2021-2022學(xué)年河南省鄭州市高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

2021-2022學(xué)年河南省鄭州市高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．復(fù)數(shù)z滿足，其中i為虛數(shù)單位，則z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】先化簡復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，故選：D2．下面幾種推理過程中屬于類比推理的是（

）A．兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，如果和是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，則B．科學(xué)家對比了火星和地球之間的某些相似特征，已知地球上有生命存在，所以猜測火星上也可能有生命存在C．由，，，，，…，得出結(jié)論：一個(gè)偶數(shù)（大4）可以寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和D．在數(shù)列中，，，由此歸納出的通項(xiàng)公式【答案】B【分析】利用推理的定義判斷.【詳解】A.是演繹推理；B.類比推理；C.歸納推理；D.歸納推理.故選：B3．如圖所示的是一個(gè)結(jié)構(gòu)圖，在框①②③中應(yīng)分別填入（

）A．虛數(shù)，整數(shù)，分?jǐn)?shù) B．復(fù)數(shù)，虛數(shù)，整數(shù)C．虛數(shù)，復(fù)數(shù)，純虛數(shù) D．復(fù)數(shù)，虛數(shù)，純虛數(shù)【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的分類和虛數(shù)的分類，結(jié)合結(jié)構(gòu)圖的意義得到答案.【詳解】復(fù)數(shù)分為實(shí)數(shù)和虛數(shù)，虛數(shù)又分為純虛數(shù)和非純虛數(shù)，故選：D4．已知x，y，，且，，，則a，b，c三個(gè)數(shù)（

）A．都小于 B．至少有一個(gè)不小于C．都大于 D．至少有一個(gè)不大于【答案】B【分析】應(yīng)用反證法，假設(shè)a，b，c三個(gè)數(shù)都小于，利用得到矛盾結(jié)論，即可確定答案.【詳解】若a，b，c三個(gè)數(shù)都小于，則，即，顯然不等式不成立，所以a，b，c三個(gè)數(shù)至少有一個(gè)不小于，排除A，而C、D不一定成立.故選：B5．在同一平面直角坐標(biāo)系中，由曲線得到曲線，則對應(yīng)的伸縮變換為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)對應(yīng)的伸縮變換為，得到，代入求解.【詳解】解：設(shè)對應(yīng)的伸縮變換為，則，代入，得，又因?yàn)樽儞Q后為，所以，解得，所以對應(yīng)的伸縮變換為，故選：C6．已知x，y，，且，則的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用基本不等式結(jié)合對數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】解：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故選：C7．下列四個(gè)命題：①在回歸模型中，預(yù)報(bào)變量y的值不能由解釋變量x唯一確定；②若變量x，y滿足關(guān)系，且變量y與z正相關(guān)，則x與z也正相關(guān)；③在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模型擬合的精度越高；④樣本點(diǎn)可能全部不在回歸直線上．其中真命題的個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】①根據(jù)回歸模型中的變量關(guān)系判斷；，故正確；②根據(jù)變量x，y滿足關(guān)系判斷；③根據(jù)殘差圖的意義判斷；④根據(jù)回歸模型中的變量關(guān)系判斷.【詳解】①在回歸模型中，預(yù)報(bào)變量y的值不能由解釋變量x唯一確定，根據(jù)回歸模型中的變量關(guān)系，故正確；②若變量x，y滿足關(guān)系，且變量y與z正相關(guān)，則x與z負(fù)相關(guān)，故錯(cuò)誤；③在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模型擬合的精度越高，即越接近于回歸直線的距離越小，故正確；④樣本點(diǎn)可能全部不在回歸直線上，根據(jù)回歸模型中的變量關(guān)系，故正確；故選：C．8．已知是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，其中p，，則（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】利用方程根與系數(shù)的關(guān)系求解.【詳解】解：因?yàn)槭顷P(guān)于x的方程的一個(gè)根，所以方程的另一個(gè)根是，所以，解得，所以.故選：B9．用模型擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，設(shè)，將其變換后得到回歸方程為，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【分析】由兩邊取對數(shù)，與，利用待定系數(shù)法求解.【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，又，所以，解得，所以，故選：D10．我們知道：在平面內(nèi)，點(diǎn)到直線的距離公式為，通過類比的方法，則在空間中，點(diǎn)（1，2，4）到平面的距離為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】類比平面內(nèi)點(diǎn)到直線的距離求解.【詳解】解：點(diǎn)（1，2，4）到平面的距離為：，故選：A11．我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》一書中，用如圖1所示的數(shù)表列出了一些正整數(shù)在三角形中的一種幾何排列，俗稱“楊輝三角形”，該數(shù)表的規(guī)律是每行首尾數(shù)字均為1，從第三行開始，其余的數(shù)字是它“上方”左右兩個(gè)數(shù)字之和．現(xiàn)將楊輝三角形中的奇數(shù)換成1，偶數(shù)換成0，得到如圖2所示的由數(shù)字0和1組成的三角形數(shù)表，由上往下數(shù)，記第n行各數(shù)字的和為，如，，，…，則等于（

）A．16 B．32 C．64 D．128【答案】B【分析】由圖分析得到第行且所有項(xiàng)均為奇數(shù)，判斷對應(yīng)第31行是否存在使，即可得結(jié)果.【詳解】由楊輝三角幾何排列分析知：第行且所有項(xiàng)均為奇數(shù)，而對應(yīng)第31行，令，可得，所有第31行所有數(shù)字均為奇數(shù)，則.故選：B12．已知曲線（為參數(shù)）上任一點(diǎn)，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，利用三角恒等變換及正弦型函數(shù)的性質(zhì)求范圍，根據(jù)恒成立求參數(shù)范圍.【詳解】由題設(shè)，令，則，所以，又對任一點(diǎn)都成立，故.故選：A13．若不等式有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)絕對值的三角不等式可得，再根據(jù)基本不等式求的最小值即可【詳解】由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為4，故若不等式有解，則故選：A14．計(jì)算器是如何計(jì)算，，，，等函數(shù)值的呢？計(jì)算器使用的是數(shù)值計(jì)算法，其中一種方法是用容易計(jì)算的多項(xiàng)式近似地表示這些函數(shù)，通過計(jì)算多項(xiàng)式的值求出原函數(shù)的值，如，，其中，英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了這些公式，可以看出，右邊的項(xiàng)用得越多，計(jì)算得出的和的值也就越精確．運(yùn)用上述思想，可得到的近似值為（

）A．0.50 B．0.52 C．0.54 D．0.56【答案】C【分析】將化為，根據(jù)新定義，取代入公式中，直接計(jì)算取近似值即可．【詳解】由題意可得，，故.故選：．二、填空題15．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為______．【答案】i+1【分析】先利用復(fù)數(shù)的乘方和除法運(yùn)算化簡，再利用共軛復(fù)數(shù)的概念求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以其共軛?fù)數(shù)為，故答案為：16．用最小二乘法得到一組數(shù)據(jù)（其中、2、3、4、5）的線性回歸方程為，若、，則當(dāng)時(shí)，y的預(yù)報(bào)值為______．【答案】23【分析】由已知可得，根據(jù)樣本中心求參數(shù)，進(jìn)而應(yīng)用回歸直線估計(jì)的預(yù)報(bào)值.【詳解】由題設(shè)，，而樣本中心在回歸直線上，所以，得，故，則，有.故答案為：2317．將正奇數(shù)數(shù)列1，3，5，7，9，…依次按兩項(xiàng)，三項(xiàng)分組．得到分組序列如下：，…．稱為第1組，為第2組，以此類推，則原數(shù)列中的2021位于分組序列中第________組．【答案】405【分析】將兩個(gè)括號(hào)作為一組，則每組中有5個(gè)數(shù)，先找出2019所在的位置，然后確定2021所在的位置.【詳解】由題意，將兩個(gè)括號(hào)作為一組，則每組中有5個(gè)數(shù)，因?yàn)?019=1+2×（1010-1），根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式可知，2019是第1010個(gè)奇數(shù)，在第1010÷5=202組中，是第2個(gè)括號(hào)內(nèi)最后一個(gè)數(shù)，所以2019是第202×2=404個(gè)括號(hào)內(nèi)的數(shù)，而2021是第1011個(gè)奇數(shù)，所以在第405個(gè)括號(hào)內(nèi).故答案為：405.18．已知a，b，，且，，，則a，b，c的大小關(guān)系是______．【答案】【分析】在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)，，的圖象求解.【詳解】解：在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)，，的圖象，如圖所示：由圖象知：，故答案為：.三、解答題19．已知復(fù)數(shù)，且，其中為虛數(shù)單位．(1)求復(fù)數(shù)z；(2)已知復(fù)平面上的四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D構(gòu)成平行四邊形ABCD，復(fù)數(shù)，，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，求點(diǎn)D對應(yīng)的復(fù)數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）化簡，再根據(jù)實(shí)數(shù)的定義求解即可（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算求得，，，再根據(jù)平行四邊形中計(jì)算即可【詳解】(1)因?yàn)?，則，所以，所以，又，所以，所以．(2)由題意可知，，，所以，，．設(shè)，又ABCD為平行四邊形，則，即，解得，故．點(diǎn)D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為．20．某從事智能教育技術(shù)研發(fā)的科技公司開發(fā)了一個(gè)智慧課堂項(xiàng)目，并且在甲、乙兩個(gè)學(xué)校的高一學(xué)生中做用戶測試，經(jīng)過一個(gè)階段的試用，為了解智慧課堂對學(xué)生學(xué)習(xí)的促進(jìn)情況，該公司隨機(jī)抽取了200名學(xué)生，對他們“任意角和弧度制”知識(shí)點(diǎn)掌握情況進(jìn)行調(diào)查，樣本調(diào)查結(jié)果如下表：甲校乙校使用智慧課堂不使用智慧課堂使用智慧課堂不使用智慧課堂基本掌握30305030沒有掌握10151025試用頻率估計(jì)概率，并假設(shè)每位學(xué)生是否掌握“任意角和弧度制”知識(shí)點(diǎn)相互獨(dú)立．(1)從兩校高一學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生對“任意角和弧度制”知識(shí)點(diǎn)基本掌握的概率；(2)完成下面列聯(lián)表，并分析是否有99%的把握認(rèn)為基本掌握“任意角和弧度制”知識(shí)點(diǎn)與使用智慧課堂有關(guān)？使用智慧課堂不使用智慧課堂合計(jì)基本掌握沒有掌握合計(jì)【答案】(1)；(2)填表見解析；有99%的把握認(rèn)為基本掌握“任意角和弧度制”知識(shí)點(diǎn)與使用智慧課堂有關(guān).【分析】（1）應(yīng)用古典概型的概率求法求概率即可.（2）根據(jù)題設(shè)完成列聯(lián)表，再由卡方公式求卡方值并比對臨界值，結(jié)合獨(dú)立檢驗(yàn)的基本思想得到結(jié)論.【詳解】(1)在兩所學(xué)校被調(diào)查的200名學(xué)生中，對“任意角和弧度制”知識(shí)點(diǎn)基本掌握的學(xué)生有140人，所以估計(jì)從兩校高一學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生對“任意角和弧度制”知識(shí)點(diǎn)基本掌握的概率為．(2)使用智慧課堂不使用智慧課堂合計(jì)基本掌握8060140沒有掌握204060合計(jì)100100200，所以有99%的把握認(rèn)為基本掌握“任意角和弧度制”知識(shí)點(diǎn)與使用智慧課堂有關(guān)．21．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的方程為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．(1)求曲線，的極坐標(biāo)方程；(2)若射線分別交，于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A異于極點(diǎn)），求．【答案】(1)，(2)【分析】（1）先根據(jù)表示圓求得的直角坐標(biāo)，再根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互換公式求得曲線，的極坐標(biāo)方程即可；（2）根據(jù)極坐標(biāo)系中的幾何意義，聯(lián)立與，的極坐標(biāo)方程，進(jìn)而求得即可【詳解】(1)曲線表示圓心為，半徑為2的圓，故直角坐標(biāo)方程為，即，故曲線的極坐標(biāo)方程，即：，曲線的極坐標(biāo)方程為：，即．(2)由題意可知，，，故．22．已知函數(shù)，，且的解集為．(1)求m的值；(2)設(shè)a，b，c為正數(shù)，且，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用絕對值不等式的解法求解；（2）利用柯西不等式求解.【詳解】(1)由，得，所以又的解集為，所以解得．(2)由（1）知，由柯西不等式得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，時(shí)等號(hào)成立．23．用分析法證明：對于任意a、，都有．【答案】證明見解析.【分析】利用分析法，將問題轉(zhuǎn)化為證，再應(yīng)用作差法證明結(jié)論即可.【詳解】證明：要證，即證，因?yàn)閍、，則，，，，因?yàn)椋虼?，?4．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的方程為．(1)若點(diǎn)M為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)M到直線l的距離的最小值；(2)傾斜角為的曲線過點(diǎn)，交曲線于A，B兩點(diǎn)，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）由得到曲線的普通方程，進(jìn)而得到曲線的參數(shù)方程，然后利用點(diǎn)M到直線l的距離求解；（2）易知的參數(shù)方程為（為參數(shù)），利用參數(shù)的幾何意義求解.【詳解】(1)解：由得，曲線的普通方程為，可知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)M到直線l的距離：．當(dāng)時(shí)，．(2)曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入曲線得：，設(shè)A，B兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為，，則，，，異號(hào)．所以，.25．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的解集；(2)，若對，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）將函數(shù)化成分段函數(shù)，再分段討論求解不等式作答.（2）利用絕對值的三角不等式求出最小值，再求出最小值，然后利用已知建立不等式，求解作答.【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解得，無解，當(dāng)時(shí)，，解得，則，當(dāng)時(shí)，，解得，則，所以原不等式的解集為．(2)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，即，而當(dāng)時(shí)，，因此，因?yàn)閷?，使得成立，從而得，因?yàn)?，則有，解得或，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為．26．目前，新冠病毒引起的疫情仍在全球肆虐，在黨中央的正確領(lǐng)導(dǎo)下，全國人民團(tuán)結(jié)一心，使我國疫情得到了有效的控制．為了應(yīng)對最新型的奧密克戎病毒，各大藥物企業(yè)積極投身到新疫苗的研發(fā)中．某藥企為評(píng)估一款新藥的藥效和安全性，組織一批志愿者進(jìn)行臨床用藥實(shí)驗(yàn)，結(jié)果顯示臨床療效評(píng)價(jià)指標(biāo)A的數(shù)量y與連續(xù)用藥天數(shù)x具有相關(guān)關(guān)系．剛開始用藥時(shí)，指標(biāo)A的數(shù)量y變化明顯，隨著天數(shù)增加，y的變化趨緩．根據(jù)志愿者的臨床試驗(yàn)情況，得到了一組數(shù)據(jù)，，表示連續(xù)用藥i天，表示相應(yīng)的臨床療效評(píng)價(jià)指標(biāo)A的數(shù)值．該藥企為了進(jìn)一步研究藥物的臨床效果，建立了y關(guān)于x的兩個(gè)回歸模型：模型①：由最小二乘公式可求得y與x的線性回歸方程：；模型②：由樣本點(diǎn)的分布，可以認(rèn)為樣本點(diǎn)集中在曲線：的附近，令，則有，，，．(1)根據(jù)所給的統(tǒng)計(jì)量，求模型②中y關(guān)于x的回歸方程；(2)根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，說明哪個(gè)模型的預(yù)測值精度更高、更可靠；(3)根據(jù)（2）中精確度更高的模型，預(yù)測用藥一個(gè)月后，臨床療效評(píng)價(jià)指標(biāo)A相對于用藥半個(gè)月的變化情況（一