運籌學全套課件

2024/4/10運籌學

2/22第一章緒論運籌學的產(chǎn)生與發(fā)展運籌學的分支運籌學在工商管理中的應用關于運籌學的學習3/22題解Operations漢語翻譯工作、操作、行動、手術、運算OperationsResearch日本——運用學港臺——作業(yè)研究中國大陸——運籌學OperationalResearch原來名稱，意為軍事行動研究英國稱為OperationalResearch美國稱為OperationResearch4/221.運籌學的產(chǎn)生與發(fā)展運籌學是應用分析、試驗、量化的方法，對經(jīng)濟管理系統(tǒng)中的人力、物力、財力等資源進行統(tǒng)籌安排，為決策者提供有依據(jù)的最優(yōu)方案，以實現(xiàn)最有效的管理。運籌學產(chǎn)生于第二次世界大戰(zhàn)，主要用于解決如何在與德軍的對抗中最大限度地殺傷敵人、減少損失。與作戰(zhàn)問題相關如雷達的設置、運輸船隊的護航、反潛作戰(zhàn)中深水炸彈的深度、飛行員的編組、軍事物資的存儲等5/221.運籌學的產(chǎn)生與發(fā)展戰(zhàn)后二戰(zhàn)以后，在經(jīng)濟、管理領域和機關學校及科研單位繼續(xù)研究，并得到了快速的發(fā)展，形成了許多分支，丹捷格提出的求解線性規(guī)劃問題的單純形法是運籌學發(fā)展史上最重大的進展之一。而計算機的應用極大地推進了運籌學的普及與應用。1952年，Morse和Kimball出版《運籌學方法》1948年英國首先成立運籌學會1952年美國成立運籌學會1959年成立國際運籌學聯(lián)合會(IFORS)我國于1982年加入IFORS，并于1999年8月組織了第15屆大會MIT（1948）：首開“運籌學”課。6/22運籌學的定義為決策機構對所控制的業(yè)務活動作決策時，提供以數(shù)量為基礎的科學方法——Morse和Kimball運籌學是把科學方法應用在指導人員、工商企業(yè)、政府和國防等方面解決發(fā)生的各種問題，其方法是發(fā)展一個科學的系統(tǒng)模式，并運用這種模式預測，比較各種決策及其產(chǎn)生的后果，以幫助主管人員科學地決定工作方針和政策——英國運籌學會Churchman定義：運籌學是應用科學的方法、技術和工具，來處理一個系統(tǒng)運行中的問題，使系統(tǒng)控制得到最優(yōu)的解決方法。運籌學是應用分析、試驗、量化的方法對經(jīng)濟管理系統(tǒng)中人力、物力、財力等資源進行統(tǒng)籌安排，為決策者提供有根據(jù)的最優(yōu)方案，以實現(xiàn)最有效的管理——中國百科全書現(xiàn)代運籌學涵蓋了一切領域的管理與優(yōu)化問題，稱為ManagementScience7/222.運籌學的分支運籌學不僅在軍事上，而且在生產(chǎn)、決策、運輸、存儲等經(jīng)濟管理領域有著廣泛的應用。由此產(chǎn)生了許多不同的分支數(shù)學規(guī)劃：線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃、目標規(guī)劃等圖論與網(wǎng)路理論隨機服務理論：排隊論存儲理論決策理論對策論系統(tǒng)仿真：隨機模擬技術、系統(tǒng)動力學可靠性理論金融工程……8/22決策、定量分析與管理運籌學決策過程（解決問題的過程）（1）認清問題。（2）找出一些可供選擇的方案。（3）確定目標或評估方案的標準。（4）評估各個方案：解的檢驗、靈敏性分析等。（5）選出一個最優(yōu)的方案：決策。（6）執(zhí)行此方案：回到實踐中。（7）進行后評估：考察問題是否得到圓滿解決。（1）（2）（3）形成問題。（4）（5）分析問題：定性分析與定量分析，構成決策。9/223運籌學在工商管理中的應用生產(chǎn)計劃：生產(chǎn)作業(yè)的計劃、日程表的編排、合理下料、配料問題、物料管理等，追求利潤最大化和成本最小化。庫存管理：多種物資庫存量的管理，某些設備的庫存方式、庫存量等的確定。運輸問題：確定最小成本的運輸線路、物資的調撥、運輸工具的調度以及建廠地址的選擇等。人事管理：對人員的需求和使用的預測，確定人員編制、人員合理分配，建立人才評價體系等。10/223運籌學在工商管理中的應用市場營銷：廣告預算、媒介選擇、定價、產(chǎn)品開發(fā)與銷售計劃制定等。財務和會計：預測、貸款、成本分析、定價、證券管理、現(xiàn)金管理等。此外，還有設備維修、更新，項目選擇、評價，工程優(yōu)化設計與管理等。11/223運籌學在工商管理中的應用由國際運籌與管理科學協(xié)會（INFORMS）及其下屬的管理科學實踐學會（CollegeforthePracticeoftheManagementSciences）主持評定的弗蘭茨·厄德曼（FranzEdelman）獎久負盛名，該獎是為獎勵運籌學在管理中的應用的卓越成就設立的，該獎每年評選一次，在對大量富有競爭力的入圍者進行認真的評審后，一般有六位優(yōu)勝者獲獎。這些獲獎項目的文章都會在第二年發(fā)表在著名刊物Interface新年第一期上。12/22部分獲獎應用列表組織應用效果聯(lián)合航空公司在滿足乘客需求的前提下，以最低成本進行訂票及機場工作班次安排每年節(jié)約成本600萬美元Citgo石油公司優(yōu)化煉油程序及產(chǎn)品供應、配送和營銷每年節(jié)約成本7000萬美元AT＆T優(yōu)化商業(yè)用戶的電話銷售中心選址每年節(jié)約成本4.06億美元，銷售額大幅增加13/22荷瑪特發(fā)展公司優(yōu)化商業(yè)區(qū)和辦公樓銷售程序每年節(jié)約成本4000萬美元標準品牌公司控制成品庫存（制定最優(yōu)再訂購點和訂購量確保安全庫存）每年節(jié)約成本380萬美元施樂公司通過戰(zhàn)略調整，縮短維修機器的反應時間和改進維修人員的生產(chǎn)率每生產(chǎn)效率提高50%以上寶潔公司重新設計北美生產(chǎn)和分銷系統(tǒng)以降低成本并加快了市場進入速度每年節(jié)約成本2億美元法國國家鐵路公司制定最優(yōu)鐵路時刻表并調整鐵路日運營量年節(jié)約成本1500萬美元，年收入大幅增加Delta航空公司優(yōu)化配置上千個國內航線航班來實現(xiàn)利潤最大化每年節(jié)約成本1億美元IBM重組全球供應鏈，保持最小庫存的同時滿足客戶需求第一年節(jié)約成本7.5億美元14/22運籌學方法使用情況(美1983)15/22運籌學方法在我國使用情況(隨機抽樣)16/22運籌學的推廣應用前景據(jù)美勞工局1992年統(tǒng)計預測:

運籌學應用分析人員需求從1990年到2005年的增長百分比預測為73%,增長速度排到各項職業(yè)的前三位.結論:運籌學在國內或國外的推廣前景是非常廣闊的工商企業(yè)對運籌學應用和需求是很大的在工商企業(yè)推廣運籌學方面有大量的工作要做線性規(guī)劃數(shù)學模型1、線性規(guī)劃模型的概念2、線性規(guī)劃模型的圖解法3、線性規(guī)劃模型問題的靈敏度分析4、線性規(guī)劃模型的計算機求解線性規(guī)劃數(shù)學模型所以分別設其變量為xl，x2本決策問題的關鍵因素是產(chǎn)品I和產(chǎn)品Ⅱ的產(chǎn)量引例：某工廠在計劃期內要安排Ⅰ、Ⅱ兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，已知生產(chǎn)單位產(chǎn)品所需的設備臺時及A、B兩種原材料的消耗、資源的限制，如下表：產(chǎn)品Ⅰ產(chǎn)品Ⅱ資源限制設備11300臺時原料A21400千克原料B01250千克單位產(chǎn)品獲利50元100元線性規(guī)劃數(shù)學模型用xl和x2以函數(shù)形式表達工廠所要求的最大利潤的目標:單位產(chǎn)品I和Ⅱ的利潤maxz=50xl＋100x2，線性規(guī)劃數(shù)學模型再以xl和

x2的不等式關系來表示問題中相應資源的限制條件：臺時數(shù)的限制：xl+x2≤300原材料A的限量：2xl+x2≤400原材料B的限量：x2≤250線性規(guī)劃數(shù)學模型線性規(guī)劃數(shù)學（表述）模型線性規(guī)劃數(shù)學模型線性規(guī)劃數(shù)學模型maxz＝50xl+100x2滿足條件：xl＋

x2≤3002xl+x2≤400

x2≤250

xl≥0，

x2≥0線性規(guī)劃數(shù)學模型的表述形式線性規(guī)劃數(shù)學模型線性規(guī)劃數(shù)學模型線性規(guī)劃數(shù)學模型的基本要素（1）決策變量：用符號來表示可控制的因素，如xj。（2）目標函數(shù)：Maxz

或Minf，用來計算和實現(xiàn)決策問題的目標。（3）約束條件：s.t.(subjectto)滿足于（一個等式或不等式組），一般是問題的資源限制條件。線性規(guī)劃數(shù)學模型線性規(guī)劃數(shù)學模型線性規(guī)劃數(shù)學模型的特點（1）所有的決策變量

xj都只能取非負值（3）約束條件關系符右端都是不含xj的常量，稱為常數(shù)項。一般是決策問題的資源限制量，所以常數(shù)項也都只能取非負值。（2）目標函數(shù)、約束條件關系符左端的關系式都是決策變量

xj的線性函數(shù)。線性規(guī)劃數(shù)學模型線性規(guī)劃數(shù)學模型一般線性規(guī)劃問題的建模過程

（1）理解要解決的問題（2）定義決策變量（3）確定線性目標函數(shù)（4）確定約束條件（決策分析中的自然狀態(tài)）線性規(guī)劃數(shù)學模型線性規(guī)劃數(shù)學模型一個最小化決策問題的建模實例

例2.2

某生產(chǎn)基地每天需從A、B兩倉庫中提取原材料用于生產(chǎn)，需要提取的原材料有：原材料甲不少于240件，原材料乙不少于80公斤，原材料丙不少于120噸。已知每輛車從A倉庫每天能運回甲4件、乙2公斤、丙6噸，運費為每車200元；從B倉庫每天能運回甲7件、乙2公斤、丙2噸，運費為每車160元。為滿足生產(chǎn)需要，基地每天應發(fā)往A、B兩倉庫多少輛車，并使總的運費為最低。線性規(guī)劃數(shù)學模型線性規(guī)劃數(shù)學模型一個最小化決策問題的建模實例

將上述問題的描述整理成一個表格：

原料甲

(件)

原料乙

(公斤)原料丙

(噸)

運費

(元)倉庫A（/車）426200倉庫B（/車）722160最少需求量24080120線性規(guī)劃數(shù)學模型線性規(guī)劃數(shù)學模型一個最小化決策問題的建模實例

一、確定決策變量

分別設xl、

x2為該基地每天發(fā)往A、B兩倉庫的貨車數(shù)量線性規(guī)劃數(shù)學模型線性規(guī)劃數(shù)學模型一個最小化決策問題的建模實例

二、確定目標函數(shù)

本問題的目標是使每天總的運費為最低。而每天的總運費為：

Z=200xl+160x2

所以本決策問題的目標函數(shù)為：minZ=200xl+160x2

線性規(guī)劃數(shù)學模型線性規(guī)劃數(shù)學模型一個最小化決策問題的建模實例

三、確定約束條件

原料甲

4xl+7x2

≥240

原料乙

2xl+2x2

≥80

原料丙

6xl+2x2

≥120

車輛不能為負

xl、

x2

≥0外在約束簡單約束線性規(guī)劃數(shù)學模型線性規(guī)劃數(shù)學模型一個最小化決策問題的建模實例

得線性規(guī)劃數(shù)學模型S.T.

4xl+7x2

≥2402xl+2x2

≥80

6xl+2x2

≥120

xl、

x2

≥0minz=200xl+160x2

線性規(guī)劃數(shù)學模型線性規(guī)劃數(shù)學模型線性規(guī)劃數(shù)學模型的一般形式

max(min)z=clxl+c2x2+…+cnxns.t.al1xl+a12x2+…+a1nxn≤（=，≥）b1a21xl+a22x2+…+a2nxn≤（=，≥）b2………am1xl+am2x2+…+amnxn≤（=，≥）bmxl，x2，…，

xn≥0資源限制

外部環(huán)境

內部條件

數(shù)學模型的特征，是由問題的自然關系構成的線性規(guī)劃數(shù)學模型線性規(guī)劃數(shù)學模型cj是目標函數(shù)的變量系數(shù)，也稱作價值系數(shù)

aij是約束條件的變量系數(shù)，也稱作資源配置系數(shù)

bi是常數(shù)項，也稱作資源限制量線性規(guī)劃數(shù)學模型中的關鍵參數(shù)：線性規(guī)劃數(shù)學模型的一般形式

線性規(guī)劃數(shù)學模型兩個變量（二維）線性規(guī)劃問題的圖解法多個變量（高維）線性規(guī)劃問題的單純形法計算機軟件求解線性規(guī)劃數(shù)學模型的求解方法

用于解釋基本概念僅作為工具用來求解數(shù)學模型線性規(guī)劃數(shù)學模型線性規(guī)劃數(shù)學模型的圖解法

特征：只包含兩個決策變量的線性規(guī)劃問題優(yōu)點：簡單、直觀地顯現(xiàn)線性規(guī)劃問題的基本概念方法：在以x1，x2為坐標軸的直角坐標系里，圖上任意一點的坐標代表了決策變量

x1，

x2的一組值，也就代表了一個具體的決策方案。線性規(guī)劃數(shù)學模型用圖解法求解例2.1圖解法0100200300400x1400300200100x2x2=2502xl+x2=400xl+x2=300同時滿足：2x1+x2

400x1+x2

300

x2

250x1

0x2

0的區(qū)域——可行域可行域線性規(guī)劃數(shù)學模型圖解法線性規(guī)劃問題的可行域0100200300400x1400300200100x2可行域A(0,250)B(50,250)C(100,200)D(200,0)O(0,0)線性規(guī)劃數(shù)學模型圖解法線性規(guī)劃問題的可行域

對于不同的線性規(guī)劃問題，可行域的幾何形狀可千變萬化，但幾何結構都是凸集。線性規(guī)劃數(shù)學模型圖解法在可行域中尋找最優(yōu)解0100200300400x1400300200100x2可行域A(0,250)B(50,250)C(100,200)D(200,0)z=0=50x1+100x2線性規(guī)劃數(shù)學模型圖解法在可行域中尋找最優(yōu)解0100200300400x1400300200100x2可行域A(0,250)B(50,250)C(100,200)D(200,0)z=10000=50x1+100x2線性規(guī)劃數(shù)學模型圖解法在可行域中尋找最優(yōu)解0100200300400x1400300200100x2可行域A(0,250)B(50,250)C(100,200)D(200,0)z=20000=50x1+100x2線性規(guī)劃數(shù)學模型圖解法在可行域中尋找最優(yōu)解0100200300400x1400300200100x2可行域A(0,250)B(50,250)C(100,200)D(200,0)z=30000=50x1+100x2線性規(guī)劃數(shù)學模型圖解法在可行域中尋找最優(yōu)解0100200300400x1400300200100x2可行域A(0,250)B(50,250)C(100,200)D(200,0)z=27500=50x1+100x2線性規(guī)劃數(shù)學模型圖解法在可行域中找到的最優(yōu)解B點的坐標為(50，250)，因此最佳決策為x1=50，

x2=250，此時z=27500。最優(yōu)生產(chǎn)計劃方案是生產(chǎn)產(chǎn)品I50單位，生產(chǎn)產(chǎn)品Ⅱ250單位，可得最大利潤27500元。線性規(guī)劃數(shù)學模型線性規(guī)劃數(shù)學模型的可能解線性規(guī)劃數(shù)學模型可能的解1、在線性規(guī)劃問題的解集合中，若約束條件能構成一個封閉的可行域，則可行域的任意點都是該問題的一個可行解，這些可行解中必有最優(yōu)解。

若最優(yōu)解是可行域中一個點，則這個解是線性規(guī)劃的唯一最優(yōu)解。唯一最優(yōu)解都必落在可行域的頂點上，可行域的所有頂點稱為基本可行解；

線性規(guī)劃數(shù)學模型可能的解

2、若可行域的某一個特殊的邊與目標函數(shù)平行，則最優(yōu)解就有可能是這條邊上的所有點，所以是無窮多點，而每一個點都是線性規(guī)劃問題的解，此時線性規(guī)劃問題就有無窮多解（或最優(yōu)解不唯一）。線性規(guī)劃數(shù)學模型可能的解

3、對于目標為求最大化的線性規(guī)劃問題，若約束條件不能構成封閉（或有限）區(qū)域的可行域，如沿目標函數(shù)值增大的方向無限擴散而沒有邊界。這時的可行域是無界的，線性規(guī)劃問題就有無界解。（圖2-3）線性規(guī)劃數(shù)學模型可能的解

4、若可行域為空集，或約束條件雖構成封閉區(qū)域，但是兩個及兩個以上的互不相連的區(qū)域，那么這些區(qū)域中的點都不能同時滿足所有的約束要求，因此都不是可行域，則線性規(guī)劃問題沒有可行域，即無可行解（或無解）。線性規(guī)劃數(shù)學模型剩余資源的松弛量線性規(guī)劃數(shù)學模型松弛量

在線性規(guī)劃的解中，約束條件的實際值與常數(shù)項（資源限制量）不一定相等。設備臺時：1×50+1×250=300(kg

)300原料A：2×50+1×250=350(kg)400原料B∶0×50+1×250＝250(kg)250

在線性規(guī)劃中，一個“≤”約束條件中沒使用的資源或能力被稱之為該約束條件的松弛量。實際值限制量松弛量0500線性規(guī)劃數(shù)學模型松弛變量

設代表松弛量的變量s為松弛變量則：約束條件實際值+松弛變量=資源限制量

在例2.1中引入三個松弛變量sl、s2、s3后，線性規(guī)劃數(shù)學模型描述為：S.T.x1+x2+sl＝3002x1+x2+s2＝400x2+s3＝250x1，x2，sl，s2，s3≥0maxz＝50x1+100x2+0sl+0s2+0s3引入新變量改變了約束關系形式sl＝0s2＝50s3＝0線性規(guī)劃數(shù)學模型

最小化線性規(guī)劃問題的圖解法例2.3

圖解目標函數(shù)最小化的線性規(guī)劃問題。minf=11x1+8x2S.T.10x1+2x2≥203x1+3x2≥184x1+9x2≥36

x1，x2≥0線性規(guī)劃數(shù)學模型可行域及基本可行解圖解法●●●●B(1,5)x28642x12468A(0,10)C(3.6,2.4)D(9,0)可行域：以x1=0、AB、BC、CD和x2=0形成的半發(fā)散區(qū)域

基本可行解：

A、B、C、D點為基本可行解。離原點較遠的基本可行解為初始基本可行解。

f=11x1+8x2

線性規(guī)劃數(shù)學模型可行域及基本可行解圖解法●●●●B(1,5)x28642x12468A(0,10)C(3.6,2.4)D(9,0)f=11x1+8x2

線性規(guī)劃數(shù)學模型可行域及基本可行解圖解法●●●●B(1,5)x28642x12468A(0,10)C(3.6,2.4)D(9,0)當目標函數(shù)值直線左移至B點時獲得問題的最優(yōu)解：

x1=1,x2=5。最優(yōu)值：minf=11x1+8x2=51線性規(guī)劃數(shù)學模型多于資源最低限的剩余量線性規(guī)劃數(shù)學模型剩余量

“≥”約束條件中超過資源或能力最低限量的部分稱之為剩余量。把例2.2中x1=1，

x2＝5代入約束條件：10×1+2×5=20

=203×1+3×5=18

=184×1+9×5=49

>36剩余量0013實際值最低限線性規(guī)劃數(shù)學模型剩余變量

設代表剩余量的變量s為剩余變量則：約束條件實際值-剩余變量=資源限制量

在例2.3中引入三個松弛變量sl、s2、s3后，線性規(guī)劃數(shù)學模型描述為：S.T.引入新變量

minz＝11x1+8x2+0sl+0s2+0s3；10x1+

2x2-sl＝20，

3x1+3x2-s2＝18，

4x1+9x2-s3＝36，x1，x2，sl，s2，s3≥0改變了約束關系形式sl＝0s2＝0s3＝13線性規(guī)劃數(shù)學模型線性規(guī)劃數(shù)學模型的標準形式maxz=clxl+c2x2+…+cnxn；

S.T.al1xl+a12x2+…+a1nxn=b1a21xl+a22x2+…+a2nxn=b2………am1xl+am2x2+…+amnxn=bmxl，x2，…，

xn≥0線性規(guī)劃數(shù)學模型標準形式線性規(guī)劃數(shù)學模型標準形式的特征1、所有約束條件都是“=”關系

2、決策變量的取值區(qū)間0≤xj≤+∞

3、常數(shù)項bi都為大于或等于0的數(shù)

4、目標函數(shù)求最大化（也可求最小化，最大化和最小化可以轉換）。線性規(guī)劃數(shù)學模型線性規(guī)劃問題的靈敏度分析

研究線性規(guī)劃模型中的系數(shù)cj,aij,bi在微小范圍內變化時對最優(yōu)解所產(chǎn)生的影響。線性規(guī)劃數(shù)學模型靈敏度分析目標函數(shù)中變量系數(shù)cj的取值范圍分析cj代表廣義的產(chǎn)品價值，稱之為價值系統(tǒng)，價值或價格是經(jīng)營的環(huán)境。

cj的靈敏度分析是研究經(jīng)營環(huán)境的變化對最優(yōu)解的影響。

cj的改變只是改變目標函數(shù)直線的斜率，不會改變可行域的形狀。線性規(guī)劃數(shù)學模型Cj的靈敏度分析x10100200300x2300200100直線S3(原料A約束)直線z(目標函數(shù))直線S1(原料B約束)直線S2(設備約束)ABDC例2.1的目標函數(shù)系數(shù)變化線性規(guī)劃數(shù)學模型Cj的靈敏度分析例2.1的目標函數(shù)系數(shù)變化當時，B仍然是其最優(yōu)解。－1≤≤0假設單位產(chǎn)品Ⅱ的利潤為100元不變，即c2＝100，則有－1≤≤00≤cl≤100假設單位產(chǎn)品I的利潤為50元不變，即cl=50，得：－1≤≤050≤c2≤＋∞線性規(guī)劃數(shù)學模型Cj的靈敏度分析例2.1的目標函數(shù)系數(shù)變化

即當產(chǎn)品I的利潤為50元，而產(chǎn)品Ⅱ的利潤只要大于等于50元時，頂點B仍為其最優(yōu)解。最低限當前值最高限C1050100C250100不限

整理如下表：線性規(guī)劃數(shù)學模型靈敏度分析目標函數(shù)中變量系數(shù)bi的取值范圍分析

常數(shù)項bi代表的是提供給企業(yè)經(jīng)營的資源限制量。

bi的靈敏度分析是研究資源的變化對最優(yōu)解的影響。

bi的改變是可行域某一邊的平行移動，這種改變極有可能導致最優(yōu)解和最優(yōu)值的改變。線性規(guī)劃數(shù)學模型靈敏度分析例2.1中bi的取值范圍分析●BC直線Z(目標函數(shù))100200300x2200100300x10ODA原問題中的可行域是OABCD，最優(yōu)解是B（50，250），最優(yōu)值是27500。線性規(guī)劃數(shù)學模型靈敏度分析例2.1中bi的取值范圍分析

假設例1中的設備臺時數(shù)增加到310個臺時，則例1中的設備臺時數(shù)的約束條件變?yōu)椋?/p>

xl+x2≤310線性規(guī)劃數(shù)學模型靈敏度分析例2.1中bi的取值范圍分析B’●BC直線Z(目標函數(shù))C’100200300x2200100300x10ODA線性規(guī)劃數(shù)學模型靈敏度分析例2.1中bi的取值范圍分析B’點的坐標為xl=60,x2=250，獲得的最大利潤為28000（元）。

則每增加一個設備臺時會使企業(yè)多獲利（28000-27500）/10=50

或每減少一個設備臺時會使企業(yè)少獲利（28000-27500）/10=50線性規(guī)劃數(shù)學模型靈敏度分析對偶價格

在約束條件中的常數(shù)項增加一個單位而使最優(yōu)目標函數(shù)值得到改進的數(shù)量稱之為這個約束條件的對偶價格。例2.1中bi的取值范圍分析線性規(guī)劃數(shù)學模型靈敏度分析對偶價格

在例2.1中設備臺時約束條件的對偶價格是50。例2.1中bi的取值范圍分析線性規(guī)劃數(shù)學模型靈敏度分析對偶價格若原料A增加10kg由約束條件為：2xl+x2≤410100200300x2●BC直線Z(目標函數(shù))C’D’200100300x10ODA最優(yōu)解仍為B點，對偶價格是0例2.1中bi的取值范圍分析線性規(guī)劃數(shù)學模型靈敏度分析對偶價格的進一步解釋1、如果對偶價格大于零，則其最優(yōu)目標函數(shù)值得到改進，即求最大化時，常數(shù)項的增（減）使最優(yōu)目標函數(shù)值變得更大（更小）；求最小化時，常數(shù)項的增（減）使最優(yōu)目標函數(shù)值變得更?。ǜ螅?/p>

線性規(guī)劃數(shù)學模型靈敏度分析對偶價格的進一步解釋2、如果對偶價格小于零，則其最優(yōu)目標函數(shù)值變壞，即求最大化時，常數(shù)項的增（減）使最優(yōu)目標函數(shù)值變得更?。ǜ螅磺笞钚』瘯r，常數(shù)項的增（減）使最優(yōu)目標函數(shù)值變得更大（更?。?/p>

線性規(guī)劃數(shù)學模型靈敏度分析對偶價格的進一步解釋3、如果對偶價格等于零，則常數(shù)項的增（減）不會使其最優(yōu)目標函數(shù)值改變。線性規(guī)劃數(shù)學模型靈敏度分析對偶價格的進一步解釋4、若約束條件的松馳量或剩余量不為0，則對偶價格必等于零。線性規(guī)劃數(shù)學模型靈敏度分析對偶價格的應用1、資源的價值衡量對偶價格高于該資源的市場價格，表明該資源在本組織有獲利能力。就應該購入該資源；對偶價格等于該資源的市場價格，表明該資源在本組織無獲利能力；對偶價格低于該資源的市場價格，表明該資源在本組織處于負利狀態(tài)。在整體利益得到保障的前提下，就可以賣掉該資源。否則用該資源生產(chǎn)的產(chǎn)品越多，企業(yè)虧損得越多。線性規(guī)劃數(shù)學模型靈敏度分析對偶價格的應用2、每種資源都有對偶價格不同大小的定量值，因此這個值也就定量地反映資源在企業(yè)內部的緊缺程度。

線性規(guī)劃數(shù)學模型靈敏度分析對偶價格的應用3、用數(shù)字來確定了企業(yè)經(jīng)營活動中的瓶頸環(huán)節(jié)（處于木桶中的最短板，其對偶價格才不為0），并且定量地分析了瓶頸環(huán)節(jié)的緊張程度，以及改進這些瓶頸環(huán)節(jié)后可給企業(yè)帶來的收益。

線性規(guī)劃數(shù)學模型靈敏度分析對偶價格的應用4、可更準確地了解各種資源在企業(yè)的真實價值(客觀地核算成本，體現(xiàn)在與會計核算的不同，會計核算時是按“行規(guī)”進行分攤，有人為因素）對偶價格又客觀地考慮了資源的機會成本)。線性規(guī)劃數(shù)學模型靈敏度分析

與最優(yōu)解相關約束條件的常數(shù)項改變

bi的取值范圍分析可行域結構改變最優(yōu)解和最優(yōu)值改變可行域形狀改變常數(shù)項改變超范圍

對偶價格改變關注這個關鍵的范圍值線性規(guī)劃數(shù)學模型靈敏度分析例3.1的圖解例2.1中bi的取值范圍分析0100200300400x1400300200100x2可行域ACxl+x2=300=b1x2=250=b32xl+x2=400=b2最優(yōu)解目標函數(shù)OBD線性規(guī)劃數(shù)學模型靈敏度分析常數(shù)項b1由300減小到260使可行域形狀改變，而結構不變，所以對偶價格就不變。例2.1中bi的取值范圍分析目標函數(shù)最優(yōu)解0100200300400x1400300200100x2x2=250=b32xl+x2=400=b2DBOCAxl+x2=260=b1可行域線性規(guī)劃數(shù)學模型靈敏度分析常數(shù)項繼續(xù)減小，到可行域結構開始改變時的常數(shù)項值，就是這個約束條件常數(shù)項的下限值。即本例常數(shù)項b1的下限為250。例2.1中bi的取值范圍分析400300200100x2最優(yōu)解0100200300400x1x2=250=b32xl+x2=400=b2DOCA目標函數(shù)xl+x2=250=b1B可行域線性規(guī)劃數(shù)學模型靈敏度分析常數(shù)項增大，到可行域結構開始改變時的常數(shù)項值，就是這個約束條件常數(shù)項的上限值。即本例常數(shù)項b1的上限為325。例2.1中bi的取值范圍分析0100200300400x1400300200100x2可行域Axl+x2=325=b1x2=250=b32xl+x2=400=b2最優(yōu)解目標函數(shù)OBC線性規(guī)劃數(shù)學模型靈敏度分析用同樣的方法可得下表：例2.1中bi的取值范圍分析最下限當前值最高限b1250300325b2350400不限b3200250300線性規(guī)劃數(shù)學模型靈敏度分析資源配置系數(shù)矩陣的變化改變了可行域各邊界線段的斜率，即完全且不規(guī)則地改變了可行域的形狀。資源配置系數(shù)矩陣的變化對最優(yōu)解的影響太繁雜，也不具有共性，可視為完全改變了原有的數(shù)學模型，另外求解。約束條件中資源配置系數(shù)aij的靈敏度分析線性規(guī)劃數(shù)學模型靈敏度分析

“參數(shù)”

---被研究的線性規(guī)劃數(shù)學模型的目標函數(shù)變量系數(shù)cj或約束條件中的常數(shù)項bi。允許增加量---某“參數(shù)”在上限范圍內的最大增加量（最高限-當前值）。允許減少量

---某“參數(shù)”在下限范圍內的最大減少量（當前值-最低限）。多個“參數(shù)”同時變化的百分之一百法則線性規(guī)劃數(shù)學模型靈敏度分析某類“參數(shù)”同時變化的的百分之一百法則：對于所有變化的某一類中的多個“參數(shù)”，當其所有實際增加量與允許增加量的百分比和所有實際減少量與允許減少量的百分比之和不超過百分之一百時，最優(yōu)解（或對偶價格）不變。即：多個“參數(shù)”同時變化的百分之一百法則線性規(guī)劃數(shù)學模型靈敏度分析例2.1中，原來每件產(chǎn)品I和產(chǎn)品Ⅱ的利潤分別為50和100元，現(xiàn)在每件產(chǎn)品I和產(chǎn)品Ⅱ的利潤分別變?yōu)?0和80元，對其進行靈敏度分析。多個“參數(shù)”同時變化的百分之一百法則x1的系數(shù)cl的允許增加量為：100－50＝50x2的系數(shù)c2的允許減少量也為：100－50＝50百分一百法則：（70-50）/50+（100-80）/50=80%最優(yōu)解不變，最優(yōu)值為23500線性規(guī)劃數(shù)學模型靈敏度分析例2.1中，原來每件產(chǎn)品I和產(chǎn)品Ⅱ的利潤分別為50和100元，現(xiàn)在每件產(chǎn)品I和產(chǎn)品Ⅱ的利潤分別變?yōu)?0和70元，對其進行靈敏度分析。多個“參數(shù)”同時變化的百分之一百法則x1的系數(shù)cl的允許增加量為：100－50＝50x2的系數(shù)c2的允許減少量也為：100－50＝50百分一百法則：（70-50）/50+（100-70）/50=100%最優(yōu)解不變，最優(yōu)值為21000線性規(guī)劃數(shù)學模型靈敏度分析例2.1中，原來每件產(chǎn)品I和產(chǎn)品Ⅱ的利潤分別為50和100元，現(xiàn)在每件產(chǎn)品I和產(chǎn)品Ⅱ的利潤分別變?yōu)?0和69元，對其進行靈敏度分析。多個“參數(shù)”同時變化的百分之一百法則x1的系數(shù)cl的允許增加量為：100－50＝50x2的系數(shù)c2的允許減少量也為：100－50＝50百分一百法則：（70-50）/50+（100-69）/50=102%此時最解由B點變?yōu)镃點，即x1＝100，x2＝200最優(yōu)值為20800線性規(guī)劃數(shù)學模型靈敏度分析例2.1中，設備臺時數(shù)從300臺時增加為315臺時（上限325），而原料A從400kg減少到390kg（下限350），原料B從250kg減少到240kg（下限200）可得：多個“參數(shù)”同時變化的百分之一百法則百分一百法則：15/25+10/50+10/50=100%沒有超過100%，所以三個約束條件的對偶價格：50，0，50，都不變。但最優(yōu)值變?yōu)椋?7750

線性規(guī)劃數(shù)學模型靈敏度分析例2.1中，設備臺時數(shù)從300臺時增加為316臺時（上限325），而原料A從400kg減少到390kg（下限350），原料B從250kg減少到240kg（下限200）可得：多個“參數(shù)”同時變化的百分之一百法則百分一百法則：16/25+10/50+10/50=104%超過了100%

對偶價格分別由原來的50，0，50改變?yōu)?，25，75線性規(guī)劃數(shù)學模型靈敏度分析1、當允許增(減)量為無窮大時，則對于任一個對應參數(shù)的增(減)量，其允許增(減)的百分比都看成零。這時靈敏度的分析結果就只取決于其它參數(shù)的變化。百分之一百法則的四個特點：線性規(guī)劃數(shù)學模型靈敏度分析2、百分之一百法則是判斷最優(yōu)解或對偶價格是否發(fā)生變化的充分條件，但不是必要條件。也就是說，當其允許增(減)的百分比之和不超過(小于)100%時，其最優(yōu)解或對偶價格不變；但是當其允許增(減)的百分比之和超過(大于)100%時，我們并不知道其最優(yōu)解或對偶價格是否發(fā)生變化。

百分之一百法則的四個特點：線性規(guī)劃數(shù)學模型靈敏度分析3、百分之一百法則不包括同步增加或同步減小的情況。百分之一百法則的四個特點：線性規(guī)劃數(shù)學模型靈敏度分析4、百分之一百法則不能應用于目標函數(shù)決策變量系數(shù)和約束條件中常數(shù)項同時變化的情況，在這種情況下，只有重新求解。百分之一百法則的四個特點：線性規(guī)劃數(shù)學模型靈敏度分析

所謂目標函數(shù)變量系數(shù)的相差值，是指最優(yōu)解中為0的變量，在其它變量系數(shù)保持不變的情況下，使最優(yōu)解中該變量的值不為0時，相應目標函數(shù)變量系數(shù)由現(xiàn)有值再改變的量。目標函數(shù)中變量系數(shù)cj的相差值分析

線性規(guī)劃數(shù)學模型靈敏度分析將本講的例2.1中,原料B的限制量改變?yōu)?00kg，其它條件都不變（如下表）,重新決策。目標函數(shù)中變量系數(shù)cj的相差值分析

產(chǎn)品資源III資源限制設備11300臺時原料A21400kg原料B01300kg線性規(guī)劃數(shù)學模型靈敏度分析目標函數(shù)中變量系數(shù)cj的相差值分析

maxz＝50xl+100x2；

S.T.xl＋

x2≤3002xl+x2≤400

x2≤300

xl≥0，

x2≥0線性規(guī)劃數(shù)學模型：線性規(guī)劃數(shù)學模型靈敏度分析目標函數(shù)中變量系數(shù)cj的相差值分析

0100200300400x1400300200100x2可行域ACxl+x2=300=b1x2=3002xl+x2=400=b2最優(yōu)解目標函數(shù)OB最優(yōu)解：

x1=0x2=300線性規(guī)劃數(shù)學模型靈敏度分析目標函數(shù)中變量系數(shù)cj的相差值分析

由于x1=0，所以在可行域和x2的系數(shù)都不變的前提下，要改變當前的解（xl=0,x2=300），只有增加變量xl的系數(shù)c1的值，使目標函數(shù)直線與xl＋x2=300斜率一樣時，才能使得xl真正等于或大于0。即：或得：相差值=50106/27§1人力資源分配的問題

設司機和乘務人員分別在各時間段一開始時上班，并連續(xù)工作八小時，問該公交線路怎樣安排司機和乘務人員，既能滿足工作需要，又配備最少司機和乘務人員?例1．某晝夜服務的公交線路每天各時間段內所需司機和乘務人員數(shù)如下：107/27§1人力資源分配的問題

解：設xi

表示第i班次時開始上班的司機和乘務人員數(shù),這樣我們建立如下的數(shù)學模型。目標函數(shù)：Minx1+x2+x3+x4+x5+x6

約束條件：s.t.x1+x6≥60

x1+x2≥70

x2+x3≥60

x3+x4≥50

x4+x5≥20

x5+x6≥30

x1,x2,x3,x4,x5,x6≥0108/27§1人力資源分配的問題例2．一家中型的百貨商場，它對售貨員的需求經(jīng)過統(tǒng)計分析如下表所示。為了保證售貨人員充分休息，售貨人員每周工作5天，休息兩天，并要求休息的兩天是連續(xù)的。問應該如何安排售貨人員的作息，既滿足工作需要，又使配備的售貨人員的人數(shù)最少？109/27§1人力資源分配的問題解：設xi(i=1,2,…,7)表示星期一至日開始休息的人數(shù),這樣我們建立如下的數(shù)學模型。目標函數(shù)：Minx1+x2+x3+x4+x5+x6+x7約束條件：s.t.x1+x2+x3+x4+x5≥28x2+x3+x4+x5+x6≥15x3+x4+x5+x6+x7≥24x4+x5+x6+x7+x1≥25x5+x6+x7+x1+x2≥19x6+x7+x1+x2+x3≥31x7+x1+x2+x3+x4≥28x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7≥0110/27§2生產(chǎn)計劃的問題(課后復習作業(yè))例3．某公司面臨一個是外包協(xié)作還是自行生產(chǎn)的問題。該公司生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，都需要經(jīng)過鑄造、機加工和裝配三個車間。甲、乙兩種產(chǎn)品的鑄件可以外包協(xié)作，亦可以自行生產(chǎn)，但產(chǎn)品丙必須本廠鑄造才能保證質量。數(shù)據(jù)如表。問：公司為了獲得最大利潤，甲、乙、丙三種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少件？甲、乙兩種產(chǎn)品的鑄造中，由本公司鑄造和由外包協(xié)作各應多少件？111/27§2生產(chǎn)計劃的問題

解：設x1,x2,x3分別為三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三種產(chǎn)品的件數(shù)，x4,x5

分別為由外協(xié)鑄造再由本公司加工和裝配的甲、乙兩種產(chǎn)品的件數(shù)。求xi的利潤：利潤=售價-各成本之和產(chǎn)品甲全部自制的利潤=23-(3+2+3)=15

產(chǎn)品甲鑄造外協(xié)，其余自制的利潤=23-(5+2+3)=13

產(chǎn)品乙全部自制的利潤=18-(5+1+2)=10

產(chǎn)品乙鑄造外協(xié)，其余自制的利潤=18-(6+1+2)=9

產(chǎn)品丙的利潤=16-(4+3+2)=7

可得到xi

（i=1,2,3,4,5）的利潤分別為15、10、7、13、9元。112/27§2生產(chǎn)計劃的問題通過以上分析,可建立如下的數(shù)學模型:目標函數(shù)：Max15x1+10x2+7x3+13x4+9x5

約束條件：5x1+10x2+7x3≤80006x1+4x2+8x3+6x4+4x5≤120003x1+2x2+2x3+3x4+2x5≤10000x1,x2,x3,x4,x5≥0113/27§2生產(chǎn)計劃的問題例4．永久機械廠生產(chǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三種產(chǎn)品，均要經(jīng)過A、B兩道工序加工。設有兩種規(guī)格的設備A1、A2能完成A工序；有三種規(guī)格的設備B1、B2、B3能完成B工序。Ⅰ可在A、B的任何規(guī)格的設備上加工；Ⅱ可在任意規(guī)格的A設備上加工，但對B工序，只能在B1設備上加工；Ⅲ只能在A2與B2設備上加工。數(shù)據(jù)如表。問：為使該廠獲得最大利潤，應如何制定產(chǎn)品加工方案？114/27§2生產(chǎn)計劃的問題解：設xijk

表示第i種產(chǎn)品，在第j種工序上的第k種設備上加工的數(shù)量。建立如下的數(shù)學模型:s.t.5x111+10x211≤6000（設備A1

）

7x112+9x212+12x312≤10000（設備A2

）

6x121+8x221≤4000（設備B1

）

4x122+11x322≤7000（設備B2

）

7x123≤4000（設備B3

）

x111+x112-x121-x122-x123=0（Ⅰ產(chǎn)品在A、B工序加工的數(shù)量相等）

x211+x212-x221=0（Ⅱ產(chǎn)品在A、B工序加工的數(shù)量相等）

x312-x322=0（Ⅲ產(chǎn)品在A、B工序加工的數(shù)量相等）

xijk≥0,i=1,2,3;j=1,2;k=1,2,3115/27§2生產(chǎn)計劃的問題目標函數(shù)為計算利潤最大化，利潤的計算公式為：利潤=[（銷售單價-原料單價）*產(chǎn)品件數(shù)]之和-（每臺時的設備費用*設備實際使用的總臺時數(shù)）之和。這樣得到目標函數(shù)：

Max(1.25-0.25)(x111+x112)+(2-0.35)x221+(2.80-0.5)x312

–

300/6000(5x111+10x211)-321/10000(7x112+9x212+12x312)-250/4000(6x121+8x221)-783/7000(4x122+11x322)-200/4000(7x123).經(jīng)整理可得：

Max0.75x111+0.7753x112+1.15x211+1.3611x212+1.9148x312-0.375x121-0.5x221-0.4475x122-1.2304x322-0.35x123116/27§3套裁下料問題例5．某工廠要做100套鋼架，每套用長為2.9m,2.1m,1.5m的圓鋼各一根。已知原料每根長7.4m，問：應如何下料，可使所用原料最省？117/27§3套裁下料問題解：共可設計下列8種下料方案，見下表

設x1～x8分別為上面8種方案下料的原材料根數(shù)。這樣我們建立如下的數(shù)學模型。目標函數(shù)：Minx1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8

約束條件：s.t.x1+2x2+x4

+x6≥1002x3+2x4+x5+x6+3x7≥1003x1+x2+2x3+3x5+x6+4x8≥100x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8≥0118/27計算得出最優(yōu)下料方案

x1=30;x2=10；

x3=0；

x4=50；

x5=0；x6=x7=x8=0即：按方案1下料30根；按方案2下料10根；按方案4下料50根。只需90根原材料就可制造出100套鋼架。注意：在建立此類型數(shù)學模型時，約束條件用大于等于號比用等于號要好。因為有時在套用一些下料方案時可能會多出一根某種規(guī)格的圓鋼，但它可能是最優(yōu)方案。如果用等于號，這一方案就不是可行解了?！?套裁下料問題119/27§4配料問題

例6．某工廠要用三種原料1、2、3混合調配出三種不同規(guī)格的產(chǎn)品甲、乙、丙，數(shù)據(jù)如下表。問：該廠應如何安排生產(chǎn)，使利潤收入為最大？120/27§4配料問題

解：設xij

表示第i種（甲、乙、丙）產(chǎn)品中原料j的含量。這樣我們建立數(shù)學模型時，要考慮：對于甲：x11，x12，x13；對于乙：x21，x22，x23；對于丙：x31，x32，x33；對于原料1：x11，x21，x31；對于原料2：x12，x22，x32；對于原料3：x13，x23，x33；目標函數(shù)：利潤最大，利潤=收入-原料支出約束條件：規(guī)格要求4個；供應量限制3個。121/27§4配料問題利潤=總收入-總成本=甲乙丙三種產(chǎn)品的銷售單價*產(chǎn)品數(shù)量-甲乙丙使用的原料單價*原料數(shù)量，故有目標函數(shù)Max50（x11+x12+x13）+35（x21+x22+x23）+25（x31+x32+x33）-65（x11+x21+x31）-25（x12+x22+x32）-35（x13+x23+x33）=-15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33

約束條件：從第1個表中有：

x11≥0.5(x11+x12+x13)x12≤0.25(x11+x12+x13)x21≥0.25(x21+x22+x23)x22≤0.5(x21+x22+x23)122/27§4配料問題

從第2個表中，生產(chǎn)甲乙丙的原材料不能超過原材料的供應限額，故有

(x11+x21+x31)≤100(x12+x22+x32)≤100(x13+x23+x33)≤60

通過整理，得到以下模型：123/27§4配料問題目標函數(shù)：Maxz=-15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33

約束條件：

s.t.0.5x11-0.5x12-0.5x13≥0（原材料1不少于50%）

-0.25x11+0.75x12-0.25x13≤0（原材料2不超過25%）

0.75x21-0.25x22-0.25x23≥0（原材料1不少于25%）

-0.5x21+0.5x22-0.5x23≤0（原材料2不超過50%）

x11+x21+x31≤100(供應量限制）

x12+x22+x32≤100(供應量限制）

x13+x23+x33≤60(供應量限制）

xij≥0,i=1,2,3;j=1,2,3124/27§4配料問題（略）

標準汽油辛烷數(shù)蒸汽壓力(g/cm2)庫存量(L)1107.57.11×10-2380000293.011.38×10-2265200387.05.69×10-24081004108.028.45×10-2130100例7.汽油混合問題。一種汽油的特性可用兩種指標描述，用“辛烷數(shù)”來定量描述其點火特性，用“蒸汽壓力”來定量描述其揮發(fā)性。某煉油廠有1、2、3、4種標準汽油，其特性和庫存量列于表4-6中，將這四種標準汽油混合，可得到標號為1，2的兩種飛機汽油，這兩種汽油的性能指標及產(chǎn)量需求列于表4-7中。問應如何根據(jù)庫存情況適量混合各種標準汽油，既滿足飛機汽油的性能指標，又使2號汽油滿足需求，并使得1號汽油產(chǎn)量最高？飛機汽油辛烷數(shù)蒸汽壓力(g/cm2)產(chǎn)量需求1不小于91不大于9.96×10-2越多越好2不小于100不大于9.96×10-2不少于250000表4-6表4-7125/27§4配料問題

解：設xij為飛機汽油i中所用標準汽油j的數(shù)量(L)。目標函數(shù)為飛機汽油1的總產(chǎn)量：庫存量約束為：產(chǎn)量約束為飛機汽油2的產(chǎn)量：由物理中的分壓定律，可得有關蒸汽壓力的約束條件：同樣可得有關辛烷數(shù)的約束條件為：126/27§4配料問題綜上所述，得該問題的數(shù)學模型為：127/27§4配料問題

由管理運籌學軟件求解得：128/27§5投資問題

例8．某部門現(xiàn)有資金200萬元，今后五年內考慮給以下的項目投資。已知：項目A：從第一年到第五年每年年初都可投資，當年末能收回本利110%；項目B：從第一年到第四年每年年初都可投資，次年末能收回本利125%，但規(guī)定每年最大投資額不能超過30萬元；項目C：需在第三年年初投資，第五年末能收回本利140%，但規(guī)定最大投資額不能超過80萬元；項目D：需在第二年年初投資，第五年末能收回本利155%，但規(guī)定最大投資額不能超過100萬元。據(jù)測定每萬元每次投資的風險指數(shù)如下表：問：a）應如何確定這些項目的每年投資額，使得第五年年末擁有資金的本利金額為最大？b）應如何確定這些項目的每年投資額，使得第五年年末擁有資金的本利在330萬元的基礎上使得其投資總的風險系數(shù)為最小？129/27§5投資問題

解：1）確定決策變量：連續(xù)投資問題設xij(i=1～5，j=1～4)表示第i年初投資于A(j=1)、B(j=2)、C(j=3)、D(j=4)項目的金額。這樣我們建立如下的決策變量：

Ax11

x21

x31

x41

x51

Bx12

x22

x32

x42Cx33

Dx24130/272）約束條件：第一年：A當年末可收回投資，故第一年年初應把全部資金投出去，于是x11+x12=200；第二年：B次年末才可收回投資，故第二年年初有資金1.1x11，于是x21+x22+x24=1.1x11；第三年：年初有資金1.1x21+1.25x12，于是x31+x32+x33=1.1x21+1.25x12；第四年：年初有資金1.1x31+1.25x22，于是x41+x42=1.1x31+1.25x22；第五年：年初有資金1.1x41+1.25x32，于是x51=1.1x41+1.25x32；

B、C、D的投資限制：xi2≤30(i=1、2、3、4)，x33≤80，x24≤1003）目標函數(shù)及模型：a)Maxz=1.1x51+1.25x42+1.4x33+1.55x24s.t.x11+x12=200

x21+x22+x24=1.1x11；

x31+x32+x33=1.1x21+1.25x12；

x41+x42=1.1x31+1.25x22；

x51=1.1x41+1.25x32；

xi2≤30(i=1、2、3、4)，x33≤80，x24≤100

xij≥0(i=1、2、3、4、5；j=1、2、3、4）§5投資問題解：因為顧客到達間隔時間T服從負指數(shù)分布，所以T的