2022年福建省福州市市閩清第二中學(xué)高二數(shù)學(xué)文摸底試卷含解析

2022年福建省福州市市閩清第二中學(xué)高二數(shù)學(xué)文摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.數(shù)列滿足（且），則“”是“數(shù)列成等差數(shù)列”的

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：A略2.設(shè)數(shù)列是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，則等于（

）A．1033 B．1034 C．2057 D．2058參考答案：A略3.若以F1（﹣3，0），F(xiàn)2（3，0）為焦點的雙曲線與直線y=x﹣1有公共點，則該雙曲線的離心率的最小值為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】根據(jù)e=，可得a越大e越小，而雙曲線與直線相切時，a最大，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，即可求得結(jié)論．【解答】解：由題意，c=3，∴e=，∴a越大e越小，而雙曲線與直線相切時，a最大設(shè)雙曲線為=1，把直線y=x﹣1代入，化簡整理可得（9﹣2m）x2+2mx﹣10m+m2=0由△=0，解得：m=5，于是a=，e==．故選：B．4.在等比數(shù)列中,若,則

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A5.某工廠甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)了同一種產(chǎn)品，數(shù)量分別為120件，80件，60件．為了解它們的產(chǎn)品質(zhì)量是否存在顯著差異，用分層抽樣方法抽取了一個容量為n的樣本進(jìn)行調(diào)查，其中從丙車間的產(chǎn)品中抽取了3件，則n=（）A．9 B．10 C．12 D．13參考答案：D【考點】分層抽樣方法．【專題】概率與統(tǒng)計．【分析】甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量的比依次為6：4：3，求出丙車間生產(chǎn)產(chǎn)品所占的比例，從而求出n的值．【解答】解：∵甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)分別是120，80，60，∴甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量的比依次為6：4：3，丙車間生產(chǎn)產(chǎn)品所占的比例，因為樣本中丙車間生產(chǎn)產(chǎn)品有3件，占總產(chǎn)品的，所以樣本容量n=3÷=13．故選D．【點評】本題主要考查了分層抽樣方法，解題要分清具體問題中的總體、個體與樣本，關(guān)鍵是明確考查的對象．總體、個體與樣本的考查對象是相同的，所不同的是范圍的大?。?.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，則（

）A.

B.C.

D.的符號不定參考答案：D7.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,則 A． B． C． D．參考答案：A8.若圓心在x軸上、半徑為的圓O位于y軸左側(cè)，且與直線x+2y=0相切，則圓O的方程是(

)A．（x﹣）2+y2=5 B．（x+）2+y2=5 C．（x﹣5）2+y2=5 D．（x+5）2+y2=5參考答案：D【考點】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】直線與圓．【分析】先看圓心，排除A、C，在B、D中選一個驗證直線x+2y=0相切即可．【解答】解：因為圓O位于y軸左側(cè)，顯然A、C不符，（﹣5，0）到直線x+2y=0的距離為．故選D．【點評】本題采用回代驗證方，法解答靈活．還可以數(shù)形結(jié)合估計法，直接推得結(jié)果．9.拋物線的焦點坐標(biāo)為

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略10.甲乙兩名學(xué)生，六次數(shù)學(xué)測驗成績（百分制）如圖所示．①甲同學(xué)成績的中位數(shù)大于乙同學(xué)成績的中位數(shù)；②甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)高；③甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)低；④甲同學(xué)成績方差小于乙同學(xué)成績的方差．上面說法正確的是（）A．③④ B．①②④ C．②④ D．①③④參考答案：A【分析】由莖葉圖數(shù)據(jù)，求出甲、乙同學(xué)成績的中位數(shù)，平均數(shù)，估計方差，從而解決問題．【解答】解：根據(jù)莖葉圖數(shù)據(jù)知，①甲同學(xué)成績的中位數(shù)是81，乙同學(xué)成績的中位數(shù)是87.5，∴甲的中位數(shù)小于乙的中位數(shù)；②甲同學(xué)的平均分是==81，乙同學(xué)的平均分是==85，∴乙的平均分高；③甲同學(xué)的平均分是=81乙同學(xué)的平均分是=85，∴甲比乙同學(xué)低；④甲同學(xué)成績數(shù)據(jù)比較集中，方差小，乙同學(xué)成績數(shù)據(jù)比較分散，方差大．∴正確的說法是③④．故選：A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知存在實數(shù)a，滿足對任意的實數(shù)b，直線都不是曲線的切線，則實數(shù)的取值范圍是

．參考答案：略12.已知關(guān)于的方程在上恒有實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是

.參考答案：13.已知兩點A（﹣2，0），B（0，2），點C是圓x2+y2﹣2x=0上的任意一點，則△ABC的面積最小值是

．參考答案：【考點】圓的一般方程；三角形的面積公式．【分析】求出直線方程，圓心坐標(biāo)與半徑，從而可得圓上的點到直線距離的最小值進(jìn)而可求△ABC的面積最小值．【解答】解：直線AB的方程為+=1，即x﹣y+2=0．圓x2+y2﹣2x=0，可化為（x﹣1）2+y2=1，∴圓心（1，0）到直線的距離為d==，圓上的點到直線距離的最小值為﹣1．∵|AB|=2，∴△ABC的面積最小值是×2×（﹣1）=3﹣，故答案為：．【點評】本題主要考查用截距式求直線的方程，點到直線的距離公式、直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．14.設(shè)拋物線y2=8x的焦點為F,準(zhǔn)線為l,P為拋物線上一點,PA⊥l,A為垂足.如果直線AF的斜率為,那么|PF|=（

）A.

B.8

C.

D.16參考答案：B拋物線的焦點F（2，0），直線AF的方程為，所以點、，從而|PF|=6+2=8

15.定義在上的函數(shù)同時滿足以下條件：①在(0,1)上是減函數(shù)，在(1，＋∞)上是增函數(shù)；②是偶函數(shù)；③在x＝0處的切線與直線y＝x＋2垂直。（Ⅰ）求函數(shù)＝的解析式；（Ⅱ）設(shè)g(x)＝，若存在實數(shù)x∈[1，e]，使<，求實數(shù)m的取值范圍。參考答案：解:（Ⅰ）(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∵f(x)在(0,1)上是減函數(shù)，在(1，＋∞)上是增函數(shù)，∴f′(1)＝3a＋2b＋c＝0①……………1分由f′(x)是偶函數(shù)得：b＝0②……………2分又f(x)在x＝0處的切線與直線y＝x＋2垂直，f′(0)＝c＝－1③…………3分由①②③得：a＝，b＝0，c＝－1，即f(x)＝x3－x＋3.……………4分（Ⅱ）由已知得：存在實數(shù)x∈[1，e]，使lnx－<x2－1即存在x∈[1，e]，使m>xlnx－x3＋x

…………6分設(shè)M(x)＝xlnx－x3＋xx∈[1，e]，則M′(x)＝lnx－3x2＋2……………7分[來源:學(xué)#科#網(wǎng)Z#X#X#K]設(shè)H(x)＝lnx－3x2＋2，則H′(x)＝－6x＝

……………8分∵x∈[1，e]，∴H′(x)<0，即H(x)在[1，e]上遞減于是，H(x)≤H(1)，即H(x)≤－1<0，即M′(x)<0

……………10分∴M(x)在[1，e]上遞減，∴M(x)≥M(e)＝2e－e3……………12分于是有m>2e－e3為所求．略16.已知函數(shù)f（x）=x3﹣ax2+1在區(qū)間[0，2]內(nèi)單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是．參考答案：[3，+∞）【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】由函數(shù)f（x）=x3﹣ax2+1在[0，2]內(nèi)單調(diào)遞減轉(zhuǎn)化成f'（x）≤0在[0，2]內(nèi)恒成立，利用參數(shù)分離法即可求出a的范圍．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=x3﹣ax2+1在[0，2]內(nèi)單調(diào)遞減，∴f'（x）=3x2﹣2ax≤0在[0，2]內(nèi)恒成立．即a≥x在[0，2]內(nèi)恒成立．∵t=x在[0，2]上的最大值為×2=3，∴故答案為：a≥3．17.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_____________參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)，（1）求函數(shù)的極值；（2）若時，恒成立，求實數(shù)的值；（3）當(dāng)時，求證：在區(qū)間上有且僅有一個零點。參考答案：解：（1）∵∴令得：當(dāng)時，，函數(shù)在上為減函數(shù)；當(dāng)時，，函數(shù)在上為增函數(shù)；∴當(dāng)時，函數(shù)有極小值，極小值為：；無極大值………………3分（2）方法一：由題意可得：恒成立；①當(dāng)時，不等式顯然成立，這時； ……………4分②當(dāng)時，不等式恒成立即：恒成立；由（1）可得：當(dāng)當(dāng)時，∴………5分③當(dāng)時，不等式恒成立即：恒成立；由（1）可得：當(dāng)當(dāng)時，∴………7分綜上可得：

……………8分（2）方法二：由題意可得：恒成立；即：恒成立。令由題意可得：

……………4分1

當(dāng)時，，在上為增函數(shù)，注意到，當(dāng)時，，不合題意；

……………5分②當(dāng)時，令，得，當(dāng)時，，函數(shù)在上為減函數(shù)；當(dāng)時，，函數(shù)在上為增函數(shù)；∴當(dāng)且僅當(dāng)時，，這時，恒成立。

……………8分（3），,令，得，當(dāng)時，，函數(shù)在上為減函數(shù)；當(dāng)時，，函數(shù)在上為增函數(shù)；∵∴

……………11分下證：：令，()下面證明：當(dāng)時，方法一：由（1）可得：當(dāng)時，即：，兩邊取對數(shù)得：，令即得：，從而，在（1,）為增函數(shù)，即：

……………14分方法二：當(dāng)時，令，在（1,）為增函數(shù)，∴從而，在（1,）為增函數(shù)，即：

……………14分∵，，由零點存在定理，函數(shù)在區(qū)間必存在一個零點

……………15分又∵函數(shù)在上為增函數(shù)，∴在區(qū)間上有且僅有一個零點。

……………16分

略19.（本題滿分16分）已知函數(shù)（a＞0且a≠1）是奇函數(shù).（1）求實數(shù)m的值；（2）判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，+∞)上的單調(diào)性并說明理由；（3）當(dāng)x∈(n，a﹣2)時，函數(shù)f(x)的值域為(1，+∞)，求實數(shù)n，a的值.

參考答案：（1）由已知條件得對定義域中的均成立，所以,即即對定義域中的均成立，得，當(dāng)時顯然不成立，所以.…………………4分（2）由（1）知，其定義域為設(shè)，當(dāng)時，，所以；……………6分當(dāng)時，，即，所以當(dāng)時在上是減函數(shù)，同理：當(dāng)時在上是增函數(shù)；…………………10分（3），其定義域為，(i),所以在上為增函數(shù)，要使值域為，則（無解）.……………12分(ii)，則，所以在上為減函數(shù)，要使值域為，則所以.

…………16分20.已知在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸）中，曲線C2的方程為ρsin2θ=2pcosθ（p＞0），曲線C1、C2交于A、B兩點．（Ⅰ）若p=2且定點P（0，﹣4），求|PA|+|PB|的值；（Ⅱ）若|PA|，|AB|，|PB|成等比數(shù)列，求p的值．參考答案：【考點】QH：參數(shù)方程化成普通方程；Q4：簡單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】（Ⅰ）曲線C2的方程為ρsin2θ=2pcosθ（p＞0），即為ρ2sin2θ=2pρcosθ（p＞0），利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．將曲線C1的參數(shù)方程（t為參數(shù)）與拋物線方程聯(lián)立得：t+32=0，可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|．（Ⅱ）將曲線C1的參數(shù)方程與y2=2px聯(lián)立得：t2﹣2（4+p）t+32=0，又|PA|，|AB|，|PB|成等比數(shù)列，可得|AB|2=|PA||PB|，可得=|t1||t2|，即=5t1t2，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵曲線C2的方程為ρsin2θ=2pcosθ（p＞0），即為ρ2sin2θ=2pρcosθ（p＞0），∴曲線C2的直角坐標(biāo)方程為y2=2px，p＞2．又已知p=2，∴曲線C2的直角坐標(biāo)方程為y2=4x．將曲線C1的參數(shù)方程（t為參數(shù)）與y2=4x聯(lián)立得：t+32=0，由于△=﹣4×32＞0，設(shè)方程兩根為t1，t2，∴t1+t2=12，t1?t2=32，∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=12．（Ⅱ）將曲線C1的參數(shù)方程（t為參數(shù)）與y2=2px聯(lián)立得：t2﹣2（4+p）t+32=0，由于△=﹣4×32=8（p2+8p）＞0，∴t1+t2=2（4+p），t1?t2=32，又|PA|，|AB|，|PB|成等比數(shù)列，∴|AB|2=|PA||PB，∴=|t1||t2|，∴=5t1t2，∴=5×32，