第36講用單擺測(cè)量重力加速度的大?。ㄖv義）

第36講用單擺測(cè)量重力加速度的大小目錄復(fù)習(xí)目標(biāo)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建考點(diǎn)一教材原型實(shí)驗(yàn)【夯基·必備基礎(chǔ)知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、器材、原理、步驟、注意事項(xiàng)、誤差分析【提升·必考題型歸納】考向1實(shí)驗(yàn)原理與操作考向2數(shù)據(jù)處理與誤差分析考點(diǎn)二創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)方案【夯基·必備基礎(chǔ)知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)實(shí)驗(yàn)方案的改進(jìn)【提升·必考題型歸納】考向1實(shí)驗(yàn)原理的改進(jìn)考向2實(shí)驗(yàn)器材的創(chuàng)新考向3實(shí)驗(yàn)思路的創(chuàng)新真題感悟理解和掌握用單擺測(cè)量重力加速度的大小實(shí)驗(yàn)原理，并會(huì)做出必要的誤差分析。2、能夠在原型實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)的改進(jìn)或者創(chuàng)新，做出同類(lèi)探究。考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析用單擺測(cè)量重力加速度的大小2023年山西卷第23題2020年浙江卷第18題各地高考對(duì)用單擺測(cè)量重力加速度的大小這個(gè)實(shí)驗(yàn)的考查近幾年頻度不是太高，考查難度不大?？键c(diǎn)一教材原型實(shí)驗(yàn)知識(shí)點(diǎn)實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、器材、原理、步驟、注意事項(xiàng)、誤差分析1．實(shí)驗(yàn)?zāi)康?1)練習(xí)使用停表和刻度尺。(2)探究影響單擺運(yùn)動(dòng)周期的因素。(3)學(xué)會(huì)用單擺測(cè)定當(dāng)?shù)刂亓铀俣取?．實(shí)驗(yàn)原理當(dāng)擺角很小時(shí)，單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)周期為T(mén)＝2πeq\r(\f(l,g))，由此得到g＝eq\f(4π2l,T2)，因此，只要測(cè)出擺長(zhǎng)l和單擺的周期T，就可以求出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭的值。3．實(shí)驗(yàn)器材單擺、游標(biāo)卡尺、毫米刻度尺、停表。4．實(shí)驗(yàn)過(guò)程(1)在細(xì)線(xiàn)的一端打一個(gè)比小球上的孔徑稍大一些的結(jié)，將細(xì)線(xiàn)穿過(guò)球上的小孔，并把細(xì)繩上端固定在鐵架臺(tái)上，制成單擺。(2)將鐵夾固定在鐵架臺(tái)上端，鐵架臺(tái)放在實(shí)驗(yàn)桌邊，使鐵夾伸到桌面以外，讓擺球自然下垂，在單擺平衡位置處做上標(biāo)記，如圖所示。(3)用毫米刻度尺量出擺線(xiàn)長(zhǎng)度l′，用游標(biāo)卡尺測(cè)出金屬小球的直徑，即得出金屬小球半徑r，計(jì)算出擺長(zhǎng)l＝l′＋r。(4)把單擺從平衡位置處拉開(kāi)一個(gè)很小的角度(不超過(guò)5°)，然后放開(kāi)金屬小球，讓金屬小球擺動(dòng)，待擺動(dòng)平穩(wěn)后測(cè)出單擺完成30～50次全振動(dòng)所用的時(shí)間t，計(jì)算出單擺的振動(dòng)周期T。(5)根據(jù)單擺周期公式，計(jì)算當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣取?6)改變擺長(zhǎng)，重做幾次實(shí)驗(yàn)。5．?dāng)?shù)據(jù)處理(1)公式法：利用T＝eq\f(t,N)求出周期，算出三次測(cè)得的周期的平均值，然后利用公式g＝eq\f(4π2l,T2)求重力加速度。(2)圖像法：根據(jù)測(cè)出的一系列擺長(zhǎng)l對(duì)應(yīng)的周期T，作lT2的圖像，由單擺周期公式得l＝eq\f(g,4π2)T2，圖像應(yīng)是一條通過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)，如圖所示，求出圖線(xiàn)的斜率k，即可利用g＝4π2k求重力加速度。6．誤差分析產(chǎn)生原因減小方法偶然誤差測(cè)量時(shí)間(單擺周期)及擺長(zhǎng)時(shí)產(chǎn)生誤差①多次測(cè)量求平均值②從擺球經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)系統(tǒng)誤差主要來(lái)源于單擺模型本身①擺球要選體積小，密度大的②最大擺角要小于5°7．注意事項(xiàng)(1)懸線(xiàn)頂端不能晃動(dòng)，需用夾子夾住，保證懸點(diǎn)固定。(2)單擺必須在同一平面內(nèi)振動(dòng)，且擺角小于5°。(3)選擇在擺球擺到平衡位置處時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，并數(shù)準(zhǔn)全振動(dòng)的次數(shù)。(4)小球自然下垂時(shí)，用毫米刻度尺量出懸線(xiàn)長(zhǎng)l′，用游標(biāo)卡尺測(cè)量小球的直徑，然后算出擺球的半徑r，則擺長(zhǎng)l＝l′＋r。(5)一般選用1m左右的細(xì)線(xiàn)?？枷?實(shí)驗(yàn)原理與操作1．某同學(xué)用單擺測(cè)定當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭。（1）如圖所示，用游標(biāo)卡尺測(cè)擺球直徑。擺球直徑d=mm。

（2）實(shí)驗(yàn)操作步驟如下：A．取一根細(xì)線(xiàn)，下端系住一個(gè)金屬小球，上端固定在鐵架臺(tái)上；B．用米尺（最小刻度為1mm）測(cè)得擺線(xiàn)長(zhǎng)l；C．在擺線(xiàn)偏離豎直方向較小夾角的位置由靜止釋放小球；D．用秒表記錄小球完成n次全振動(dòng)的總時(shí)間t，得到周期；E.改變擺線(xiàn)長(zhǎng)，重復(fù)B、C、D的操作。該同學(xué)采用兩種方法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。第一種方法：根據(jù)每一組T和l，利用求出多組g值，然后計(jì)算g值的平均值，求得當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭。第二種方法：根據(jù)每一組T和l，在圖3中描點(diǎn)，然后連線(xiàn)；根據(jù)圖線(xiàn)的斜率，求出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭。a.如果實(shí)驗(yàn)中測(cè)量擺線(xiàn)長(zhǎng)l和單擺周期T的偶然誤差都比較小，那么，第一種方法求出的重力加速度當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣龋ㄟx填“大于”、“等于”或“小于”）；b.根據(jù)該同學(xué)在圖2中描出的點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D中描繪出T2—l圖線(xiàn)；c.該同學(xué)從圖中求出圖線(xiàn)斜率k，則重力加速度g與斜率k的關(guān)系式為g=；代入數(shù)據(jù)求得g=m/s2（結(jié)果保留3位有效數(shù)字）。

【答案】16.50小于

9.73（9.68~9.78）【詳解】（1）[1]根據(jù)游標(biāo)卡尺的讀數(shù)規(guī)律，該讀數(shù)為（2）a.[2]單擺的額擺長(zhǎng)應(yīng)為擺線(xiàn)長(zhǎng)與擺球半徑之和，第一種方法根據(jù)求出重力加速度時(shí)的l為擺線(xiàn)長(zhǎng)，該長(zhǎng)度小于擺長(zhǎng)，因此第一種方法求出的重力加速度小于當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?；b.[3]舍棄偏差較大的第二個(gè)點(diǎn)跡，用一條平滑的直線(xiàn)將其它點(diǎn)跡連接起來(lái)，盡量使點(diǎn)跡均勻分布在直線(xiàn)兩側(cè)，作出圖像，如圖所示

c.[4]令擺球直徑為d，根據(jù)則有根據(jù)圖像有解得[5]根據(jù)圖像有解得考向2數(shù)據(jù)處理與誤差分析2．甲、乙兩同學(xué)利用單擺測(cè)定當(dāng)?shù)刂亓铀俣?。?）甲同學(xué)用10分度的游標(biāo)卡尺測(cè)量擺球的直徑，如圖所示，他測(cè)量的讀數(shù)應(yīng)該是cm。接著他正確測(cè)量了擺線(xiàn)長(zhǎng)，加上擺球半徑，得到了擺長(zhǎng)l。（2）為了測(cè)定該單擺的振動(dòng)周期T，下列做法中正確的是。A．將擺球拉離平衡位置一個(gè)小角度，從靜止釋放開(kāi)始計(jì)時(shí)，小球第一次回到釋放點(diǎn)停止計(jì)時(shí)，以這段時(shí)間作為周期B．將擺球拉離平衡位置一個(gè)小角度，從靜止釋放開(kāi)始計(jì)時(shí)，小球第30次回到釋放點(diǎn)停止計(jì)時(shí)，以這段時(shí)間除以30作為周期C．將擺球拉離平衡位置一個(gè)小角度，從靜止釋放擺球，當(dāng)小球某次通過(guò)最低點(diǎn)時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，并數(shù)為0，以后小球每次經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)，他依次數(shù)為1、2、3……，數(shù)到60時(shí)停止計(jì)時(shí)，以這段時(shí)間除以30作為周期D．將擺球拉離平衡位置一個(gè)小角度，從靜止釋放擺球，當(dāng)小球某次向右通過(guò)最低點(diǎn)時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，并同時(shí)數(shù)30，以后小球每次向右經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)，他依次計(jì)數(shù)為29、28、27……，數(shù)到0時(shí)停止計(jì)時(shí)，以這段時(shí)間除以30作為周期（3）他根據(jù)正確方法測(cè)出了擺長(zhǎng)l和周期T，計(jì)算當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣鹊谋磉_(dá)式為g＝。（4）甲同學(xué)用上述方法測(cè)量重力加速度g，你認(rèn)為最需要改進(jìn)的是。（5）乙同學(xué)沒(méi)有測(cè)量擺球直徑，只正確測(cè)得了擺線(xiàn)長(zhǎng)為l，和對(duì)應(yīng)的單擺振動(dòng)周期為T(mén)。然后通過(guò)改變擺線(xiàn)的長(zhǎng)度，共測(cè)得6組l和對(duì)應(yīng)的周期T，計(jì)算出T2，作出l－T2圖線(xiàn)，在圖線(xiàn)上選取相距較遠(yuǎn)的A、B兩點(diǎn)，讀出與這兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)，如圖所示。乙同學(xué)計(jì)算重力加速度的表達(dá)式為g＝。（6）乙同學(xué)沒(méi)有測(cè)量擺球直徑，把擺線(xiàn)長(zhǎng)當(dāng)成了擺長(zhǎng)。你認(rèn)為他這種做法會(huì)不會(huì)引起實(shí)驗(yàn)的系統(tǒng)誤差（填“會(huì)”或“不會(huì)”）【答案】1.86CD需要改變擺長(zhǎng)多做幾次實(shí)驗(yàn)，測(cè)得多個(gè)g值，再取平均值作為實(shí)驗(yàn)結(jié)果不會(huì)【詳解】（1）[1]測(cè)量的讀數(shù)為（2）[2]A．將擺球拉離平衡位置一個(gè)小角度，應(yīng)當(dāng)小球第一次回到釋放點(diǎn)停止計(jì)時(shí)，以這段時(shí)間作為周期，計(jì)時(shí)應(yīng)該當(dāng)小球通過(guò)最低點(diǎn)時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，且不能只計(jì)一次，這樣實(shí)驗(yàn)誤差太大，故A錯(cuò)誤；B．將擺球拉離平衡位置一個(gè)小角度，應(yīng)當(dāng)小球第一次回到釋放點(diǎn)停止計(jì)時(shí)，故B錯(cuò)誤；C．將擺球拉離平衡位置一個(gè)小角度，從靜止釋放擺球，當(dāng)小球某次通過(guò)最低點(diǎn)時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，并數(shù)為0，以后小球每次經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)，他依次數(shù)為1、2、3……，數(shù)到60時(shí)停止計(jì)時(shí)，以這段時(shí)間除以30作為周期，做法正確，故C正確；D．將擺球拉離平衡位置一個(gè)小角度，從靜止釋放擺球，當(dāng)小球某次向右通過(guò)最低點(diǎn)時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，并同時(shí)數(shù)30，以后小球每次向右經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)，他依次計(jì)數(shù)為29、28、27……，數(shù)到0時(shí)停止計(jì)時(shí)，以這段時(shí)間除以30作為周期，做法正確，故D正確。故選CD。（3）[3]根據(jù)單擺周期公式化解的（4）[4]需要改變擺長(zhǎng)多做幾次實(shí)驗(yàn)，測(cè)得多個(gè)g值，再取平均值作為實(shí)驗(yàn)結(jié)果（5）[5]根據(jù)單擺周期公式化解的將AB兩點(diǎn)的數(shù)據(jù)代入可得，聯(lián)立可得[6]根據(jù)可得可得即可知乙同學(xué)沒(méi)有測(cè)量擺球直徑，把擺線(xiàn)長(zhǎng)當(dāng)成了擺長(zhǎng)。你認(rèn)為他這種做法斜率不變，在用斜率計(jì)算重力加速度不會(huì)引起實(shí)驗(yàn)的系統(tǒng)誤差?？键c(diǎn)二創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)方案知識(shí)點(diǎn):(1)實(shí)驗(yàn)原理的改進(jìn)：借助光敏電阻測(cè)時(shí)間(2)實(shí)驗(yàn)器材的改進(jìn)：用桿線(xiàn)擺替代線(xiàn)擺考向1實(shí)驗(yàn)原理的改進(jìn)1．某學(xué)習(xí)小組學(xué)習(xí)了單擺的相關(guān)知識(shí)后，想利用如圖甲所示的裝置測(cè)量當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?。?）趙同學(xué)找到實(shí)驗(yàn)室的光敏電阻等元件，利用如圖乙所示裝置記錄振動(dòng)周期，在擺球運(yùn)動(dòng)的最低點(diǎn)的左、右兩側(cè)分別放置一激光光源與光敏電阻，光敏電阻與某自動(dòng)記錄儀相連，該儀器顯示的光敏電阻阻值R隨時(shí)間t的變化圖線(xiàn)如圖丙所示，則該單擺的振動(dòng)周期為s（結(jié)果保留四位有效數(shù)字）。（2）王同學(xué)則利用計(jì)算機(jī)繪制了a、b兩個(gè)擺球的振動(dòng)圖像（如圖丁所示），由圖可知，兩單擺擺長(zhǎng)之比。（3）李同學(xué)每次用同一套實(shí)驗(yàn)裝置，用同樣的步驟進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，但所測(cè)得的重力加速度總是偏大，其原因可能是。A．開(kāi)始計(jì)時(shí)時(shí)，過(guò)早按下秒表B．測(cè)周期記錄全振動(dòng)次數(shù)時(shí)，將n次全振動(dòng)誤記為次C．?dāng)[球的質(zhì)量過(guò)大D．計(jì)算擺長(zhǎng)時(shí)，只考慮懸線(xiàn)的長(zhǎng)度，沒(méi)有加上小球的半徑【答案】2.000B【詳解】（1）[1]單擺在一個(gè)周期內(nèi)兩次經(jīng)過(guò)平衡位置，根據(jù)圖線(xiàn)丙的變化規(guī)律可知，該單擺的周期為（2）[2]由圖丁振動(dòng)圖線(xiàn)可知，兩單擺的周期之比由公式，可得兩單擺擺長(zhǎng)之比（3）[3]根據(jù)題意，由單擺的周期公式可得A．開(kāi)始計(jì)時(shí)時(shí)，過(guò)早按下秒表，周期的測(cè)量值偏大，則重力加速度的測(cè)量值偏小，故A錯(cuò)誤；B．如果振動(dòng)次教多數(shù)了一次，即偏小，偏大，故B正確；C．?dāng)[球的質(zhì)量過(guò)大，不會(huì)影響單擺的周期與擺長(zhǎng)，所以不影響重力加速度的測(cè)量，故C錯(cuò)誤；D．算擺長(zhǎng)時(shí)漏加小球半徑，則偏小，求得的偏小，故D錯(cuò)誤。故選B。考向2實(shí)驗(yàn)器材的創(chuàng)新2．同學(xué)們用如圖所示的“桿線(xiàn)擺”研究擺的周期與等效重力加速度的關(guān)系。桿線(xiàn)擺可以繞著立柱來(lái)回?cái)[動(dòng)（立柱并不轉(zhuǎn)動(dòng)），使擺球的運(yùn)動(dòng)軌跡被約束在一個(gè)傾斜的平面內(nèi)。具體操作步驟如下：（1）測(cè)量“斜面”的傾角。將鐵架臺(tái)放在水平桌面上，在鐵架臺(tái)立柱上綁上重垂線(xiàn)，調(diào)節(jié)桿線(xiàn)擺的線(xiàn)長(zhǎng)，使重垂線(xiàn)與擺桿垂直。把鐵架臺(tái)底座的一側(cè)墊高，使立柱傾斜。測(cè)出靜止時(shí)擺桿與重垂線(xiàn)的夾角為，則“斜面”的傾角。（2）根據(jù)斜面傾角，求出等效重力加速度。（3）測(cè)量桿線(xiàn)擺的周期。盡量減小擺桿與立柱之間的摩擦，將擺拉開(kāi)一個(gè)較小的角度，輕輕釋放擺球。用停表測(cè)量擺球全振動(dòng)次所用的時(shí)間，則單擺的周期為。（4）改變鐵架臺(tái)的傾斜程度，重復(fù)實(shí)驗(yàn)，將所需數(shù)據(jù)記錄在表格中。序號(hào)（5）為了直觀(guān)體現(xiàn)周期與等效重力加速度的關(guān)系，請(qǐng)?jiān)谧鴺?biāo)紙中選擇合適的物理量與單位，補(bǔ)全缺少的數(shù)據(jù)點(diǎn)并繪圖。（6）通過(guò)圖線(xiàn)，可以計(jì)算出在擺長(zhǎng)一定的情況下，擺的周期與等效重力加速度的關(guān)系。若忽略球的尺寸，本實(shí)驗(yàn)中的擺長(zhǎng)應(yīng)為填“擺線(xiàn)”、“擺桿”的長(zhǎng)度，擺長(zhǎng)為結(jié)果保留位有效數(shù)字?！敬鸢浮繑[桿【詳解】（1）[1]擺桿與重垂線(xiàn)的夾角為為擺桿與水平方向的夾角，根據(jù)幾何關(guān)系可知（3）[2]根據(jù)擺球全振動(dòng)的次數(shù)和所用時(shí)間，周期（5）[3]根據(jù)題圖可知等效重力加速度為根據(jù)單擺周期公式有在圖中以周期為縱坐標(biāo)軸、以為橫坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系，根據(jù)表格中相應(yīng)的各組數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系中描點(diǎn)、作圖如圖所示：（6）[4][5]本實(shí)驗(yàn)的擺長(zhǎng)為擺桿；由上述圖像圖像的斜率結(jié)合圖像函數(shù)可知解得考向3實(shí)驗(yàn)思路的創(chuàng)新3．某實(shí)驗(yàn)小組用鐵架臺(tái)、長(zhǎng)約1m的細(xì)繩、直徑約為1cm的金屬球、米尺、位移傳感器、數(shù)據(jù)采集器和電腦等器材測(cè)量重力加速度。實(shí)驗(yàn)過(guò)程如下：（1）用游標(biāo)卡尺測(cè)量小球直徑d，示數(shù)如圖甲所示，其示數(shù)為mm；（2）按圖乙安裝實(shí)驗(yàn)裝置。當(dāng)擺球靜止時(shí)，測(cè)出擺長(zhǎng)L。將擺球拉開(kāi)一角度后釋放，擺球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，位移傳感器記錄擺球擺動(dòng)過(guò)程中位移x隨時(shí)間t變化的關(guān)系，其中的一段圖像如圖丙所示，則此單擺的周期T=s；（3）改變擺長(zhǎng)，重復(fù)步驟（2），測(cè)得多組數(shù)據(jù)（L，T），利用計(jì)算機(jī)作出T2L圖像，根據(jù)圖像得到，則當(dāng)?shù)刂亓铀俣却笮間=m/s2；（結(jié)果保留三位有效數(shù)字）

（4）下列說(shuō)法正確的是（填選項(xiàng)前的字母）。A．選擇密度較小的擺球，測(cè)得的g值誤差較小B．把擺球從平衡位置拉開(kāi)30°角后釋放，重復(fù)步驟（2），仍能測(cè)出單擺周期C．用懸線(xiàn)的長(zhǎng)度加擺球直徑作為擺長(zhǎng)，代入計(jì)算得到的g值偏大【答案】10.201.69.86BC/CB【詳解】（1）[1]游標(biāo)卡尺示數(shù)為（2）[2]由圖可知小球振動(dòng)周期T=1.6s；（3）[3]圖線(xiàn)斜率解得（4）[4]A．為減小實(shí)驗(yàn)誤差因，應(yīng)選擇密度較大的擺球，故A錯(cuò)誤；B．把擺球從平衡位置拉開(kāi)30后釋放，擺角逐漸減小，當(dāng)擺角小于15后，擺動(dòng)可視為單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，根據(jù)計(jì)算機(jī)記錄的圖像，仍能測(cè)出單擺周期，故B正確；C．由單擺的周期公式可推出重力加速度的計(jì)算式可知，擺長(zhǎng)偏大則代入單擺周期公式計(jì)算得到的重力加速度值偏大，故C正確；故選BC。（2023年山西卷高考真題）一學(xué)生小組做“用單擺測(cè)量重力加速度的大小”實(shí)驗(yàn)。

（1）用實(shí)驗(yàn)室提供的螺旋測(cè)微器測(cè)量擺球直徑。首先，調(diào)節(jié)螺旋測(cè)微器，擰動(dòng)微調(diào)旋鈕使測(cè)微螺桿和測(cè)砧相觸時(shí)，發(fā)現(xiàn)固定刻度的橫線(xiàn)與可動(dòng)刻度上的零刻度線(xiàn)未對(duì)齊，如圖（a）所示，該示數(shù)為mm；螺旋測(cè)微器在夾有擺球時(shí)示數(shù)如圖（b）所示，該示數(shù)為mm，則擺球的直徑為mm。（2）單擺實(shí)驗(yàn)的裝置示意圖如圖（c）所示，其中角度盤(pán)需要固定在桿上的確定點(diǎn)O處，擺線(xiàn)在