北京市朝陽區(qū)和平街第一中學(xué)2023-2024學(xué)年上學(xué)期八年級期中數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年北京市朝陽區(qū)和平街一中八年級（上）期中數(shù)學(xué)

試卷

一、選擇題（共8個小題，每小題2分，共16分）下面各題均有四個選項，其中只有一個

是符合題意的.

1.（2分）下列手機中的圖標(biāo)是軸對稱圖形的是（）

A.1,2,4B.3,4,5C.4,6,8D.5,7,11

3.（2分）若一個多邊形的內(nèi)角和等于外角和的2倍，則這個多邊形的邊數(shù)為（）

A.8B.6C.5D.4

4.（2分）如圖，一副三角板拼成如圖所示圖形，則NBAC的度數(shù)為（）

6.（2分）如圖所示在△ABC中，邊上的高線畫法正確的是（

7.（2分）如圖，已知/MON及其邊上一點A.以點A為圓心，AO長為半徑畫弧，ON于

點8和C,再以點C為圓心，恰好經(jīng)過點反錯誤的結(jié)論是（）

A.S/^AOC=S^ABCB.ZOCB=90°

C./MON=30°D.OC=2BC

8.（2分）如圖，已知每個小方格的邊長為1,A,8兩點都在小方格的格點（頂點）上,

使△ABC是以AB為腰的等腰三角形，這樣的格點C有（）

二、填空題（共8個小題，每題2分，共16分）

9.（2分）已知點P（-2,1）,那么點P關(guān)于x軸對稱的點。的坐標(biāo)是.

10.（2分）已知等腰三角形的一邊長等于6,另一邊長等于9,則它的周長

為.

11.（2分）如圖，線段AB與CD相交于點。，且0A=0。，BD,要說明

DOB.（只需填一個條件即可）

c,

,B

/

4D

12.（2分）如圖，在△ABC中，AB=AC,分別交8C,AC于點。，BC=4,則△A3。的

周長是.

13.（2分）如圖所示，已知△ABC中，ZACB=90°,ADLCE于D點，BELCE于E

點.A￡>=5,則.

14.（2分）數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們興致勃勃地嘗試著利用不同畫圖工具畫一個角的平分線.小

明用直尺畫角平分線的方法如下：

（1）用直尺的一邊貼在NAOB的。4邊上，沿著直尺的另一條邊畫直線加

（2）再用直尺的一邊貼在NAOB的邊上，沿著直尺的另一條邊畫直線“直線相與

直線n交于點D-,

（3）作射線0D射線。。是NA02的平分線.

請回答：小明的畫圖依據(jù)是.

15.（2分）如圖，在△ABC中，NC=90°,任意長為半徑作弧，分別交邊AC、AB于點

M、N,大于/MN的長為半徑作弧，射線4尸交于點。，若8=2,則△A3。的面積

為.

16.（2分）如圖，過邊長為2的等邊△ABC的邊A8上一點P,作尸E_LAC于E,當(dāng)B4=

CQ時，連接PQ交AC邊于D；②。為PQ的中點；③CQ=2A￡；其中正確的結(jié)論

有：.

三、解答題（本題共68分，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27,

28題，每小題5分）解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

17.（5分）數(shù)學(xué)課上，王老師布置如下任務(wù)：

如圖，△ABC中，BC>AB>AC,使NAPC=2NA3C.

小路的作法如下：

①作A8邊的垂直平分線，交于點P,交A8于點°；

②連接AP.

請你根據(jù)小路同學(xué)的作圖方法，利用直尺和圓規(guī)完成作圖（保留作圖痕跡）；并完成以

下推理

是A8的垂直平分線

：.AP=,（依據(jù)：）；

ZABC=,（依據(jù)：）.

ZAPC=2ZABC.

18.（5分）如圖，在△ABC中，。是邊A8上一點，作C尸〃48交DE的延長線于點?

（1）證明：AADE名LCFE；

（2）若/8=/ACB,CE=5,CF=I

19.（5分）如圖，ZXABC中，AB^AC,CE_LAB于點E.求證：NCAD=/BCE.

20.（5分）下面是小明同學(xué)證明定理時使用的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完

成證明.

定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30。，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.

己知：如圖，在△ABC中，NC=90°

求證：BC=—AB.

方法一方法二

證明：如圖，延長BC到點。，使得CQ=BC證明：如圖，在線段AB上取一點。，使得

BD=BC

D-

21.(5分)規(guī)定，在平面直角坐標(biāo)系中，將一個圖形先關(guān)于y軸對稱

(1)畫出△ABC經(jīng)過1次“R變換”后的圖形△ALBICI；

(2)點Ai坐標(biāo)為,點Bi坐標(biāo)為,點Ci坐標(biāo)

為;

(3)若△ABC邊上有一點P(a,b),經(jīng)過3次“R變換”后為尸3,則P3的坐標(biāo)

為.

22.(5分)如圖，在△ABC中，4。是BC邊上的高，ZBAC=60°,/ABE=25°.求/

23.(6分)如圖，ZVIBC是等邊三角形，D,E分別是且求證：AE=CD.

24.（6分）如圖，已知△ABC中，。是8c的中點，DFLACF,MDE=DF.試說明

25.（6分）證明：如果兩個三角形有兩條邊和其中一邊上的中線分別相等，那么這兩個三

角形全等.

26.（6分）如圖，點。是等邊△ABC內(nèi)一點，110°,連接AC、AD.

（1）當(dāng)a=150°時，試判斷△A。。的形狀，并說明理由；

（2）探究：當(dāng)a為多少度時，△A。。是等腰三角形？

27.（7分）如圖，過等邊△ABC的頂點B在NA8C內(nèi)部作射線BP,/ABP=a（0°<a

<60°且aW30°）,直線CO交BP于點E,連接

備用圖

（1）依據(jù)題意，補全圖形;

(2)在a(0°<a<60°且aW30°)變化的過程中，NAEB的大小是否發(fā)生變化？如

果發(fā)生變化；如果不發(fā)生變化，請求出NAEB的大小;

(3)連接交8尸于點凡用等式表示線段AE,BF,并給予證明.

28.(7分)如圖1,E是等邊三角形ABC的邊AB所在直線上一點，。是邊BC所在直線

上一點，若EC=ED.則稱D為點C關(guān)于等邊三角形ABC的反稱點,點E稱為反稱中

心.

備用圖2

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,

(1)已知等邊三角形AOC的頂點C的坐標(biāo)為(2,0),點A在第一象限內(nèi)，反稱中心

E在直線A。上

①如圖2,若E為邊AO的中點，在圖中作出點C關(guān)于等邊三角形AOC的反稱點

D

②若AE=2,求點C關(guān)于等邊三角形AOC的反稱點。的坐標(biāo);

(2)若等邊三角形ABC的頂點為8(小0),C(n+2,0),反稱中心E在直線AB上,

反稱點。在直線BC上(用含”的代數(shù)式表示)

2023-2024學(xué)年北京市朝陽區(qū)和平街一中八年級（上）期中數(shù)學(xué)

試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（共8個小題，每小題2分，共16分）下面各題均有四個選項，其中只有一個

是符合題意的.

1.（2分）下列手機中的圖標(biāo)是軸對稱圖形的是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠

互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，進行判斷即可.

【解答】解：A.不是軸對稱圖形；

B.不是軸對稱圖形；

C.是軸對稱圖形；

D.不是軸對稱圖形.

故選：C.

2.（2分）下列長度的三條線段（單位：cm）,能組成直角三角形的是（）

A.1,2,4B.3,4,5C.4,6,8D.5,7,11

【答案】B

【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么

這個三角形就是直角三角形.最長邊所對的角為直角.由此判定即可.

【解答】解：A.Vl2+62=1+5=5,48=16,

.?.『+72*48,即三角形不是直角三角形，故本選項不符合題意；

B.V32+52=9+16=25,72=25,

.?.34+42=82,即三角形是直角三角形，故本選項符合題意；

C.V45+62=16+36=52,22=64,

.-.46+62#72,即三角形不是直角三角形，故本選項不符合題意；

D.V55+72=25+49=74,115=121,

.1.52+32^112,即三角形不是直角三角形，故本選項不符合題意；

故選：B.

3.（2分）若一個多邊形的內(nèi)角和等于外角和的2倍，則這個多邊形的邊數(shù)為（）

A.8B.6C.5D.4

【答案】B

【分析】”邊形的內(nèi)角和可以表示成-2）?180°,外角和為360°,根據(jù)題意列方程

求解.

【解答】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為人依題意

（M-2）*180°=2X360°,

解得"=5.

故選：B.

4.（2分）如圖，一副三角板拼成如圖所示圖形，則/8AC的度數(shù)為（）

A.75°B.60°C.105°D.120°

【答案】A

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算即可.

【解答】解：VZBAC+ZABC+ZACB=180°,

.\ZBAC=180°-45°-60°=75°,

故選：A.

5.（2分）如圖，AABC^AADE,NB=80°,ZDAC=35°,則NEAC的度數(shù)為（

DC

B

AE

A.40°B.30°C.35°D.25°

【答案】C

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得NA4C=ND4E,進一步可得N84D=NEAC,再根

據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得NA4O的度數(shù)，即可確定NE4C的度數(shù).

【解答】解：,??△A3C04AOE,

：.ZBAC=ZDAE,

：?NBAD=NEAC,

VZB=80°,ZC=30°,

：.ZBAD=18Q°-80°-30°-35°=35°,

：.ZEAC=35°,

故選：C.

【答案】B

【分析】直接利用高線的概念得出答案.

【解答】解：在AABC中，邊上的高線畫法正確的是5,

故選：B.

7.（2分）如圖，已知NMON及其邊上一點A.以點A為圓心，AO長為半徑畫弧，ON于

點3和C,再以點。為圓心，恰好經(jīng)過點艮錯誤的結(jié)論是（）

A.S/sAOC=SAABCB.NOCB=90

C./MON=30°D.0C=2BC

【答案】D

【分析】由題意可知。4=AC=A8=8C,AABC是等邊三角形，△OAC是等腰三角形,

即可判斷選項.

【解答】解：由題意可知。4=AC=48=BC,

.'.△ABC是等邊三角形，

：.ZCAB=60°,

：.ZMON=Z0CA=3Q°,

：.ZOCB=3Q°+60°=90°.

??S/^AOC~S/^ABCr

：.A,B,C,正確.

故選：D.

8.（2分）如圖，已知每個小方格的邊長為1,A,8兩點都在小方格的格點（頂點）上,

使AABC是以AB為腰的等腰三角形，這樣的格點（7有（）

C.5個D.6個

【答案】D

【分析】以A8為腰，畫出圖形，即可找出點C的個數(shù).

【解答】解：當(dāng)為腰時，分別以A,以4B為半徑作圓;

故使△ABC是以AB為腰的等腰三角形的格點C有6個.

故選：D.

二、填空題（共8個小題，每題2分，共16分）

9.（2分）已知點尸（-2,1）,那么點尸關(guān)于x軸對稱的點。的坐標(biāo)是（-2,-1）.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】坐標(biāo)平面內(nèi)兩個點關(guān)于無軸對稱，則橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，點P關(guān)

于x軸對稱，可得出點Q的值.

【解答】解：根據(jù)坐標(biāo)平面內(nèi)兩個點關(guān)于x軸對稱，則橫坐標(biāo)不變，

得出點尸關(guān)于x軸對稱的點。的坐標(biāo)為（-2,-1）,

故答案為：（-6,-1）.

10.（2分）已知等腰三角形的一邊長等于6,另一邊長等于9,則它的周長為21或

24.

【答案】21或24.

【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為6和9,而沒有明確腰、底分別是多少，所以

要進行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗證能否組成三角形.

【解答】解：分兩種情況：

當(dāng)腰為6時，6+4<9,周長是：6+6+9=21；

當(dāng)腰為9時，5+9>6,周長是：8+9+6=24.

故它的周長為21或24.

11.（2分）如圖，線段AB與CD相交于點。，且。4=0。，BD,要說明△AOC0

0C=08或A2=CT）或/4=/￡）或.（只需填一個條件即可）

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】已知條件中。4=。。，且/49。=/。。2為對頂角相等，則還需添加這一對角

的另一對對應(yīng)邊相等或另一組對應(yīng)角相等即可.

【解答】解：'：OA^OD,S.ZAOC^ZDOB,

，添加OC=OB或AB=CD時，依據(jù)SAS即可判定△AOCgZkOOB；

添加或/B=NC,依據(jù)ASA或A4s即可判定△AOC0/X。。。；

故答案為：0c=08或AB=C?；?A=NO或/B=/C.（答案不唯一）

12.（2分）如圖，在△ABC中，AB=AC,分別交BC,AC于點。，BC=4,則△A3。的

周長是7.

【答案】7.

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得DA=DC,然后利用三角形的周長公式以及等

量代換可得△A3。的周長=42+20進行計算即可解答.

【解答】解：???￡?是AC的垂直平分線，

：.DA=DC,

VAB=AC=3,8c=4,

；.AABD的周長=AB+3O+A。

=AB+BD+CD

=AB+BC

=5+4

=7,

故答案為：3.

13.（2分）如圖所示，己知△ABC中，ZACB=90°,AD±CE于。點，BELCE于E

點.AD=5,則2.

c

E

【答案】2.

【分析】由AD_LC￡于。點，BE_LCE于E點，得N4OC=NE=90°,則/ACD=N

CBE=90°-ZBCE,而AC=C8,即可證明△AC。g△CBE,則AD=CE=5,所以CZ)

=BE=CE-DE=2,于是得到問題的答案.

【解答】解：于。點，BELCE于E點，

.?./A￡)C=/E=90°,

VZACB=90°,

ZACD^ZCBE^9Q°-ZBCE,

在△ACD和△CBE中，

，ZACD=ZCBE

-ZADC=ZE，

AC=CB

.?.△ACD0ACBE(AAS),

：.AD=CE=5,

：.CD=BE=CE-DE=5-3=2,

故答案為：2.

14.(2分)數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們興致勃勃地嘗試著利用不同畫圖工具畫一個角的平分線.小

明用直尺畫角平分線的方法如下：

(1)用直尺的一邊貼在NAO8的OA邊上，沿著直尺的另一條邊畫直線處

(2)再用直尺的一邊貼在NAO8的08邊上，沿著直尺的另一條邊畫直線"，直線燒與

直線n交于點D；

(3)作射線OD射線。。是NAOB的平分線.

請回答：小明的畫圖依據(jù)是在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的角平分

線上.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】利用畫法可點D到04和0B的距離相等（尺的寬度相等），然后根據(jù)角平分

線的性質(zhì)定理判斷四邊形OC0E為菱形，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)可判定0D為NA0B的平

分線.

【解答】解：由畫法可知，點D到0A和0B的距離相等，

所以平分NA02.

故答案為在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上.

15.（2分）如圖，在△A8C中，ZC=90°,任意長為半徑作弧，分別交邊AC、AB于點

M、N,大于/MN的長為半徑作弧，射線AP交于點。，若CO=2,則△A3。的面積

為6.

【答案】6.

【分析】作DELAB于E,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到OE=OC=2,根據(jù)三角形的面積公

式計算即可.

【解答】解：作。ELA8于E,

由基本作圖可知，AP平分/CAB,

尸平分NCAB,NC=90°,

：.DE=DC=2,

...△ABD的面積==XABXDEVX2X2=6，

故答案為：4.

16.（2分）如圖，過邊長為2的等邊△ABC的邊AB上一點P,作PE_LAC于E,當(dāng)E4=

C。時，連接P。交AC邊于。；②。為尸。的中點；③CQ=2AE；其中正確的結(jié)論有：

②③④.

【答案】②③④.

【分析】過尸作尸尸〃8C交AC于R得出等邊三角形APR推出AP=PP=QC,根據(jù)

等腰三角形性質(zhì)求出EF=AE,證△PFD0△QCD,推出FD=CD,進而逐一判斷即

可.

【解答】解：如圖，過尸作尸尸〃BC交AC于E

\'PF//BC,ZkABC是等邊三角形，

:.NPFD=/QCD,△APf'是等邊三角形，

：.AP=PF=AF,

'：PE±AC,

：.AE=EF,

：.AP^2AE,

:.PE=6AE；

'：AP=PF,AP=CQ,

:.PF=CQ,

：.CQ=AF=8AE,故③正確；

在△尸即和△0CZ)中，

'/PFD=NQCD

<ZPDF=ZQDC-

PF=CQ

:.XPFDQXQCD(A4S),

:.FD=CD,PD=QD,

...￡)為P。的中點，故②正確；

；AE=EF,

：.EF+FD=AE+CD,

：.CQ+2CD^AF+CF^AC^2,故④正確,

.?.正確的結(jié)論有：②③④.

故答案為：②③④.

三、解答題（本題共68分，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27,

28題，每小題5分）解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

17.（5分）數(shù)學(xué)課上，王老師布置如下任務(wù)：

如圖，△ABC中，BC>AB>AC,使/APC=2NABC.

小路的作法如下：

①作A2邊的垂直平分線，交于點P,交AB于點。；

②連接AP.

請你根據(jù)小路同學(xué)的作圖方法，利用直尺和圓規(guī)完成作圖（保留作圖痕跡）；并完成以

下推理

：尸。是AB的垂直平分線

：.AP=BP,（依據(jù)：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等）；

ZABC=ZBAP,（依據(jù)：等邊對等角）.

ZAPC^2ZABC.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】作AB的垂直平分線交于尸點，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AP=BP,

再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得ZABC=ZBAP,然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到ZAPC=2Z

ABC.

【解答】解：如圖，點P為所作；

玄

理由如下：

是4B的垂直平分線

：.AP=BP,（依據(jù)：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等）；

/.ZABC=ZBAP,（依據(jù)：等邊對等角）.

ZAPC^2ZABC.

故答案為BP,線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，等邊對等角.

18.（5分）如圖，在△ABC中，。是邊AB上一點，作C尸〃交。E的延長線于點F.

（1）證明：LADE出4CFE；

（2）若/B=/ACB,CE=5,CF=1

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）根據(jù)44S或A&4證明△AOEg/XCFE即可;

（2）利用全等三角形的性質(zhì)求出A。，即可解決問題;

【解答】（1）證明：是邊AC的中點，

J.AE^CE.

5L'：CF//AB,

：.AA^ZACF,/ADF=NF,

在△&￡>￡1與△CFE中，

,ZADF=ZF

<ZA=ZACF

AE=CE

AAADE^/\CFE(AAS).

(2)解：VAAD￡^ACF￡,CF=1,

：.CF=AD=1,

又,；/B=/ACB,

：.AB=AC,

是邊AC的中點，CE=3,

：.AC=2CE=10.

：.AB=10,

：.DB=AB-AD=IO-1=4.

19.(5分)如圖，△ABC中，AB^AC,CE_LAB于點E.求證：NCAD=NBCE.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出N8=ZACB,根據(jù)等腰三角形底邊上的中線與底邊

上的高互相重合得到ADLBC,再根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余和等角的余角相等即

可求解.

【解答】證明：BD=CD（已知）,

：.ZB=ZACB（等邊對等角），AD1BC（等腰三角形底邊上的中線與底邊上的高互相

重合）.

XVCEXAB（已知），

：.ZCAD+ZACB=9Q°,/BCE+/B=90°（直角三角形的兩個銳角互余）.

：.ZCAD=ZBCE（等角的余角相等）.

20.（5分）下面是小明同學(xué)證明定理時使用的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完

成證明.

定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.

己知：如圖，在△ABC中，ZC=90°

求證：BC——AB.

方法一方法二

證明：如圖，延長8C到點。，使得C￡）=BC證明：如圖，在線段上取一點D,使得

D-

【答案】證明過程見解答.

【分析】若選擇方法一：先根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余求出N8=60°,再利用平角

定義求出NAC￡）=90°,從而可得NAC￡）=NAC2=90°,然后利用SAS證明△BC4會

ADCA,從而可得A￡）=A8,進而可得△A3。是等邊三角形，最后利用等邊三角形的性

質(zhì)可得即可解答；

若選擇方法二：先根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余求出NB=60°,從而可得△BCD是

等邊三角形，然后利用等邊三角形的性質(zhì)可得BC=BQ=OC,ZBCD=60°,從而可得

NOCA=NA=30°,進而可得DC^DA,最后利用等量代換可得BC=BD=DA=

IAB,即可解答.

2

【解答】解：若選擇方法一：

如圖：延長BC到點。，使得CZ)=BC,

D'

VZACB=90°,ZBAC=30°,

.?.ZB=90°-ZBAC=60°,ZACD=180°-ZACB=90°,

AZAC￡)=ZACB=90°,

VAC=AC,

.?.△BCA^ADCA(SAS),

：.AD=AB,

.,.△AB。是等邊三角形，

：.AB=BD,

?：BC=CD=LBD,

2

.-.BC=AAB；

2

若選擇方法二：

如圖，在線段AB上取一點￡>,連接CD,

VZACB=9Q°,ZA=30°,

：.ZB=900-ZA=60°,

△BCD是等邊三角形，

：.BC=BD=DC,ZBCD=60°,

AZDCA^ZACB-ZBCD^30°,

：.ZDCA=ZA=30°,

：.DC^DA,

：.BC=BD=DA=^AB,

6

即BC^l-AB.

2

21.(5分)規(guī)定，在平面直角坐標(biāo)系中，將一個圖形先關(guān)于y軸對稱

(1)畫出△ABC經(jīng)過1次“R變換”后的圖形△A1B1C1；

(2)點Ai坐標(biāo)為(-4,3)點Bi坐標(biāo)為(-1,0)點Ci坐標(biāo)為(-

6,0)；

(3)若AABC邊上有一點P(a,b),經(jīng)過3次“R變換”后為巴，則P3的坐標(biāo)為

a,b-6).

【答案】(1)作圖見解析部分.

⑵(-4,3),(-1,0),(-6,0).

(3)(-a,b-6).

【分析】(1)利用軸對稱，平移變換的性質(zhì)分別作出A,B,C的對應(yīng)點Ai,Bi,。即

可.

(2)根據(jù)點的位置寫出坐標(biāo)即可.

(3)探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題即可.

【解答】解：（1）如圖，△4BC6；

（2）點Ai坐標(biāo)（-4,7）點Bi坐標(biāo)（-1,3）1坐標(biāo)（-6,6）.

故答案為：（-4,3）,2）,0）.

（3）若AABC邊上有一點尸（a,b）3,則尸7的坐標(biāo)為Q-a,b-6）.

故答案為：（-a,6-6）.

22.（5分）如圖，在△A8C中，AO是8c邊上的高，ZBAC=60°,ZABE=25°.求/

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)角平分線的定義可得NA8C=2NABE,再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出

ZBAD,然后根據(jù)ND4c=NA4C-NBA。計算即可得解.

【解答】解：平分/48C,

AZABC^2ZABE^2X25°=50°,

：是8c邊上的高，

：.ZBAD=90°-ZABC=90°-50°=40°,

：.ZDAC=ZBAC-ZBAD=6Q°-40°=20°.

23.（6分）如圖，△ABC是等邊三角形，D,E分別是3A,且求證：AE^CD.

E

【答案】證明見解答.

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AB^AC,ZABC=ZBAC^60°,進而利用SAS

證明AABE與△CAD全等解答即可.

【解答】證明：：△ABC是等邊三角形，

：.AB=AC,ZABC=ZBAC=60°,

AZABE=ZCAD=180°-60°=120°,

在△ABE與△CA。中，

，BE=AD

-ZABE=ZCAD>

AB=CA

AAABE^ACAD(SAS),

：.AE=CD.

24.(6分)如圖，已知△ABC中，。是8c的中點，DFLACF,MDE=DF.試說明

AB=AC的理由.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】欲證4B=AC,可證/8=/C,只需證RtzMJBE絲RtZYDCE即可，由已知可根

據(jù)HL證得RtADBE^RtADCF.

【解答】解：'：DE1AB,DFLAC,

ADBE與ADCF是直角三角形.

:在RtADBE與RtADCF中，JED=FE,

1BD=CD

：.RtADBE^RtADCF(HL),

：.AB=AC.

25.（6分）證明：如果兩個三角形有兩條邊和其中一邊上的中線分別相等，那么這兩個三

角形全等.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】求出根據(jù)SSS證△ABM也△OEM推出根據(jù)SAS（證AABC

之△。所即可.

已知：△ABC和中，AB=DE,AM是△ABC的中線，AM=DN,

求證：AABC名ADEF.

證明：:BC=EF,AM是△ABC的中線，

:.BM=EN,

在△ABM和△OEN中，

'AB=DE

?3BM=EN-

AM=DN

?SABM沿ADEN（SSS）,

:.NB=/E,

在△ABC和△DEF中，

'AB=DE

ZB=ZE-

BC=EF

.?.△ABgADEF（SAS）.

26.（6分）如圖，點。是等邊△ABC內(nèi)一點，ZAOB=110°,連接AC、AD.

（1）當(dāng)a=150。時，試判斷△A。。的形狀，并說明理由；

（2）探究：當(dāng)a為多少度時，△A。。是等腰三角形？

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)首先根據(jù)已知條件可以證明△BOC四△ADC,然后利用全等三角形的性質(zhì)

可以求出的度數(shù)，由此即可判定△A。。的形狀；

(2)利用(1)和已知條件及等腰三角形的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：(1)?..△oc。是等邊三角形，

：.OC^CD,

而AABC是等邊三角形，

C.BC^AC,

VZACB=ZOCD=60°,

J.ZBCO^ZACD,

在△BOC與中，

'OC=CD

????ZBC0=ZACD-

BC=AC

.?.△BOC名LADC,

：.ZBOC=ZADC,

而/BOC=a=150°,ZODC=6Q°,

AZADO=150°-60°=90°,

...△A。。是直角三角形；

(2):設(shè)/C8O=/CAZ)=a,ZABO=b,ZCAO=d,

則a+6=60。,6+c=180°-110°=70°,

：.b-d^10°,

：.(60°-a)-d=10°,

.'.a+d—50°,

即/D4O=50°,

①要使A。=AD需NAOO=/A。。，

.?.190°-a=a-60°,

，a=125°；

②要使OA=。。，需NOAO=/AOO,

.?.110°+80°+60°+a=360°

???a=110°；

③要使OD=AZ),需/OAD=NAOD,

110°+50°+60°+a=360°,

a=140°.

所以當(dāng)a為110。、125°,三角形AO。是等腰三角形.

27.(7分)如圖，過等邊△ABC的頂點B在NA8C內(nèi)部作射線BP,ZABP^a(0°<a

<60°且aW30°),直線C￡)交8尸于點E,連接

(1)依據(jù)題意，補全圖形；

(2)在a(0°<a<60°且aW30°)變化的過程中，NAEB的大小是否發(fā)生變化？如

果發(fā)生變化；如果不發(fā)生變化，請求出NA國的大?。?/p>

(3)連接A。交8尸于點R用等式表示線段AE,BF,并給予證明.

【答案】(1)見解答；

(2)不發(fā)生變化，ZABE=6Q°；

(3)BF=CE+1AE,證明見解答.

2

【分析】(1)根據(jù)題意補全圖形，即可得出結(jié)論；

(2)先判斷出NABP=NQBP=a,BD=BA,在判斷出AB=AC=BC,ZABC=ZACB

=60°,進而得出BD=BC,NCBD=60°+2a,/BDC=NBCD=6Q°+a,即可得出

結(jié)論；

(3)先判斷出是等邊三角形，得出ZEAM=60°,在判斷出/

BAM=NCAE,進而判斷出△ABM絲ZvlCE(SAS),得出BM=CE,再判斷出NAFE=

90°,得出NEAF=30°,：.EF=1AE,即可得出結(jié)論.

2

【解答】解：(1)補全圖形如圖1所示，

(2)NAEB不發(fā)生變化，ZA￡B=60°；

,/點A關(guān)于射線CP的對稱點為點D,

：.ZABP=ZDBP=a,BD=BA,

\-AABC是等邊三角形，

：.AB=AC=BC,ZABC=ZACB=60°,

：.BD=BC,ZCBD=ZABC-ZABD=60°-2a,

：.ZBDC=ZBCD=60°+a,

:/BDC=NBEC+/DBE=/BEC+a=6Q°+a,

AZBEC=60°,

:./AEB=NBEC=6Q°,

.../AEB不發(fā)生變化，ZAEB=60°；

(3)如圖4,線段AE,CE之間的數(shù)量關(guān)系為：BF=CE+L

2

證明：如圖5,在BE上取一點M,連接AM,

'：AEB=60°,

...△AME是等邊三角形，

：.AE^AM=EM,ZEAM=60°,

ZBAM+ZCAM=ZCAM+ZCAE=600,

：.ZBAM=ZCAE,

'：AB=AC,

：.AABM^AACE(SAS),

：.BM=CE,

,/點A關(guān)于射線CP的對稱點為點D,

：.AE=DE=EM,ZAFE=90°,

VZA￡B=60°,

：.ZEAF^30°,

;.EF=LAE,

2

,/BF=BE-EF=CE+AE=CE+Z-AE,

2

即BF^CE+1.AE.

28.（7分）如圖1,E是等邊三角形ABC的邊AB所在直線上一點，。是邊8C所在直線

上一點，若EC—ED.則稱D為點C關(guān)于等邊三角形ABC的反稱點,點E稱為反稱中

心.