2022-2023學(xué)年陜西省西安市高一年級(jí)下冊(cè)期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年陜西省西安市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.設(shè)全集U={123,4,5,6},集合A={1,3,5},8={2,3,4},則4A)c8=()

A.{3}B.{2,4}C.{2,3,4}D.{0,1,3}

【答案】B

【分析】由集合的運(yùn)算求解.

【詳解】(+A)c5={2,4,6}c{2,3,4}={2,4}.

故選：B

2.已知復(fù)數(shù)2=?+嚴(yán)2°,則卜-1|等于()

A.72B.1C.0D.2

【答案】B

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘方法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z,利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.

【詳解】r=1,則2=1+產(chǎn)2。=?+嚴(yán)《5=i+i,則z-l=i,故|z-1|=L

故選：B.

3.已知甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)高一入學(xué)時(shí)年齡的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)均為16,方差為0.8,

則三年后，下列判斷錯(cuò)誤的是()

A.這五位同學(xué)年齡的平均數(shù)變?yōu)?9B.這五位同學(xué)年齡的方差變?yōu)?.8

C.這五位同學(xué)年齡的眾數(shù)變?yōu)?9D.這五位同學(xué)年齡的中位數(shù)變?yōu)?9

【答案】B

【分析】利用平均數(shù)、中位數(shù)、方差的定義及性質(zhì)注意判斷即可.

【詳解】解：甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)高一入學(xué)時(shí)年齡的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)均為16,方差

位0.8,

三年后，

這五位同學(xué)年齡的平均數(shù)變?yōu)?6+3=19,故A正確；

這五位同學(xué)的方差不變，仍為0.8,故B錯(cuò)誤.

這五位同學(xué)年齡的眾數(shù)變?yōu)?6+3=19,故C正確；

這五位同學(xué)年齡的中位數(shù)變?yōu)?6+3=19,故D正確；

故選：B.

UL1Uuuuuuuuuuuuu

4.設(shè)4,3是平面內(nèi)的一組基底，A8=3e1+%,AC=4e1—e2，AO=5e1—44,則（）

A.A,8,C三點(diǎn)共線B.AC,。三點(diǎn)共線

C.aC,〃三點(diǎn)共線D.AB,。三點(diǎn)共線

【答案】C

【分析】根據(jù)向量共線定理設(shè)出方程，若方程無(wú)解，則三點(diǎn)不共線，從而得到ABD錯(cuò)誤，C正確.

4“—=3無(wú)解，故ARC三點(diǎn)不共線，A錯(cuò)誤；

{-a=2

LilinLlliu5b=4

B選項(xiàng)，設(shè)AC=ZM。，則在|，無(wú)解，故AC,。三點(diǎn)不共線，B錯(cuò)誤；

ULWIT

numuimirznirxirir

C選項(xiàng)，BC=AC—AB=4et—e2—13^+2e2\=e]—3e2,

uuuuuuuuuuuuuuu

CD=AD—AC=5q—4/—4q+/=q—3.，

故弟=左，故5C。三點(diǎn)共線，C正確；

uuuuinuuiu1111Hliuu

D選項(xiàng)，B￡>=AO—4B=5q—4^-34—26=2q—6/，

uuuuiuZC=D

設(shè)AB=CBD，則4=2,無(wú)解,故三點(diǎn)不共線，口錯(cuò)誤?

故選：C

5.已知空間中。，匕是兩條不同的直線，a,2是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）

A.aua,buB,a〃/na與6異面B.0,aP=b,aLbna10

C.aLa,a,b=b〃aD.aLa,bA.a=>a//b

【答案】D

【分析】根據(jù)空間中平行、垂直關(guān)系逐項(xiàng)分析判斷.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椤皍a,bu0,a〃/，可得。與人異面或平行，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)槭琠La,aB=b,"Cb，

但不確定〃與a的位置關(guān)系，故無(wú)法確定。與夕是否垂直，故B錯(cuò)誤：

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)閍_La,;_!_，，可得?！╝或buar,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)楦鶕?jù)線面垂直的性質(zhì)可得?！◤墓蔇正確;

故選：D.

【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，再考慮Xf田時(shí),〃x）的取值情況，即可作出選擇.

【詳解】/（-犬）=肅27=-〃X）,，函數(shù)〃犬）為奇函數(shù)，排除選項(xiàng)8和C,

當(dāng)X—用時(shí)，，比尤增長(zhǎng)的快，.??/（x）-0,排除選項(xiàng)力,

故選：A.

7.已知中，8A+BC-AC=0,,~~「也,則此三角形為（）

\'\AB\|AC|

A.直角三角形B.等邊三角形

C.鈍角三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【分析】根據(jù)（BA+8C）-AC=0即可得為等腰三角形，又因?yàn)閲?guó)+同=6可知A=60。,

所以為等邊三角形.

【詳解】如下圖所示：

A

所以8M_LAC，即一ABC為等腰三角形,

ABAC

所以M+M=3,

/\2/\2

即當(dāng)i+生+2^i-^-i=2+2cos(AB,AC)=3,

所以cos(AB,AC)=g,可得A=60。,

綜上可知三角形為等邊三角形.

故選：B.

8.中國(guó)古建筑聞名于世，源遠(yuǎn)流長(zhǎng).如圖1所示的五脊殿是中國(guó)傳統(tǒng)建筑中的一種屋頂形式，該屋

頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示，在結(jié)構(gòu)示意圖中，已知四邊形ABCD為矩形，EF//AB,AB=2EF=2,

VADE與△BCF都是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，若點(diǎn)A,B,C,D,E,尸都在球。的球面上，則球。

的表面積為（）

【答案】D

【分析】如圖，根據(jù)球的性質(zhì)可得平面ABC￡>,根據(jù)中位線的性質(zhì)和勾股定理可得

且=白，分類(lèi)討論當(dāng)O在線段上和。在線段MQ的延長(zhǎng)線上時(shí)2種情況，結(jié)合球的性質(zhì)

和表面積公式計(jì)算即可求解.

【詳解】如圖，連接AC,BD,設(shè)4Cc2O=a，

因?yàn)樗倪呅?BC。為矩形，所以。1為矩形4BC￡>外接圓的圓心.連接。。一

則OQ，平面ABC。，分別取EF,AD,BC的中點(diǎn)M,P,Q,

根據(jù)幾何體ABCDEF的對(duì)稱性可知，直線。。交EF于點(diǎn)M.

連接P。，則PQ〃AB,且。為PQ的中點(diǎn)，因?yàn)樗∕，所以PQ〃EF,

連接EP,FQ,在VAOE與△3CE中，易知EP=F°=

所以梯形EFQP為等腰梯形，所以MOilPQ,且A/q=旦

2

設(shè)。。1=，“，球O的半徑為R,連接OE,OA,

當(dāng)O在線段。陽(yáng)上時(shí)，由球的性質(zhì)可知代=。爐=3?,

亭則

易得03=,此時(shí)無(wú)解.

當(dāng)0在線段M01的延長(zhǎng)線上時(shí)，由球的性質(zhì)可知,

2

,解得小=也，所以方=。爐=2

48

]]7T

所以球0的表面積s=4兀爐=—

故選：D.

【點(diǎn)睛】求解外接球問(wèn)題的關(guān)鍵在于確定球心的位置，而確定球心位置的依據(jù)一是球心到球面上各

點(diǎn)的距離都等于球的半徑，二是球心與截面圓圓心的連線垂直于截面.由此出發(fā)，利用一些特殊模

型，或借助一般方法，即可確定外接球球心的位置.

二、多選題

9.下列命題中，正確的是（）

A.若則q=bB.若a=b，則cz〃6

C.若|4|＞出|,則不＞從D.若時(shí)=0,則〃=0

【答案】BCD

【分析】?jī)上蛄肯嗟葎t方向相同，模長(zhǎng)相等可判斷AB,根據(jù)分析判斷C,由零向量的概念

可判斷D.

【詳解】若|〃|=屹|(zhì),但是兩個(gè)向量的方向未必相同，所以4=〃不一定成立，A錯(cuò)誤；

若則兩向量的方向相同，所以B正確；

因?yàn)閨5|2=1,若為|＞|方則由2：4|2,即為＞子,C正確；

若"=（）,貝IJ“=O,D正確.

故選：BCD.

10.由下列條件解一45C,其中只有一解的是（）

A.6=20,A=45°,C=80°B.。=30,c=28,B=60°

C.4=14,c=16,A=45°D.a=6,c=10,A=60°

【答案】AB

【分析】根據(jù)三角形全等結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)锳=45。，C=80°,則8=55。，且。=20,

根據(jù)三角形全等（角角邊）可知存在且唯一的，故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)閍=30,c=28,8=60。，

根據(jù)三角形全等（邊角邊）可知存在且唯一的，故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA,BP142=b2+162-32bx—,

2

整理得從-16傷+60=0，解得6=8點(diǎn)-2后＞0或b=8&+2后＞0,

所以滿足條件的三角形有兩個(gè)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D：由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA,即6?=加十力-20匕，

2

整理得〃-10%+64=0，且△=40-4x64=-216＜0,無(wú)解，

所以此時(shí)三角形不存在，故D錯(cuò)誤；

故選：AB.

11.已知甲罐中有四個(gè)相同的小球，標(biāo)號(hào)為1,2,3,4；乙罐中有五個(gè)相同的小球，標(biāo)號(hào)為1,2,

3,5,6,現(xiàn)從甲罐、乙罐中分別隨機(jī)抽取1個(gè)小球，記事件A=”抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和大于5”,

事件8="抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之積大于8"，則（）

A.事件A發(fā)生的概率為g

B.事件AuB發(fā)生的概率為非

2

C.事件AcB發(fā)生的概率為不

D.從甲罐中抽到標(biāo)號(hào)為2的小球的概率為:

【答案】BC

【分析】根據(jù)題意，分別列舉出事件A和事件B所包含的基本事件，再逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.

【詳解】由題意，從甲罐、乙罐中分別隨機(jī)抽取1個(gè)小球，共包含C：C；=20個(gè)基本事件；

“抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和大于5”包含的基本事件有：（1,5）,（1,6）,（2,5）,（2,6）,（3,3）,（3,5）,

（3,6）,（4,2）,（4,3）,（4,5）,（4,6）,共11個(gè)基本事件；

“抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之積大于8”包含的基本事件有：（2,5）,（2,6）,（3,3）,（3,5）,（3,6）,（4,3）,

（4,5）,（4,6）,共8個(gè)基本事件;

即事件8是事件A的子事件；

因此事件A發(fā)生的概率為外，故A錯(cuò)；

事件包含的基本事件個(gè)數(shù)為11個(gè)，所以事件AU8發(fā)生的概率為'；故B正確；

Q9

事件AcB包含的基本事件個(gè)數(shù)為8個(gè)，所以事件發(fā)生的概率為=故C正確；

從甲罐中抽到標(biāo)號(hào)為2的小球,包含的基本事件為：（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,5）,（2,6）共5個(gè)基本

事件，故從甲罐中抽到標(biāo)號(hào)為2的小球的概率為!，即D錯(cuò)誤.

4

故選：BC.

【點(diǎn)睛】本題主要考查求古典概型的概率，考查求并事件和交事件的概率，屬于基礎(chǔ)題型.

'\2x-\\,x<\

12.已知函數(shù)”x）=（2，若函數(shù)g（x）=/（x）-加有三個(gè)零點(diǎn)演，巧，尤3，且為</<%，

一,X>1

則下列結(jié)論正確的是（）

A.皿的取值范圍為（0,1）B.七的取值范圍為［2,+8）

C.2*,+2&=2D.2"*最大值為1

【答案】AC

【分析】作出/（x）的大致圖象，根據(jù)圖象求出〃?，引，巧，與的范圍即可判斷AB選項(xiàng)，由

忖-1卜|2得到X\,巧的關(guān)系即可判斷CD選項(xiàng).

X

又忖-1|=|2*-],且為＜0＜々＜1,

故一（28-1）=2&-1,可得2、+2應(yīng)=2,c正確

又2=28+2-22亞西可得2“丹41，又工尸當(dāng)，故等號(hào)不成立,

即2,計(jì)為＜1，D錯(cuò)誤,

故選：AC.

三、填空題

13.如圖，水平放置的_43C的斜二測(cè)直觀圖為已知A'OMB'OMC'OMI,則_ABC的周

【答案】2+2石

【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法結(jié)合題意還原工43C，從而可求出其周長(zhǎng)

【詳解】由題意可知在ABC中，OA=OB=],OC=2,ZAOC=90°,

所以8c=AC=jT+2?=5

所以_ABC的周長(zhǎng)為AB+BC+AC=2+2^,

故答案為：2+2石.

14.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足忖=2,那么|z+3i|的最小值是.

【答案】1

【分析】用代數(shù)形式表示出復(fù)數(shù)z,然后采用三角代換可得最小值.

【詳解】?z=x+ji,x,yGR,代入同=2,得/+y2=4,

設(shè)[11籃:?w1°,2可，則Iz+3i|=J（2cos6[+（2sin6+3）2=^13+12sin6）＞i,

2

當(dāng)。=/7時(shí)r，即sin6=-l取等號(hào).即|z+3i|的最小值是1.

故答案為：1.

15.某市原來(lái)都開(kāi)小車(chē)上班的唐先生統(tǒng)計(jì)了過(guò)去一年每一工作日的上班通行時(shí)間，并進(jìn)行初步處理,

得到頻率分布表如下（T表示通行時(shí)間，單位為分鐘）：

通行時(shí)間15<T<2020<7<2525<T<3030<T<3535<T<40

頻率0.10.30.30.20.1

該市號(hào)召市民盡量減少開(kāi)車(chē)出行，以綠色低碳的出行方式支持節(jié)能減排.唐先生積極響應(yīng)政府號(hào)召，

準(zhǔn)備每天從騎自行車(chē)和開(kāi)小車(chē)兩種出行方式中隨機(jī)選擇一種.如果唐先生選擇騎自行車(chē)，當(dāng)天上班的

通行時(shí)間為30分鐘.將頻率視為概率，根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想.若唐先生選擇騎自行車(chē)和開(kāi)小車(chē)的

概率相等，則平均通行時(shí)間為分鐘.

57

【答案】28.5/y

【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)期望的運(yùn)算公式求解.

【詳解】因?yàn)殚_(kāi)小車(chē)的平均通行時(shí)間為17.5*0.1+22.5x0.3+27.5x0.3+32.5x0.2+37.5x0.1=27（分

鐘），

所以上班的平均通行時(shí)間為gx30+gx27=28.5（分鐘）.

故答案為：28.5.

16.己知正方體ABCO-ABGR的棱長(zhǎng)為2,若〃，N分別是eg,AR的中點(diǎn)，作出過(guò)加，N,

8三點(diǎn)的截面，則這截面的周長(zhǎng)為.

【分析】根據(jù)一個(gè)平面與兩個(gè)平行平面相交交線平行即可做出截面，再根據(jù)平行線分線段成比例,

三角形相似、三角形全等利用勾股定理求出截面圖形各個(gè)邊長(zhǎng)即可求周長(zhǎng).

【詳解】連接因?yàn)槠矫妗ㄆ矫?CC,4,所以截面與兩平面的交線平行，

過(guò)點(diǎn)N作NF〃BM交A4于點(diǎn)尸，連接8尸,

同理過(guò)點(diǎn)M作加￡〃8廠交和4于以連接NE,

則五邊形BMENF即為所求截面，

設(shè)BM與NE交于點(diǎn)、P,BF與NE交于點(diǎn)、Q,

因?yàn)镚M〃叫，M是CC,的中點(diǎn)，所以BCM=可得C7=BC=2,

因?yàn)镹DJ/PC、,所以李=券=；,所以

242

可得"E=§,EG=§，AQ=RE=§，

2

因?yàn)锳/〃即，所以務(wù)=黑=/-=；,所以叱=；,4尸=?,

￡+2422

3

所以^r二［^+展）=^,FN=

=—,NE

2

所以這截面五邊形8MENb的周長(zhǎng)為*+且+巫+*+石="+拽+巫.

2233623

故答案為：竺+氈+巫.

623

p

四、解答題

17.已知函數(shù)/(x)=2cos(2x-g),xeR,

⑴求〃x)的最小正周期；

(2)求/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.

【答案】⑴兀

.兀，3兀，~

(2)kji4—,kitH----，左wZ

44

【分析】(1)由余弦型函數(shù)的周期公式得出答案

7T

(2)把2》-萬(wàn)作為整體代入余弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，解出答案.

【詳解】(1)因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=2cos(2x-|jxeR,所以7=啟=三=兀，

故〃力的最小正周期為兀.

7T

(2)由2所<2人一5<2也+兀,4wZ可得

2kii+—<2x<2/at+714--,

22

解之得E+E+電，

44

所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為E++,入Z.

18.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCO-ABCQi中，點(diǎn)E,尸分別為棱0c和。C的中點(diǎn).

（1）求證：4尸〃平面AO￡；

（2）求三棱錐A-AER的體積.

【答案】（1）見(jiàn)解析

【分析】（1）如圖，連接所，可證4尸〃AE,根據(jù)線面平行的判定定理可得4尸〃平面ARE.

如圖，連接E尸，

在正方形中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，WEFHDD、,EF=DDt,

而AAHDD,,AA=DD',故AAJ/EF,=EF,

故四邊形AA/E為平行四邊形，故A///4E,

而AFN平面AE",A￡u平面4E2,故4廣〃平面ARE.

（2）連接AE，則“A-A￡O,=%一4八"，

因?yàn)榘荆矫鍭DD,A,故E到平面A2A的距離為ED=；CD=1,

而SA卬=gx2x2=2,

12

故%-AE4=%-A股=§*2'1=§.

19.已知向量a=(l,l),6=(應(yīng),-&).

⑴求向量方和a+〃的夾角的余弦值；

⑵設(shè)向量x=a+d-3)。，y=-hz+(r+2)。，是否存在正實(shí)數(shù)％，使得x"?如果存在，求出，的

取值范圍；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)亞

3

⑵存在，卜2,-6)j(G,+00)

【分析】(1)利用向量的夾角公式直接求解即可；

(2)若Jy，則x-y=0,代入化簡(jiǎn)可得％=2。+2乂/一3),再由&>0可求出f的取值范圍.

【詳解】(1)因?yàn)椤?(1,1),》=(&,-&),

所以〃+方=(1+0,1—收)，

,+0="1+可+(1-可=府b(a+b]=2

所以=ab+b=4

設(shè)向量b和a+b的夾角為。,

b-(a+b)4>/6

|/?||a+fe|2.瓜3

(2)假設(shè)存在正實(shí)數(shù)鼠使得則x.y=0,

所以[a+(r-3)b]-[-ka+(t+2)b\

=-ka+[t+2-k(t2-3]^a-h+(t2-3)(t+2)-b2

=-2Z+4(f+2乂/-3)=0

所以左=2?+2乂?-3)

因?yàn)榛?gt;0,所以2(r+2)(產(chǎn)-3)>0,

f+2>0Jr+2<0

所以戶一3>0或%—<o'

解得-2<f<-G或

即存在且？的取值范圍為(-2,-6?(6,+8).

20.大學(xué)畢業(yè)生小張和小李通過(guò)了某單位的招聘筆試考試，正在積極準(zhǔn)備結(jié)構(gòu)化面試，每天相互進(jìn)

行多輪測(cè)試，每輪由小張和小李各回答一個(gè)問(wèn)題，已知小張每輪答對(duì)的概率為7,小李每輪答對(duì)的

4

概率為早在每輪活動(dòng)中，小張和小李答對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響.

（1）求兩人在兩輪活動(dòng)中至少答對(duì)3道題的概率；

（2）求兩人在三輪活動(dòng)中，小張和小李各自答對(duì)題目的個(gè)數(shù)相等且至少為2的概率.

【答案】⑴：

⑵9

16

【分析】（1）兩人分別答兩次，總共四次中至少答對(duì)3道題，分五種情況計(jì)算可得答案；

（2）分小張和小李均答對(duì)兩個(gè)題目、均答對(duì)三個(gè)題目?jī)煞N情況計(jì)算即可.

【詳解】（1）設(shè)事件A="甲第一輪答對(duì)"，B="乙第一輪答對(duì)“，C="甲第二輪答對(duì)"，D="乙

第二輪答對(duì)"，￡=“兩人在兩輪活動(dòng)中至少答對(duì)3道題”，

可知P（A）=P（C）=jP（B）=P（0=§

則E=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD，

由事件的獨(dú)立性與互斥性，BTWP（￡）=P（ABCD）+P（ABCD）+P（ABCD）+P（ABCD）+P（ABCD）

=P（A）P（B）P（C）P（D）+P（A）P（B）P（C）P（D）+P（A）P（B）P（C）P（D）+P（A）P（B）P（C）P（D）+P（A）P（B）P（C）J

323212323132321232312

二-X—X-X—+—X—X—X—+—X—X—X—+—X—X—X—十—X—X—X—=一,

434343434343434343433

故兩人在兩輪活動(dòng)中至少答對(duì)3道題的概率為;.

（2）設(shè)事件4，4分別表示甲三輪答對(duì)2個(gè)，3個(gè)題目，層,名分別表示乙三輪答對(duì)2個(gè)，3個(gè)題目,

則P（A,）=3x』x3x，=2,P（a）=3x3x3=2,P（B,）=3x-x-xl=-,P（Bs）=-x-x-=—,

'，4446444464'〃3339V733327

設(shè)事件Q=”兩人在三輪活動(dòng)中，小張和小李各自答對(duì)題目的個(gè)數(shù)相等且至少為2”，

則0=48?+A.B,,且人也,A3,鳥(niǎo)分別相互獨(dú)立，

可得P（Q）=P（4B2）+P（AW）=P（4）P（員）+P（4）P（B,）

2742785

-__v__I___y__—__

-6496427—16’

所以兩人在三輪活動(dòng)中，小張和小李各自答對(duì)題目的個(gè)數(shù)相等且至少為2的概率為之.

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21.如圖，在四棱錐P—A5CD中，PArAD,AD=^BC=y/3,PC=y/5,

AD//BC,AB=AC,ZBAD=\50,^PDA=30.

(1)證明：PA_L平面ABC。；

(2)在線段P￡>上是否存在一點(diǎn)尸，使直線CF與平面P8C所成角的正弦值等于農(nóng)？

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【答案】(1)詳解解析；

(2)存在.

【分析】(1)利用勾股定理證得R4J_AC,結(jié)合線面垂直的判定定理即可證得結(jié)論；

(2)以4為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)尸(x,y,z),PF=2PD(O<Z<1),求得平面PBC的法

向量〃=(1,0,1),利用已知條件建立關(guān)于，的方程，進(jìn)而得解.

【詳解】(1)取8C中點(diǎn)為￡,連接AE,

在RtZ\PAD中，AD=y/3,ZPDA=3O°,

:.PA=\,又?，AD//BC,ZBAD=\5O0,

所以N8=30。，又AB=AC,

AE±BC,而B(niǎo)C=2。

RF

所以AC=AB=——=2,又PC=0

cos300

PA2+AC2=PC2,

:.PA±AC,又R4_L4),ADAC=A,

平面

(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AE為x軸，AD為y軸，AP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則P(O,O,1),fi(l-5/3,0),C(l,6,0),￡>(0,6,0),

設(shè)點(diǎn)尸(x,y,z),因?yàn)辄c(diǎn)尸在線段PZ)上，設(shè)PF=4尸￡)(04241),

F(0,GM-2),：.FC=(\,y/3-同2-1),

設(shè)平面P8C的法向量為〃=(x,y,z),P?=(l,->/3,-l),PC=(1,73,-1),

〃,PB=x_Gy_z=0

則<]L，令x=z=l,貝ij〃=,

n-PC=x+J3y-z=0

設(shè)直線CF與平面PBC所成角為0,

解得幾=；或2=一3(舍去)，

APF=^PD,此時(shí)點(diǎn)尸是PO的三等分點(diǎn)，

所以在線段PO上是存在一點(diǎn)F，使直線C