎的度數(shù)為，到了點(diǎn)后需要繼續(xù)拐彎，拐彎后與第一次拐彎之前的道路平行，則的度數(shù)為（）A．100° B．160° C．140° D．120°【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)作，如圖，∵，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．如圖，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】過點(diǎn)作，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得出，然后整理即可得解.【詳解】過點(diǎn)作，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），，（已知），（平行于同一直線的兩直線平行），（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），，.故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出平行線是解題的關(guān)鍵.7．如圖，，下列推理正確的是（

）①若，則；

②若，則；③若，則；

④若，則．A．①② B．②④ C．②③④ D．②③【答案】B【分析】根據(jù)平行線的判定定理求解即可．【詳解】解：由，不能判定，故①不符合題意；∵，，∴，∴，故②符合題意；由，，不能判定，故③不符合題意；∵，，∴，∴，故④符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定，熟記平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．8．如圖，已知直線，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，可得，由得，進(jìn)而可求出的度數(shù)．【詳解】解：如下圖所示，∵，∴，∵，∴，∴∵，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)找出圖中角度之間的關(guān)系．9．如果一個(gè)角的兩邊分別與另一個(gè)角的兩邊平行，那么這兩個(gè)角__________．【答案】相等或互補(bǔ)【分析】根據(jù)題意畫出圖形，利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行分析即可．【詳解】解：（1）如圖所示：，，，，；（2）如圖所示：，，，，；綜上可得：如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．故答案為：相等或互補(bǔ)．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．10．如圖，已知，___________．【答案】【分析】根據(jù)，可以得到，然后即可得到，再根據(jù)，即可求得的度數(shù)．【詳解】解：，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．11．如圖，已知，點(diǎn)，分別在直線、上，，，則與的數(shù)量關(guān)系________．【答案】【分析】過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)與已知條件得出，，根據(jù)，即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作，則，，，，,即∴；即；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．如圖，直線，，為直角，則___________．【答案】【分析】過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)，求解即可．【詳解】解：過點(diǎn)作，如下圖：則，∴，∴，∴，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)．13．如圖，將一把直尺和一塊含角的三角板按如圖所示的位置放置，如果，那么的度數(shù)為_____________．【答案】##14度【分析】由題意可確定，，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得，然后根據(jù)角的關(guān)系即可解答．【詳解】解：由題意可知，，由含角的三角板的特點(diǎn)可知：，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，含角的三角板中的角度計(jì)算，掌握平行線性質(zhì)是解題關(guān)鍵．14．如圖，，BF，CG分別平分，BF與CG的反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，若，則___________°．【答案】40【分析】過F作，根據(jù)角平分線的有關(guān)計(jì)算、平行線的性質(zhì)將相關(guān)角結(jié)合在四邊形BECF中進(jìn)行計(jì)算即可得到解答．【詳解】解：過F作，∵，∴，∴，∵BF，CG分別平分，∴，∴，，∴在四邊形BECF中，，∴，∴，∵，∴，故答案為：40．【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形內(nèi)角和、平行線的性質(zhì)和角平分線的有關(guān)計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵是正確的做出輔助線．15．如圖，分別與交于點(diǎn)G、H，分別與交于點(diǎn)B、C，分別與交于點(diǎn)D、E，．若，，求的度數(shù)．【答案】【分析】根據(jù)平行線的判定定理與性質(zhì)定理求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．16．如圖，已知點(diǎn)、在直線上，，平分，．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由已知條件得出，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行，即可得證；（2）根據(jù)已知條件得出，根據(jù)角平分線的定義得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．17．填空并完成以下證明：已知，如圖，，，于，求證：．證明：（已知）___________．（已知）（____________）．（____________）（已知）____________．___________．（同位角相等，兩直線平行）（兩直線平行，同位角相等）【答案】；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；；【分析】根據(jù)，可得，從而得到，進(jìn)而得到，可得到，即可．【詳解】證明：（已知）．（已知）（同位角相等，兩直線平行）．（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）（已知）．．（同位角相等，兩直線平行）（兩直線平行，同位角相等）．故答案為：；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；；【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．如圖，點(diǎn)E、F分別在AB、CD上，于點(diǎn)O，，，求證：．證明：∵（已知），∴（___________）又∵（已知），∴___________（___________），∴（___________），∴（___________），又∵（平角的定義）∴（___________）°，又∵（已知），∴（___________），∴．（___________）【答案】垂直的定義；；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；等量代換；90；等式的性質(zhì)；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行【分析】根據(jù)垂直的定義，平角的定義，等式的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)與判定填空即可．【詳解】證明：∵（已知）∴（垂直的定義）又∵（已知）∴（同位角相等，兩直線平行）∴（兩直線平行，同位角相等）∴（等量代換）又∵（平角的定義）∴（90）°又∵（已知）∴（等式的性質(zhì)）∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）故答案為：垂直的定義；；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；等量代換；90；等式的性質(zhì)；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直的定義，平角的定義，等式的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)與判定，掌握平行線的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵．19．已知，點(diǎn)B在直線之間，．(1)如圖1，請(qǐng)直接寫出和之間的數(shù)量關(guān)系：_________．(2)如圖2，和滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)如圖3，平分，平分，與交于點(diǎn)G，則的度數(shù)為_________．【答案】(1)(2)，見解析(3)【分析】（1）過點(diǎn)B作，利用平行線的性質(zhì)即可求得結(jié)論；（2）過點(diǎn)B作，利用平行線的性質(zhì)即可求得結(jié)論；（3）利用（2）的結(jié)論和三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和即可求得結(jié)論．【詳解】（1）解：過點(diǎn)B作，如圖，∴．∵，，∴．∴．∵．∴．故答案為：；（2）解：和滿足：．理由：過點(diǎn)B作，如圖，∴．∵，，∴．∴．∴．∵．∴．∴．∴；（3）解：設(shè)與交于點(diǎn)F，如圖，∵平分，平分，∴，，∵，∴．∵，∴．∵，∴．由（2）知：，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．20．綜合與實(shí)踐問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師展示了一個(gè)問題：如圖1，直線，直線與，分別交于點(diǎn)C，D，點(diǎn)A在直線上，且在點(diǎn)C的左側(cè)，點(diǎn)B在直線上，且在點(diǎn)D的左側(cè)，點(diǎn)Р是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)Р不與點(diǎn)C，D重合）．當(dāng)點(diǎn)Р在點(diǎn)C，D之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，試猜想，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．獨(dú)立思考：(1)請(qǐng)解答老師提出的問題．實(shí)踐探究：勤學(xué)小組對(duì)此問題進(jìn)行了更深一步的思考：當(dāng)點(diǎn)Р在C，D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，，，之間的數(shù)量關(guān)系又是如何？(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C上方時(shí)，試猜想，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D下方時(shí)，請(qǐng)直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)，理由見解析(3)【分析】（1）過點(diǎn)Р作，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再由平行線的推論得出，利用等量代換即可得出結(jié)果；（2）過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再由平行線的推論得出，利用等量代換即可得出結(jié)果；（3）過點(diǎn)作，方法與（1）（2）類似，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：．理由：如解圖1，過點(diǎn)Р作，則．∵，∴．∴．∴．（2）．理由：如解圖2，過點(diǎn)作，則．∵，∴．∴．∴．（3）．如解圖3，過點(diǎn)作，則．∵，∴．∴．∴．【點(diǎn)睛】題目主要考查平行線的性質(zhì)及推論，熟練掌握平行線的性質(zhì)及推論是解題關(guān)鍵．提升篇提升篇1．將一直角三角板與兩邊平行的紙條如圖所示放置，下列結(jié)論：（1）；（2）；（3）；（4），其中正確的個(gè)數(shù)是（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)兩直線平行同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，及直角三角板的特殊性解答即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，故（1）錯(cuò)誤，（2）（3）正確；∵，∴，∵，∴，故（4）正確；綜上分析可知，正確的結(jié)論有3個(gè)，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確識(shí)別“三線八角”中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角是正確答題的關(guān)鍵．2．如圖，，的平分線交于點(diǎn)，是上一點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)，且，下列結(jié)論：①平分；②；③與互余的角有2個(gè)；④若，則；其中正確的有（

）．A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出和的關(guān)系，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)找出圖中相等的角，由等角的余角相等即可得出結(jié)論．【詳解】解：，，，又，，平分，故①正確；，，平分，，，，，故②正確，，，，與互余的角有，，，，有個(gè)，故③錯(cuò)誤，，，又，，故④正確，綜上，正確的有①②④．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)和判定，關(guān)鍵是要牢記平行線的三個(gè)性質(zhì)，即兩直線平行，同位角相等，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．3．一副直角三角板如圖放置，點(diǎn)C在的延長(zhǎng)線上，，，，，則為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用三角板的特點(diǎn)結(jié)合根據(jù)平行線的性質(zhì)，計(jì)算得，，利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可求得，在中可得到【詳解】∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴在中，，，∴，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)、利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求角度及直角三角板的特點(diǎn)，熟練掌握平行線的性質(zhì)和利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求角度是解決問題的關(guān)鍵4．如圖，，平分，平分，，，則下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論有（

）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)角平分線的定義得到；所以①錯(cuò)誤；由角平分線的定義得到，，根據(jù)垂直的定義得到，所以②正確；根據(jù)垂直的定義得到，求得，根據(jù)角的和差得到，等量代換得到；所以③正確；根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，求得，根據(jù)角平分線的定義得到，求得，所以④錯(cuò)誤．【詳解】解：∵，∴，∴，∵平分，∴；所以①錯(cuò)誤；∵平分，平分，∴，，∵，∴，∴，所以②正確；∵，∴，∴，∴，，∴，∵，∴；所以③正確；∵，，∴，，∴，∴，∵平分，∴，∴，，∴，所以④錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，垂直的定義，熟練掌握兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵．5．如圖，，，探索圖中角α，β，γ之間的關(guān)系式正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先過點(diǎn)C作，過點(diǎn)D作，由，即可得，然后由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可求得答案．【詳解】解：過點(diǎn)C作，過點(diǎn)D作，∵，∴，∴，∵，，由①②得：．即故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．6．已知，點(diǎn)E在連線的右側(cè)，與的角平分線相交于點(diǎn)F，則下列說(shuō)法正確的是（）；①；②若，則；③如圖（2）中，若，，則；④如圖（2）中，若，，則．A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④【答案】C【分析】分別過、作，，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可以得到解答．【詳解】解：分別過、作，，∵，∴，∴，，∴，即，①正確；∵，，∴，∵，∴，，∴，②正確，與上同理，，∴，∴，③正確，由題意，④不一定正確，∴①②③正確，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的應(yīng)用，熟練掌握平行線的性質(zhì)及輔助線的作法和應(yīng)用是解題關(guān)鍵．7．某市為了方便市民綠色出行，推出了共享單車服務(wù)．圖①是某品牌共享單車放在水平地面的實(shí)物圖，圖②是其示意圖，其中，都與地面l平行，，．當(dāng)為（

）度時(shí)，與平行．A．16 B．60 C．66 D．114【答案】C【分析】根據(jù)平行線的判定定理與性質(zhì)定理求解即可．【詳解】解：∵，都與地面l平行，∴，∴，∴，∵，，∴，∴當(dāng)時(shí)，．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．8．閱讀下列解答過程：如圖，，點(diǎn)E在AB，CD兩平行線之間，連接AE，DE．若，．求的度數(shù)是多少？解：過點(diǎn)E作，∵∴（⊙），∴（#）∵，，∴（*）∴（S）∴①⊙代表AEF；②#代表；③*代表平行于同一條直線的兩條直線平行；④S代表同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，上述補(bǔ)充的解答過程和依據(jù)中，正確的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，則，再根據(jù)平行于同一條直線的兩條直線平行可得，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得．【詳解】解：過點(diǎn)作，∵，∴，∴，∵，，∴（平行于同一條直線的兩條直線平行），∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），∴．由此可知，⊙代表，則①正確；#代表，則②正確；*代表平行于同一條直線的兩條直線平行，則③正確；代表兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，則④錯(cuò)誤；綜上，正確的個(gè)數(shù)有3個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、平行公理推論，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．9．如圖，，，是否與平行，若不平行，需添加___________（只填出一種即可）的條件，使．【答案】或或．【分析】根據(jù)兩直線平行的判定定理判斷．【詳解】∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：或或．【點(diǎn)睛】此題考查了直線的判定定理，解題的關(guān)鍵是熟悉兩直線平行的判定定理．10．如圖，直線，，，則__度，__度．【答案】

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360【分析】過的頂點(diǎn)作已知直線的平行線，充分運(yùn)用平行線的性質(zhì)，不難發(fā)現(xiàn)：，【詳解】解：如圖，過的頂點(diǎn)作，，，，，又，；又，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，注意此類題中常見的輔助線：構(gòu)造已知直線的平行線．根據(jù)平行線的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)并證明：；．11．沈陽(yáng)市政府?dāng)M定在中央公園建設(shè)大型燈光秀，在某平行湖道兩岸所在直線、安裝探照燈，若燈P發(fā)出的光束自逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，燈Q發(fā)出的光束自逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，每天晚間兩燈同時(shí)開啟不停交叉照射巡視．設(shè)燈P光束轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是10度/秒，燈Q光束轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是4度/秒，在兩燈同時(shí)開啟后的35秒內(nèi)，開啟______秒時(shí)，兩燈的光束互相垂直．【答案】或或【分析】設(shè)開啟秒后，兩燈的光束互相垂直，分，時(shí)，燈光返回，第一次與垂直和時(shí)，燈光返回，第二次與垂直，三種情況討論求解即可．【詳解】解：燈P照射一次，需要秒，燈Q照射一次，需要秒，設(shè)開啟秒后，兩燈的光束互相垂直；①當(dāng)時(shí)，兩燈光垂直于點(diǎn)，過作，如圖，∵，∴，∴，，∴，解得：；②當(dāng)時(shí)，燈光返回，第一次與垂直，過作，如圖，∵，∴，∴，，∴，解得：；③當(dāng)時(shí)，燈光返回，第二次與垂直，過作，如圖，∵，∴，∴，，∴，解得：；綜上：開啟秒或秒或秒時(shí)，兩燈的光束互相垂直．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)的應(yīng)用．通過添加輔助線，構(gòu)造平行線，利用平行線的性質(zhì)，進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．注意分類討論．12．如圖，已知，則___________．【答案】【分析】如圖，過作過作證明可得再證明從而可得答案．【詳解】解：如圖，過作過作∵∴∴∴而∴∵∴∴∴∵∴∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是平行公理的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，利用平行公理作出輔助線是解本題的關(guān)鍵．13．如圖（1）紙片ABCD（ADBC），將CD按如圖（2）所示沿著DE折疊至DC′，DC′與線段BC交于F，∠BFD=m，點(diǎn)E在線段BC上，若將AD按如圖（3）所示沿著DO折疊至DA′，且A′在線段DC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)O在線段BC上，則∠ODE=__________．（用含m的式子表示）【答案】【分析】設(shè)∠CDE=x，∠DCE=y，由圖（1）折疊性質(zhì)可得：∠C’DE=∠CDE=x，由平行線性質(zhì)可得∠ADF=180°-m，則∠ADC=180°-m+2x，由圖（2）折疊性質(zhì)可得：∠ADO=∠CDO=，最后可得∠ODE的度數(shù)．【詳解】解：設(shè)∠CDE=x，∠DCE=y，由圖（1）折疊性質(zhì)可得：∠C’DE=∠CDE=x，∵∠BFD=m，ADBC，∴∠BFD+∠ADF=180°，∴∠ADF=180°-m，∴∠ADC=180°-m+2x，由圖（2）折疊性質(zhì)可得：∠ADO=∠CDO=，∴∠ODE=∠CDO-∠CDE=．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)及角的有關(guān)計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)．14．①如圖1，ABCD，則∠A+∠E+∠C＝180°；②如圖2，ABCD，則∠E＝∠A+∠C；③如圖3，若ABEF，則∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如圖4，ABCD，則∠A＝∠C+∠P．以上結(jié)論正確的是_____．【答案】②③④【分析】①過點(diǎn)E作EFAB，由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；②過點(diǎn)點(diǎn)E作EFAB，由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；③如圖3，過點(diǎn)C作CDAB，延長(zhǎng)AB到G，由平行線的性質(zhì)可得出180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC；④過點(diǎn)P作PFAB，由平行線的性質(zhì)可得出∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC．【詳解】解：①如圖1，過點(diǎn)E作EFAB，∵ABCD，∴ABEFCD，∴∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，∴∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°，則①錯(cuò)誤；②如圖2，過點(diǎn)E作EFAB，∵ABCD，∴ABEFCD，∴∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，∴∠A+∠C=∠CEF+∠AEF=∠AEC，則②正確；③如圖3，過點(diǎn)C作CDAB，延長(zhǎng)AB到G，∵ABEF，∴ABEFCD，∴∠DCF=∠EFC，由②的結(jié)論可知∠GBH+∠HCD=∠BHC，又∵，∠HCD=∠HCF-∠DCF∴180°-∠ABH+∠HCF-∠DCF=∠BHC，∴180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC，∴，故③正確；④如圖4，過點(diǎn)P作PFAB，∵ABCD，∴ABPFCD，∴∠A=∠APF，∠C=∠CPF，∴∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，則④正確；故答案為：②③④．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．15．如圖，點(diǎn)E、F分別在AB、CD上，于點(diǎn)O，，，求證：．請(qǐng)?zhí)羁眨C明：∵（已知），∴（______）．又∵（已知），∴（______），∴（______），∴（______）．又∵（______），∴（______）°．又∵（已知），∴（______），∴（______）．【答案】垂直的定義；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；等量代換；平角的定義；90；同角的余角相等；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行【分析】先證得，由得，利用平角定義得出，結(jié)合可以得出，從而得證．【詳解】證明：∵（已知），∴（垂直的定義）．又∵（已知），∴（同位角相等，兩直線平行），∴（兩直線平行，同位角相等），∴（等量代換）．又∵（平角的定義），∴．又∵（已知），∴（同角的余角相等），∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．故答案為：垂直的定義；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；等量代換；平角的定義；90；同角的余角相等；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定和性質(zhì)，并靈活運(yùn)用．16．如圖，，的平分線交于點(diǎn)F，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，，求證：．請(qǐng)將下面的證明過程補(bǔ)充完整：證明：（已知），，（①____________）平分，∴②____________．（角平分線的定義）．（③____________）（已知），∴④____________．（⑤__________）．（兩直線平行，同位角相等）．（等量代換）【答案】①兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；②；③等量代換；④；⑤同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)角平分線的定義可得，從而可得，再根據(jù)平行線的判定可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)等量代換即可得．【詳解】證明：（已知），，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）平分，．（角平分線的定義）．（等量代換）（已知），．（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．（兩直線平行，同位角相等）．（等量代換）故答案為：①兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；②；③等量代換；④；⑤同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、角平分線的定義，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．17．課題學(xué)習(xí)：平行線問題中的“轉(zhuǎn)化思想”[閱讀理解]“兩條平行線被第三條直線所截”是平行線中的一個(gè)重要的“基本圖形”，所有的與平行線有關(guān)的角都存在于這個(gè)“基本圖形”中，且都分布在“第三條直線”的兩旁，當(dāng)發(fā)現(xiàn)題目的圖形“不完整”時(shí)，要通過適當(dāng)?shù)妮o助線將其補(bǔ)完整．將“非基本圖形”轉(zhuǎn)化為“基本圖形”．在“相交線與平行線”的學(xué)習(xí)中，有這樣一道典型問題：例題如圖①，已知，若，，則有_____________°．分析：從圖形上看，由于沒有一條直線截與，所以無(wú)法直接運(yùn)用平行線的相關(guān)性質(zhì)，這就需要構(gòu)造出“兩條平行線被第三條直線所截"基本圖形后，才可以運(yùn)用平行線的條件或性質(zhì)．過E點(diǎn)作，根據(jù)平行于第三條直線的兩直線平行，可得，這樣可將圖形轉(zhuǎn)化，進(jìn)而可以求出．[方法應(yīng)用]已知，（1）如圖②，若，，求的度數(shù)；（2）如圖②，直接寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖③，平分，平分，，則的度數(shù)為______________．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）過點(diǎn)E作，可得，從而得到，即可求解；（2）過點(diǎn)E作，可得，從而得到，即可求解；（3）過點(diǎn)F作，可得，從而得到，則兩式相加可得，再由平分，平分，可得，進(jìn)而得到，由（2）知，，即可求得結(jié)果．【詳解】解：（1）如圖，過點(diǎn)E作，∵，∴，∵，∴，∴；（2）如圖，過點(diǎn)E作，∵，∴，∴，∴；（3）如圖，過點(diǎn)F作，∵，∴，，即，，平分，平分，，，或，由（2）知，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．難點(diǎn)是作輔助線——平行線．18．已知，點(diǎn)M、N分別是、上兩點(diǎn)，點(diǎn)G在、之間，連接、．(1)如圖1，若，求的度數(shù)．(2)如圖2，若點(diǎn)P是下方一點(diǎn)，平分，平分，已知，求的度數(shù)．(3)如圖3，若點(diǎn)E是上方一點(diǎn)，連接、，且的延長(zhǎng)線平分，平分，，求的度數(shù)．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）過G作，依據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可得到的度數(shù)；（2）過G作，過點(diǎn)P作，設(shè)，利用平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，求得，，即可得到；（3）過G作，過E作，設(shè)，，利用平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，可得，，再根據(jù)，據(jù)此計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：如圖1，過G作，∵，∴，∴，，∵，∴；（2）解：如圖2，過G作，過點(diǎn)P