廣東省潮州市2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷

20202021學(xué)年廣東省潮州市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共10小題，每題4分，共40分）.1．復(fù)數(shù)z＝i（1+i）的實部為（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i2．公司有員工49人，其中30歲以上的員工有14人，沒超過30歲的員工有35人，為了解員工的健康情況，用分層抽樣的方法抽一個容量為7的樣本，其中30歲以上的員工應(yīng)抽多少（）A．2人 B．4人 C．5人 D．1人3．某人打開時，忘記了開機的六位密碼的第二位和第四位，只記得第二位是7，8，9中的一個數(shù)字，第四位是1，2，3中的一個數(shù)字，則他輸入一次能夠開機的概率是（）A． B． C． D．4．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，則cosB＝（）A．﹣ B． C．﹣ D．5．已知兩條不同直線l，m，兩個不同平面α，β，則下列命題正確的是（）A．若α∥β，l?α，m?β，則l∥m B．若α∥β，m∥α，l⊥β，則l⊥m C．若α⊥β，l⊥α，m⊥β，則l∥m D．若α⊥β，l∥α，m∥β，則l⊥m6．18世紀(jì)末期，挪威測量學(xué)家威塞爾首次利用坐標(biāo)平面上的點來表示復(fù)數(shù)，使復(fù)數(shù)及其運算具有了幾何意義，例如，|z|＝|OZ|，也即復(fù)數(shù)z的模的幾何意義為z對應(yīng)的點Z到原點的距離．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z0＝（i是虛數(shù)單位，a∈R）是純虛數(shù)，其對應(yīng)的點為Z0，滿足條件|z|＝1的點Z與Z0之間的最大距離為（）A．1 B．2 C．3 D．47．如圖，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個觀測點C，D，測得∠BCD＝15°，∠CBD＝30°，CD＝10m，并在C處測得塔頂A的仰角為45°，則塔高AB＝（）A．30m B．20m C．30m D．20m8．在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，E為BC的中點，則（）A． B． C． D．9．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別是a，b，c．若c﹣acosB＝（2a﹣b）cosA，則△ABC的形狀為（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，滿分16分）11．已知復(fù)數(shù)﹣5+i與﹣3﹣2i分別表示向量和，則表示向量的復(fù)數(shù)為．12．柜子里有3雙不同的鞋子，隨機地取出2只，則取出的2只鞋子不成對的概率為．13．某圓錐母線長為4，其側(cè)面展開圖為半圓面，則該圓錐體積為．三、解答題：本大題共5小題滿分44分，解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．已知||＝1，||＝2，（2﹣）?（+2）＝﹣3．（1）求與的夾角θ；（2）求|2+|．16．某電動車售后服務(wù)調(diào)研小組從汽車市場上隨機抽取20輛純電動汽車調(diào)查其續(xù)駛里程（單次充電后能行駛的最大里程），被調(diào)查汽車的續(xù)駛里程全部介于50公里和300公里之間，將統(tǒng)計結(jié)果分成5組：[50，100），[100，150），[150，200），[200，250），[250，300），繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求續(xù)駛里程在[200，300]的車輛數(shù)；（2）求續(xù)駛里程的平均數(shù)；（3）若從續(xù)駛里程在[200，300]的車輛中隨機抽取2輛車，求其中恰有一輛車的續(xù)駛里程在[200，250]內(nèi)的概率．19．甲、乙兩隊舉行圍棋擂臺賽，規(guī)則如下：兩隊各出3人，排定1，2，3號．第一局，雙方1號隊員出場比賽，負(fù)的一方淘汰，該隊下一號隊員上場比賽．當(dāng)某隊3名隊員都被淘汰完，比賽結(jié)束，未淘汰完的一方獲勝，如圖表格中，第m行、第n列的數(shù)據(jù)是甲隊第m號隊員能戰(zhàn)勝乙隊第n號隊員的概率．0.50.30.20.60.50.30.80.70.6（1）求甲隊2號隊員把乙隊3名隊員都淘汰的概率；（2）比較第三局比賽，甲隊隊員和乙隊隊員哪個獲勝的概率更大一些？參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．復(fù)數(shù)z＝i（1+i）的實部為（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【分析】利用復(fù)數(shù)的乘除運算化簡復(fù)數(shù)，即可求解．解：∵z＝i（1+i）＝i+i2＝﹣1+i，∴實部為﹣1，故選：B．2．公司有員工49人，其中30歲以上的員工有14人，沒超過30歲的員工有35人，為了解員工的健康情況，用分層抽樣的方法抽一個容量為7的樣本，其中30歲以上的員工應(yīng)抽多少（）A．2人 B．4人 C．5人 D．1人【分析】用30歲以上的員工的人數(shù)，乘以每個個體被抽到的概率，即得所求．解：每個個體被抽到的概率等于＝，故30歲以上的員工應(yīng)抽取的人數(shù)為14×＝2，故選：A．3．某人打開時，忘記了開機的六位密碼的第二位和第四位，只記得第二位是7，8，9中的一個數(shù)字，第四位是1，2，3中的一個數(shù)字，則他輸入一次能夠開機的概率是（）A． B． C． D．【分析】密碼的組合方式有n＝3×3＝9種，由此能求出他輸入一次能夠開機的概率．解：某人打開時，忘記了開機的六位密碼的第二位和第四位，只記得第二位是7，8，9中的一個數(shù)字，第四位是1，2，3中的一個數(shù)字，∴密碼的組合方式有n＝3×3＝9，∴他輸入一次能夠開機的概率是p＝．故選：C．4．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，則cosB＝（）A．﹣ B． C．﹣ D．【分析】根據(jù)正弦定理先求出sinB的值，再由三角形的邊角關(guān)系確定∠B的范圍，進而利用sin2B+cos2B＝1求解．解：根據(jù)正弦定理可得，，解得，又∵b＜a，∴B＜A，故B為銳角，∴，故選：D．5．已知兩條不同直線l，m，兩個不同平面α，β，則下列命題正確的是（）A．若α∥β，l?α，m?β，則l∥m B．若α∥β，m∥α，l⊥β，則l⊥m C．若α⊥β，l⊥α，m⊥β，則l∥m D．若α⊥β，l∥α，m∥β，則l⊥m【分析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判定逐一核對四個選項得答案．解：對于A，由α∥β，l?α，m?β，得l∥m或l與m異面，故A錯誤；對于B，若α∥β，l⊥β，則l⊥α，又m∥α，則l⊥m，故B正確；對于C，若α⊥β，l⊥α，m⊥β，則l⊥m，故C錯誤；對于D，若α⊥β，l∥α，m∥β，則l與m的位置關(guān)系是平行、相交或異面，相交與平行時，可能垂直，也可能不垂直，故D錯誤．故選：B．6．18世紀(jì)末期，挪威測量學(xué)家威塞爾首次利用坐標(biāo)平面上的點來表示復(fù)數(shù)，使復(fù)數(shù)及其運算具有了幾何意義，例如，|z|＝|OZ|，也即復(fù)數(shù)z的模的幾何意義為z對應(yīng)的點Z到原點的距離．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z0＝（i是虛數(shù)單位，a∈R）是純虛數(shù)，其對應(yīng)的點為Z0，滿足條件|z|＝1的點Z與Z0之間的最大距離為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由復(fù)數(shù)的運算化簡z0，由z0為純虛數(shù)可求得a的值，從而可求得z0，Z0，設(shè)Z（x，y）且x2+y2＝1，﹣1≤y≤1，由兩點間的距離公式即可求解點Z與Z0之間的最大距離．解：由z0＝＝＝，因為復(fù)數(shù)z0＝（i是虛數(shù)單位，a∈R）是純虛數(shù)，所以a+2＝0，解得a＝﹣2，所以z0＝2i，則Z0（0，2），由于|z|＝1，故設(shè)Z（x，y）且x2+y2＝1，﹣1≤y≤1，所以|ZZ0|＝＝＝≤＝3，故點Z與Z0之間的最大距離為3．故選：C．7．如圖，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個觀測點C，D，測得∠BCD＝15°，∠CBD＝30°，CD＝10m，并在C處測得塔頂A的仰角為45°，則塔高AB＝（）A．30m B．20m C．30m D．20m【分析】由已知在△BCD中，利用正弦定理可求CB的值，在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°，可求塔高AB＝BC的值．解：在△BCD中，∠BCD＝15°，∠CBD＝30°，CD＝10m，由正弦定理＝，可得＝，可得CB＝20＝20，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，所以塔高AB＝BC＝20m．故選：D．8．在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，E為BC的中點，則（）A． B． C． D．【分析】利用數(shù)形結(jié)合，在梯形ABCD中，利用三角形法則即可求解．解：如圖所示：在三角形ABE中，＝＝＝＝，故選：A．9．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別是a，b，c．若c﹣acosB＝（2a﹣b）cosA，則△ABC的形狀為（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【分析】由正弦定理將已知化簡為三角函數(shù)關(guān)系式，可得cosA（sinB﹣sinA）＝0，從而可得A＝或B＝A或B＝π﹣A（舍去）．解：∵c﹣acosB＝（2a﹣b）cosA，C＝π﹣（A+B），∴由正弦定理得：sinC﹣sinAcosB＝2sinAcosA﹣sinBcosA，∴sinAcosB+cosAsinB﹣sinAcosB＝2sinAcosA﹣sinBcosA，∴cosA（sinB﹣sinA）＝0，∵cosA＝0，或sinB＝sinA，∴A＝或B＝A或B＝π﹣A（舍去），故選：D．二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，滿分16分）11．已知復(fù)數(shù)﹣5+i與﹣3﹣2i分別表示向量和，則表示向量的復(fù)數(shù)為2﹣3i．【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義求出向量，即可求出表示的復(fù)數(shù)為2﹣3i．解：∵＝﹣5+i，＝﹣3﹣2i，∴＝﹣＝（﹣3﹣2i）﹣（﹣5+i）＝2﹣3i，即向量表示的復(fù)數(shù)為2﹣3i．故答案為：2﹣3i．12．柜子里有3雙不同的鞋子，隨機地取出2只，則取出的2只鞋子不成對的概率為．【分析】利用古典概型概率計算公式和對立事件的概率計算公式求解．解：∵取法總數(shù)有C62＝15種，取出的鞋成對的種數(shù)有3種，∴取出的鞋不成對的概率p＝1﹣＝．故答案為：13．某圓錐母線長為4，其側(cè)面展開圖為半圓面，則該圓錐體積為．【分析】由已知利用弧長公式求得圓錐的底面半徑，再由勾股定理求高，代入圓錐的體積公式得答案．解：由已知可得半圓的弧長為：l＝×2π×4＝4π，即圓錐的底面周長為4π，設(shè)圓錐的底面半徑是r，則2πr＝4π，解得：r＝2，即圓錐的底面半徑是2，高h＝．∴圓錐的體積為：V＝，故答案為：．三、解答題：本大題共5小題滿分44分，解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．已知||＝1，||＝2，（2﹣）?（+2）＝﹣3．（1）求與的夾角θ；（2）求|2+|．【分析】（1）進行數(shù)量積的運算即可求出，然后即可得出，然后根據(jù)向量夾角的范圍即可求出θ的值；（2）進行數(shù)量積的運算即可求出，從而可得出的值．解：（1）∵，∴＝，∴，∴，且θ∈[0，π]，∴；（2），∴．16．某電動車售后服務(wù)調(diào)研小組從汽車市場上隨機抽取20輛純電動汽車調(diào)查其續(xù)駛里程（單次充電后能行駛的最大里程），被調(diào)查汽車的續(xù)駛里程全部介于50公里和300公里之間，將統(tǒng)計結(jié)果分成5組：[50，100），[100，150），[150，200），[200，250），[250，300），繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求續(xù)駛里程在[200，300]的車輛數(shù)；（2）求續(xù)駛里程的平均數(shù)；（3）若從續(xù)駛里程在[200，300]的車輛中隨機抽取2輛車，求其中恰有一輛車的續(xù)駛里程在[200，250]內(nèi)的概率．【分析】（1）利用頻率和為1列方程求出x的值，再求對應(yīng)的頻數(shù)；（2）由頻率分布直方圖求出平均數(shù)即可；（3）利用分層抽樣法求出抽取的數(shù)據(jù)，用列舉法求出基本事件數(shù)，計算所求的概率值．解：（1）由題意可知，0.002×50+0.005×50+0.008×50+x×50+0.002×50＝1，解得x＝0.003，所以續(xù)駛里程在[200，300]的車輛數(shù)為：20×（0.003×50+0.002×50）＝5；（2）由直方圖可得，續(xù)航里程的平均數(shù)為：0.002×50×75+0.005×50×125+0.008×50×175+0.003×50×225+0.002×50×275＝170．（3）由（2）及題意可知，續(xù)駛里程在[200，250）的車輛數(shù)為3，分別記為A，B，C，續(xù)駛里程在[250，300]的車輛數(shù)為2，分別記為a，b，事件A＝“其中恰有一輛汽車的續(xù)駛里程為[200，250）”從該5輛汽車中隨機抽取2輛，所有的可能如下：（A，B），（A，C），（A，a），（A，b），（B，C），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b），（a，b）共10種情況，事件A包含的可能有共：（A，a），（A，b），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b）6種情況，計算．19．甲、乙兩隊舉行圍棋擂臺賽，規(guī)則如下：兩隊各出3人，排定1，2，3號．第一局，雙方1號隊員出場比賽，負(fù)的一方淘汰，該隊下一號隊員上場比賽．當(dāng)某隊3名隊員都被淘汰完，比賽結(jié)束，未淘汰完的一方獲勝，如圖表格中，第m行、第n列的數(shù)據(jù)是甲隊第m號隊員能戰(zhàn)勝乙隊第n號隊員的概率．0.50.30.20.60.50.30.80.70.6（1）求甲隊2號隊員把乙隊3名隊員都淘汰的概率；（2）比較第三局比賽，甲隊隊員和乙隊隊員哪個獲勝的概率更大一些？【分析】（1）利用相互獨立事件概率乘法公式能求出甲隊2號隊員把乙隊3名隊員都淘汰的概率．（2）利用相互獨立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出第3局甲隊隊員獲勝的概率，由此推導(dǎo)出甲隊隊員獲勝的概率更大一