黑龍江省哈爾濱市第九中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)

哈爾濱市第九中學(xué)2023—2024學(xué)年度下學(xué)期2月學(xué)業(yè)階段性評價考試高一數(shù)學(xué)學(xué)科考試試卷（考試時間：120分鐘滿分：150分共2頁）第I卷（共60分）一?選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題只有一個選項符合題意）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.命題“”否定是（）A. B.C D.3.已知命題，，命題指數(shù)函數(shù)在上是增函數(shù)，則p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件4.若關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集為（）．A. B. C. D.5.某海島核污水中含有多種放射性物質(zhì)，其中放射性物質(zhì)含量非常高，它可以進(jìn)入生物體內(nèi)，還可以在體內(nèi)停留，并引起基因突變，但卻難以被清除．現(xiàn)已知的質(zhì)量隨時間（年）的指數(shù)衰減規(guī)律是：（其中為的初始質(zhì)量）．則當(dāng)?shù)馁|(zhì)量衰減為最初的時，所經(jīng)過的時間約為（參考數(shù)據(jù)：，）A.300年 B.255年 C.175年 D.125年6.下列選項中兩數(shù)大小關(guān)系錯誤的是（）A. B.C. D.7.已知實數(shù)，則的（）A.最小值為1 B.最大值為1 C.最小值為 D.最大值為8.定義區(qū)間的長度均為．用表示不超過x的最大整數(shù)．記，其中．設(shè)，若用d表示不等式解集區(qū)間的長度，則當(dāng)時，有A. B. C. D.二?多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分）9.下列等式恒成立的是（）A. B.C. D.10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.存在實數(shù)，函數(shù)無最小值B.對任意實數(shù)，函數(shù)都有零點C.當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增D.對任意，都存在實數(shù)，使關(guān)于的方程有3個不同的實根11.已知函數(shù)的圖象的一個對稱中心為，其中，則（）A.直線為函數(shù)的圖象的一條對稱軸B.函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，C.當(dāng)時，函數(shù)的值域為D.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象12.已知函數(shù)，下列關(guān)于函數(shù)的零點個數(shù)的說法中，正確的是（）A.當(dāng)，有1個零點 B.當(dāng)時，有3個零點C.當(dāng)時，有9個零點 D.當(dāng)時，有7個零點第II卷（共90分）三?填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.求函數(shù)的定義域為________.14.已知函數(shù)滿足，且，則與的大小關(guān)系為__________.15.計算：＝______.16.已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有個零點，則的取值范圍是__________四?解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）17已知函數(shù)，且（1）求常數(shù)的值；（2）求使成立的實數(shù)的取值集合．18.設(shè)．（1）若不等式有實數(shù)解，試求實數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時，試解關(guān)于的不等式.19.近來，國內(nèi)多個城市紛紛加碼布局“夜經(jīng)濟”，以滿足不同層次的多元消費，并拉動就業(yè)、帶動創(chuàng)業(yè)，進(jìn)而提升區(qū)域經(jīng)濟發(fā)展活力．某夜市的一位工藝品售賣者，通過對每天銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該工藝品在過去的一個月內(nèi)（以30天計），每件的銷售價格（單位：元）與時間x（單位：天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足（k為常數(shù)，且），日銷售量（單位：件）與時間x（單位：天）的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：10152025305055605550已知第10天的日銷售收入為505元．（1）給出以下四個函數(shù)模型：①；②；③；④．請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)模型來描述日銷售量與時間x的變化關(guān)系，并求出該函數(shù)的解析式；（2）設(shè)該工藝品的日銷售收入為（單位：元），求的最小值．20.已知函數(shù)，.（1）時，求的值域；（2）若的最小值為4，求的值.21.已知函數(shù)對任意實數(shù)恒有，且當(dāng)時，，又．（1）判斷的奇偶性；（2）判斷在上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；（3）當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．22.若函數(shù)在定義域內(nèi)存在實數(shù)滿足，，則稱函數(shù)為定義域的“階局部奇函數(shù)”.（1）若函數(shù)，判斷是否為上的“二階局部奇函數(shù)”？并說明理由；（2）若函數(shù)是上的“一階局部奇函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；（3）對于任意實數(shù)，函數(shù)恒為上的“階局部奇函數(shù)”，求的取值集合.哈爾濱市第九中學(xué)2023—2024學(xué)年度下學(xué)期2月學(xué)業(yè)階段性評價考試高一數(shù)學(xué)學(xué)科考試試卷（考試時間：120分鐘滿分：150分共2頁）第I卷（共60分）一?選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題只有一個選項符合題意）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先解對數(shù)不等式和絕對值不等式求出集合、，再根據(jù)交集的定義計算可得.詳解】由，即，所以，所以，由，即，解得，所以，所以.故選：C2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】直接根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題得到答案.【詳解】命題“”否定是：.故選：C3.已知命題，，命題指數(shù)函數(shù)在上是增函數(shù)，則p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)是增函數(shù)，得到不等式，求出，根據(jù)推出關(guān)系，得到答案.【詳解】由得，故當(dāng)時，指數(shù)函數(shù)在上是增函數(shù)，因為，，所以p是q的充分不必要條件.故選：A4.若關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集為（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)關(guān)于x的不等式的解集是，利用韋達(dá)定理可得，將不等式等價轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求解.【詳解】因為關(guān)于的不等式的解集為，所以的兩根是或2，由韋達(dá)定理可得：，所以可轉(zhuǎn)化為，解得或.所以原不等式的解集為，故選：B.5.某海島核污水中含有多種放射性物質(zhì)，其中放射性物質(zhì)含量非常高，它可以進(jìn)入生物體內(nèi)，還可以在體內(nèi)停留，并引起基因突變，但卻難以被清除．現(xiàn)已知的質(zhì)量隨時間（年）的指數(shù)衰減規(guī)律是：（其中為的初始質(zhì)量）．則當(dāng)?shù)馁|(zhì)量衰減為最初的時，所經(jīng)過的時間約為（參考數(shù)據(jù)：，）A.300年 B.255年 C.175年 D.125年【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意列出方程，進(jìn)而結(jié)合對數(shù)的運算法則即可求得答案．【詳解】依題意可得，即，所以．故選：A．6.下列選項中兩數(shù)大小關(guān)系錯誤的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用指對冪函數(shù)及正切函數(shù)的單調(diào)性可得答案.【詳解】因為為減函數(shù)，，所以，A正確.因為為增函數(shù)，，所以，B正確.因為為增函數(shù)，，所以，C錯誤.因為在區(qū)間上為增函數(shù)，，所以，D正確.故選：C.7.已知實數(shù)，則的（）A.最小值為1 B.最大值為1 C.最小值為 D.最大值為【答案】D【解析】【分析】由基本不等式得出結(jié)果.【詳解】因為，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號；故最大值為，故選：D.8.定義區(qū)間的長度均為．用表示不超過x的最大整數(shù)．記，其中．設(shè)，若用d表示不等式解集區(qū)間的長度，則當(dāng)時，有A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】試題分析：故令f(x)－g(x)<0，可得2≤x≤3，故d＝3－2＝1．選A考點：新定義問題二?多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分）9.下列等式恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】由誘導(dǎo)公式可判斷AC，由二倍角公式、輔助角公式可分別判斷BD.【詳解】對于A，，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，，故D正確.故選：BCD.10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.存在實數(shù)，函數(shù)無最小值B.對任意實數(shù)，函數(shù)都有零點C.當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增D.對任意，都存在實數(shù)，使關(guān)于的方程有3個不同的實根【答案】ABD【解析】【分析】取特值結(jié)合單調(diào)性判斷A；分段討論判斷B；舉特值分析單調(diào)性判斷C；分析函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合圖象判斷D.【詳解】函數(shù)的定義域為R，函數(shù)圖象由函數(shù)的圖象向右平移1個單位而得，函數(shù)在R上是增函數(shù)，對于A，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，當(dāng)時，，此時函數(shù)無最小值，A正確；對于B，當(dāng)時，由，得，解得，當(dāng)時，由，得，解得，因此對任意實數(shù)，函數(shù)都有零點，B正確；對于C，取，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，而，此時函數(shù)在上不單調(diào)，C錯誤；對于D，對任意，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為，在上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，在上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，顯然恒有，當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有3個交點，因此方程有3個不同的實根，D正確.故選：ABD思路點睛：涉及給定函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍問題，可以通過分離參數(shù)，等價轉(zhuǎn)化直線與函數(shù)圖象交點個數(shù)，數(shù)形結(jié)合推理作答.11.已知函數(shù)的圖象的一個對稱中心為，其中，則（）A.直線為函數(shù)的圖象的一條對稱軸B.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，C.當(dāng)時，函數(shù)的值域為D.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象【答案】ACD【解析】【分析】先根據(jù)題意求出函數(shù)的解析式，利用整體代入的方法判斷函數(shù)的對稱軸即可判斷A；利用整體代入的方法求解函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間即可判斷B；利用整體思想，求出函數(shù)的值域即可判斷C；根據(jù)三角函數(shù)的平移伸縮變換求出平移后的解析式即可判斷D．【詳解】由函數(shù)的圖象的一個對稱中心為，則，得，即，，又，得，所以．對于A，當(dāng)時，，所以直線為函數(shù)的圖象的一條對稱軸，故A正確；對于B，令，，解得，，故B錯誤；對于C，由，則，所以，故C正確；對于D，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象，故D正確．故選：ACD．12.已知函數(shù)，下列關(guān)于函數(shù)的零點個數(shù)的說法中，正確的是（）A.當(dāng)，有1個零點 B.當(dāng)時，有3個零點C.當(dāng)時，有9個零點 D.當(dāng)時，有7個零點【答案】AD【解析】【分析】設(shè)，即有，再按和討論并作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可判斷得解.【詳解】由，得，則函數(shù)的零點個數(shù)即為解的個數(shù)，設(shè)，則，二次函數(shù)，其圖象開口向上，過點，對稱軸為，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，且，如圖，由，得，解得，由，得，解得，因此函數(shù)的零點個數(shù)是1，A正確，B錯誤；當(dāng)時，，作出函數(shù)的圖象如圖，由圖象知有3個根，當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，若，則，若，則，此時共有3個解；當(dāng)時，，此時有1個解，，即有2個解，當(dāng)時，，此時有1個解，即無解，因此當(dāng)時，函數(shù)的零點個數(shù)是7，D正確，C錯誤.故選：AD【點睛】方法點睛：關(guān)于復(fù)合函數(shù)的零點的判斷問題，首先將零點問題轉(zhuǎn)化為方程的解的問題；解答時要采用換元的方法，利用數(shù)形結(jié)合法，先判斷外層函數(shù)對應(yīng)方程的解的個數(shù)問題，繼而求解內(nèi)層函數(shù)對應(yīng)方程的解.第II卷（共90分）三?填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.求函數(shù)的定義域為________.【答案】【解析】【分析】用函數(shù)定義域的知識直接求解即可.【詳解】由題意得，，解得，故答案為:14.已知函數(shù)滿足，且，則與的大小關(guān)系為__________.【答案】【解析】【分析】利用題意得到，，可知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，然后分，，三種情況進(jìn)行討論，即可得到答案【詳解】因為滿足，所以關(guān)于對稱，因為，所以，解得，因為，所以，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)時，，所以，即；當(dāng)時，，所以，即；當(dāng)時，，所以，即，綜上所述，故答案為：15.計算：＝______.【答案】【解析】【分析】由題意由兩角差的正切公式即可得解.【詳解】由題意．故答案為：．16.已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有個零點，則的取值范圍是__________【答案】【解析】【分析】由可得，由可得出的取值范圍，由已知條件可得出關(guān)于的不等式，解之即可.【詳解】由，可得，當(dāng)時，，因為方程在區(qū)間有且僅有個實根，則，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四?解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）17.已知函數(shù)，且（1）求常數(shù)的值；（2）求使成立的實數(shù)的取值集合．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦差角公式、余弦差角公式、輔助角公式化簡函數(shù)并求值即可；（2）根據(jù)題意并結(jié)合正弦函數(shù)圖象相關(guān)知識列出不等式求解即可.【小問1詳解】，所以【小問2詳解】由（1）知，，由，即所以，所以，所以，則使成立的實數(shù)的取值集合為18.設(shè)．（1）若不等式有實數(shù)解，試求實數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時，試解關(guān)于的不等式.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）依題意不等式有實數(shù)解，分、、三種情況討論，當(dāng)時需，即可求出參數(shù)的取值范圍；（2）原不等式可化為，再分、、三種情況討論，分別求出不等式的解集.【小問1詳解】依題意，有實數(shù)解，即不等式有實數(shù)解，當(dāng)時，有實數(shù)解，則符合題意.當(dāng)時，取，則成立，符合題意.當(dāng)時，二次函數(shù)的圖像開口向下，要有解，當(dāng)且僅當(dāng)，所以.綜上，實數(shù)的取值范圍是.【小問2詳解】不等式，因為，所以不等式可化為，當(dāng)，即時，不等式無解；當(dāng)，即時，；當(dāng)，即時，；綜上，當(dāng)時，原不等式的解集為，當(dāng)時，原不等式的解集為，當(dāng)時，原不等式的解集為．19.近來，國內(nèi)多個城市紛紛加碼布局“夜經(jīng)濟”，以滿足不同層次的多元消費，并拉動就業(yè)、帶動創(chuàng)業(yè)，進(jìn)而提升區(qū)域經(jīng)濟發(fā)展活力．某夜市的一位工藝品售賣者，通過對每天銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該工藝品在過去的一個月內(nèi)（以30天計），每件的銷售價格（單位：元）與時間x（單位：天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足（k為常數(shù)，且），日銷售量（單位：件）與時間x（單位：天）的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：10152025305055605550已知第10天的日銷售收入為505元．（1）給出以下四個函數(shù)模型：①；②；③；④．請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)模型來描述日銷售量與時間x的變化關(guān)系，并求出該函數(shù)的解析式；（2）設(shè)該工藝品的日銷售收入為（單位：元），求的最小值．【答案】19.選擇模型②：，20.441【解析】【分析】（1）由表格中的數(shù)據(jù)知，當(dāng)時間x變長時，先增后減，所以選擇模型②：.由，確定，，確定的值，就可確定;（2）由第10天的日銷售收入為505元確定，根據(jù)題意確定的解析式，分別用基本不等式和函數(shù)單調(diào)性求得最小值.【小問1詳解】由表格中的數(shù)據(jù)知，當(dāng)時間x變長時，先增后減，①③④函數(shù)模型都描述的是單調(diào)函數(shù)，不符合該數(shù)據(jù)模型．所以選擇模型②：，由，可得，解得，由，解得，，則日銷售量與時間x的變化的關(guān)系式為．【小問2詳解】因為第10天的日銷售收入為505元，則，解得．由（1）知，由

，當(dāng)，時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立，，當(dāng)，時，為減函數(shù)，所以函數(shù)的最小值為，綜上可得，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值441．20.已知函數(shù)，.（1）時，求的值域；（2）若的最小值為4，求的值.【答案】20.21.【解析】【分析】（1）設(shè)可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)計算即可得；（2）設(shè)可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，對的取值進(jìn)行分類討論，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)計算即可得.小問1詳解】由題意得，，，令，，，當(dāng)時，，，在上單調(diào)遞增，故，故的值域為；【小問2詳解】由（1）得，，對稱軸，①當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，，解得；②當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，無解，舍去；③當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，，解得，舍去；綜上所述，.21.已知函數(shù)對任意實數(shù)恒有，且當(dāng)時，，又．（1）判斷的奇偶性；（2）判斷在上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；（3）當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）為奇函數(shù)；（2）在上單調(diào)遞減，證明見解析；（3）.【解析】【