高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)

第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

§3.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運算

【考試要求】1.了解導(dǎo)數(shù)的概念、掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù).2.通過函數(shù)圖象，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.3.能夠用

導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡單的復(fù)合函數(shù)(形如貝ax+b))的導(dǎo)數(shù).

■落實主干知識

佚口識梳理】

1.導(dǎo)數(shù)的概念

⑴函數(shù)y=/(x)在x=xo處的導(dǎo)數(shù)記作f(xo)或y]_跖.

f(X。尸媽好回假管細

(2)函數(shù)y=/(R)的導(dǎo)函數(shù)

貝x+Ax)~/(x)

Ax

2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)y=/U)在x=xo處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線y=/(x)在點p(xo,/(Xo))處的切線的斜峯，相應(yīng)的切線方

程為y—/Lm)=G(M))(X—XO).

3.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

x

J(x)=c(c為常數(shù))fW=QJ(x)=a(a>Of且aWl)f(x)=a^n_a

y(x)=xa(aeQ,且aWO)/(x)=ax°~lfix)=ef(x)=h

y(x)=sinxf(x)=cosjfJ(x)=logaX(a>0,且aW1)f(x).

xlna

/(x)=cosxf(x)=—sin_x/(x)=lnxfw=-

X

4.導(dǎo)數(shù)的運算法則

若/(x),g'(x)存在，則有

口＞)土g(x)]'=￡_厶曲丄3；

[/(x)g(x)]'=/'(x)g(x)+"x)g'(x)；特別的=￡3；

圈,厶筆絹白%(但)；

時)]2

1

5.復(fù)合函數(shù)的定義及其導(dǎo)數(shù)

復(fù)合函數(shù)y=/(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=/(w),〃=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y'x—yL,.-u't,即y對x的導(dǎo)數(shù)等于

F對〃的導(dǎo)數(shù)與"對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.

【常用結(jié)論】

1.區(qū)分在點處的切線與過點處的切線

(1)在點處的切線，該點一定是切點，切線有且僅有一條.

(2)過點處的切線，該點不一定是切點，切線至少有一條.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

(l)f(xo)是函數(shù)yfx)在x=xo附近的平均變化率.()

(2)與曲線只有一個公共點的直線一定是曲線的切線.()

(3K(xo)=[/(xo)l，.()

(4)若y(x)=sin(―x),則/(x)=cos(—x).()

【教材改編題】

I.函數(shù)/)=e、+l在x=l處的切線方程為.

2.已知函數(shù)/(x)=jdnx+ax2+2,若，(e)=0,則a=.

3.若/(x)=ln(l—x)+eL,則/(x)=.

■探究核心題型

題型一導(dǎo)數(shù)的運算

例1(1)(多選)(2022?濟南質(zhì)檢)下列求導(dǎo)運算正確的是()

A.Gnx)z=——vB.(x2e')；=2x+e<

xln2x

c以及制一sEu)D[T=i+士

2

(2)函數(shù)人》)的導(dǎo)函數(shù)為，(x),若人%)=/+/日sinx,則尤)=.

【教師備選】

1.函數(shù)y=sin2x—cos2x的導(dǎo)數(shù)y'等于()

A.B.cos2x+sinx

D.23cos卜+力

C.cos2x-sin2x

2.(2022?濟南模擬)已知函數(shù)，(X)=e^sinx+ercosx,則｛2021)一/(0)等于()

A.e202lcos2021B.e202lsin2021

c.-D.e

2

思維升華(l)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運算法則求導(dǎo).

(2)抽象函數(shù)求導(dǎo)，恰當(dāng)賦值是關(guān)鍵，然后活用方程思想求解.

(3)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時要進行換元.

跟蹤訓(xùn)練1⑴若函數(shù)/(X),g(x)滿足］力+咫(力=/-1,且則，(l)+g'⑴等于()

A.1B.2C.3D.4

(2)已知函數(shù)/(x)=ln(2x—3)+〃林一匕若/(2)=1,則。=.

3

題型二導(dǎo)數(shù)的幾何意義

命題點1求切線方程

例2(1)(2021?全國甲卷)曲線了2=幺r-亠1在點(一1,一3)處的切線方程為

x+2

(2)已知函數(shù)外)=xlnx,若直線/過點(0,-1),并且與曲線y=/(x)相切，則直線/的方程為

命題點2求參數(shù)的值(范圍)

例3(1)(2022?青島模擬)直線夕=履+1與曲線./(x)=Hnx+6相切于點尸(1,2),則2a+b等于()

A.4B.3C.2D.1

⑵Q022?廣州模擬)過定點P(l,e)作曲線y=ae3>0)的切線，恰有2條，則實數(shù)。的取值范圍是

【教師備選】

1.已知曲線/(x)=x3—x+3在點尸處的切線與直線x+2y—1=0垂直，則P點的坐標(biāo)為()

A.(1,3)B.(-1,3)

C.(1,3)或(一1,3)D.(1,-3)

4

2.(2022?哈爾濱模擬)已知例是曲線y=lnx+$2+(1一如上的任一點，若曲線在A/點處的切線的傾斜角

均是不小于工的銳角，則實數(shù)。的取值范圍是()

4

A.[2,+8)B.[4,+8)

C.(一8,2]D.(-8,4]

思維升華(1)處理與切線有關(guān)的參數(shù)問題，關(guān)鍵是根據(jù)曲線、切線、切點的三個關(guān)系列出參數(shù)的方程:

①切點處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；②切點在切線上；③切點在曲線上.

(2)注意區(qū)分“在點尸處的切線”與“過點尸處的切線”.

跟蹤訓(xùn)練2(1)(2022?南平模擬)若直線y=x+M與曲線夕=鏟一2”相切，則()

A.機+"為定值為定值

2

C.m+丄〃為定值D.機+丄〃為定值

23

(2)若函數(shù)Xx)=lnx+2%2-ax的圖象上存在與直線2x-y=0平行的切線，則實數(shù)a的取值范圍是

題型三兩曲線的公切線

例4(1)(2022?邯鄲模擬)己知函數(shù)火x)=xlnx,g(x)=x2+ar(aeR),直線/與貝x)的圖象相切于點/(1,0),

若直線/與g(x)的圖象也相切，則。等于()

A.0B.-1C.3D.-1或3

(2)(2022?韶關(guān)模擬)若曲線Ci：了二加伍〉。)與曲線C2：y=e〈存在公共切線，則a的取值范圍為

5

延伸探究在本例(2)中，把“存在公共切線"改為'’存在兩條公共切線”，則a的取值范圍為

【教師備選】

1.若Xx)=lnx與虱幻=r+如兩個函數(shù)的圖象有一條與直線y=x平行的公共切線，則。等于()

A.1B.2C.3D.3或一1

2.已知曲線夕=心.在點(xi，e*)處的切線與曲線y=lnx在點(X2,lnx2)處的切線相同，則(xi+1)(x2—1)等

于()

A.-1B.-2C.1D.2

思維升華公切線問題，應(yīng)根據(jù)兩個函數(shù)在切點處的斜率相等，且切點既在切線上又在曲線上，列出有關(guān)

切點橫坐標(biāo)的方程組，通過解方程組求解.或者分別求出兩函數(shù)的切線，利用兩切線重合列方程組求解.

跟蹤訓(xùn)練3(1)(2022?青島模擬)已知定義在區(qū)間(0,+8)上的函數(shù)/(x)=-2/+加，g(x)=-31nx—x,若

以上兩函數(shù)的圖象有公共點，且在公共點處切線相同，則用的值為()

A.2B.5C.1D.0

(2)已知道x)=e，(e為自然對數(shù)的底數(shù))，g(x)=lnx+2,直線/是寅x)與g(x)的公切線，則直線/的方程為

6

課時精練

?；A(chǔ)保分練

1.（2022?營口模擬）下列函數(shù)的求導(dǎo)正確的是（）

A.（x-2）r=-2xB.（xcosx）r=cosx-xsinx

C.（In10）'=*D.（?<）'=2^

2.（2022?黑龍江哈師大附中月考）曲線y=2cosx+sinx在（兀，-2）處的切線方程為（）

A.x—y+兀-2=0B.x—y—兀+2=0

C.x+y+?！?=0D.x+y-兀+2=0

3.(2022?長治模擬)已知y=/(x)是可導(dǎo)函數(shù)，如圖，直線y=fcv+2是曲線y=/(x)在％=3處的切線，令g(x)

=於),g'(X)是g(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g'(3)等于()

A.-1B.0C.2D.4

4.已知點1是函數(shù)負x)=N—lnx+2圖象上的點，點8是直線y=x上的點，則|/用的最小值為()

A./B.2

C逮

D

3T

5.設(shè)曲線｛x)=ae'+b和曲線g(x)=cos號+c在它們的公共點加(0,2)處有相同的切線，則h+c-a的值為

()

A.0B.nC.-2D.3

6.(2022?邢臺模擬)設(shè)點尸是函數(shù);(x)=2er-f(0)x+/(1)圖象上的任意一點，點P處切線的傾斜角為a,

則角a的取值范圍是()

Ab7]B[。目ET

向3叫In13冗]

ch7JD.[0>2MTJ

7

7.(多選)已知函數(shù)/(x)的圖象如圖，/(x)是/(x)的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是(

A.f(3)歲(2)

B.f(3)<f(2)

C.貝3)一人2)歲1(3)

D.貝3)一｛2)勺■'(2)

8.(多選)(2022?重慶沙坪壩區(qū)模擬)若函數(shù)外)在。上可導(dǎo)，即，(x)存在，且導(dǎo)函數(shù)/(x)在。上也可導(dǎo),

則稱兀0在。上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記，’(x)=『(X)]'.若/'(x)v0在。上恒成立，則稱貝x)在。上為凸函

數(shù).以下四個函數(shù)在O'%]上是凸函數(shù)的是()

A.j[x)=-x3+3x+4

B.f(x)=\nx+2x

C.,/(x)=sinx+cosx

D.危)=北

9.(2022,馬鞍山模擬)若曲線y(x)=xcosx在工=兀處的切線與直線or—y+l=0平行，則實數(shù)〃=.

10.已知函數(shù)/(工)=-----l-eYcosx,若，(0)=—1,則。=________.

ax~1

11.(2022?寧波鎮(zhèn)海中學(xué)質(zhì)檢)我國魏晉時期的科學(xué)家劉徽創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，實施“以直代曲”的近似計

算，用正〃邊形進行“內(nèi)外夾逼”的辦法求出了圓周率兀的精度較高的近似值，這是我國最優(yōu)秀的傳統(tǒng)科

學(xué)文化之一.借用“以直代曲”的近似計算方法，在切點附近，可以用函數(shù)圖象的切線近似代替在切點附

近的曲線來近似計算.設(shè)“r)=e?,則/(x)=，其在點(0,1)處的切線方程為.

12.已知函數(shù)/(x)=x3—ax2+t"+\L(〃eR),若曲線y=/(x)存在兩條垂直于y軸的切線，則。的取值范圍

為.

8

應(yīng)技能提升練

13.拉格朗日中值定理又稱拉氏定理，是微積分學(xué)中的基本定理之一，它反映了函數(shù)在閉區(qū)間上的整體平

均變化率與區(qū)間某點的局部變化率的關(guān)系，其具體內(nèi)容如下：若貝x）在口，6］上滿足以下條件：①在［。，切

上圖象連續(xù)，②在（a,6）內(nèi)導(dǎo)數(shù)存在，則在（a,b）內(nèi)至少存在一點c,使得/（〃）=/'匕）（6—々）/（x）為

/（x）的導(dǎo)函數(shù)）.則函數(shù),/（%）=心廠1在［0,1］上這樣的。點的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

14.（2021?新高考全國I）若過點（a,b）可以作曲線歹=e^的兩條切線，則（）

A.eb<aB.ea<b

C.0<a<ehD.0<b<ea

q拓展沖刺練

15.若曲線y=；sin2x+?cos2%在力（xi，y\）,8（x2,歹2）兩點處的切線互相垂直，則忻一詞的最小值為（）

A兀D兀C2兀T-^

A-B-C.—D.兀

323

9

16.（2022?南昌模擬）已知曲線G：C2：若恰好存在兩條直線厶，厶與G，。2都相切，則

實數(shù)m的取值范圍是.

10

§3.2導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

【考試要求】1.結(jié)合實例，借助幾何直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系2能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,

會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項式函數(shù)一般不超過三次).

■落實主干知識

佚口識梳理】

1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

條件恒有結(jié)論

f(x)>0段)在區(qū)間(a,6)上單調(diào)遞增

函數(shù)y=/(x)在區(qū)

f(x)<0/(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞減

間(a,b)上可導(dǎo)

f(x)=0火X)在區(qū)間他，6上是常數(shù)函數(shù)

2.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟

第1步，確定函數(shù)的定義域:

第2步，求出導(dǎo)數(shù)，(第的零點:

第3步，用/(x)的零點將貝x)的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給岀，(x)在各區(qū)間上的正負，由此得出

函數(shù)y=/(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性.

【常用結(jié)論】

1.若函數(shù)人x)在(“，6)上單調(diào)遞增，則xC(“，b)H寸，/(x)20恒成立；若函數(shù)人x)在(“，與上單調(diào)遞減，

則xG(a,6)時，，(x)WO恒成立.

2.若函數(shù)貝x)在(a,6)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則xC(a,6)時，，(x)X)有解；若函數(shù)危)在36)上存在單調(diào)遞

減區(qū)間，則xG(a,b)時，/(x)<0有解.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

(1)如果函數(shù)段)在某個區(qū)間內(nèi)恒有/(x)=0,則次x)在此區(qū)間內(nèi)沒有單調(diào)性.()

(2)在(a,6)內(nèi)/(x)WOJL/(x)=0的根有有限個,則於)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減.()

(3)若函數(shù)Hx)在定義域上都有/(x)>0,則/(X)在定義域上一定單調(diào)遞增.()

(4)函數(shù)負x)=x-sinx在R上是增函數(shù).()

【教材改編題】

1.f(x)是人外的導(dǎo)函數(shù)，若，(x)的圖象如圖所示，則及)的圖象可能是()

11

2.函數(shù)J(x)=(x—2険的單調(diào)遞增區(qū)間為

3.若函數(shù)/)=53—|/+依+4的單調(diào)遞減區(qū)間為則實數(shù)a的值為.

?探究核心題型

題型一不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性

例1(1)函數(shù)/(x)=x2-21nx的單調(diào)遞減區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,+8)

C.(一8,|)D.(-1,1)

(2)若函數(shù)次外=地上也，則函數(shù)於)的單調(diào)遞減區(qū)間為

e1

【教師備選】

(2022?山師附中質(zhì)檢)若募函數(shù)外)的圖象過點停'9,則函數(shù)g(x)，區(qū)的單調(diào)遞增區(qū)間為()

ev

A.(0,2)B.(一8,0)U(2,+8)

C.(-2,0)D.(-8,-2)U(0,+00)

思維升華確定不含參的函數(shù)的單調(diào)性，按照判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟即可，但應(yīng)注意一是不能漏掉求函數(shù)

的定義域,二是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不能用并集，要用“逗號”或“和”隔開.

12

跟蹤訓(xùn)練1(1)已知定義在區(qū)間(0,兀)上的函數(shù)./(x)=x+2cosx,則人外的單調(diào)遞增區(qū)間為

(2)函數(shù)負x)=(x—1)H—x2的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為

題型二含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性

例2已知函數(shù)y(x)=；ax2—(a+l)x+lnx,。＞0,試討論函數(shù)y=/(x)的單調(diào)性.

延伸探究若將本例中參數(shù)。的范圍改為aGR,其他條件不變，試討論/(X)的單調(diào)性？

13

【教師備選】

討論下列函數(shù)的單調(diào)性.

(l)/(x)=x—alnx；

(2)g(x)=(x—a—l)er—(A：—a)2.

思維升華(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進行分類討論.

(2)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，要在函數(shù)定義域內(nèi)討論，還要確定導(dǎo)數(shù)為零的點和函數(shù)的間斷點.

14

跟蹤訓(xùn)練2已知函數(shù)貝x)=x—Z+a(2—Inx),。>0.討論於)的單調(diào)性.

x

題型三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

命題點1比較大小或解不等式

例3⑴已知函數(shù)貝x)=xsinx,xdR,則/⑴，/(T的大小關(guān)系為(

A./HL)/B.[-O]

C.

(2)己知函數(shù)人工)=廿一er-2x+l,則不等式貝合-3)>1的解集為

命題點2根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍

,[12一

例4已知函數(shù)寅x)=y+2辦一Inx,若貝x)在區(qū)間日’」上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為

15

1J1J

12-2.

延伸探究在本例中，把“/(X)在區(qū)間3'上單調(diào)遞增”改為“/(X)在區(qū)間3'上存在單調(diào)遞增區(qū)間

求a的取值范圍.

【教師備選】

_7t吧

(-5'引上單調(diào)遞增，則實數(shù)”的取值范圍是()

A.(1,+8)B.[2,+8)

C.[1,+8)D.(一/，+8)

2.(2022?株州模擬)若函數(shù)人》)=以3+尤恰有3個單調(diào)區(qū)間，則°的取值范圍為

思維升華根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般思路

(1)利用集合間的包含關(guān)系處理：V=/(x)在(a,b)上單調(diào)，則區(qū)間(a,6)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集.

(2求制為增(減)函數(shù)的充要條件是對任意的xcg,%)都有/a)2o(/‘a(chǎn))wo),且在(a,6)內(nèi)的任一非空子

區(qū)間上，/(x)不慎為零，應(yīng)注意此時式子中的等號不能省略，否則會漏解.

(3)函數(shù)在某個區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間可轉(zhuǎn)化為不等式有解問題.

跟蹤訓(xùn)練3(1)已知定義域為R的連續(xù)函數(shù)火x)的導(dǎo)函數(shù)為/(x),且滿足/，⑴＜0,當(dāng)機＜0時，下列關(guān)

系中一定成立的是()

A.貝1)十穴3)=〃(2)B.負0)沢3)=0

C.火4)+人3)＜賀2)D,貝2)+次4)＞道3)

16

（2）（2022?安徽省泗縣第一中學(xué)質(zhì)檢）函數(shù)負丫）=皿在3，°+1）上單調(diào)遞增，則實數(shù)。的取值范圍為

X

課時精練

”礎(chǔ)保分練

1.函數(shù)/(x)=xlnx+l的單調(diào)遞減區(qū)間是()

r-co,na,+T

A.lejB.leJ

"丄

C.lejD.(e,+8)

2.己知函數(shù)/（力三對廿一e'）,則兀v）（）

A.是奇函數(shù),且在（0,+8）上單調(diào)遞減

B.是奇函數(shù),且在（0,+8）上單調(diào)遞增

C.是偶函數(shù)，且在（0,+8）上單調(diào)遞減

D.是偶函數(shù)，且在（0,+8）上單調(diào)遞增

3.（2022?長沙調(diào)研）已知函數(shù)（x）的圖象如圖所示（其中/（x）是函數(shù)外）的導(dǎo)函數(shù)）.下面四個圖象中

y=/（x）的圖象大致是（）

4.（2022?深圳質(zhì)檢）若函數(shù)貝x）=-x2+4x+4nx在區(qū)間（0,+8）上是減函數(shù)，則實數(shù)6的取值范圍是（）

A.[―1,+°°）B.（—8,—1]

C.（一8,-2]D.[-2,+8）

17

5.(多選)如果函數(shù)段)對定義域內(nèi)的任意兩實數(shù)X2grX2)都有皿匕切典0,則稱函數(shù)尸危)為“F

X]~X2

函數(shù)”.下列函數(shù)不是“尸函數(shù)”的是()

A.貝x)=dB.貝

C.J(x)=\nxD./(x)=sinx

6.(多選)(2022?河北衡水中學(xué)月考)下列不等式成立的是()

A.21n^<-ln2B.?n&4n価

22

C.51n4<41n5D.7u>elnn

7.(2022?長沙月考)已知函數(shù)貝x)=$3+機N+〃x+i的單調(diào)遞減區(qū)間是(一3,1),則，〃+〃的值為

8.(2021?新高考全國H)寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)外)：.

?/(XlX2)=/(X|)/(X2)；

②當(dāng)xd(o,+8)時，f(x)>0；

③(x)是奇函數(shù).

9.己知函數(shù)2alnx+(a—2)x.

(1)當(dāng)。=-1時，求函數(shù);(x)的單調(diào)區(qū)間；

18

(2)若函數(shù)g(x)=/(x)—ax在(0,+8)上單調(diào)遞增，求實數(shù)。的取值范圍.

10.已知函數(shù)貝x)=1+"+a,aGR.

⑴若負x)在x=l處的切線與直線y=x-l垂直，求a的值;

(2)討論人m的單調(diào)性.

立技能提升練

11.若函數(shù)Mx)=lnx—2x在［1,4］上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍為()

-7丄］

----,+00I

A.L16JB.(-1,+8)

J,+T

C.［-1,+°°)D.I16J

19

12.（2022?南京師范大學(xué)附屬中學(xué)月考）設(shè)函數(shù)y（x）=cosx+lx2,若a=/（lc）g[2）,Z?=/（log52）,c=/?2）,

25

則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.b<a<cB.c<a<h

C.b<c<aD.a<b<c

13.函數(shù)y（x）=2sinx—cos2x,%e[—71,0]的單調(diào)遞增區(qū)間為

14.(2022?麗水模擬)設(shè)函數(shù)｛x)=ln(x+4)+x2.若4)為定義域上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍為

ET拓展沖刺練

15.(2022?景德鎮(zhèn)模擬)設(shè)函數(shù)義x)=sinx+e<-e-'—x,則滿足.4x)+/(5—3x)<0的x的取值范圍為()

—°°,

J'+TB.I9

—°°,

cE+TDJ9

20

16.(2022?合肥質(zhì)檢)已知函數(shù)道x)=^.

X

⑴若加＞0,求―)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對\/巾，為右口,3],xi￥的都有曲匕皿2恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

X\~X2

21

§3.3導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值

【考試要求】1.借助函數(shù)圖象，了解函數(shù)在某點取得極值的必要和充分條件2會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極

小值.3.會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值.

■落實主干知識

【知識梳理】

1.函數(shù)的極值

(1)函數(shù)的極小值

函數(shù)y=/(x)在點x=a的函數(shù)值(”)比它在點x=a附近其他點的函數(shù)值都小，/(。)=0；而且在點x=a附

近的左側(cè)，(x)<0,右側(cè)f於)>0,則。叫做函數(shù)夕=/)的極小值點，/⑷叫做函數(shù)y=?r)的極小值.

(2)函數(shù)的極大值

函數(shù)了=危)在點x=6的函數(shù)值/(b)比它在點x=b附近其他點的函數(shù)值都大，f(6)=0；而且在點x=6附

近的左側(cè)/(幻>0,右側(cè),行)<0,則6叫做函數(shù)y=/(x)的極大值點，貝b)叫做函數(shù)y=/(x)的極大值.

(3)極小值點、極大值點統(tǒng)稱為極值點，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值.

2.函數(shù)的最大(小)值

⑴函數(shù)段)在區(qū)間［a,們上有最值的條件：

如果在區(qū)間口，6］上函數(shù)》=於)的圖象是一條連續(xù)丕斷的曲線，那么它必有最大值和最小值.

(2)求y=/(x)在區(qū)間口，々上的最大(小)值的步驟：

①求函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,Q上的極值;

②將函數(shù)丫=①)的各極值與端點處的函數(shù)值〃")，比較,其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小

值.

【常用結(jié)論】

對于可導(dǎo)函數(shù)/(x),V(xo)=0"是"函數(shù)/(x)在x=xo處有極值”的必要不充分條件.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

(1)函數(shù)沢x)在區(qū)間(a,6)上不存在最值.()

(2)函數(shù)的極小值一定是函數(shù)的最小值.()

(3)函數(shù)的極小值一定不是函數(shù)的最大值.()

(4)函數(shù)(x)的零點是函數(shù)y=?0的極值點.()

【教材改編題】

1.如圖是貝X)的導(dǎo)函數(shù)/(X)的圖象，則人X)的極小值點的個數(shù)為()

22

2.函數(shù)/(x)=V-"2+2x—1有極值，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(—8,—+0°)

B.(—8,—#)U(#,+8)

C.(一巫,北)

D.［一朮,峋

3.若函數(shù)人x)=$3—4x+機在［0,3］上的最大值為4,則加=,

■探究核心題型

題型一利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值問題

命題點1根據(jù)函數(shù)圖象判斷極值

例I(2022?廣州模擬)設(shè)函數(shù)人x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為/(x),且函數(shù)y=(x-l/(x)的圖象如圖所示,

則下列結(jié)論中正確的是()

A.函數(shù)貝x)有極大值人—3)和犬3)

B.函數(shù)/(x)有極小值/(—3)和貝3)

C.函數(shù)人x)有極小值貝3)和極大值大一3)

D.函數(shù)人x)有極小值4-3)和極大值貝3)

命題點2求已知函數(shù)的極值

例2已知函數(shù)/(x)=x—1+彳QeR,e為自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)若曲線y=/(x)在點(1,犬1))處的切線平行于x軸，求。的值;

(2)求函數(shù)負x)的極值.

23

命題點3已知極值（點）求參數(shù)

例3（1）（2022?大慶模擬）函數(shù)兀0=43+收+6工+42在工=1處取得極值10,則a+b等于（）

A.-7B.0

C.-7或0D.—15或6

（2）（2022?南京模擬）己知函數(shù)犬x）=Mlnx-ox）在區(qū)間（0,十8）上有兩個極值，則實數(shù)。的取值范圍為（)

A.(0,e)B.I1。3

亞3DJ(。3

【教師備選】

1.（2022?榆林模擬）設(shè)函數(shù)/（x）=xcosx的一個極值點為則tanJ等于（）

、m—\門加+1

A.-------B.-------

m+1m—\

C口D."

m+1\-m

2.已知4,bWR,若X=Q不是函數(shù)/（x）=（x—4）2（x—6），（已門一1）的極小值點,則下列選項符合的是（）

A.TWb〈aB.b〈aWT

C.這bD.a<b^：1

24

思維升華根據(jù)函數(shù)的極值(點)求參數(shù)的兩個要領(lǐng)

(1)列式：根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解：

(2)驗證：求解后驗證根的合理性.

跟蹤訓(xùn)練1(1)(2022?長沙模擬)若x=l是函數(shù)貝》)=停+"-l)e「i的極值點，則貝x)的極大值為()

B.一2-3

C.

(2)(2022?蕪湖模擬)函數(shù)/(x)=lnx+$2一以。＞0)在5'3:上有且僅有一個極值點，則實數(shù)。的取值范圍是

AEf)

3_

題型二利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值

例4已知函數(shù)g(x)=alnx+x2—(a+2)x(aeR).

(1)若a=l,求g(x)在區(qū)間［1,e］上的最大值;

(2)求風(fēng)x)在區(qū)間口，e］上的最小值h(a).

25

【教師備選】

已知函數(shù)/(x)=lnx—ax—2(aW0).

(1)討論函數(shù)｛x)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)人x)有最大值"，且">〃一4,求實數(shù)。的取值范圍.

思維升華(1)求函數(shù)/(x)在閉區(qū)間［。，切上的最值時，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點的函數(shù)值/(4，

人6)與./)的各極值進行比較得到函數(shù)的最值.

(2)若所給的閉區(qū)間口，切含參數(shù)，則需對函數(shù)./(x)求導(dǎo)，通過對參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而

得到函數(shù)大x)的最值.

26

跟蹤訓(xùn)練2某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池（不計厚度），設(shè)該蓄水池的底面半徑為廠米，高為/7

米，體積為修立方米.假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本

為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12000兀元（兀為圓周率）.

（1）將夕表示成，?的函數(shù)以，?），并求該函數(shù)的定義域；

（2）討論函數(shù)■&）的單調(diào)性，并確定r和力為何值時該蓄水池的體積最大.

課時精練

ET基礎(chǔ)保分練

1.若函數(shù)/（x）=L二上的極大值點與極小值點分別為。，4則。+6等于（

A.-4BS

2.如圖是函數(shù)y=/（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖象，下列結(jié)論中正確的是（

A./（x）在［-2,—1］上單調(diào)遞增

B.當(dāng)x=3時，_Ax）取得最小值

C.當(dāng)x=-l時，.危）取得極大值12\\I3//45x

D.貝x）在［—1,2］上單調(diào)遞增，在［2,4］上單調(diào)遞減

27

3.已知函數(shù)貝x）=21nx+or2—3工在x=2處取得極小值，則.危）的極大值為（）

A.2B.--

2

C.3+ln2D.-2+21n2

4.（2022?重慶聯(lián)考）函數(shù)/）=x+2cosx在［0,網(wǎng)上的最大值為（）

A.兀一2B.-

6

C.2D.匹+氈

6

5.（多選）已知x=l和x=3是函數(shù)人*）="3+6/—3x+4（a,bWR）的兩個極值點，且函數(shù)有且僅有兩

個不同零點，則％值為（）

44

A.--B.-

33

C.11D.0

6.（多選）已知函數(shù)y（x）=x+sinx—xcosx的定義域為［―2兀，2兀），則（）

A./（X）為奇函數(shù)

B./（X）在［0,無）上單調(diào)遞增

C./（x）恰有4個極大值點

D.貝x）有且僅有4個極值點

28

7.(2022?濰坊模擬)寫出一個存在極值的奇函數(shù)道x)=.

8.(2021?新高考全國I涵數(shù)/(x)=|2x—1|-21nx的最小值為

9.已知函數(shù)貝x)=lnx---------.

x+1

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

4-4-a

(2)設(shè)g(x)=/(x)-------+2(?eR),若X1，X2是函數(shù)g(x)的兩個極值點，求實數(shù)4的取值范圍.

x+1

29

10.(2022?珠海模擬)已知函數(shù)y(x)=lnx—ax,xG(0,e］,其中e為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)若x=l為貝x)的極值點，求/(x)的單調(diào)區(qū)間和最大值；

(2)是否存在實數(shù)a,使得外)的最大值是一3?若存在，求出”的值；若不存在，說明理由.

q技能提升練

11.若函數(shù)?c)=(x2-a)e■，的兩個極值點之積為一3,則左)的極大值為()

4

C.-2eD.三

12.函數(shù)兀0="3—6?r+6在區(qū)間［-1,2］上的最大值為3,最小值為一29(a>0),則a,b的值為()

A.4=2,b——29B.a=3,b=2

C.。=2,b=3D.以上都不對

30

13.（2021?全國乙卷）設(shè)QWO,若x=。為函數(shù),危）=〃（上一。）2（工一6）的極大值點，則（）

A.a<bB.a>b

C.ab<a2D.ah>a1

14.（2022?河南多校聯(lián)考）已知函數(shù)<x）=21nx,g（x）=x+2,若外1）=g（x2），則加一制的最小值為

立拓展沖刺練

15.（多選）已知函數(shù)｛x）=xlnx+/,xo是函數(shù)7（x）的極值點，以下幾個結(jié)論中正確的是（）

A.O<xo<~B.xo>^-

ee

C.人工0）+2*）<0D./（》o）+2xo>O

16.已知函數(shù)火工）=/—2x+alnx（a>0）.

⑴求函數(shù)/⑴的單調(diào)遞增區(qū)間；

31

(2)若函數(shù)/(X)有兩個極值點XI，X2,?q2,不等式/(X。2加X2恒成立，求實數(shù)，”的取值范圍.

32

.

§3.4函數(shù)中的構(gòu)造問題

題型一導(dǎo)數(shù)型構(gòu)造函數(shù)

命題點1利用/(X)與X構(gòu)造

例1(2022?湘豫名校聯(lián)考)已知定義在R上的函數(shù)人X),其導(dǎo)函數(shù)為/(X),當(dāng)x>0時，，(x)-^>0,若

X

。=41),b=/(2),c=4/'日，則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.c<b<aB.c<a<b

C.b<a<cD.a<b<c

思維升華⑴出現(xiàn)駅x)+w。)形式，構(gòu)造函數(shù)尸(工尸的⑴；

(2)出現(xiàn)葉(x)—“/(X)形式，構(gòu)造函數(shù)尸(x)=4.

跟蹤訓(xùn)練1設(shè)外)為定義在R上的奇函數(shù)，人-3)=0.當(dāng)x>0時，xf(X)+2/(A-)>0,其中/(x)為寅x)的導(dǎo)

函數(shù)，則使得Hx)>0成立的x的取值范圍是()

A.(-8,-3)U(0,3)B.(-3,0)U(3,+?>)

C.(一3,0)U(0,3)D.(-8,-3)U(3,+°°)

命題點2利用JU)與e'構(gòu)造

例2(多選)已知/(X)是定義在(一8,+8)上的函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)/(X)滿足/(X)勺(X)對于xCR恒成立，則

()

A.X2)<e2/(0)B.貝2)>eR0)

2

c.ey(-i)>/(i)D.e/(-1)</(1)

思維升華(1)出現(xiàn)，(力+研力形式，構(gòu)造函數(shù)尸(x)=e"7(x);

(2)出現(xiàn)，(x)—”/(x)形式，構(gòu)造函數(shù)尸(x)=^.

enx

跟蹤訓(xùn)練2若定義在R上的函數(shù)人x)滿足，(x)+〃(x)>0,且負0)=1,則不等式_/(x)W的解集為

33

.

命題點3利用人x)與sinx、cosx構(gòu)造

例3(多選)(2022?重慶模擬)定義在(0'力上的函數(shù)貝x),已知，(x)是它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有cosx/(x)+sin

?火》)<0成立，則有()

思維升華函數(shù)段)與sinx,cosx相結(jié)合構(gòu)造可導(dǎo)函數(shù)的幾種常見形式

F(x)=/(x)sinx,F'(x)=/(x)sinx+/(x)cosx;

F(x)=?~/(x)sinx-/(x)cosx

sinxsin2x

F(x)=/(x)cosx,F'(x)=f(x)cos/(x)sinx:

J(x)cosx+y(x)sinx

P(x)

cosxCOS2X

跟蹤訓(xùn)練3已知R上的奇函數(shù)/(x),其導(dǎo)函數(shù)為/(x),且當(dāng)工￡(0,+8)時，/(x)sinx+/(x)cosx<0,

則。與b的大小關(guān)系為

題型二同構(gòu)法構(gòu)造函數(shù)

例4(1)若存在x,y￡(0,+8)使得xin(2Qx)+y=Kny,則實數(shù)。的最大值為()

A.-B.—

e2e

cD.-

ie

34

.

（2）（2022?河北聯(lián)考）已知當(dāng)xNe時，，不等式F+丄-ev^ainx恒成立，則正實數(shù)a的最小值為（）

x

A.1B.-C.eD.丄

ee2

思維升華