中考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)與經(jīng)典題型練習(xí) 最值問題中的阿氏圓模型(解析版)

專題21最值問題中的阿氏圓模型

【模型展示】

“PA+kPB”型的最值問題是近幾年中考考查的熱點(diǎn)更是難點(diǎn)。

1、當(dāng)k值為1時(shí)，即為“PA+PB”之和最短問題，用“飲馬問題”模型來處理，即可

以轉(zhuǎn)化為軸對(duì)稱問題來處理。

2、當(dāng)k取不為1的正數(shù)時(shí)，再以常規(guī)的軸對(duì)稱思想來解決問題，則無法進(jìn)行，因

此必須

轉(zhuǎn)換思路。此類問題的處理通常以動(dòng)點(diǎn)P所在圖像的不同來分類：

點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)和點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)。其中點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)的類型稱之為“胡不

歸”問題；

點(diǎn)P在圓周上運(yùn)動(dòng)的類型稱之為“阿氏圓”問題。

“阿氏圓”又稱“阿波羅尼斯圓”，已知平面上兩點(diǎn)A、B,則所有滿足PA=k?PB(kRl)

的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏

圓

特點(diǎn)如圖1所示，圓O的半徑為r,點(diǎn)A、B都在圓O外，P為圓O上一動(dòng)點(diǎn)，已知

r=kOB,連接PA、PB,則當(dāng)“PA+kPB”的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定？

如圖2,在線段OB上截取OC使ABPO與APCO相似，即k?PB=PC.故本題中

“PA+k?PB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“PA+PC”的最小值，其中A與C為定點(diǎn)，P為動(dòng)

點(diǎn)，故當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，“PA+PC”值最小，如圖3

1、一般將含有k的線段兩端點(diǎn)分別與圓心O相連，即連接OB、OP;

2、計(jì)算出線段OP與OB及OP與OA的線段比，找到線段比為k的情況

3、連接AC,與圓O的交點(diǎn)即為點(diǎn)P

4、將圖2中△BPO單獨(dú)提取出，如圖4,ΔPCO^?BPO（母子型相似模型）

（構(gòu)造出△PCOs^BPO,就可以得到OC∕OP=OP∕OB,進(jìn)而推出OPz=OB?OC,

即“半徑的平方=原有線段X構(gòu)造線段”，確定C的位置后，連接AC,求出AC的

長度“阿氏圓’’即可破解）

結(jié)論“PA+kPB”型的最值

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，在RAABC中，NACB=90。，CB=I,AC=9,以C為圓心、3為半徑作0C,P

為。C上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP,則JP+BP的最小值為（）

C.4+√K)D.2√Γ3

【答案】B

【詳解】思路引領(lǐng)：如圖，在CA上截取C例，使得CM=1,連接PM,PC,BM.利用相

似三角形的性質(zhì)證明MP=I必，∏IW?ΛP+BP=PM+PB>BMf利用勾股定理求出即可解

33

決問題.

答案詳解：如圖，在C4上截取CM,使得CM=1,連接PM,PC,BM.

VPC=3,CM=I,CA=9f

2

：.PC=CM-CA9

.PCCM

,~CA~~CP

YNPCM=NACP,

:ZCMS4ACP,

：.PM^-PA

39

.?-AP+BP=PM+PB,

3

YPM+PB≥BM,

在RtZkBCM中，VZBCM=90o,CM=I,BC=7,

.?.BM=√12÷72=5也,

.?-AP+BP>5j2,

.??/∕>+B尸的最小值為5垃.

故選：B.

二、填空題

2.如圖，在，ABC中，ZB=90°,AB=CB=2,以點(diǎn)B為圓心作圓B與AC相切，點(diǎn)P為

圓8上任一動(dòng)點(diǎn)，則/%+正PC的最小值是.

2

【答案】√5

【分析】作8H_LACFH,取BC的中點(diǎn)。，連接P。，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得BH為。B

的半徑，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到BH=；AC=&,接著證明ABPDs得到

PD=旦PC,所以B4+正PC=BA+P。，而∕?+PQ≥4。（當(dāng)且僅當(dāng)A、P、。共線時(shí)取等

22

號(hào)），從而計(jì)算出AO得到必+，IPC的最小值.

2

【詳解】解：作BH,AC于H,取8C的中點(diǎn)。，連接P。，如圖，

YAC為切線，

；.8H為OB的半徑,

VZΛBC=90o,AB=CB=2,

.?AC=y[2BA=2y∣2,

：.BH=IAC=6,

：.BP=及,

..PB√2BD1√2

BC2BP√22

而NPBD=NCBP,

IABPDsdBCP,

.PDPB√2

??,=-----=,,

PCBC2

：.PD=上PC,

2

.?PA+^PC=PA+PD,

2

而∕?+PD≥AO（當(dāng)且僅當(dāng)A、P、Σ＞共線時(shí)取等號(hào)）,

而AD=√22+12=√5，

...以+P￡＞的最小值為4，

即用+走PC的最小值為6.

2

故答案為：√5.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.解決問題的關(guān)鍵是利用

相似比確定線段尸O=正PC也考查了等腰直角三角形的性質(zhì).

2

3.如圖，已知正方A88的邊長為6,圓8的半徑為3,點(diǎn)尸是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PQ」PC

2

的最大值為.

【答案】y

【分析】如圖，連接砰，在BC上取一點(diǎn)使得BM=g,進(jìn)而證明ABPMSABCP,則

在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的任意時(shí)刻,均有PM=-PC,從而將問題轉(zhuǎn)化為求FQ-PM的最大值.連接PD,

在△尸力例中，PD-PMvDM,故當(dāng)。、M、P共線時(shí)，PC-PM=DW為最大值，勾股定理即

可求得DM.

【詳解】如圖，連接濟(jì)，在BC上取一點(diǎn)A/,使得BM=；，

BM_BP

"~BP^~BC

,"PBM=NCBP

■■ABPMsABCP

MPBM1

-----=------——

PCBP2

.-.MP=-PC

2

..PD--PC=PD-MD

2

在APDM中，PD-PM<DM,

當(dāng)。、M、尸共線時(shí)，TO-PM=OM為最大值,

AD

r

v>√

P

四邊形ABQ）是正方形

.-.ZC=90°

而=Km

在RLCDM中，DΛ∕=√DC2H

故答案為：y?

相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，構(gòu)造gPC是解題的

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)

2

關(guān)鍵.

4.如圖，邊長為4的正方形，內(nèi)切圓記為。。，P是。。上一動(dòng)點(diǎn)，則及B4+PB的最小值

為________.

DC

□

AB

【答案】2√5

【分析】&%+吁及（PA+爭'B）,利用相似三角形構(gòu)造變PB即可解答.

2

【詳解】解：設(shè)。。半徑為r,

DC

0P=r=gBC=2,OB=√2r=2√2>

取08的中點(diǎn)/，連接P/，

.?O1=IB=^2,

OP2=√2,絲=逑=正，

布=正OP2

Λ-=—,N。是公共角，

OlOP

:.4B0Ps4P01,

.PIOl42

.,——-----—,

PBOP2

ΛP∕=-PB.

2

ΛAP+—PB=AP+P∣,

2

.?.當(dāng)A、P、/在一條直線上時(shí)，AP+*P8最小,

作/E_LAB于E,

?,ZABO=45o,

：.IE=BE=-BI=?,

2

.?.AE=AB^~BE=3,

.'.AI=√32÷f=VFo，

ΛAP+—PB最小值=A/=√10，

2

?.?√2M+Pβ=√21PA+與PB),

/.6PA+PB的最小值是=.

故答案是2行.

［點(diǎn)睛］本題是“阿氏圓”問題，解決問題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似二角形,

5.【新知探究】新定義：平面內(nèi)兩定點(diǎn)A,B,所有滿足詬=/（/為定值）的P點(diǎn)形成的

圖形是圓，我們把這種圓稱之為“阿氏圓”，

【問題解決】如圖，在AABC中，CB=4,AB=2AC,則△A8C面積的最大值為.

【答案】y

【分析】以A為頂點(diǎn)，AC為邊，在△ABC外部作NCAP=/ABC,AP與BC的延長線交

于點(diǎn)P,證出AAPCS^BPA,列出比例式可得BP=2AP,CP=；AP,從而求出AP、BP和

CP,即可求出點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡，最后找出距離BC最遠(yuǎn)的A點(diǎn)的位置即可求出結(jié)論.

【詳解】解：以A為頂點(diǎn)，AC為邊，在^ABC外部作/CAP=NABC,AP與BC的延長

線交于點(diǎn)P.

VZAPC=ZBPA,AB=2AC

Λ?APC^?BPA,

.APCPAC1

"BP-AP-AB^2

ΛBP=2AP,CP=∣AP

VBP-CP=BC=4

.?.2AP—：AP=4

2

解得：AP=g

164

.,.BP=—,CP=-,即點(diǎn)P為定點(diǎn)

33

???點(diǎn)A的軌跡為以點(diǎn)P為圓心，g為半徑的圓上，如下圖所示，過點(diǎn)P作BC的垂線，交圓

P于點(diǎn)A1,此時(shí)Al到BC的距離最大，即4ABC的面積最大

11816

SΔAiBC=τBC-AiP=-×4×-=-

2233

即AABC面積的最大值為4

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】此題考查的是相似三角形的判定及性質(zhì)、確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡和求三角形的面積，掌

握相似三角形的判定及性質(zhì)、圓的定義和三角形的面積公式是解決此題的關(guān)鍵.

6.如圖，在RJABC中，AB=AC=4,點(diǎn)E,尸分別是AB,AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是扇形AEF

的"上任意一點(diǎn)，連接BP,CP,則;3P+CP的最小值是.

【答案】√∏.

【分析】在48上取一點(diǎn)T,使得AT=I,連接尸7,PA,CT.證明即，推出需

?kPIII

=——=3推出PT=4P8,推出3PB+CP=CP+PT;根據(jù)PC+P7≥TC,求出CT即可解決

AB222

問題.

【詳解】解：在A8上取一點(diǎn)7,使得AT=1,連接PT,PAfCT.

?'PA=2,AT=!,ΛB=4,

.?.∕?2=4=A7λA8,

.PAAB

,'~AT~~PAf

YNBAT=NRW,

??MT^BAP

.PTAP?

"'PBAfiF'

：.PT=PB,

：.；PB+CP=CP+PT,

?'PC+PT>TC,

在Rt"CΓ中，

VZCAT=90o,AT=I,ΛC=4,

?"?CT~AT2+AC2=√∏,

Λ∣PB+PC>√i7,

.?*P8+PC的最小值為JΓ7.

故答案為J廳.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，三

角形的三邊關(guān)系，圓的基本性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，已知正方形ABCD的邊長為4,G)B的半徑為2,點(diǎn)P是。B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則

PD-；PC的最大值為.

【答案】5

【詳解】分析：由PD-；PC=PD-PGWDG,當(dāng)點(diǎn)P在DG的延長線上時(shí)，PDVPC的值最大,

最大值為DG=5.

詳解：在BC上取一點(diǎn)G,使得BG=I,如圖,

PB2`BC4八

—=-=2,—=-=2

BG1PB2

.PB__BC_

??~,

BGPB

VZPBG=ZPBC,

Λ?PBG^?CBP,

.PGBG1

"~PC~~PB~2,

ΛPG=∣PC,

當(dāng)點(diǎn)P在DG的延長線上時(shí)，PD-gpC的值最大，最大值為DG==5.

故答案為5

點(diǎn)睛：本題考查圓綜合題、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是

學(xué)會(huì)構(gòu)建相似三角形解決問題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，把問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最

短解決，題目比較難，屬于中考?jí)狠S題.

8.如圖，在AABC中，ZACB=90o,BC=↑2,AC=9,以點(diǎn)C為圓心，6為半徑的圓上有一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)D連接A。、BD、CQ,則2AO+3BO的最小值是.

【答案】12√10

2

【分析】如下圖，在CA上取一點(diǎn)E,使得CE=4,先證ADCEs∕?ACD,將轉(zhuǎn)化為

2

DE,從而求得耳4。+8。的最小距離，進(jìn)而得出2AD+3BD的最小值.

【詳解】如下圖，在CA上取一點(diǎn)E,使得CE=4

VAC=9,CD=6,CE=4

.CDA2

,'~CE~'CD

VZECD=ZACD

Λ?DCE^?ACD

.EDDC6

**AD^AC-9

2

.'.ED=-AD

3

?ΔEDBψ,ED+DB>EB

ΛED+DB最小為EB,即ED+DB=EB

：3AD+DB=EB

3

在Rt?ECB中,EB=√122÷42=4√10

Λ-ΛD+DB=4√10

3

/.2AD+3DB=12√iθ

故答案為：12J6.

【點(diǎn)睛】本題考查求最值問題，解題關(guān)鍵是構(gòu)造出△DCEsZiACD.

三、解答題

o

9.如圖1,在RTaABC中，ZACB=90fC8=4,CA=6,圓C的半徑為2,點(diǎn)P為圓上

一動(dòng)點(diǎn)，連接AP,BP,求：

②2AP+BP，

@^AP+BP,

④AP+3BP的最小值.

【答案】①而;②2√57;③(4)2√37.

3

【分析】①在C8上取點(diǎn)/),使CD=I,連接CRORAO.根據(jù)作圖結(jié)合題意易證DCP~_PCB，

即可得出PO=；8P,從而推出AP+；BP=AP+PO,說明當(dāng)A、P、。三點(diǎn)共線時(shí)，AP+PD

最小，最小值即為AZ)長.最后在R/.AC。中，利用勾股定理求出Ao的長即可；

②由24P+8P=2(4P+'BP),即可求出結(jié)果；

2

2

③在C4上取點(diǎn)E,使CE=],連接CP、EP、BE.根據(jù)作圖結(jié)合題意易證，ECP-PCA，

即可得出EP=9P,從而推出gAP+5P=EP+BP,說明當(dāng)8、P、E三點(diǎn)共線時(shí)，EP+BP最

小，最小值即為姐長.最后在RfABCE中，利用勾股定理求出BE的長即可；

④由AP+38P=3(g4P+BP),即可求出結(jié)果.

【詳解】解：①如圖，在CB上取點(diǎn)。，使CD=1，連接CP、DP.AD.

0

VCD=LCP=2,CB=A,

.CDCPl

',~CP~'CB~2'

又?：ΛDCP=∕PCB,

；?-DCP-PCB,

即Po=LBP,

BP22

AP+-BP=AP+PD,

2

.?.當(dāng)A、P、。三點(diǎn)共線時(shí)，AP+PD最小，最小值即為AQ氏.

在心一Ae。中，AD=>]AC2+CD2=√62+l2=√37.

AAP+[BP的最小值為??；

(2),/2AP+BP=2(AP+gBP),

???2"+BP的最小值為2χ后=2后；

2

③如圖，在CA上取點(diǎn)E,使CE=一,連接C∕?EP、BE.

3

VCE=∣,CP=2,CA=6,

.CECP\

"^CP~^CA~3'

又「NEC尸=NPC4,

.?.ECP~PCA,

：.LAP+BP=EP+BP,

.?.當(dāng)8、P、E三點(diǎn)共線時(shí)，EP+BP最小,最小值即為成長.

■:在RfABCE中,BE=siBC2+CE2=.∕42+?2=.

.?.；AP+BP的最小值為2亙：

33

④?.?AP+3BP=3(-AP+BP),

3

，AP+36P的最小值為3χ^^=2扃.

3

【點(diǎn)睛】本題考查圓的基本性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理.正確的作出輔助線,

并且理解三點(diǎn)共線時(shí)線段最短是解答本題的關(guān)鍵.

10.如圖，RmABC,NACB=90。，AC=BC=2,以C為頂點(diǎn)的正方形CDEF(C、。、E、

尸四個(gè)頂點(diǎn)按逆時(shí)針方向排列)可以繞點(diǎn)C自由轉(zhuǎn)動(dòng)，且8=√Σ,連接AEBD

(1)求證：ZBDC9XAFC

(2)當(dāng)正方形COEF有頂點(diǎn)在線段AB上時(shí)，直接寫出8。+正AO的值；

2

(3)直接寫出正方形CZ)EF旋轉(zhuǎn)過程中，8。+正AO的最小值.

2

【答案】(1)見解析；(2)夜+1或&+&i(3)√5

【分析】(1)利用SAS,即可證明△FCA絲AOCB;

(2)分兩種情況當(dāng)點(diǎn)。，E在AB邊上時(shí)和當(dāng)點(diǎn)E,尸在邊AB上時(shí)，討論即可求解；

(3)取AC的中點(diǎn)M.連接/)M,8M.則CA/=1,可證得△。CMSAACO,可得。M=正

2

AD,從而得到當(dāng)8,D,M共線時(shí)，8。+正AO的值最小，即可求解.

2

【詳解】(1)證明：：四邊形CCEF是正方形，

.'.CF=CD,ZDCF=ZACB=90°,

ZACF=ZDCB,

'：AC=CB,

Λ?FCA^?DCB(SAS);

(2)解：①如圖2中，當(dāng)點(diǎn)O,E在A8邊上時(shí)，

圖2

?"AC=BC=2,NACB=90°,

=2y∣2,

uJCDLAB,

LAD=BD==ACxsin45o=√2,

.?BD+-AD==y[2+-×>∕2=42+1；

22

②如圖3中，當(dāng)點(diǎn)E,尸在邊AB上時(shí).

2

AD=y∣BD-+AB=√∣0，

ΛβD+^ΛD=√2+-×√10=√2+√5,

22

綜上所述，8。+乎AZ)的值α+1或應(yīng)+石:

(3)如圖4中.取AC的中點(diǎn)M.連接QM,BM.則CM=1,

E

?：CD=五,CM=I,CA=2,

.".CD2=CM?CA,

.CDCM

"~CA~~CD,

■：4DCM=乙ACD,

：.XDCMSXACD,

.DMCD√2

?,而一7?一三‘

：.DM=—AD,

：.BD+叵AD=BD+DM,

，當(dāng)8,D,M共線時(shí)，8。+正AD的值最小,

2

最小值BM=y∣CBr+CM2=√5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性

質(zhì)，銳角三角函數(shù)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

11.如圖，點(diǎn)A、B在CO上，且OA=O8=6,OALOB,點(diǎn)C是。4的中點(diǎn)，點(diǎn)。在

OBh,且。0=4,動(dòng)點(diǎn)P在10上.求2PC+P。的最小值.

【答案】4√10

【分析】連接OP,在射線OA上截取4E=6,連接尸E.山題意易證AOPC~AOEP,即得出

PE=2PC,從而得出2PC+PD=PE+PD，由此可知當(dāng)P、。、E三點(diǎn)共線時(shí)，PE+PD

最小，最小值為。E的長，最后在R∕Z?O即中利用勾股定理求出QE的長即可.

【詳解】如圖，連接OP,在射線OA上截取4E=6,連接尸E.

是04的中點(diǎn)，

.?.OC^-OA^-OP.

22

ZCOP=NPOE

，在△OFC和△OEP中，■QCOPI，

.OP^OE-2

:?二OPC_OEP,

PC1

即PE=2PC,

PE2

：.2PC+PD=PE+PD，.

當(dāng)P、。、E三點(diǎn)共線時(shí)，PE+PD最小，最小值即為OE的長，如圖，

E

在Rfz?OED中，DE=-JOD2+OE2=√42+122=4√10,

Λ2PC+PD的最小值為4jiU.

【點(diǎn)睛】本題考查同圓半徑相等、三角形相似的判定和性質(zhì)和勾股定理等知識(shí).正確作出輔

助線并理解當(dāng)P、D,E三點(diǎn)共線時(shí)，PE+PD最小,最小值為OE的長是解答本題的關(guān)鍵.

12.婆羅摩芨多是公元7世紀(jì)古印度偉大的數(shù)學(xué)家，他在三角形、四邊形、零和負(fù)數(shù)的運(yùn)算

規(guī)則，二次方程等方面均有建樹，他也研究過對(duì)角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形，我們把這類

對(duì)角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形稱為“婆氏四邊形”.

(1)若平行四邊形ABC。是“婆氏四邊形"，則四邊形ABC。是.(填序號(hào))

①矩形；②菱形；③正方形

(2)如圖1,RtA8C中，ZBAC=9Q°,以48為弦的C)O交AC于。，交BC于E,連接

3

DE,AE,BD,AB=6,SinC=，若四邊形ABEO是“婆氏四邊形"，求DE的長.

(3)如圖2,四邊形ABCQ為。。的內(nèi)接四邊形，連接AC,BD,OA,OB,OC,OD,已

知/80C+/AOo=I80。.

①求證：四邊形4BC。是“婆氏四邊形”；

②當(dāng)4O+8C=4時(shí)，求G)O半徑的最小值.

圖1圖2

【答案】⑴③；⑵3；⑶①見解析；②及

【分析】(I)根本圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)和平行四邊形對(duì)角相等可得/ABC=/AQC=90。，

從而可證明四邊形ABCD為矩形，再根據(jù)對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形即可判斷；

(2)根據(jù)垂徑定理和圓周角定理可得Ac=DRZDEB=ZDEC=WO,設(shè)AQ=QE="?,貝IJ

DC=8-m,EC=10-6=4,在RfAoEC中解直角三角形即可；

(3)①根據(jù)圓周角定理即可得出ZDCA+ZBDC=90o,從而可得NCE/X90。，繼而證明結(jié)論；

②作。M,ON分別垂直與A。，BC,證明ACMM絲ABON,設(shè)。/V=AM=〃，則AZ)=2",

BC=4-2/2,BN=2-n,在Rt△BON中,根據(jù)勾股定理和：次函數(shù)的性質(zhì)即可得出半徑的

最小值.

【詳解】解：(1)如下圖，

C

???平行四邊形ABCD為。。的內(nèi)接四邊形,

.?.ZABC=ZADC,ZABC+ZADC=ISO0,

：.ZABC=N4DC=90。，

.?.平行四邊形ABC。為矩形，

,/四邊形ABCD是“婆氏四邊形”，

.?AC±BD,

矩形48CQ為正方形，

故答案為：③；

(2)VZBAC=90°,AB=6,sinC=-,

ΔΩ_________

?,?βC=^-=10,AC=NBC2—AB?=8,BD為直徑,

SinC

???NBED=NDEC=90°,

四邊形ABED是“婆氏四邊形Z

：.AElBD,

：.AD=DE,AB=BE=6,

設(shè)AD=DE=Jn,則DC=8-∕n,EC=10-6=4,

在放ZkEDC中，根據(jù)勾股定理，

。￡：2+后。2=OC2,即〃，+儲(chǔ)=(8一機(jī))2,解得加=3,即。E=3；

(3)①設(shè)AG8。相交于點(diǎn)E如圖所示

D

W

?.?NDCA=tZAQQ,ZBDC=-ZBOC,ZBOC+ZAOD=ISOo,

22

/.ZDCA÷ZBDC=?(ZAOD+ZBOC)=?×180o=90o,

.?.NCED=900,

即AC.LBD,

又Y四邊形ABCD是。O的內(nèi)接四邊形，

???四邊形ABCD是“婆氏四邊形”；

②如下圖，作OM,ON分別垂直與A。，BC,

o

???AM=-AD,BN=LBC,ZAMO=ZBNO=901

22

???ZΛOΛ∕+ZOΛM=90o,

*：OA=OB=OC=OD,

???？AoM、AOD,?BoN??BOC,

22

VZBOC+ZAOD=180o,

???彳為。M+30290?,

BON.

在aOAM和^BON中

ZAMO=ZBNO=90°

ZOAM=ZBON

OA=OB

J.∕?OAM^ΛBON(AAS),

,'.ON=AM=-AD

2f

?9AD+BC=4

設(shè)ON=AM=n,則AZ)=2〃，BC=4?2∕z,BN=2-n,

在心△BON中,

OB=y∣ON2+BN2=√Λ2+(2-n)2=√2(w-l)2+2，

當(dāng)”=1時(shí)，取得最小值近,即。。半徑的最小值為加.

圖2

【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、垂徑定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、勾股定理、IE方形的判定

定理、二次函數(shù)的性質(zhì)等.（1）中能正確證明出四邊形的一個(gè)角是90。是解題關(guān)鍵；（2）中

能正確表示出RfAEDC的三個(gè)邊是解題關(guān)鍵；（3）中①正確利用圓周角定理是解題關(guān)鍵；

②正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵.

13.閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)任務(wù).阿波羅尼斯（APolloniUSOfPerga）,古希臘人（公

元前262~190年），數(shù)學(xué)家，寫了八冊(cè)圓錐曲線論著，其中有七冊(cè)流傳下來，書中詳細(xì)討論

了圓錐曲線的各種性質(zhì)，阿波羅尼斯圓是他的論著中一個(gè)著名的問題.一動(dòng)點(diǎn)。與兩定點(diǎn)A,

B的距離之比等于定比，”:〃，則點(diǎn)P的軌跡是以定比m:n（m:〃≠1）內(nèi)分和外分線段AB的兩個(gè)

分點(diǎn)的連線為直徑的圓，這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱“阿氏圓

PΛMl

如圖1,點(diǎn)A,8為兩定點(diǎn)，點(diǎn)尸為動(dòng)點(diǎn)，滿足F=一,點(diǎn)”在線段48上，點(diǎn)N在AB的延

PBn

長線上且粵=黑='（'≠1],則點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以MN為直徑的圓.

下面是“阿氏圓''的證明過程（部分）：

過點(diǎn)〃作BD//AP交PM的延長線于點(diǎn)D.

?ZA=ZABZ）,ZAPM=ZBDM.

???MPMSABDM.

.PAMA

''~BD~~MB,

9MA_m_PA

*~MB~~n~~PB,

.PAPA

*Λ~BD~~PB'

.?.BD=BP.

，ZBPD=ZBDP?

???ZAPD=NBPD?

NAPA

如圖2,在圖1(隱去心，BD)的基礎(chǔ)上過點(diǎn)B作8E//PN交他于點(diǎn)E，可知——=一，……

NBPE

任務(wù)：

(1)判斷尸N是否平分NBPC,并說明理由：

(2)請(qǐng)根據(jù)上面的部分證明及任務(wù)(1)中的結(jié)論，完成“阿氏圓”證明的剩余部分；

(3)應(yīng)用：如圖3,在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，A(-2,0),8(1,0),PA=2PB,則點(diǎn)戶所在

圓的圓心坐標(biāo)為.

【答案】(1)PN平分/BPC.理由見解析；(2)點(diǎn)「的運(yùn)動(dòng)軌跡是以MN為直徑的圓，

見解析；(3)(2,0)

【分析】(1)利用相似三角形的判定及性質(zhì)仿照?qǐng)D1的證明即可得證；

(2)根據(jù)90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑即可證得點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以MN為直徑的圓；

(3)結(jié)合題目所給的材料分別求得AB的內(nèi)分點(diǎn)和外分點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得點(diǎn)戶所在圓

的圓心坐標(biāo).

【詳解】解：(1)PN平貨NBPC.理由如下：

..NAinPANAPA

NB~n~PB'NB-PE'

.PAPA

"~PB~~PE'

：?PB=PE?

???ΛPEB=NPBE.

■：BE//PN,

???NPEB=ZCPN,NPBE=NBPN.

."BPN=NCPN,

即PN平分/BPC.

(2),/ZAPM?ZBPM=-ZAPB,ABPN=ZCPN=-ZBPC,

22

目ZAPB+ZBPC=180。，

.?.ZMPN=-ZAPC=90°.

2

???MN為直徑.

???點(diǎn)戶的運(yùn)動(dòng)軌跡是以MN為直徑的圓.

(3)：4-2,0),8(1,0),

.?.AB=3,且AO=2OB,

?：PA=2PB,

.?.點(diǎn)。為AB的內(nèi)分點(diǎn)，

當(dāng)點(diǎn)C為AB的外分點(diǎn)時(shí)，CA=2CB,

ΛCB=AB=3,

.?.OC=OB+BC=4,

，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,0),

點(diǎn)P所在圓的圓心坐標(biāo)為(2,0).

【點(diǎn)睛】本題考查r相似三角形的判定及性質(zhì)，直徑的判定，熟練掌握相似三角形的判定及

性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

14.如圖1,拋物線y="Y+bχ-4與X軸交于AB兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C,其中點(diǎn)A的坐標(biāo)

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)P是直線8C下方的拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)尸使四邊形ABPC的面積為16,若

存在，求出點(diǎn)戶的坐標(biāo)若不存在，請(qǐng)說明理由；

(3)如圖2,過點(diǎn)8作B/lBC交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)/，以點(diǎn)C為圓心，2為半徑作,C,

點(diǎn)Q為＞C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求立8。+FQ的最小值.

4

［答案］(l)y=Y-3x-4

(2)尸(1,6)或(3,4)

⑶取

3

【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-L0),拋物線的對(duì)稱軸是直線X=1.待定系數(shù)法求二次

函數(shù)解析式即可，

(2)先求得直線BC解析式，設(shè)P(m,"∕-3m-4),則Q(，4，〃-4),過點(diǎn)戶作P。軸交直線BC

于點(diǎn)O,根據(jù)"WC=S.+SBeP等于16建立方程，解一元二次方程即可求得利的值,

然后求得P的坐標(biāo)，

(3)在CB上取CE=比，過點(diǎn)E作EGIoC,構(gòu)造.C0ES&CBQ,則當(dāng)產(chǎn),Q,E三點(diǎn)共線

2

時(shí)，取得最小值，最小值為莊，勾股定理解直角三形即可.

(1)

解：???拋物線y=0r2+?r-4與X軸交于48兩點(diǎn)，與1軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(TQ),

3

拋物線的對(duì)稱軸是直線X==,

2

.?.C(OT),

----h——3

<2。2,

a-b-4=0

解得[二

[b=-3

■■■拋物線解析式為：y=√-3x-4,

(2)

當(dāng)y=0,即χ2-3x-4=0,

解得Xl=-1,X?=4,

3(4,0),

C(OT),

設(shè)直線BC解析式為y=h+b,

∫-4=?

[4?+?=0'

(k=I

解得

二直線BC解析式為y=χ-4,

設(shè)P(機(jī),療-3加-4),過點(diǎn)啡P。軸交直線BC于點(diǎn)0,

則Q（〃7,帆-4）,

=

S四邊形ABPCSabc+SBCp

2

=；x（4+l）x4+；（m-4一加2+3∕TI÷4）×4=-2ZΠ+8m÷10,

.四邊形ABPC的面積為16,

-2m2+8∕w+10=16，

解得〃=l,∕n2=3,

尸(1,6)或(3,4),

（3）

如圖，過點(diǎn)B作BFIBC交拋物線的對(duì)稱軸丁點(diǎn)尸，以點(diǎn)C為圓心，2為半徑作：C,

335

X=T是拋物線的對(duì)稱軸，yf=4-∣=∣

B(4,0),C(0,4).

.?.OB=4,OC=4,

.?.BC=4√2,NoBC=45°,

BFLBC-

ZFBO=45。，

在CB上取CE=正，過點(diǎn)E作EGLOC,交)'軸于點(diǎn)G,交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)〃，則CG=

2

EG=-×sin450=-,EH=---=}

2222

:.FH=6,

CQ=2,CE=^γ,BC=4√2.

也

,√2CQ2=√1，NQCE=ZBCQ,

-Ce---V,^βC^4√2^V

：.CQESCBQ,

,EQCQ=0

:.QE=WBQ,

:EBQ+FQNFE，

4

當(dāng)產(chǎn),Q,E三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，最小值為莊，

EGlFG

.?.EF=-JHE2+HF-=√l2+62=√37.

則—BQ+FQ的最小值為√37.

4

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)與相似

三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

15.如圖1所示，QO的半徑為'，點(diǎn)A、B都在。O外，P為。O上的動(dòng)點(diǎn)，已知r

=k-OB.連接PA.PB,則當(dāng)“以+LP8”的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定？

A

A

【答案】見解析

【詳解】1：連接動(dòng)點(diǎn)至圓心O（將系數(shù)不為1的線段兩端點(diǎn)分別與圓心相連接），即連接

OP、0B；

2：計(jì)算連接線段OP、03長度；

OP

3：計(jì)算兩線段長度的比值2二k：

OB

OCOP

4：在OB上截取一點(diǎn)C,使得》=嘉構(gòu)建母子型相似：

5：連接AC,與圓0交點(diǎn)為P,即4C線段長為Λ4+K*P8的最小值.

本題的關(guān)鍵在于如何確定‘%?PB”的大小，（如圖2）在線段OB上截取OC使OC=Zr,則

可說明ABPO與4PCO相似，即k?PB=PC.

本題求“以+*/8”的最小值轉(zhuǎn)化為求“以+RT的最小值，即A.P,C三點(diǎn)共線時(shí)最?。ㄈ?/p>

圖3）,時(shí)AC線段長即所求最小值.

16.問題提出：如圖①，在RtAABC中，∕C=90,CB=4,C4=6,。（：的半徑為2,P

為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP,求+的最小值.

2

（I）嘗試解決：為了解決這個(gè)問題，下面給出一種解題思路：如圖①，連接CP,在CB上

CDCP1

取一點(diǎn)D,使CZ）=1,則而=有=Q?又4CD=∕BCP,所以jPCDS一BCP.所以

PDCD?

~BP~~CP~2

所以PD=-PB,所以AP+-3P=AP+PO.

22

請(qǐng)你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP+!8P的最小值為;

(2)自主探索：在“問題提出''的條件不變的前提下，求+的最小值；

(3)拓展延伸：如圖②，已知在扇形CoD中，NCoo=90,OC=6,OA=3,OB=5,

P是CD上點(diǎn)，求2PA+P8的最小值.

圖①圖①備用圖圖②

【答案】(1)√37;(2)-y∕37;(3)13.

【分析】(1)根據(jù)題意可知最小值為長度，利用勾股定理即可求出AO長度.

21

(2)連接CP,在CA上取一點(diǎn)D,使CQ=即可證明一PCZ)S∕iAC尸，得到尸。二§AP,

即g"+BP=PD+BP,所以*+/，戶的最小值為BD長度，利用勾股定理即可求出8。

長度.

(3)延長OC到E,使CE=6,連接PE,0P,即可證明4Q4Ps_0PE,得到EP=2陽，

即2PA+PB=EP+PB,所以2R4+PB的最小值為BE長度，利用勾股定理即可求出BE長

度.

【詳解】(1)根據(jù)題意可知，當(dāng)A、P、。三點(diǎn)共線時(shí)，AP+^BP最小，最小值

=AD=JCD2+AC2=√l2+62=√37.

故答案為：√37.

2

(2)連接CP,在CA上取一點(diǎn)。，使C￡>=§,

?：NPCD=ZACP,

PDCD1

：.』CDSAACP，得k%=1,

∕?,ΓCzlJ

ΛPD=-AP,故LAP+BP=PD+BP,

33

僅當(dāng)8、P、。三點(diǎn)共線時(shí)，

的最小值22

LAP+BP=BD=yJCD+BC=

OAOP1

貝nIl]—=—=—YZAOP=ZPOE,

OPOE2

,OAOPAP_1

???LOAPsaOPE,

9'~OP~'OE~EP~2

???EP=2PA,,2PA+PB=EP+PB,

僅當(dāng)E、P、5三點(diǎn)共線時(shí)，

EP+PB=BE=-JOE2+OB°=√52+122=13，

即2PA+P3的最小值為13.

【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì).根據(jù)閱讀材料的思路構(gòu)

造出_PCDSaACP和SOPE是解題的關(guān)鍵.本題較難.

17.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-5x+5與X軸，y軸分別交于A,C兩點(diǎn)，拋

(1)求拋物線解析式及B點(diǎn)坐標(biāo);

(2)若點(diǎn)M為X軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接MA、MB、BC,當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，

四邊形AMBC面積最大，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)及四邊形AMBC的面積；

(3)如圖2,若P點(diǎn)是半徑為2的。B上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PA,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，

PC+；PA的值最小，請(qǐng)求出這個(gè)最小值，并說明理由.

【答案】(1)y=χ2-6x+5,B(5,0)；(2)當(dāng)M(3,-4)時(shí)，四邊形AMBC面積最大，

最大面積等于18；(3)PC+^PA的最小值為"T，理由詳見解析.

【分析】(1)由直線y=-5x+5求點(diǎn)A、C坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求拋物線解析式，進(jìn)而求得

點(diǎn)B坐標(biāo).

(2)從X軸把四邊形AMBC分成AABC與AABM；由點(diǎn)A、B、C坐標(biāo)求△ABC面積；

設(shè)點(diǎn)M橫坐標(biāo)為m,過點(diǎn)M作X軸的垂線段MH,則能用m表示MH的長，進(jìn)而求△ABM

的面積，得到△ABM面積與m的二次函數(shù)關(guān)系式，且對(duì)應(yīng)的a值小于0,配方即求得m為

何值時(shí)取得最大值，進(jìn)而求點(diǎn)M坐標(biāo)和四邊形AMBC的面積最大值.

(3)作點(diǎn)D坐標(biāo)為(4,0),可得BD=I,進(jìn)而有g(shù)=絲=1，再加上公共角NPBD=

BPAB2

ZABP,根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等可證APBDS^ABP,得￡2等于相似比：，進(jìn)而

PA2

得PD=^AP,所以當(dāng)C、P、D在同一直線上時(shí)，PC+；PA=PC+PD=CD最小.用兩點(diǎn)間

距離公式即求得CD的長.

【詳解】解：(1)直線y=-5x+5,X=O時(shí)，y=5

ΛC(0,5)

y=-5x+5=0時(shí)，解得：x=l

ΛA(1,0)

Y拋物線y=χ2+bx+c經(jīng)過A,C兩點(diǎn)

∫l÷Z7÷c=0fb=-6

解得:

[0÷0+c=5[c=5

???拋物線解析式為y=x2-6x÷5

當(dāng)y=χ2_6x+5=0時(shí)，解得：xι=l,X2=5

ΛB(5,0)

(2)如圖1,過點(diǎn)M作MHLX軸于點(diǎn)H

圖1

VA(1,0),B(5,0),C(0,5)

ΛAB=5-1=4,OC=5

ΛS?ABc=?AB?OC=?×4×5=10

???點(diǎn)M為X軸下方拋物線上的點(diǎn)

工設(shè)M(m,m2-6m+5)(l<m<5)

ΛMH=∣m2-6m+5∣=-m2+6m-5

.*.S?ABM=?AB?MH=I×4(-m2+6m-5)=-2m2+12m-10=-2(m-3)2+8

?,.S四邊形AMBC=S△ABC+S^ABM=10+[-2(m-3)2+8]=-2(m-3)2÷18

???當(dāng)m=3,即M(3,-4)時(shí)，四邊形AMBC面積最大，最大面積等于18

(3)如圖2,在X軸上取點(diǎn)D(4,0),連接PD、CD

.?.BD=5-4=1

YAB=4,BP=2

.BDBPl

VZPBD=ZABP

.?.?PBD^?ABP

.PDPD↑

Λ~AP~~BP~2

PD=LAP

2

ΛPC+yPA=PC+PD

，當(dāng)點(diǎn)C、P、D在同一直線上時(shí)，PC+gPA=PC+PD=CD最小

2222

VCD=yJoC+OD=√5+4=√41

...PC+；PA的最小值為4T

圖2【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)綜合，解題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)的

性