1.1 認識三角形（原卷版）

1.1認識三角形學習目標：1．認識三角形的邊、內(nèi)角、頂點，能用幾何語言表示三角形；2．掌握三角形的三邊關系定理，能利用定理及其推論進行簡單的證明；3．了解三角形分類的原則和結論．重點：理解三角形三邊之間的不等關系．難點：運用三角形三邊之間的不等關系解題．知識點一三角形的有關概念三角形的概念由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.有關概念（1）邊:組成三角形的線段叫做三角形的邊.如圖，線段AB，BC，AC是三角形ABC的三條邊.三角形ABC的三條邊有時也用a，b，c表示.圖SEQ圖\*ARABIC1（2）頂點:相鄰兩邊的公共端點叫做三角形的頂點.如圖1，點A，B，C是三角形ABC的三個頂點.（3）角:相鄰兩邊組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角.如圖1，∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三個角.如圖1，∠A，∠B，∠C所對的邊分別是BC，AC，AB;反過來，三條邊AB，BC，AC所對的角分別是∠C，∠A，∠B.三角形的表示三角形用符號“△”表示，如圖1，以A，B，C為頂點的三角形，記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”.1.用a,b,c表示△ABC的三邊時，頂點A所時的邊一般用a表示，頂點B所對的邊一般用b表示，頂點C所時的邊一般用c表示.2.三角形三個頂點的字母的次序可任意調(diào)整，△ABC也可寫或“△BAC”“△BCA”"△CAB"等.3.用a,b,c表示△ABC的三邊時，頂點A所時的邊一般用a表示，頂點B所對的邊一般用b表示，頂點C所時的邊一般用c表示.即學即練（2022秋·浙江寧波·八年級?？计谥校┤切问侵?)A．由三條線段所組成的封閉圖形B．由不在同一直線上的三條直線首尾順次相接組成的圖形C．由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形D．由三條線段首尾順次相接組成的圖形知識點二三角形的分類1.等腰三角形有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的兩邊都叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角.2.等邊三角形三邊都相等的三角形叫做等邊三角形，即底邊與腰相等的等腰三角形叫做等邊三角形?！?.三角形的分類(1)按邊的相等關系分類：按內(nèi)角的大小分類：(1)在一個三角形中，最多有三個銳角，最少有兩個銳角.(2)在一個三角形中，最多有一個直角，最多有一個鈍角，(3)三角形的兩種分類方法是各自獨立的，同一個三角形可能同時屬于兩個不同的類別.如等腰直角三角形按邊分類屬于等腰三角形，而按角分類則屬于直角三角形.即學即練（2023秋·浙江金華·八年級統(tǒng)考期末）一個三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之比為1：2：3，則這個三角形一定是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形判斷三角形形狀的方法首先確定其分類標準，是按角分類還是按邊分類，若按角分類，則看這個三角形的最大角是哪一類角，最大角是哪一類角，則這個三角形就是哪一類三角形.若按邊分類，則看是否有等邊，有等邊，則這個三角形就是等腰三角形.知識點三三角形的三邊關系三角形的三邊關系三角形兩邊的和大于第三邊，三角形兩邊的差小于第三邊.【注意】這里說的兩邊，是指任意的兩邊。三角形的三邊關系反映了任意三角形邊的限制關系，一般會與不等式聯(lián)系起來考慮。圖形文字語言符號語言三角形兩邊的和兩點之間，線段最短三角形三邊關系的應用(1)判斷三條線段能否構成三角形，(2)確定第三邊長(或周長)的取值范圍(3)解決線段的不等關系問題(如證明幾何不等式).即學即練1（2023秋·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期末）下列各條線段的長能組成三角形的是（

）A．5，7，12 B．5，12，16 C．2，3，6 D．5，5，12即學即練2（2023秋·浙江金華·八年級統(tǒng)考期末）若a，b，c為三角形的三邊長，且a，b滿足a-3+b-2知識點四三角形的高1.三角形的高的概念從三角形的一個頂點向它所對的邊所在直線畫垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高。2.三角形的高的幾何語言表達形式如圖所示，AD是△ABC的邊BC上的高，或AD是△ABC的高，或AD⊥BC于點D，或∠BDA=∠CDA=90°.【注意】三角形的高與垂線的區(qū)別：三角形的高是一條垂線段，垂線是一條直線。3.三角形三條高的位置高及高的交點的位置圖示銳角三角形三條高都在三角形的內(nèi)部，三條高的交點在三角形的內(nèi)部直角直角三角形有兩條高恰好是三角形的兩條直角邊，另一條高在三角形內(nèi)部，三條高的交點是直角頂點鈍角鈍角三角形有兩條高落在三角形的外部，另一條高在三角形內(nèi)部，三條高沒有交點，但三條高所在的直線交于三角形外一點1.作三角形高的步驟作三角形的高的步驟就是“過直線外一點作該直線的垂線段”的步驟：一靠：三角尺的一條直角邊靠在要作高的邊上；二移：移動三角尺使另一條直角邊通過要作高的頂點，三畫：畫垂線段.2.三角形的三條高的特性銳角三角形直角三角形鈍角三角形高在三角形內(nèi)部的數(shù)量311高之間是否相交相交相交不相交高所在的直線是否相交相交相交相交三條高所在直線的交點的位置三角形內(nèi)部直角頂點三角形外部即學即練1（2023秋·浙江臺州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，△ADC中DC邊上的高是（

）A．線段AB B．線段AD C．線段AC D．線段BC即學即練2如圖所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于點D，且AD＝4，若點P在邊AC上移動，求BP的最小值.面積法的應用：若涉及兩條高求長度，一般需結合面積（但不求出面積），利用三角形面積的兩種不同表示方法列等式求解.知識點五三角形的中線1.三角形的中線的概念CABD在三角形中，連接一個頂點和CABD2.三角形中線的幾何語言表達形式如圖，AD是△ABC的邊BC上的中線，或AD是△ABC的中線。3.三角形中線的數(shù)量和位置任何三角形都有三條中線，三條中線都在三角形內(nèi)部，并且三條中線相交于一點，這點在三角形的內(nèi)部.CACABDE三角形三條中線的交點叫做三角形的重心.5.三角形的中線分成的兩個三角形的面積及周長的關系(1)面積關系：如圖所示，AD是△ABC的中線，AE是△ABC的高，則S?ABD=因為BD=CD,所以12BD?AE=所以S?ABD=S?ACD.（(2)周長關系：因為△ABD的周長=AB+BD+AD,△ACD的周長=AC+CD+AD,所以△ABD的周長-△ACD的周長=(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=AB-AC.（等式的性質(zhì)在幾何推理中也是常用方法！）（1）三角形的中線可將三角形分成面識相等的兩部分;（2）△ABD和△ACD的周長之差實質(zhì)上就是AB與AC的長度之差.即學即練（2023春·浙江溫州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知D、E分別為△ABC的邊AC、BC的中點，AF為△ABD的中線，連接EF，若四邊形AFEC的面積為15，則△ABC的面積為（A．20 B．24 C．26 D．30知識點六三角形的角平分線1.三角形的角平分線的概念CACABD邊相交于一點，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線.2.三角形的角平分線的幾何語言表達形式如圖所示，AD是△ABC的角平分線，或∠BAD=∠CAD=12∠BAC且點D在邊BC上.3.三角形的角平分線的位置三角形的三條角平分線都在三角形的內(nèi)部，并且三條角平分線交于三角形內(nèi)一點.即學即練如圖，DC平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°，求∠ECD的度數(shù).知識點七三角形內(nèi)角和1.定理(1)文字敘述：三角形三個內(nèi)角的和等于180°(2)數(shù)學語言：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.2.定理的實踐探索的示意圖如圖所示，把△ABC的三個內(nèi)角拼在一起，組成一個平角，即三個內(nèi)角的和為180°。多種方法證明三角形內(nèi)角和等于180°的核心是借助的平行線“移角”的功能，將三個角轉化到一個平角上.三角形內(nèi)角和定理的兩點應用：(1)在三角形中，已知任意兩個角的度數(shù)，可求出第三個角的度數(shù)；(2)已知三角形中三個內(nèi)角的關系，可利用三角形內(nèi)角和等于180°,列方程求出各內(nèi)角的度數(shù)。3.利用“平行線的性質(zhì)”證明三角形的內(nèi)角和定理的典例推理過程方法1過點A作l∥BC，則∠B=∠1，∠C=∠2(兩直線平行，內(nèi)錯角相等).∵∠1+∠2+∠BAC=180°，∴∠B+∠C+∠BAC=180°.延長BC到D，過點C作CE∥BA，則∠A=∠1(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)，∠B=∠2(兩直線平行，同位角相等).又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=180°.過D作DE∥AC，DF∥AB.∴∠C=∠EDB，∠B=∠FDC(兩直線平行，同位角相等)，∠A+∠AED=180°，∠EDF+∠AED=180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角相補).∴∠A=∠EDF.∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，∴∠C+∠A+∠B=180°.即學即練如圖，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分線，求∠ADB的度數(shù).三角形的內(nèi)角和常用二級結論：由三角形的內(nèi)角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.由三角形的內(nèi)角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D知識點八三角形的外角1.三角形外角的定義三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.如圖所示，∠ACD是△ABC的一個外角。(1)三角形的外角和與它相鄰的內(nèi)角互為鄰補角.(2)三角形的每一個頂點處都有且只有兩個外角，這兩個外角是對頂角，一個三角形共有六個外角，一個三角形的內(nèi)角的對頂角不是這個三角形的外角.2.外角的性質(zhì)(三角形內(nèi)角和定理的推論)（1）三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.應用格式：∵∠ACD是△ABC的一個外角，∴∠ACD=∠A+∠B.(2)三角形內(nèi)角和定理的另一個推論：三角形的外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角.3.三角形的外角和定理在三角形的每個頂點處取一個外角，三個不同頂點處的外角的和叫做三角形的外角和.三角形的外角和為360°.即學即練1如圖①，試比較∠2、∠1的大??；如圖②，試比較∠3、∠2、∠1的大小.圖①圖②即學即練2如圖，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三個外角，它們的和是多少？題型一三角形的識別與有關概念例1（2020秋·浙江寧波·八年級?？计谥校┮晃煌瑢W用三根木棒兩兩相交拼成如下圖形，則其中符合三角形概念的是（）A． B．C． D．舉一反三1（2021秋·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期末）三角形的一個外角是銳角，則此三角形的形狀是（

）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．無法確定舉一反三2（2020秋·浙江寧波·八年級?？计谥校⒁粋€三角形紙片剪開分成兩個三角形，這兩個三角形不可能（）A．都是直角三角形 B．都是鈍角三角形C．都是銳角三角形 D．是一個直角三角形和一個鈍角三角形題型二三角形的分類例2（2023秋·浙江寧波·八年級校聯(lián)考期末）一個三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之比是3:4:5，則這個三角形一定是（

）．A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定舉一反三1（2022秋·浙江紹興·八年級統(tǒng)考期末）下面給出的四個三角形都有一部分被遮擋，其中不能判定三角形類型的是（

）A． B． C． D．舉一反三2（2022秋·浙江·八年級期中）若一個三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之比是2:3:7，則這個三角形一定是（

）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定題型三構成三角形的條件例3（2023秋·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期末）將下列長度的三根木棒首尾順次連接，能組成三角形的是（

）A．1，2，3 B．3，4，5 C．2，3，5 D．3，5，9舉一反三1（2023秋·浙江溫州·八年級統(tǒng)考期末）兩根木棒的長度分別為5cm，8A．2cm B．3cm C．6cm舉一反三2（2023秋·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）下列各組線段中，能構成三角形的是（

）A．2，5，7 B．9，3，5 C．4，5，6 D．4，5，10題型四確定第三邊的取值范圍例4（2023秋·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期末）三角形的兩邊長分別為4cm和7A．2cm B．3cm C．6cm D．舉一反三1（2023秋·浙江臺州·八年級統(tǒng)考期末）已知兩根直木條的長分別為6dm和12dm，要再選擇一根木條，使得它們首尾順次相接能圍成一個三角形，則下列長度的木條中，符合要求的是（A．5dm B．6dm C．11dm D．20dm舉一反三2（2023秋·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）若三角形的兩邊長分別為2，6，則此三角形第三邊的長可能是（

）A．3 B．4 C．5 D．9題型五三角形的高有關計算例5（2023秋·浙江寧波·八年級校聯(lián)考期末）如圖，在△ABC中，∠A=60°,∠ABC=80°，BD是△ABC的高線，BE是△ABC的角平分線，則∠DBE的度數(shù)是（

）A．10° B．12° C．15° D．18°舉一反三1（2023秋·浙江寧波·八年級?？计谀┤鐖D，從△ABC各頂點作平行線AD∥EB∥FC，各與其對邊或其延長線相交于點D，E，F(xiàn)．若△ABE的面積為S1，△AFC的面積為S2，△EDC的面積為A．S1+S2 B．S1+舉一反三2（2022秋·浙江溫州·八年級校考期中）如圖，在△ABC中，∠ABC=30°，∠C=40°，BE、AD分別是△ABC的角平分線和高線，求∠BEC、∠AFE的度數(shù)．題型六三角形中線的計算問題例6（2023秋·浙江金華·八年級統(tǒng)考期末）如圖為一張銳角三角形紙片ABC，小明想要通過折紙的方式折出如下線段：①BC邊上的中線AD，②BC邊上的角平分線AE，③BC邊上的高AF．根據(jù)所學知識與相關活動經(jīng)驗可知：上述三條線中，所有能夠通過折紙折出的有（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③舉一反三1（2023春·浙江杭州·八年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AB=3，AC=5，則BC邊的中線AD的取值范圍為.

舉一反三2（2023秋·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，AD是△ABC的中線，E是AD的中點，連結BE，CE．若△ABC的面積是8，則圖中陰影部分的面積為（

）A．4 B．5 C．5.5 D．6題型七三角形角平分線的計算問題例7（2023秋·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，CD是∠ACB的平分線，高AE與CD相交于點O．若∠BAC=70°，∠ACB=60°．求：(1)∠B的度數(shù)；(2)∠AOD的度數(shù)．舉一反三1（2023秋·浙江寧波·八年級?？计谀┤鐖D，在△ABC中，∠BAC=80°，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，∠B=60°，則∠DAE=舉一反三2（2023春·浙江寧波·八年級浙江省鄞州區(qū)宋詔橋中學?？计谀┤鐖D，在ΔABC中，∠A=64°，∠ABC與∠ACD的平分線交于點A1，得∠A1；∠A1BC與∠A1CD的平分線相交于點A2，得∠A2；……；A．4 B．5 C．6 D．7題型八三角形的折疊問題例8（2023秋·浙江金華·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=70°，D，E分別是邊AB、AC上的點，將∠A沿DE折疊，使點F落在AB的下方，當△FDE的邊EF與BC平行時，∠ADE的度數(shù)是．舉一反三1（2022秋·浙江嘉興·八年級校聯(lián)考期中）在△ABC中，∠B=40°，D為邊BC上一點，將三角形沿AD折疊，使AC落在邊AB上，點C與點E重合，若△BDE為直角三角形，則∠C的度數(shù)為．舉一反三2（2022秋·浙江溫州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，D是AB上一點，將Rt△ABC沿CD折疊，使點B落在AC邊上的B'處，則∠ADB′等于題型九三角形的內(nèi)角和定理應用例9（2022秋·浙江溫州·八年級校聯(lián)考期中）下圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），AE與BD的交點為C，且∠A，∠B，∠E保持不變．為了舒適，需調(diào)整∠D的大小，使∠EFD=110°，則圖中∠D=°．

舉一反三1（2023春·浙江杭州·八年級?？计谥校┤鐖D，四邊形ABCD中，點M,N分別在AB,BC上，∠C=80°，按如圖方式沿著MN折疊，使FN∥CD，此時量得∠FMN=50°，則∠B的度數(shù)是（）A．60° B．90° C．120° D．135°舉一反三2（2023秋·浙江杭州·八年級校聯(lián)考期末）將一副直角三角板如圖放置，使含30°角的三角板的短直角邊和含45°角的三角板的一條直角邊重合，則∠1的大小為度．題型十三角形的外角和定理應用例10（2022秋·浙江嘉興·八年級平湖市林埭中學校聯(lián)考期中）用一副直角三角板拼出如圖所示的圖形，則圖中∠α的度數(shù)為（

）

A．95° B．100° C．105° D．120°舉一反三1（2021秋·浙江臺州·八年級校聯(lián)考期中）如果將一副三角板按如圖方式疊放，那么∠1等于（

）A．45° B．60° C．105° D．120°舉一反三2（2023秋·浙江·八年級專題練習）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點A'處，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若單選題1.（2023秋·浙江臺州·八年級統(tǒng)考期末）將下列長度的三條線段首尾順次相連能構成三角形的是（

）A．1，2，3 B．2，3，5 C．3，4，6 D．4，5，102.（2023秋·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）已知一個三角形的兩邊長為1，3，則第三邊可以是（

）A．2 B．3 C．4 D．53.（2023秋·浙江金華·八年級統(tǒng)考期末）如圖，用三角板作△ABC的邊AB上的高線，下列三角板的擺放位置正確的是（

）A．B．C．