反比例函數(shù)常見(jiàn)幾何模型

反比例函數(shù)常見(jiàn)模型一、知識(shí)點(diǎn)回憶1..反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，故也稱雙曲線y=k〔kW0〕.其解析式有三種表示方法：xk①y=—[k豐0]；@y=kx-1〔k豐0〕；③町=kx2.反比例函數(shù)丫二七〔上0〕的性質(zhì)x〔1〕當(dāng)k>0時(shí)=函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別在第一，三象限內(nèi)=在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減小.〔2〕當(dāng)k<0時(shí)=函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別在第二，四象限內(nèi)=在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大.〔3〕在反比例函數(shù)丫=-中，其解析式變形為xy=k,故要求卜的值（也就是求其圖像上x(chóng)一點(diǎn)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之積）.〔4〕假設(shè)雙曲線y=-圖像上一點(diǎn)〔2,捫滿足@,b是方程Z2—4Z—2=0的兩根，求x-2雙曲線的解析式.由根與系數(shù)關(guān)系得ab=-2,又ab=k,「上二—2,故雙曲線的解析式是y=——.x〔5〕由于反比例函數(shù)中自變量X和函數(shù)丫的值都不能為零，所以圖像和X軸，丫軸都沒(méi)有交點(diǎn),但畫(huà)圖時(shí)要表達(dá)出圖像和坐標(biāo)軸無(wú)限貼近的趨勢(shì).二、新知講解與例題訓(xùn)練模型一：如圖，點(diǎn)A為反比例函數(shù)y=k圖象上的任意一點(diǎn)，且AB垂直于x軸，x那么有SAOAB那么有SAOAB|k|例1：如圖R/AABC的銳角頂點(diǎn)是直線尸x+m與雙曲線尸一在第一象限的交點(diǎn)，且XS”ob=3，〔1〕求m的值⑵求AABC的面積變式題TOC\o"1-5"\h\z1、如下列圖，點(diǎn)A,A,A在x軸上，且OA=AA=AA，分別過(guò)A,A,A作y軸平行1 2 3 1 12 23 1 2 38 8 8 . _ _ _ _ _ _線，與反比例函數(shù)丫=一(x>0)的圖像交于點(diǎn)B,B,B，分別過(guò)點(diǎn)6,B,B作x軸的平行線，X 1 2 3 1 2 3分別與y軸交于點(diǎn)。1,C2,C3,連結(jié)OB1,OB2,OB3，那么圖中陰影局部的面積之和為X X2、如圖，點(diǎn)人在雙曲線y=_上，點(diǎn)8在雙曲線y=—上，且人8//區(qū)軸，C、D在x軸上，X X假設(shè)四邊形ABCD為矩形，那么它的面積為.模型二：如圖：點(diǎn)人、8是雙曲線y=k(k中0)任意不重合的兩點(diǎn)，直線AB交X軸于M點(diǎn)，交y軸于N點(diǎn)，再過(guò)A、8兩點(diǎn)分別作AD1y軸于口點(diǎn)，BF1X軸于F點(diǎn)，再連結(jié)DF兩點(diǎn)，那么有：DFIIAB且BM=AN例2：如圖，一次函數(shù)y=巾+b的圖象與％軸，y軸交于A,8兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)y=k的圖象相交于C,口兩點(diǎn)，分別過(guò)C,口兩點(diǎn)作y軸，x軸的垂線，垂足x為E,F,連接CF,DE.有以下四個(gè)結(jié)論：①S=S :②AAOB相似于KFOE;ACEF ADEF③△DCEW^CDF；④ac二bd其中正確的結(jié)論是.〔把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上〕例3:一次函數(shù)y=ax+b的圖象分別與x軸、y軸交于點(diǎn)M,N，與反比例函數(shù)k.y=—的圖象相交于點(diǎn)A,B.過(guò)點(diǎn)A分別作AC±x軸，AE±y軸，垂足分別為xC,E；過(guò)點(diǎn)B分別作BF±x軸，BD±y軸，垂足分別為F,D,AC與BD交于點(diǎn)K,連接CD.〔1〕假設(shè)點(diǎn)A,B在反比例函數(shù)y=k的圖象的同一分支上，如圖1,試證明：x①S=S；?AN=BM.四邊形AEDK 四邊形CFBK〔2〕假設(shè)點(diǎn)A,B分別在反比例函數(shù)y=-的圖象的不同分支上，如圖2,那么ANx與BM還相等嗎？試證明你的結(jié)論.模型三：如圖，反比例函數(shù)y=k〔kW0,x>0〕上任意兩點(diǎn)P、C,過(guò)P做PA^x軸，交XX軸于點(diǎn)人，過(guò)C做CD^x軸，交x軸于點(diǎn)口，那么s=S.AOPC 梯形PADC

例4:如圖，在直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)尸kx+b的圖象與反比例函數(shù)丫=￡的1 x圖象交于A(1,4)、8(4,1)兩點(diǎn)，那么△人。8的面積是.圖象交于A〔1,4圖象交于A〔1,4〕、B〔3,m〕兩點(diǎn),1X例5:如圖，在直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=k2的1 ..k例6：如圖1，直線y=x與雙曲線y=—(k>0)交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐2 x標(biāo)為4.〔1〕求卜的值；〔2〕如圖2,過(guò)原點(diǎn)0的另一條直線l交雙曲線y=k(k>0)于C、D兩點(diǎn)〔點(diǎn)XC在第一象限且在點(diǎn)A的左邊〕，當(dāng)四邊形ACBD的面積為24時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo).

模型四:在矩形AOBC中，OB=a,OA=b,分別以O(shè)B,OA所在直線為x軸和y軸，建立如下列圖的平面直角坐標(biāo)系.F是86上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)〔不與B、C重合〕，過(guò)F點(diǎn)的反比例函數(shù)）=k（x〉0）的圖象與AC邊交于點(diǎn)E，那么CE=a.'x CFb例7：兩個(gè)反比例函數(shù)y=X和y=_L在第一象限內(nèi)的圖象如下列圖，點(diǎn)P在y=￡x的圖象上，PC，x軸于點(diǎn)6，交y=1的圖象于點(diǎn)A,PD，y軸于點(diǎn)口，交y=1x x的圖象于點(diǎn)8，當(dāng)點(diǎn)P在y=￡的圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以下結(jié)論：x①AODB與4OCA的面積相等；②四邊形PAOB的面積不會(huì)發(fā)生變化；③PA與PB始終相等；④當(dāng)點(diǎn)A是PC的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)8一定是PD的中點(diǎn).其中一定正確的選項(xiàng)是〔把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上〕.課堂練習(xí):一、選擇題2、如圖，點(diǎn)A在雙曲線y=6一、選擇題2、如圖，點(diǎn)A在雙曲線y=6上，且OA=4,過(guò)點(diǎn)xA作AC1x軸，垂足為c,OA的垂直平分線交OC于B,那么AABC的周長(zhǎng)為〔〕的圖像如圖，大致是〔A.2"B.5C.4<7 d*k3、如圖，雙曲線y=-〔k>0〕經(jīng)過(guò)矩形OABC的邊BC的中點(diǎn)口，交AB于點(diǎn)口，假設(shè)梯x形ODBC的面積為3,那么雙曲線的解析式為〔〕1A.1A.4、如圖，4、如圖，A,B是函數(shù)y=2的圖像上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的任意兩點(diǎn),x的面積記為S,那么S〔〕BC//x軸，AC//y軸，AABCA.S=2B.S=4C.2<S<4D.S>45、如下列圖，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2,直角頂點(diǎn)A在直線y=x上，其中人點(diǎn)的橫坐標(biāo)為A.S=2B.S=4C.2<S<4D.S>45、如下列圖，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2,直角頂點(diǎn)A在直線y=x上，其中人點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,且兩條直角邊AB,AC分別平行于x軸，y軸，假設(shè)雙曲線y二與〔kw。〕與^ABC有交點(diǎn)，那么k的取值范圍是〔〕A.1<k<2B.1<k<3C.1<k<4 D.1<k<4二、填空題1、如圖，點(diǎn)人在雙曲線y=一上，點(diǎn)B在雙曲線y——上，且AB//x軸，C、D在x軸上，假設(shè)四邊形ABCD為矩形，那么它的面積為.yc2/2、如圖，雙曲線y=-(xA0)經(jīng)過(guò)四邊形OABC的頂點(diǎn)A、C,/ABC=90,OC平分xOA與x軸正半軸的夾角，AB//x軸，將^ABC沿AC翻折后得到^AB，C,8，點(diǎn)落在OA上，那么四邊形OABC的面積是.3、如圖，將一塊直角三角板OAB放在平面直角坐標(biāo)系中，B〔2,0〕，/人08=60°,點(diǎn)人在第一象限，過(guò)點(diǎn)人的雙曲線為y=k，在x軸上取一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作直線OA的垂線l,x以直線l為對(duì)稱軸，線段OB經(jīng)軸對(duì)稱變換后的像是O'B’.〔1〕當(dāng)點(diǎn)0'與點(diǎn)人重合時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是.〔2〕設(shè)P〔t,0〕，當(dāng)O'B'與雙曲線有交點(diǎn)時(shí)，t的取值范圍是.k，一4、如圖，雙曲線y=-(k<0)經(jīng)過(guò)直角三角形OAB斜邊OA的中點(diǎn)口，且與直角邊人8相x交于點(diǎn)6.假設(shè)點(diǎn)人的坐標(biāo)為〔—6,4〕，那么4AOC的面積為.一 45、雙曲線y、y在第一象限的圖像如圖，y=-,1 2 1x.k=X；點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離OP二-.k=X；點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離OP二-7x2y1的值等于,6、如圖，,點(diǎn)8過(guò)X上的任意一點(diǎn)A,作％軸的平行線交工于交)軸于0,假設(shè)S=1,那么y的解析式是.TOC\o"1-5"\h\zAAOB 2課后習(xí)練一、填空題1、如圖，直線y=kx〔k>0〕與雙曲線y二—交于A〔x,y〕，B〔x,y〕兩點(diǎn)，那么2xy“ 1X 1 '1 2 '2 V2a,b〕，且a,b是方程t2-4t-2=0的兩個(gè)根，那么3、雙曲線xy=1與直線y=-x+?無(wú)交點(diǎn)，那么b的取值范圍是 .4、反比例函數(shù)丫=-的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)P〔a,b〕，其中a,b是一元二次方程x2+kx+4=0的兩個(gè)X根，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是