高三數(shù)學一輪復習夯實練64：雙曲線

一輪復習夯實練64雙曲線基礎練1.(2024·湖北武漢模擬)已知雙曲線x2a+2-y23=1的離心率為A.-1 B.1 C.-3 D.32.(2024·湖南衡陽八中模擬)已知雙曲線C:x2a2-y216=1(a>0)的一個焦點為(5,0A.3x±4y=0 B.4x±41y=0C.16x±9y=0 D.4x±3y=03.(2024·湖南岳陽模擬)已知k∈R,則“-2<k<3”是“方程x22-k-y22+A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.(2024·浙江紹興模擬)已知雙曲線C:x2-y2=1的左、右焦點分別為F1,F2,若左支上的兩點A,B與左焦點F1三點共線,且△ABF2的周長為8,則|AB|=()A.2 B.3 C.4 D.65.(2021·全國甲,理5)已知F1,F2是雙曲線C的兩個焦點,P為C上一點,且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,則C的離心率為()A.72 B.13C.7 D.136.(2024·山東菏澤模擬)設F1,F2分別為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點,O為坐標原點,過左焦點F1作直線F1P與圓x2+y2=a2切于點E,與雙曲線右支交于點P,且△OFA.5 B.2 C.3 D.27.(2020全國Ⅰ,文11)設F1,F2是雙曲線C:x2-y23=1的兩個焦點,O為坐標原點,點P在C上且|OP|=2,則△PF1F2的面積為(A.72 B.3C.52 D.8.(2024·廣東模擬)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0A.π6 B.πC.π3 D.9.(2024·廣東廣州模擬)已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C為焦點的橢圓過A,B兩點,則橢圓的另一個焦點F的軌跡方程為()A.y2-x248=1(y≤-1B.y2-x248=1(y≥C.y248-x2=1(y≤-43D.y248-x2=1(y≥410.(2024·山東日照模擬)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點為F1,F2,點A(-2,2)為橢圓C內(nèi)一點,點Q(a,b)在雙曲線E:x24-y24=1上,若橢圓上存在一點A.(5+1,5] B.[3,5]C.(5+1,25] D.[3,11.(多選題)(2024·山東棗莊模擬)已知曲線C1:5x2+y2=5,C2:x2-4y2=4,則下列說法正確的是()A.C1的長軸長為5B.C2的漸近線方程為x±2y=0C.C1與C2的離心率互為倒數(shù)D.C1與C2的焦點相同12.(多選題)(2024·江蘇鎮(zhèn)江模擬)已知點P在雙曲線C:x216-y29=1上,F1,F2分別是雙曲線C的左、右焦點,若△PF1F2的面積為A.點P到x軸的距離為20B.|PF1|+|PF2|=50C.△PF1F2為鈍角三角形D.∠F1PF2=π13.若雙曲線x2a2-y2b2=14.P為雙曲線x2-y215=1右支上一點,M,N分別是圓(x+4)2+y2=4和(x-4)2+y2=1上的點,則|PM|-|PN|的最大值為15.(2022·全國甲,文15)記雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為e,寫出滿足條件“直線y=2x與C16.(2024·湖北襄陽四中模擬)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點為F(26,0),點A(0,1),點P為雙曲線左支上的動點,且△APF的周長不小于提升練17.(2023·天津,9)雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2.過F2作其中一條漸近線的垂線,垂足為P.已知|PF2|=2,直線PFA.x28-y24=1C.x24-y22=18.(2024·青海玉樹模擬)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點為F,點A是虛軸的一個端點,點P是C的左支上的一點,且△PAF的周長的最小值為6A.y=±62xB.y=±32C.y=±23xD.y=±6319.(多選題)(2024·山東威海模擬)已知雙曲線E:x23-y2b2=1(b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,過F1且斜率為22的直線l與E的右支交于點P,若∠F1PFA.E的離心率為3B.E的漸近線方程為y=±22C.點P到直線x=1的距離為22D.以實軸為直徑的圓與直線l相切20.(2024·江蘇新高考模擬)設過雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)左焦點F的直線l與C交于M,N兩點,若FN=3FM,且OM·FN=0創(chuàng)新練21.(2024·湖南師大附中模擬)古希臘幾何學家采用切割圓錐的方法研究圓錐曲線,用平行于圓錐的軸的平面截圓錐得到雙曲線的一支.已知圓錐PQ的軸截面為等邊三角形,平面α∥PQ,平面α截圓錐側面所得曲線記為C,則曲線C所在雙曲線的離心率為()A.233 B.C.3 D.2

參考答案1.A解析由題意可知,雙曲線x2a+2-y23=1的焦點在x軸上,故該雙曲線的離心率為e=2.D解析已知雙曲線C的一個焦點為(5,0),得c=5,則a2=c2-16=9,即a=3,所以雙曲線的漸近線方程為y=±43x,即4x±3y=03.B解析若方程x22-k-y22+k=1表示雙曲線,則(2-k)(2+k)>0,即-2<k<2,由-2<k<2能推出-2<k<3,必要性成立,由-2<k<3不能推出-2<k<2,充分性不成立,故“-2<k<3”是4.A解析因為雙曲線C:x2-y2=1,所以a=1.由雙曲線的定義,得|AF2|-|AF1|=2a=2,|BF2|-|BF1|=2a=2,兩式相加,得|AF2|+|BF2|-|AB|=4a=4,又因為△ABF2的周長為8,即|AF2|+|BF2|+|AB|=8,兩式相減得|AB|=2.5.A解析不妨設|PF2|=1,|PF1|=3,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2=7,所以2c=|F1F2|=7,所以c=72,2a=|PF1|-|PF2|=2,a=1,所以離心率e=6.A解析因為直線F1P與圓x2+y2=a2切于點E,則OE⊥F1P,而△OF1P為等腰三角形,必有|OP|=|OF1|,E為F1P的中點,而O為F1F2的中點,于是OE∥PF2,有PF1⊥PF2,且|PF2|=2|OE|=2a,則|PF1|=4a.令雙曲線的焦距為2c,由|PF2|2+|PF1|2=|F1F2|2,得(2a)2+(4a)2=(2c)2,即c2=5a2,有e2=5,所以雙曲線的離心率為e=57.B解析由題意知a=1,b=3,c=2.不妨設F1,F2分別為雙曲線C的左、右焦點,則F1(-2,0),F2(2,0).因為|OP|=2,所以點P在以O為圓心,F1F2為直徑的圓上,故PF1⊥PF2,則|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=16.由雙曲線的定義可知||PF1|-|PF2||=2a=2,所以|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4,所以|PF1|·|PF2|=6,所以△PF1F2的面積為12|PF1|·|PF2|=38.C解析設雙曲線x2a2-y2b2=1的半焦距為c.因為雙曲線x2a2-y2b2=1的離心率為233,所以e=ca=233,即c=233a.由a2+b2=c2,得b2=c2-a2=(233a)2-a2=9.A解析因為A(0,7),B(0,-7),C(12,2),所以|AC|=122+(7-2)2=13,|BC|=122+(-7-2)2=15,|AB|=14,因為A,B都在橢圓上,所以|AF|+|AC|=|BF|+|BC|,|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2<14,故點F的軌跡是以A,B為焦點的雙曲線的下支,又2c=|AB|=14,2a=|AF|-|BF|=2,即c=7,a=1,所以10.A解析點Q(a,b)在雙曲線E:x24-y24=1上,所以a2-b2=4,所以橢圓左焦點F因為|PA|+|PF2|=8,所以|PA|+2a-|PF1|=8,所以||PA|-|PF1||=|8-2a|≤|AF1|=2,所以3≤a≤5.因為a2-b2=4,所以b2=a2-4.因為點A(-2,2)為橢圓C內(nèi)一點,所以4a2+4b2<1,所以4a2+4a2-4<1,所以a4-12a2+16>0,解得a>5+1或a<11.BC解析曲線C1:5x2+y2=5整理得y25+x2=1,則曲線C1是焦點在y軸上的橢圓,其中a12=5,b12=1,所以c12=a12-b12=4,離心率為e1=c曲線C2:x2-4y2=4整理得x24-y2=1,則曲線C2是焦點在x軸上的雙曲線,其中a22=4,b22=1,所以c22=a22+b22=5,離心率為e2=c2e1·e2=255×52=1,所以C1與C2的離心率互為倒數(shù)C1的焦點在y軸上,C2的焦點在x軸上,焦點位置不同,故D錯誤.故選BC.12.BC解析設點P(xP,yP).因為雙曲線C:x216-y29=1,又S△PF1F2=12×2c|yP|=12×10×|y因為|yP|=4,所以xP216-429由雙曲線的對稱性,不妨取點P的坐標為(203,4),得|PF2|=(203-5)

2+42=133.由雙曲線的定義得|PF1|=|PF2|+2a=133+8在△PF1F2中,|PF1|=373>2c=10>|PF2|=133,且cos∠PF2F1=|PF2|2+|F1F2|2-|PF1|22|P由余弦定理得cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|故選BC.13.y=±3x解析∵雙曲線的離心率e=ca=2,即c=2a,∴a2+b2=c2=4a2,即b2=3a2,則b故此雙曲線的漸近線方程為y=±3x.14.5解析雙曲線的兩個焦點F1(-4,0),F2(4,0)分別為兩圓的圓心,圓F1與圓F2的半徑分別為r1=2,r2=1,易知|PM|max=|PF1|+2,|PN|min=|PF2|-1,故|PM|-|PN|的最大值為|PF1|+2-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+3=2+3=5.15.2(答案不唯一,只要1<e≤5即可)解析由題意知,雙曲線C的漸近線方程為y=±bax,要使直線y=2x與雙曲線C無公共點,只需ba由ba≤2,得c2-a2a2≤16.(1,62]解析由右焦點為F(26,0),點A(0,1),可得|AF|=(26)2+12=5.因為設F2為雙曲線的左焦點,可得|PF|=|PF2|+2a,故|PA|+|PF|=|PA|+|PF2|+2a,當A,P,F2三點共線時,|PA|+|PF2|+2a取最小值|AF2|+2a,即5+2a,所以5+2a≥13,即a≥4.因為c=26,所以e=c又e>1,所以e∈(1,62]17.D解析雙曲線的漸近線方程為y=±bax,由雙曲線的對稱性,不妨過點F2作漸近線y=bax的垂線,如圖所示.設點P(m,bma),F1(-c,0),F2(c因為PF2⊥OP,所以kPF2·ba=-1,即b2a2·mm-c=-1.整理得m(a2+b2)=a2c.又a2+b由題意,知點F2到漸近線y=bax的距離|PF2|=2,即|bc|又kF1P=abca2c+c=24,將b=2代入上式,整理得a2-故選D.18.A解析設C:x2a2-y2b2=1(由雙曲線的定義知|PF|=2a+|PF1|.不妨設A(0,b).由雙曲線的對稱性知|AF|=|AF1|=b△PAF的周長為|AP|+|AF|+|PF|=|AP|+|AF|+2a+|PF1|,因為|AP|+|PF1|≥|AF1|,當A,P,F1三點共線時取等號.所以△PAF的周長的最小值為22b2+因為△PAF的周長的最小值為6a,所以22b2+a2+2a=6a,化簡得b2a19.ACD解析由雙曲線方程可知,a2=3.設∠PF1F2=θ,則tanθ=22,那么cosθ=63,sinθ=33.作PA垂直于x軸,垂足為點A,設|PA|=h,|PF2|=x,則|PF1|=x+23,所以hx=sin(45°+θ)=23+66,hx+23=sinθ=33,解得x=26,即|PF2|=26,|PF1|=26+23.在△PF1F2中,根據(jù)余弦定理,可得4c2=(26+23)2+(26)2-2×(26+23)×26×cos45°,4c2=36,得c=3,所以雙曲線的離心率e=ca=33=3,故A正確;b=c2-a2=6,所以雙曲線的漸近線方程為y=±bax=±2x,故B錯誤;直線l的方程為y=22(x+3),與雙曲線方程x23-y26=1聯(lián)立,消去y,整理得x2-2x-7=0,解得x=1±22.因為點P在雙曲線的右支上,所以點P20.7解析如圖,設P為MN中點,|MF|=t,雙曲線的右焦點是F2由FN=3FM,可知|FN|=3t,|MP|=|PN|=t.由雙曲線的定義可知|MF2|=t+2a,|NF2|=3t-2a.由OM·FN=0,可知OM又O為FF2的中點,M為FP的中點,可知OM∥PF2,則PF2⊥FN.從而PF2為線段MN的垂直平分線,所以|MF2|=|NF2|,即t+2a=3t-2a,所以t=2a,則△MNF2為正三角形,|PF2|=23a.在直角三角形FPF2中,|FP|2+|PF2|2=|FF2