安徽省淮南市2023-2024學年高一上學期期末聯(lián)考數(shù)學試卷

數(shù)學試題考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚．3.考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4.本卷命題范圍：人教A版必修第一冊．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式化簡集合B，然后利用交集概念運算即可.【詳解】因為，又，所以.故選：C.2.的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由誘導公式化簡直接得出答案.【詳解】．故選：B．3.已知函數(shù)（，且），若點，都在的圖象上，則下列各點一定在的圖象上的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由指數(shù)冪的運算求解.【詳解】解：因為點，都在的圖象上，所以，則，故選：D4.若實數(shù)a，b滿足，則下列結論正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用不等式性質判斷AD，舉反例判斷BC.【詳解】因為實數(shù)a，b滿足，所以，所以，故選項A錯誤；當時，滿足，但是，不滿足，故選項B錯誤；當時，滿足，但是，不滿足，故選項C錯誤；，即，故選項D正確.故選：D5.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則圖象的一條對稱軸方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角函數(shù)圖象變換規(guī)律，求得的解析式，再利用余弦函數(shù)圖象的對稱性求出對稱軸，逐個檢驗即可求解.【詳解】由題意得，令，得，取，得曲線的一條對稱軸的方程為.故選：B.6.數(shù)學上有兩個重要的函數(shù)：狄利克雷函數(shù)與高斯函數(shù)，分別定義如下：對任意的，函數(shù)稱為狄利克雷函數(shù)；記為不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，下列關于狄利克雷函數(shù)與高斯函數(shù)的結論，錯誤的是（）A.B.C.D.的值域為【答案】C【解析】【分析】利用狄利克雷函數(shù)與高斯函數(shù)的定義，逐項推理判斷即得.【詳解】由高斯函數(shù)的定義知，都是整數(shù)，即都是有理數(shù)，所以，A正確；若為有理數(shù)，則也是有理數(shù)，；若為無理數(shù)，則也是無理數(shù)，，B正確；取，則，C錯誤；的值域是，所以的值域為，D正確．故選：C7.若函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意方程有兩個不同的解，利用韋達定理得，則轉化為求的范圍即可.詳解】，作出函數(shù)圖象如圖：因為函數(shù)與函數(shù)的圖像有兩個不同的交點，所以或，且方程即有兩個不同的解.故，所以，因為或，所以或，所以.故選：B8.若，則（）A. B. C.3 D.【答案】A【解析】【分析】利用之間的關系和題給條件即可求得分別求得的值，進而得到的值.【詳解】因為，設（），則，所以，，即，所以或（舍）所以，．故選：A．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.的充要條件可以是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用正切函數(shù)知識及同角三角函數(shù)關系，結合充要條件的概念分析判斷即可.【詳解】對于A,因為，所以，故是的充要條件；對于B,當時，，則，當時，，則無意義，所以是的必要不充分條件；對于C,因為，所以，即，故是的充要條件；對于D，由可得，取，可得，但無意義，所以是的充分不必要條件.故選：.10.已知函數(shù)，則下列結論正確的是（）A.的定義域為B.是奇函數(shù)C.是偶函數(shù)D.對任意的，【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質，結合奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義逐一判斷即可.【詳解】A：由，所以該函數(shù)的定義域為，因此本選項結論不正確；B：因為，所以有，因此是偶函數(shù)，所以本選項不正確；C：由上可以確定本選項正確；D：，當時，，而，于是有，當時，，而，于是有，綜上所述：對任意的，，因此本選項正確，故選：CD11.若存在m，，使得的解集為或，則下列結論正確的是（）A.解集為或B.的解集為C.D.【答案】AD【解析】【分析】AB選項，根據(jù)不等式解集得到的解集為，的解集為或；C選項，根據(jù)韋達定理得到，，得到；D選項，根據(jù)和，得到答案.【詳解】AB選項，因為，故，由題意得的解集為，的解集為或，A正確，B錯誤；C選項，的兩個根為，的根為，故，，，由于，，故，所以，C錯誤；D選項，因為，，故，兩邊平方得，D正確.故選：AD12.函數(shù)在上有3個零點，則（）A.的取值范圍是B.在取得2次最大值C.的單調遞增區(qū)間的長度（區(qū)間右端點減去左端點得到的值）的取值范圍是D.已知，若存在t，，使得在上值域為，則【答案】ABD【解析】【分析】化簡，當時，由題意得，求解即可判斷A；在上取得2次最大值，可判斷B；的單調遞增區(qū)間的長度為，可判斷C；由題意，可判斷D．【詳解】，當時，，所以，A正確；由A選項分析可知當時，有，所以當或時，在上取得2次最大值，B正確；由A選項可知，所以周期，所以，所以的單調遞增區(qū)間的長度范圍為，C錯誤；若存在，使得在上的值域為，則，D正確．故選：ABD．【點睛】易錯點睛：本題易錯的地方在于C選項中對區(qū)間長度的定義沒有理解正確，從而錯選C選項導致錯誤.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若冪函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義求出值，再根據(jù)在上單調遞減求值即可.【詳解】因為為冪函數(shù)，所以；解得或，又因為在上遞減，所以，故.故答案為：14.將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標變化到原來的倍，縱坐標保持不變，得到的圖象，則______.【答案】9【解析】【分析】設圖象上點，變換后得到，代入中，從而得到方程，求出答案.【詳解】設函數(shù)圖象上點，橫坐標變化到原來的倍得到，又在，故，又，即，即，故.故答案為：915.正五角星是一個有趣的圖形，如圖，順次連接正五角星各頂點，可得到一個正五邊形，正五角星各邊又圍成一個小的正五邊形，則大五邊形與小五邊形的邊長之比為___________．（參考數(shù)據(jù)）【答案】【解析】【分析】畫出圖形，根據(jù)題意得到，，再結合二倍角公式求解即可.【詳解】如圖，為等腰三角形，，為等腰三角形，，，所以．故答案為：16.已知函數(shù)，若對任意恒有，則的取值集合為________．【答案】【解析】【分析】由絕對值不等式解得對恒成立，再結合二次函數(shù)的圖象和單調性即可得到答案.【詳解】因為，所以，因為，因為，則，，所以，故，所以的取值集合為．故答案：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知集合.（1）若，求；（2）若“”是“”的必要條件，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意得化簡集合，結合交集的概念即可得解.（2）由題意，即問題轉化為恒成立，由此即可得解.【小問1詳解】，由解得，所以時，，所以.【小問2詳解】若“”是“”的必要條件，則，由（1）知，所以對任意，有，所以問題轉化為恒成立，所以，即的取值范圍為.18.（1）已知，化簡：；（2）已知，，，，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用平方關系及二倍角的正余弦公式化簡作答.（2）利用同角公式求出，利用二倍角的正切求出，再利用差角的正切求解作答.【詳解】（1）因為，則，，，所以．（2）因為，，即有，而，因此，，，于是，又，則，而，，即有，所以．19.已知函數(shù).（1）求的單調遞減區(qū)間；（2）若函數(shù)與的最大值相同，最小值相同，單調遞增區(qū)間相同，求在上的值域.【答案】19.20.【解析】【分析】（1）先利用兩角和正、余弦公式化簡函數(shù)，然后代入正弦函數(shù)單調遞減區(qū)間求解即可；（2）先根據(jù)函數(shù)性質求得，然后根據(jù)時，確定，結合余弦函數(shù)的性質求解即可.【小問1詳解】，令，，解得，，所以的單調遞減區(qū)間為；【小問2詳解】，由題意知，當時，，則，所以，故時，的值域為.20.已知（且）是R上的奇函數(shù)，且．（1）求的解析式；（2）若不等式對恒成立，求m的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)奇函數(shù)性質，再根據(jù)，列方程即可求出答案.(2)首先判斷的單調性，根據(jù)復合函數(shù)內外函數(shù)與單調性關系列出不等式計算.【小問1詳解】∵是R上的奇函數(shù)，∴．由，可得，，∵，∴，．經檢驗，此時為奇函數(shù)，滿足題意．∴【小問2詳解】∵，∴在R上單調遞增，又為R上的奇函數(shù)．∴由，得，∴，即恒成立，當時，不等式不可能對恒成立，故不合題意；當時，要滿足題意，需，解得．∴實數(shù)m的取值范圍為．21.甲、乙兩個課外興趣小組分別對本地某一蔬菜交易市場的一種蔬菜價格進行追蹤.（1）甲小組得出該種蓅菜在18月份的價格P（元/kg）與月份t近似滿足關系，月交易是Q（單位：噸）與月份t近似滿足關系，求月交易額y（萬元）與月份t的函數(shù)關系式.并估計18月份中第幾個月的月交易額最大；（2）乙小組通過追蹤得到該種疏菜上市初期和后期因供不應求使價格呈連續(xù)上漲態(tài)勢，而中期又出現(xiàn)供大于求使價格連續(xù)下跌.現(xiàn)有三種函數(shù)模擬價格（單位：元）與月價x之間的函數(shù)關系：①（，且）；②；③.①為準確研究其價格走勢，應選哪種價格模擬函數(shù)?并說明理由；②若，，求出所選函數(shù)的解析式（注：函數(shù)的定義域是，其中表示1月份，表示2月份，…，以此類推），并估計價格在5元/kg以下的月份有幾個.【答案】（1）；4月（2）①應選③，理由見解析；②，估計有4個月價格在5元/kg以下【解析】【分析】（1）求出關于的解析式即可求解；（2）①根據(jù)各函數(shù)的性質即可求解；②先求出，列出不等式求解即可.【小問1詳解】由題意得：，所以，當時，根據(jù)二次函數(shù)的性質得時取最大月交易額為萬元，當時，同理可得時取得最大月交易額為萬元，所以估計月的月交易額最大；【小問2詳解】①①函數(shù)是單調函數(shù)，不符合題意，②二次函數(shù)的的圖象不具備先上升，后下降，再上升的特點，不符合題意，③當時，函數(shù)在上的圖象時下降的，在上的圖象是上升的，在上的圖象是下降的，滿足條件，應選：③；②因為，，所以，所以，，所以，令，所以，，由一次函數(shù)圖象易知時價格在5元/kg以下，即月、月、月、月價格在5元/kg以下,所以有個月價格在5元/kg以下.22.（1）已知，若對任意，都有，求的最小值；（2）解關于x的不等式.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）恒成立，轉化為，利用基本不等式求，可得，結合，即可得到的最小值；（2）不等式可化為，討論二次項系數(shù)，，，再討論方程的兩根的大小關系，即可得到結論