遼寧省部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)12月考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

遼寧省部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期12月考試

數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷

上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.本試卷主要考試內(nèi)容：集合與常用邏輯用語(yǔ)，復(fù)數(shù)，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，三角函數(shù)，解三角形，平面

向量，數(shù)列，不等式，立體幾何。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

l.i（3+2i）=

A.3—2iB.—3—2iC.2+3iD.—2+3i

2.已知集合A=<yy+4__J_>,B=卜卜=’3-%卜則AB=

x2

A.-|,3c1|'，+00）D.[3,+oo）

3.“a>b〉!”是“a1—b”的

2

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.若/（X）=（%+1）2為奇函數(shù)，則〃=

A.2B.-2C.lD.-1

5.如圖，在由九個(gè)相同的正方形組成的九宮格中，tan（5-A）=

6.在等比數(shù)列｛%｝中，已知4+%+。3=4,%+。5+〃6=—32，則。6=

1

64128256

A.-----B.42C.---------D.------

333

7.已知圓錐的底面半徑為4,母線長(zhǎng)為5,其頂點(diǎn)和底面圓周均在同一個(gè)球的球面上，則該球的表面積為

625萬(wàn)625%6257r625"

A.-------B.--------C.--------D.--------

361293

8.已知實(shí)數(shù)x,y滿足2--2xy+y2+^y-4x-—+6=0,則

XX

A.x>2yB.x<2yC.y2<xD.y2>x

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.如圖，在四面體ABCD中，BA,BC,兩兩垂直，AE=-AD,則

3

A.向量C2在向量3。上的投影向量為

3

.2

B.向量CE在向量3。上的投影向量為一3。

3

1一2一—.

C.向量CE=—癡+——3C

33

21-

D.向量CE=—癡+―3D—3C

33

10.下列函數(shù)中，存在兩個(gè)極值點(diǎn)的是

A./'(九)=(/+%+2)e*B./(%)=x2e'

2

X+%

C-7(x)=

ex

11.若函數(shù)"x)=sin"+?1—g(o〉0)在0日上恰有10個(gè)零點(diǎn)，則0的值可能為

A.50B.54C.51D.58

12.已知函數(shù)/(曰=:::魯?shù)闹涤驗(yàn)?，?lt;0,m>0,m+zz>0,則下列函數(shù)的最大值為加的

是

2

x4+2x2(3-x4jlgx-1

B'8⑺—l+2%6lgx

/、x-3x2lgx

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.

13.已知。，人均為單位向量，且a為=三，則卜—1?=

14.如圖，在直三棱柱ABC—4與￡中，ABLBC,AB=BC^AAl^2,。是CC1的中點(diǎn)，則異面直線AC1

與BQ所成角的余弦值為.

15.若%e[2,4],當(dāng)王＜々時(shí)，e'lf〉—,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__.

UiJ

16.某景區(qū)的平面圖如圖所示，其中AB,AC為兩條公路，ZBAC=135°,P為景點(diǎn)，A尸=10,APLAC,

現(xiàn)需要修建一條經(jīng)過(guò)景點(diǎn)尸的觀光路線MN,M,N分別為AB,AC上的點(diǎn)，則△4VW面積的最小值

為.

MB

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.（10分）

記S“為等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和，已知％=T8,52=5%.

（1）求｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）求S”的最小值.

18.（12分）

△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.己知acosC+ccosA=避蛆改■.

(1)求B；

3

(2)若a,b,2c,成等比數(shù)列，求型由+工.

sinCa

19.(12分)

已知函數(shù)/(x)=2xsinx-x2cosx.

⑴求曲線y=/(x)在點(diǎn)(肛〃?))處的切線方程；

(2)求〃龍)在［0,2句上的最值.

20.(12分)

如圖，在四棱錐尸—A3CD中，ZABC=^BAD=9Q°,BC=2AD=2五,AB鉆與△PAD均為正三

角形.

(1)證明：AD〃平面PBC.

(2)證明：尸3,平面PCD.

(3)設(shè)平面PA8、平面PCD=/1,平面PA。、平面P3C=4,若直線4與4確定的平面為平面戊，線段AC

的中點(diǎn)為N,求點(diǎn)N到平面a的距離.

21.（12分）

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)若用=」一，數(shù)列圾｝的前幾項(xiàng)和為S"，證明：Sn<~.

nan4

22.(12分)

已知再，%是函數(shù)/(1)=2(%—l)h】x—根(％+1)的兩個(gè)零點(diǎn)，且玉<九2?

(1)求實(shí)數(shù)次的取值范圍；

(2)證明：(根+1)菁〈尤2.

數(shù)學(xué)試卷參考答案

l.Di（3+2i）=-2+3i.

4

2.A因?yàn)?+二—4..2、卜2.3一L=3,當(dāng)且僅當(dāng)了2=i時(shí)，等號(hào)成立，所以A=3

—,+00，B=(—00,3],

x22\X2222

~3一

則AB=-,3.

_2_

3.A若a>b>g,則/一〃一伊一人)二(1一人)(〃+人一]),0當(dāng)〃=o,^二；時(shí)，a2-a>b1-b,但

a<b,故!”是“片―人，，的充分不必要條件.

2

4.D因?yàn)椤κ瞧婧瘮?shù)，所以/(—%)=—/(X),即(T+l/+a(f—l)2=—(]+]『—a(]—])2,解得

a——1

_,41八2//八八taiiB-tanA1

5.B由圖可知tanA=—，tanB=—，rl則tan(3—A)=---------——

23v71+tanBtanA8

6.C設(shè)｛4｝的公比為q,則為+%+4=/(卬+/+/)=4/=-32,解得q二一2,所以

二匚I、I54/-\5128

%+%+。3=q(1+g+/)=3〃]—4,解得Q]=一所以。6=qq=jx(-2)=一--?

7.C因?yàn)閳A錐的底面半徑為4,母線長(zhǎng)為5,所以圓錐的高。=斤彳=3<4,故球心在圓錐外部.設(shè)球心

到圓錐底面圓心的距離為x,貝乂龍+3)2=/+4?,解得x=N,則球的半徑尺=3+1=生，表面積

666

S=4兀R?=毀3

9

8.B由題可知x2+^-4|%+-1+6+(x2-2xy+y2)=0,則

XkJC)

xH—j—4^xH—j+4+(12—2xy+y2j=0,則[XH---2j+(x—y)2二0,x-\---2=0.,

則％解得

x—y=0,

<故選B.

[y=l.

9.AD連接班(圖略).因?yàn)锽4,BC,5。兩兩垂直，AE=-AD,所以向量S在向量38上的投影

3

121

向量為一3。，CE=BE-BC=-BA+-BD-BC.

333

10.BC由〃%)=(無(wú)2+x+2)e\得/'(%)=優(yōu)+3%+3卜，>0恒成立，則了(%)無(wú)極值，A不正確.由

f(^x)=x2ex,得了'(X)=(V+2x)e*,當(dāng)xw(-oo,-2)|(0,+ao)時(shí)，/'(x)>0,當(dāng)xe(-2,0)時(shí)，

/'(x)<0,則"％)在(-00,-2)和(0,+8)上單調(diào)遞增，在(-2,0)上單調(diào)遞減，〃可有兩個(gè)極值點(diǎn)，B正

5

2/1-6)’1+亞

確.由〃力=土押，得/'(x)=一+%+1

,當(dāng)工￡—8,,+oo時(shí)，/,(X)<0,當(dāng)

ee*2U2

7k

"1-V51+后/\

XG時(shí)，/(x)>0,貝(“在—8,和,+00上單調(diào)遞減，在

22

7/

1—^51+5/5上單調(diào)遞增，"另有兩個(gè)極值點(diǎn)，C正確.由/?(x)=W，得/⑺二上三，當(dāng)XC

fl)

2'2ee

\7

時(shí)，r(x)>0,〃力單調(diào)遞增，當(dāng)X￡(l,yo)時(shí)，/(x)<0,/(%)單調(diào)遞減，“X)有且只有一個(gè)極值

點(diǎn)，D不正確.

JI)JnInnn71=；，要使/(%)在o，w]

11.BD當(dāng)％￡0,—時(shí)，cox-\—￡一,—〃)+—,令/(%)=。，得sin(DXH----

6)66666

上恰有10個(gè)零點(diǎn)，則需滿足且+8乃<2。+工,,177"+10萬(wàn),解得°452,601

666

“為心『普(x〉。)，所以/(門=胃等=十&(、〉°)，當(dāng)X的取值范

圍為(0,+8)時(shí)，爐的取值范圍為(0,住)，所以7優(yōu))的最大值與/(%)的最大值相等，均為m,A正確.

442424

丁+2/(3-x)lgx-l_x+6xlgxx+2x(3-x)lgx-l

因?yàn)?1，所以g(x)--------------7------------的最大值為m-1,B

1+2x6lgx1+2x6lgxl+2x6lgx

錯(cuò)誤.

131113.

了+叼

因?yàn)?(x)=：所以/1,當(dāng)x的取值范圍為

1十xigxI1+鴻1-glgxX-Igx

(0,+8)時(shí)，工的取值范圍為(0,+8),所以/的最大值與/(%)的最大值相等，均為，n,所以

XI

=的最大值為叫C正確.

2x

--=-Ae\-m,-n\，因?yàn)椤?lt;0,m>0,加+〃>0,所以一〃W"z,所以g(x)=3xlgx-

x-Igx-Igxx3-Igx

的最大值一定不是加，D錯(cuò)誤.

2亞2-2---24.J7i2百

a-b\=a-la-b+b=一,貝=----

555

6

14.蕓取AC的中點(diǎn)E,連接石B,ED,Eg1.因?yàn)?。是CC|的中點(diǎn)，所以DE〃AQ.又

43=50=441=2,三棱柱ABC—A與G為直三棱柱，所以4￡>=J?,DE=g,旦￡=#,

cos/EDB】=DE'DB'—BE=3廣:=，叵，故異面直線AC與BXD所成角的余弦值為叵.

2DEDB12百x61515

/Xa/\a

15.(^o,-321/Y〉上等價(jià)于ln/Y>ln三

UiJUiJ

%；-%；>x；+>%；+

即等價(jià)于alnx2-a\nx1,即等價(jià)于。1叫a\wc2.

令/(x)="+cAnx,xe[2,4]

則本題可轉(zhuǎn)化為V%,%2￡[2,4],當(dāng)王<工2時(shí)，/(芯)>/(%2)，

即函數(shù)"％)在[2,4]上單調(diào)遞減，即\/xe[2,4],/(%)=2%+-?0,則為—2J.

X

又xe[2,4],所以④一32,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-oo,—32].

16.200設(shè)AM.—u,,AN—b,由S^APN+S^APM~^Z^AMN，可得

-AN-AP+-AM-AP-sin45o=-AM-AN-81111350,即10a+10y/2b=ab由

222

10a+10V2Z>=ab..2s/10ad042b,解得。6..400底，當(dāng)且僅當(dāng)a=20直，Z?=20時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)取

得最小值.故AAMN面積的最小值為-absinl35°=200.

2

，、CL+2d=—18,

17.解：(1)設(shè)｛%｝的公差為d,貝U：,5一、

(J[2%+d=5(%+5d),

%——24,

解得

d=3,

則q=ai+(〃一1”=3〃一27.

7

(2)由(1)可知｛a“｝為遞增數(shù)列，且佝=3x9—27=0,

9(a.+〃Q)

則54工='、，=T08,

故S”的最小值為-108.

田/、Ed「V3Z?tanB4".廠V3sinBtanB

18.解：(1)因?yàn)椤╟osC+ccosA4=-----------,所以smAcosC+smCcosAA=---------------

33

又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,所以#tanB=l,即tan3=J§

jr

又3?0,不)，所以3=§

(2)因?yàn)閍,b,2c成等比數(shù)列，所以"2=2ac

222

又/=4+。2_2accosB=a+c-ac,所以/+c=3ac

sinAcaca2+c2。

故二——+—=—+—=-------=3

sinCacaac

19.解：⑴因?yàn)椤▁)=2xsinx-x2cos%,所以/'(x)=2sinx+2xcosx_2xcosx+x2sinx=(x'+2)sinx,

則/'(乃)=0，/(?)=兀2,

故曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/(?))處的切線方程為y="

(2)因?yàn)?(%)=(1+2卜inx,所以當(dāng)無(wú)￡(0,乃)時(shí),/r(x)>0,

當(dāng)xe(萬(wàn),2%)時(shí),

則〃龍)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(肛2?)上單調(diào)遞減.

又/(0)=0,/(?)=/,〃2I)=T/,

所以〃尤)在［0,2句上的最大值為二,最小值為—4/.

20.(1)證明：因?yàn)?ABC=184。=90。，所以ABLBC,AB±AD,

所以AQ〃5C

因?yàn)锳DcZ平面尸BC,3Cu平面PBC,所以AD〃平面PBC.

(2)證明：取BC的中點(diǎn)E,連接?！?則四邊形ABED為正方形.

過(guò)P作尸平面ABCD,垂足為O.

連接OA,OB,OD,OE.

8

由△MB和△BLD均為正三角形，得PA=PB=PD,

所以Q4=O5=OD,即點(diǎn)。為正方形ABED對(duì)角線的交點(diǎn),

則。因?yàn)槠矫鍭3CD,所以尸OLOE,

又BD\PO=O,

所以平面P5D,

所以03.

因?yàn)?。?D的中點(diǎn)，E是BC的中點(diǎn)，所以O(shè)E〃CD,

因此尸BLCD.

因?yàn)閼?yīng)＞2=482+4)2=052+^02,所以PBJ_PD,

又CDiPD=D,所以PB上平面PCD.

(3)解：設(shè)ABCD=Q,連接PQ,則直線4為直線PQ,

因?yàn)槠矫鍼A。'平面P3C=/2，

所以BC〃/2.

由(1)知，OE,OB,OP兩兩垂直，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OE的方向?yàn)閤軸的正方向建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系,

則3(0,1,0),C(2,-l,0),4(—1,0,0),P(0,0,l),e(-2,-l,0),2V(1,-1,0

PQ=(-2,-IT)，BC=(2,-2,0),

設(shè)平面a的法向量為"=(x,y,z),則“_L3C,n±PQ

-2x-y-z=0,

所以＜

2x-2y=0,

取y=l,得"=(1,1,-3).

(1i、|PN."33&T

又PN=1,所以點(diǎn)N到平面a的距離d=^^=—==*—.

122JW而11

21.(1)解：當(dāng)〃=1時(shí)，q=1

9

當(dāng)*2時(shí)'由*爭(zhēng)三十???+,嘎，

得幺+W…

則?！?〃2,又q=仔，所以Q〃=〃2.

(2)證明：由(1)可知，b------=——，

nan/

當(dāng)”=1時(shí)，S.=1<-.

14

當(dāng).2時(shí)，">/—幾=幾(幾一貝!J——<--------------.——---------------------

、八Jn3n(n-l)(n+l)2^(n-l)n(n+l)

b”?1「111111

所以S<1H---------------------1------------------1-----1-----(------r------(------r