2023高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)練5　與平面向量有關(guān)的最值、范圍問題

微專題5與平面向量有關(guān)的最值、范圍問題

高考定位與平面向量有關(guān)的最值問題在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，多以小題形式考查，

難度中檔.主要考查向量模、夾角、數(shù)量積、系數(shù)的最值或范圍.

真題演練感悟高考練真題明方向

1.(2018?浙江卷)已知α,b,e是平面向量，e是單位向量.若非零向量Q與e的夾

TT

角為T向量分滿足〃一4e?A+3=0,則|a—四的最小值是()

A.√3—1B.Λ∕3+1

C.2D.2-√3

答案A

解析法一設(shè)。為坐標(biāo)原點，a=OA,b=OB=(x,y),e=(l,0),由4e?Z>

+3=0得x2+y2-4x+3=0,即(χ-2>+y2=1,

所以點B的軌跡是以C(2,0)為圓心，1為半徑的圓.

因為“與e的夾角為

所以不妨令點A在射線y=qix(x>O)上，

如圖，數(shù)形結(jié)合可知I。一例min=∣畫IT為|=小一1.故選A.

法二由廿-4e力+3=0得Z>2—4e?Z>+3e2=(b-e)?()—3e)=0.

設(shè))=為，e=OE,3e=OF,

所以5一e=旗，b-3e=FB,

所以旗?M=0.

AB

取族的中點為C則B在以。為圓心，所為直徑的圓上，如圖.

設(shè)α=萬i,作射線04,使得NAoE=

所以I”一Z>∣=∣(α—2e)+(2e-b)INM—2e|—|2e—"=|CAI一出CIN小一1.故選A.

2.(2017.全國In卷)在矩形ABC。中，AB=?,AD=2,動點P在以點C為圓心且

與8。相切的圓上.若〃屐)，則A+〃的最大值為()

A.3B.2√2

C.√5D.2

答案A

解析如圖所示，以A為原點建立平面直角坐標(biāo)系，則8(1,0),0(0,2),C(l,

2),直線8。的方程為：γ=-2r+2,

ΘC方程為:(X—l)2÷(j-2)2=r2,

又屈=(1,0),屐)=(0,2),

則成=∕U百十〃病=(九2μ),

又圓與直線8。相切，則半徑r=金.

因為P點坐標(biāo)可表示為x=l+rcosθ=λ,

γ=2÷rsinθ=2μ,

貝IJ2+〃=2+；Sinθ+rcosθ

=2Sin(9+9),

當(dāng)sin(0+s)=l時，有最大值，為2+坐X泉=3.

3.(2022?北京卷)在AABC中，AC=3,BC=4,NC=90。/為AABC所在平面內(nèi)

的動點，且PC=1,則成?麗的取值范圍是()

A.[-5,3]B.[-3,5]

C.[-6,4]D.[-4,6]

答案D

解析以C為坐標(biāo)原點，CA,CB所在直線分別為X軸、)軸建立平面直角坐標(biāo)

系(圖略)，

則A(3,0),8(0,4).

設(shè)P(χ,>)，

則x2+y2=l,Λ4=(3-%,—y),

PB=(-χ,4—?),

又Q—9+0—2)2表示圓光2+y2=ι上一點到點(1,2)距離的平方，圓心(0,0)到

點修，2)的距離為去

（慶?麗）nιax=g+l）-空=6,

即成?麗e[—4,6],故選D.

4.(2022?浙江卷)設(shè)點P在單位圓的內(nèi)接正八邊形A∣A2???A8的邊A∣A2上，則或彳+

兩5+…+/9的取值范圍是.

答案[12+2√Σ16]

解析以圓心為原點，A7A3所在直線為X軸，44所在直線為〉軸建立平面直角

坐標(biāo)系，如圖所示,

貝I41(0,A5(0,-1),

As1-當(dāng)

設(shè)P(X,y),

于是成彳+成3H---FMg=8(x2+y2)÷8,

因為CoS22.5°WIoPlW1,

”,1÷cos45°,、?

所以2≤x2÷∕≤1,

故或彳+或3+…+成3的取值范圍是[12+2啦，16].

熱點聚焦分類突破研熱點析考向

熱點一向量模的最值'范圍

I核心歸納

向量的模指的是有向線段的長度，可以利用坐標(biāo)表示，也可以借助“形”，結(jié)合平

面幾何知識求解.如果直接求模不易，可以將向量用基底向量表示再求.

例1(1)已知單位向量a,b滿足la—"+2√‰tO=0,則依+"(f∈R)的最小值為

(2)已知”,。是單位向量，ab=O,若向量C滿足|c—α十勿=1,則|c—勿的取值范

圍是.

答案(I)B(2)[√5-l,√5+l]

解析(1)由|Q—b∣+2√‰(2=0,

得|。一臼=—2小α?∕>,

兩邊平方，得屋―24?b+Z>2=I2(α?b)2,

即6(α?6)2+α??—1=0,

解得“?Z>=-；或α?6=∣.

因為俗一例=一2√5α"20,

所以α??≤0,

所以ab=—^,

所以∣fα+加=y∣?ta+b?2

=、d+1+2ta?b

=y∕l2-t+l

(2)由α,5是單位向量，且4?b=O,

則可設(shè)α=(l,O),b=(0,1),C=(X,y).

Y向量C滿足|c—α+旬=1,

?'?y∣Cx—1)2+(j+l)2=1,

即(X—1)2+6+1)2=1,

又|C—4=、%2+(y—1)2,它表示圓C上的點P到點3(0,1)的距離，如圖所示,

且∣BC∣=√12+(-1-1)2=√5,

Λ√5-1≤∣PB∣≤√5+1,

即|c一回的取值范圍是[小一1,^?β+l].

規(guī)律方法模的范圍或最值常見方法

(1)通過同2=/轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題；

(2)數(shù)形結(jié)合；

(3)坐標(biāo)法.

訓(xùn)練1(1)已知直角梯形ABCO中，AD∕∕BC,NAoC=90。，AD=2,BC=I,P

是腰。C上的動點，則I麗+3麗I的最小值為.

(2)若α,b,C均為單位向量,且Q?=0,3-C)0—c)W0,則|a+〃-c∣的最大值

為.

答案(1)5(2)1

解析(1)如圖，以D4,OC所在直線分別為龍，y軸建立平面直角坐標(biāo)系.

則A(2,O),B(l,?),C(0,a),0(0,0),

設(shè)P(0,?)(0≤?≤α),

則成=(2,-b),

PB=(?,a~b)9

.?.Λ4+3PB=(5,3。一4匕)，

Λ∣M+3PB?=√25+(3α-4?)2≥5,

即當(dāng)3a=4b時，取得最小值5.

(2)法一由題意可知，∣α∣=/I=Id=1,

XVα?ft=O且(0—c)0—c)WO,

:?a?b——a?c——c?6+∣c∣2≤0,

即Q?C+C?Z>21,

c?(α+A)21,

故∣0+6_c∣=y∣Ca+b~c)2

=y∣a2+b2+c2+2a?b-2a?c~2b?c

=y∣3-2(α?c+c?J)W^?∣3一2X1=1.

法二設(shè)α=(l,0),&=(0,1),C=(x,y),

則/+y2=l,a~c=(l-x,-y),b-c=(~x,1—y),

則(a—c)(b-c)=(l-x)(—x)+(—y)?(l-y)=f+y2-x—y=1-x—yW0,即x+

y21,

22li

故∣Q+8—c∣=y∣(χ-1)+(?-1)=y]x+y-2(x+y)+2=

y∣3-2(尤+y),

V%+y≥l,.?.∣a+6-c∣W√i=Ξ=l,最大值為L

熱點二向量數(shù)量積的最值'范圍

I核心歸納

數(shù)量積的表示一般有三種方法：(1)當(dāng)已知向量的模和夾角時，可利用定義法求解；

(2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時，可利用坐標(biāo)法求解；(3)運用平面向量基本定理，將數(shù)量

積的兩個向量用基底表示后，再運算.

例2(1)已知P是邊長為2的正六邊形ABeDE廠內(nèi)的一點，則A>?箱的取值范圍是

()

A.(—2,6)B.(—6,2)

C.(-2,4)D.(-4,6)

(2)如圖，在扇形中，OA=2,ZAOB=90o,M是OA的中點，點P在檢上,

則麗?麗的最小值為.

答案(I)A(2)4-2√5

解析(1)法一如圖，

取A為坐標(biāo)原點，48所在直線為X軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,O),BQ,0),

C(3,√3),F(-l,√5).設(shè)P(x,y),則協(xié)=(x,y),AB=(2,0),且一l<x<3.

所以辦?屈=(X,y)?(2,0)=2x∈(-2,6).

故選A.

法二A>?AB=∣ΛP∣?∣ΛB∣?cosZ∕?B=2∣Λ>∣cosZZ?B,

又∣?A∣COSN∕?B表示存在油方向上的投影，所以結(jié)合圖形可知，當(dāng)P與C重合

時投影最大，當(dāng)P與尸重合時投影最小.

XAC?ΛB=2√3×2×cos30o=6,

AF?Λβ=2×2×cos120°=—2,

故當(dāng)點P在正六邊形ABCDE/內(nèi)部運動時，AP-AB≡(-2,6),故選A.

(2)如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點，萬?方向為X軸的正方向，時方向為y軸的正方向建

立平面直角坐標(biāo)系，則平(1,0),5(0,2),

設(shè)P(2cos6,2sin6>),0∈

所以麗質(zhì)=(1—2COS。，一2Sine)?(—2COSa2—2Sine)=4—2COSe—4Sine=4

—2(cos8+2sin8)=4—2小sin(8+s)［其中SinS=坐，cos

所以麗?麗的最小值為4-2√5.

規(guī)律方法結(jié)合圖形求解運算量較小，建立坐標(biāo)系將數(shù)量積用某個變量表示，轉(zhuǎn)

化為函數(shù)的值域問題，其中選擇的變量要有可操作性.

訓(xùn)練2(1)(2022.新余模擬)已知aABC是頂角A為120°,腰長為2的等腰三角形,

P為平面ABC內(nèi)一點，則成?(而+元?的最小值是()

3

B-

-2

c?-4D.-1

(2)(2022?天津河西區(qū)模擬)在梯形ABCo中，AB//CD,ND48=90。，AB=2,CD

=AD=I,若點M在線段BD上，則6?加的最小值為()

39

A-5β?-20

C3C9

CI—1O—

J520

答案(I)A(2)B

解析(1)如圖，以BC所在直線為X軸，

BC的垂直平分線DA為y軸，

D為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，

則40，1)，B(-√3,O),C(√3,0),設(shè)P(x,y),

所以或=(-X,1—y),PB=(-?∣3-x,-y),PC=(y∣3-x,—>),

所以而+正=(-2x,-2y),

當(dāng)K0,，時，所求的最小值為一去

(2)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

~ABX

因為A8〃C。，ZDΛB=90o,AB=2,CD=AD=↑,

所以8(2,O),D(O,1),C(l,1),

設(shè)施=泡),0≤λ≤l,

所以M(2-2%,λ),

所以布=(2—22,λ),

CM=(l-2λ,A-1),

9

所以詢?說=(2—22)(1—22)+41

20,

ηrr9

當(dāng)A=IU時，前,西的最小值為一元.

熱點三向量夾角的最值、范圍

I核心歸納

求向量夾角的取值范圍、最值，往往要將夾角與其某個三角函數(shù)值用某個變量表

示，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，要注意變量之間的關(guān)系.

例3若平面向量α,b,C滿足∣c∣=2,a?c=2,b?c=6,a?b=2,則α,8夾角的取

值范圍是.

解析設(shè)c=(2,0),α=(xι,yι),

b=(x2,y2),

設(shè)”,力的夾角為仇

o,c=2xi=2ox∣=],

A?c=2x2=60X2=3,

.?.Q=(1,yι),5=(3,”)，

α山=3+y1y2=2=y1y2=-l≠>y2=-?,

?ab_2_22_1

同的??10+9yH?[10+京島

當(dāng)且僅當(dāng)yι=±乎時，等號成立，

顯然cosθ>09即O<cosOW5,

TTTT

VO≤^≤π,.?.∕e4,

因此，a,)夾角的取值范圍是『，目.

規(guī)律方法本題考查向量夾角取值范圍的計算，解題的關(guān)鍵就是將向量的坐標(biāo)特

殊化處理，借助基本不等式來求解.

訓(xùn)練3已知向量為=(1,1),OB=(l,α),其中。為原點，若向量宓與油的夾

角在區(qū)間[θ,專]內(nèi)變化，則實數(shù)α的取值范圍是.

答案?！?

解析因為?X=(1,1),OB=(1,a),

所以次.為=l+”.

又E??麗=yβ,Xy]1+/cosθ,

1+α

故L/co,。=隹「村

π

又e∈o,五J

故3蚱怦瞽;，

1+αΓ√6+√2^

p2

√2(1+?)[4，1J,

解得乎WαW√i

熱點四向量系數(shù)的最值、范圍

I核心歸納

此類問題一般要利用共線向量定理或平面向量基本定理尋找系數(shù)之間的關(guān)系，然

后利用函數(shù)的性質(zhì)或基本不等式求解.

例4(1)如圖，點C在半徑為2的曲上運動，ZAOB=J,若沆=而為+〃為，則

m+n的最大值為.

(2)已知點G是AABC的重心，點P是AGBC內(nèi)一點，若協(xié)=2油+〃流，則2

+μ的取值范圍是.

答案⑴苦⑵住，O

解析(1)以。為原點，方的方向為X軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，

則有?λ=(2,O),OB={?,√3).

設(shè)NAoC=α,則OC=(2COSa,2sina).

2w÷n=2cosa,

由題意可知

y∣3n=2sina,

因為α∈[θ,卻∣≤α+^≤^y-,

一2、巧

所以("z+")max=3-

(2)Y點尸是AGBC內(nèi)一點,則2+〃<1,

當(dāng)且僅當(dāng)點P在線段BC上時％+〃最大等于1,

當(dāng)P和G重合時，λ+μ最小，

此時，M,=λAB+μAC=AG=^AB+^AC,

..λ=μ=yλ+μ=y

2

故鏟2+〃<1.

規(guī)律方法平面向量中涉及系數(shù)的范圍問題時，要注意利用向量的模、數(shù)量積、

夾角之間的關(guān)系，通過列不等式或等式得關(guān)于系數(shù)的關(guān)系式，從而求系數(shù)的取值

范圍.

訓(xùn)練4如圖，在aABC中，點P滿足旃=3正，過點尸的直線與AB,AC所在

的直線分別交于點M,N,^AM=)AB,AN=μAC(λ>O,//>0),則4+〃的最小值

為()

A

ANL

A坐+1B坐+1

5

C，2D，2

答案B

解析如圖所示，

M

?

ANL

BP=3PC,即存一牯=3(慶-明，

.,.AP=^AB+^AC,

?'AM=∕AB,AN=μAC(λ>0,//>0),

.,.AB=yAM,AC=^AN,

.?AP=^AM+^AN,

13

又M,P,N三點共線，則以+m=1，

U+A++++11

?^=<4??)=?42I=坐+'

當(dāng)且僅當(dāng)〃=√5%時，等號成立，

因此，丸+〃的最小值為坐+1.

高分訓(xùn)練對接高考重落實迎高考

一、基本技能練

1.已知向量α=(小，1),b=(l,√3),則仇L例α∈R)的最小值為()

A.2B當(dāng)

C.lD.√3

答案C

解析由題意可得1)—(1,y∣3)=(y∣3λ~1,λ-y∣3),

所以，Ma—〃F=(∕%-1/+(2-?。?4#一4小2+4=4。-^?)+1,

故當(dāng)2=乎時

口Q一例取得最小值1.

1ΛD

2.已知成，AhIA為=7,?AC?=t,若點P是aABC所在平面內(nèi)的一點，且辦=——

?AB?

卜含?,則麗?的的最大值等于()

A.13B.15

C.19D.21

答案A

解析建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則o),c(o,r),AB=(^?,o),AC

=(0,t),

AP=-+^^=∕fγ,0)+加/)=(1,4),.?.P(1,4),

∣AB∣∣AqV)

PBPC={j~?,-4J(-l,r-4)=17-(j+4θ≤17-2^y∣4r=13,

當(dāng)且僅當(dāng)t=/時等號成立，

而?無的最大值等于13.

3.設(shè)。為兩個非零向量α,方的夾角，已知對任意實數(shù)3I5一弱的最小值為1,則

A.若。確定，則⑷唯一確定

B.若。確定，則向唯一確定

C.若同確定，則。唯一確定

D.若網(wǎng)確定，則。唯一確定

答案B

解析由他一?ι∣的最小值為1知（萬一fa/的最小值為1,

令〃）=（6—⑷2,

即/C/）=）?—2tab-?-t2a1,

m"工、M,,,402??2-（2a?b）2Acrb1-（2|@仙ICoSe）2

則對于任意實數(shù)f,./W的最θ小l值為s-----福-------=--------量」-------=1,

化簡得亦（1—以《2。）=1,

觀察此式可知，當(dāng)。確定時，向唯一確定，選B.

4.（2022?湖南三湘名校聯(lián)考）窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的

傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一.每年新春佳節(jié)，我國許多地區(qū)的人們都有貼窗花的習(xí)俗，以此

達(dá)到裝點環(huán)境、渲染氣氛的目的，并寄托著辭舊迎新、接福納祥的愿望.圖一是一

張由卷曲紋和回紋構(gòu)成的正六邊形的剪紙窗花，已知圖二中正六邊形ABCQEF的

邊長為4,圓。的圓心為正六邊形的中心，半徑為2,若點P在正六邊形的邊上

運動，MN為圓。的直徑，則麗?麗的取值范圍是（）

A.[6,12]B.[6,16]

C.[8,12]D.[8,16]

答案C

解析PMPN={P0+0M)?Pb+θN)=Pb1-0M1=?Pb^-^,

因為I戶S∈[2S,4],

所以麗.成的取值范圍是[8,12].

5.??ΛBC中，BC=2,A=45o,B為銳角，點。是AABC外接圓的圓心，則?λ反?

的取值范圍是（）

A.(-2,2√2]B.(-2√2,2]

C.[-2√2,2√2]D.（-2,2）

答案A

解析依題意得，AABC的外接圓半徑H="f宗=M∣0A∣=√2,

如圖所示，因8為銳角，故A只能在弧AlC上（端點除外），

當(dāng)A在4位置時，0蒞與比同向，此時倒?冊有最大值26,

當(dāng)A在Al位置時，OA↑BC=-2,此時為最小值，

故方.於∈（-2,2啦].故選A.

6.在AABC中，點。滿足疝=；彷，且COLCB,則當(dāng)角A最大時，COSA的值

為（）

A-∣B.∣

C?D也

c5,34

答案C

解析由題意，作出示意圖如圖所示，因為疝=；彷，所以詼=ex+疝=乙?+

1—?—?—?—?

小8.又。8=。+48,CDLCB,

∣?∣CA∣cosA=O,

∣C4∣2+∣∣AB∣2

所以cosA=-z-------------

4∣^∣?∣c^∣

=AA5ABAC5ABAC1=5當(dāng)且僅當(dāng)AB=2AC時取等號，故選C.

7.(2022?煙臺模擬)已知AABC為等邊三角形，AB=2,4ABC所在平面內(nèi)的點尸

滿足|成一箭一AtI=1,則I辦I的最小值為()

A.√3-lB.2√2-l

C.2√3-lD.√7-l

答案C

解析0T?∣AB+ACI2=AB2+AC2+2ΛB?AC=∣AB∣2+IACI2+2∣AB∣?∣AC∣cos^=12,

所以I的+?b∣=2√5,

由平面向量模的三角不等式可得

IAPI=I(AP-AB-AC)+(Aβ+AC)∣^∣∣A>-ΛB-AC∣-∣AB+AC∣∣=2√3-1.

8.(2022?河北五校聯(lián)考)已知四邊形ABCD是邊長為2的正方形，P為平面ABCo

內(nèi)一點，則(慶+/)?(無+國))的最小值為()

A.-4B.4

C.無最小值D.0

答案A

解析如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系XAy,

y

D—IC

,P

~BX

則A(0,0),B(2,0),C(2,2),0(0,2),

設(shè)P(%,y),

則戌=(一匚-y),PB=(2~x,-y),PC=(2-x,2~y),PD=(-χ,2—y),

所以(麗+麗)?(4+彷)

=(2—2x,—2y)?(2-2x,4—2y)

=4(Ll)2+4&-1)2—4,

因此，當(dāng)x=y=l時，(或+而)?(無+瓦))取得最小值為-4.

綜上，故選A.

2ττ

9.(2022?蘇北四市模擬)在菱形45C。中，ZBAD=y,43=2,點M,N分別為

BC,C。邊上的點，且滿足幽=畫l,則贏?俞的最小值為________.

?BC??cb?

3

答案5

斛析設(shè)---———t,0≤r≤l,

?BC??cb?

AM=AB+BM=AB+tBC=AB+tAD,

AN=AB+BC+CN=AB+BC+tCD=AB+AD-tAB=a-t)AB+Ab,

所以AM?AN=(A3+MO)?[(1-f)AB+A0

=(l-t)AB2+tAb2+(?+t-t2)ABAD

n3

+~

產(chǎn)-，2

=22r+2=227

因為OWw1,所以當(dāng)，弓時，2產(chǎn)一2f+2取得最小值,

即Q∕?病的最小值為方.

10.已知平面向量a,b是單位向量.若“功=0,且∣c-α∣+∣c-2"=小，則∣c+2α∣

的取值范圍是.

答案隙,3

解析由題意，設(shè)α=(l,0),6=(0,1),c=(x,y),

因為|c—α∣+∣c-2例=小，

即、(x—1)2+y2+d%2+(y-2)2=yβ,

所以由幾何意義可得，點P(X,y)到點4(1,0)和點5(0,2)的距離之和為√1

又HBl=小，所以點P在線段AB上，且直線AB的方程為2x+y-2=0.

因為∣c+2α∣=d(九+2)2+與表示點p到點M(-2,0)的距離，

又點M到直線AB的距離為

∣2X(—2)—2|_6小

W+45，

此時，點M到直線AB垂線的垂足在線段AB上，IMAI=3,∣MB∣=2√2,

所以∣C+2Q∣的取值范圍為["?,3.

11.若。，力是兩個非零向量，且IaI=向=?ι+例，4∈惇,1,則。與α+b的夾

角的取值范圍是.

XXe「兀兀

口案3.

解析根據(jù)題意，設(shè)M+"=t,

則Ial=向=后，

設(shè)α與a+b的夾角為θ,

由∣α+b∣=√,

得/+2α山+Z>2=F,

又Ial=例,

所以足+。.》=],所以

已

a?(α+b)a2-?-a?b21

cose====

?a??a+b?^xrI?2l-

又2∈惇,1],

則吳CoSOW坐，

7ΓTT

又owe≤7t,所以e∈[],?.

12.在AABC中，點。滿足BD=%BC,當(dāng)E點在線段AD上移動時，若立=2筋+

μAC,則r=Q-l)2+"2的最小值是.

9

答案To

?3→.

解析如圖所示，ZXABC中，BD=-^BC,

.?Ab=AB+BD=AB+^BC=AB+^AC-AB)=^AB+^AC,

又點E在線段Ao上移動,

設(shè)施=E),o≤?≤ι,

ΛAE=^AB÷^AC,

又能=屈+向:，

,,I3k

〔〃=不

22

22

.*.z=（2-l）+ju=^-?+陰=?^-亨+1'OWAWl,

2O

當(dāng)Z=g時，/取到最小值，最小值為而.

二'創(chuàng)新拓展練

13?（2022?廣州調(diào)研）騎自行車是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運動，深受

大眾喜愛.如圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓A（前輪）、圓。（后

輪）的半徑均為小，XABE,∕?BEC,Z?ECO均是邊長為4的等邊三角形.設(shè)點P

為后輪上的一點，則在騎動該自行車的過程中，病?麗的最大值為（）

A.18B.24

C.36D.48

答案C

解析騎行過程中，A,B,C,D,E相對不動，只有P點繞。點作圓周運動.

如圖，以AD為X軸，E為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，

由題意得A(—4,0),3(—2,2√3),C(2,2√3),

圓。方程為(χ-4)2+y2=3,

設(shè)P(4÷√3cosa,√3sina),

則危=(6,2√3),BP=(6÷Λ∕3COSa,?/?sina-2y[3),

ACBP=6(6+y∣3cosa)-?-2y∣3(y[3sina—2√3)=6√3cosa÷6sina÷24

=12(；Sina+乎CoSa)+24

=12sin(a+目+24,

易知當(dāng)Sin(a+,=1時，危?而取得最大值36.

14.已知等邊aABC的面積為9√5,且AABC的內(nèi)心為M,若平面內(nèi)的點N滿足IMNI

=1,則麗?柿的最小值為.

答案-5-2√3

解析設(shè)等邊AABC的邊長為a,

則面積S=坐標(biāo)=助,

解得a=6,

以AB所在直線為X軸，AB的垂直平分線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.

因為M為△?!BC的內(nèi)心，

所以點M在OC上，且OM=∕θC,

則4—3,0),8(3,O),C(0,3√3),M(O,√3),

由IMNI=1,得點N在以M為圓心，1為半徑的圓上.

設(shè)N(X，y)，則x2+(y—小)2=1，

即x2+γ2-2Λ∫3J÷2=0,

且Λ∕5—l≤γ≤l+√3,

NA=(-3~x,-y),KB=(3-χ,~y),

Λ(A?Λ^=(x+3)(χ-3)+∕=x2+j2-9=2√3y-11^2√3×(√3-l)-ll=-5-

2√3.

15.在邊長為1的等邊三角形ABC中，。為線段BC上的動點，OELAB且交AB

于點E,OE〃A8且交AC于點凡則|2配+方向的值為；(勵+函?所的

最小值為.

答案1?

解析設(shè)BE=X,x∈(θ,∣J.

?..△ABC為邊長為1的等邊三角形，DELAB,

ΛZBDE=30o,BD=2x,DE=y∣3x,OC=I—2%.

?,DF∕∕AB,.?.a0FC是邊長為l-2x的等邊三角形，DELDF,

Λ(2BE+DF)2=ABE1+4BE-DF+DF2=4Λ2+4x(1-2x)×cosOo+(1-2%)2=1,

：.\2BE+DF\=\.

??DE+DF)DA

=(DE+DF)?DE+EA)

=DE2+DE?EA+DF?DE+DF?^=(√3X)2