江蘇省無錫市江陰市兩校聯(lián)考2023-2024學年高二下學期3月月考試題數(shù)學

2024年春學期高二年級階段性檢測數(shù)學試卷

2024年3月一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.教育局的小王準備在今年的五月十日上午乘坐汽車或火車到某地進行調研，已知該天上午開往某地的汽車有4個班次，火車有7個班次，那么他不同的乘坐方法有(

)A.2種 B.3種 C.11種 D.28種2.設函數(shù)f(x)在x=1處存在導數(shù)為3，則limΔx→0f(1+Δx)?f(1)3ΔxA.1 B.3 C.6 D.93.函數(shù)f(x)=x?2ln?x的單調遞增區(qū)間是(

)A.(?∞,0)和(0,2) B.(2,+∞) C.(?∞,2) D.(0,2)4.已知函數(shù)f(x)=14x2+cosx，f′(x)為A. B.

C. D.5.若函數(shù)f(x)=ex(x2+a)在[?2,2]A.(?∞,0] B.(?∞,?8) C.(?∞,?8] D.[0,+∞)6.若函數(shù)f(x)=13x3+12(a+2)A.(2,+∞)B.[0,2]C.(?∞,2) D.(?∞,2)∪(2,+∞)7.若定義在R上的函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x)，且滿足f′(x)<f(x)，f(0)=1，則不等式f(x)<ex的解集是(

)A.(?∞,0) B.(?∞,1) C.(0,+∞) D.(1,+∞)8.若函數(shù)f(x)=ln?x+(a?2)x+a有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是(

)A.(1,2) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(?∞,2)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列結論正確的是(

)A.函數(shù)y=2x2?1在x=3處的導數(shù)為11

B.一個做直線運動的物體從時間t到t+Δt的位移為Δs，那么limΔt→0ΔsΔt表示t時刻該物體的瞬時速度

C.物體做直線運動時，它的運動規(guī)律可以用函數(shù)v=v(t)表示，其中v表示瞬時速度，t表示時間，則該物體在t時刻的加速度為limΔt→0v(t+Δt)?v(t)Δt

D.函數(shù)f(x)10.已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則下列結論正確的是(

)

A.f(x)有且僅有兩個極值點B.f(x)在區(qū)間(2,+∞)上單調遞增

C.f(x)可能有四個零點D.若f(x)在區(qū)間(m,n)上單調遞減，則n?m的最大值為611.下列結論正確的是(

)A.3e<ln3B.9ln23<8三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.如圖，從A→C有________種不同的走法．13.若直線y=2x+b與函數(shù)f(x)=ex+x?a的圖象相切，則a+b=

14.若函數(shù)f(x)=13x3?x2在區(qū)間(?2,1+a)四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分某大學組織學生無償獻血．在一個班級體檢合格的學生中，O型血有11人，A型血有7人，B型血有6人，AB型血有5人．

(1)從中任選1名學生去獻血，有多少種不同的選法？

(2)從四種血型的學生中各選1名學生去獻血，有多少種不同的選法？

(3)從中任選2名具有不同血型的學生去獻血，有多少種不同的選法？

16.(本小題15分)

“既要金山銀山，又要綠水青山”.某風景區(qū)在一個直徑AB為100米的半圓形花圓中設計一條觀光線路．打算在半圓弧上任選一點C(與A，B不重合)，沿AC修一條直線段小路，在路的兩側(注意是兩側)種植綠化帶；再沿弧BC修一條弧形小路，在小路的一側(注意是一側)種植綠化帶，小路與綠化帶的寬度忽略不計．

(1)設∠BAC=θ(弧度)，將綠化帶的總長度表示為θ的函數(shù)f(θ)；

(2)求綠化帶的總長度f(θ)的最大值．

17.(本小題15分)已知函數(shù)f(x)=xsin?x+cos?x，(Ⅰ)求函數(shù)f(x)在x=π處的切線方程；(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間和極值．

18.(本小題17分)已知函數(shù)f(x)=x3?3ax2(Ⅰ)求實數(shù)a，b的值；(Ⅱ)若?x1，x2∈[?2,3]，都有f(x1)?f(x2)<c成立，求實數(shù)19.(本小題17分)已知函數(shù)f(x)=x?ax?2alnx(1)求實數(shù)a的取值范圍；(2)若f(x1)+f(x22024年春學期高二年級階段性檢測數(shù)學試卷

2024年3月解析版一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.教育局的小王準備在今年的五月十日上午乘坐汽車或火車到某地進行調研，已知該天上午開往某地的汽車有4個班次，火車有7個班次，那么他不同的乘坐方法有(

)A.2種 B.3種 C.11種 D.28種【答案】C

【解析】【分析】本題考查分類計數(shù)原理的應用，屬于容易題．

根據題意，依次分析乘汽車、乘火車的方法，進而求得結論．【解答】

解：根據分類加法計數(shù)原理，不同的乘坐方法有4+7=11種．

故選C．2.設函數(shù)f(x)在x=1處存在導數(shù)為3，則(

)A.1 B.3 C.6 D.9【答案】A

【解析】【分析】本題考查導數(shù)的定義，屬于基礎題．

根據題意，由導數(shù)的定義可得limΔx→0【解答】

解：根據題意，函數(shù)f(x)在x=1處存在導數(shù)為3，即f′(1)=3，

則limΔx→0f(1+Δx)?f(1)3Δx=13.函數(shù)f(x)=x?2ln?x的單調遞增區(qū)間是

(

)A.(?∞,0)和(0,2) B.(2,+∞) C.(?∞,2) D.(0,2)【答案】B

【解析】【分析】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，屬基礎題．

對f(x)求導，然后令導數(shù)函數(shù)f′(x)>0，解不等式，確定f(x)的單調遞增區(qū)間．【解答】

解：因為函數(shù)f(x)=x?2lnx，

所以f′(x)=1?2x=x?2x，x>0．

由f′(x)>0，解得x>2，4.已知函數(shù)f(x)=14x2+cosx，A. B.

C. D.【答案】B

【解析】【分析】本題考查函數(shù)圖象的識別，同時考查導數(shù)的運算，屬于基礎題．

由題意得到f′(x)，由奇函數(shù)的定義可知f′(x)為奇函數(shù)，即其圖象關于原點對稱，可排除A、D，再取x=π2可知f′(π【解答】解：由于f(x)=14x2+cosx，

則f′(x)=12x?sinx，且定義域為R，

則f′(?x)=?f′(x)，

所以f′(x)為奇函數(shù)，故排除A，5.若函數(shù)f(x)=ex(x2+a)A.(?∞,0] B.(?∞,?8) C.(?∞,?8] D.[0,+∞)【答案】C

【解析】【分析】本題考查利用導數(shù)由函數(shù)的單調性求參，屬于中檔題．

求導，根據f(x)在[?2,2]上單調遞減得

f′(x)?0在

【解答】

解：由于函數(shù)f(x)=ex(x2+a)在[?2,2]上單調遞減，

所以f′(x)=ex(x2+2x+a)≤0，

即x2+2x+a≤0對?x∈[?2,2]恒成立，

當6.若函數(shù)f(x)=13x3+1A.(2,+∞) B.[0,2]

C.(?∞,2) D.(?∞,2)∪(2,+∞)【答案】A

【解析】【分析】本題考查利用導數(shù)根據極值或極值點求參，屬于基礎題．

先求f′(x)=x【解答】

解：由于f′(x)=x2+(a+2)x+2a=(x+a)(x+2)，

令f′(x)=0，得x=?2或x=?a，

當a>2時，

由f′x<0得，?a<x<?2；由f′x>0得，x<?a或x>?2，

所以x=?2是函數(shù)f(x)的極小值點，滿足題意；

當a=2時，f′x=x+22?0，不存在極值點，不合題意；

當a<2時，

由f′x<0得，?2<x<?a；由f′x>07.若定義在R上的函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x)，且滿足f′(x)<f(x)，f(0)=1，則不等式f(x)<exA.(?∞,0) B.(?∞,1) C.(0,+∞) D.(1,+∞)【答案】C

【解析】【分析】本題主要考查利用函數(shù)的單調性解不等式，利用導數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調性，屬于中檔題．

構造函數(shù)g(x)=f(x)【解答】

解：構造函數(shù)g(x)=f(x)ex，

則g′(x)=f′(x)ex?f(x)ex(ex)2=f′(x)?f(x)ex，

∵f′(x)<f(x)，

∴g′(x)<0，

所以g(x)在R上單調遞減，

∵f(0)=1，

∴g(0)=f(0)e0=1，8.若函數(shù)f(x)=ln?x+(a?2)x+a有兩個零點，則實數(shù)aA.(1,2) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(?∞,2)【答案】A

【解析】【分析】本題考查函數(shù)的零點問題，屬于一般題．

由函數(shù)f(x)=ln?x+(a?2)x+a有兩個零點，則a≥2時，判斷f(x)不可能有兩個零點，a<2時，確定f(x)max和【解答】

解：f(x)=lnx+(a?2)x+a，f′(x)=1x+a?2，x>0．

當a≥2時，f′(x)>0，所以f(x)在定義域(0,+∞)內單調遞增，f(x)不可能有兩個零點，所以a<2．

易知f(x)在區(qū)間(0,12?a)上單調遞增，在(12?a,+∞)上單調遞減，

當x>0且x→0時，f(x)→?∞，當x→+∞時，f(x)→?∞．

若f(x)有兩個零點，只需f(x)max=f(12?a)=?二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列結論正確的是

(

)A.函數(shù)y=2x2?1在x=3處的導數(shù)為11

B.一個做直線運動的物體從時間t到t+Δt的位移為Δs，那么limΔt→0ΔsΔt表示t時刻該物體的瞬時速度

C.物體做直線運動時，它的運動規(guī)律可以用函數(shù)v=v(t)表示，其中v表示瞬時速度，t表示時間，則該物體在t時刻的加速度為limΔt→0v(t+Δt)?v(t)Δt

D.函數(shù)f(x)【答案】BC

【解析】【分析】本題考查導數(shù)的運算及導數(shù)的基本概念．

根據導數(shù)的計算A中y′=4x，所以在x=3處的導數(shù)為12.故A錯誤；根據導數(shù)的概念及幾何意義一一判斷BCD即可．【解答】解：A中y′=4x，所以在x=3處的導數(shù)為12.故A錯誤；B一個做直線運動的物體從時間t到t+Δt的位移為Δs，那么limΔt→0ΔsΔtC物體做直線運動時，它的運動規(guī)律可以用函數(shù)v=v(t)表示，其中v表示瞬時速度，t表示時間，則該物體在t時刻的加速度為limΔt→0?v(t+Δt)?v(t)Δt.正確．

D中f′(故選BC．10.已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則下列結論正確的是(

)

A.f(x)有且僅有兩個極值點

B.f(x)在區(qū)間(2,+∞)上單調遞增

C.f(x)可能有四個零點

D.若f(x)在區(qū)間(m,n)上單調遞減，則n?m的最大值為6【答案】AD

【解析】【分析】本題考查導函數(shù)圖象與原函數(shù)圖象的關系，是中檔題．

根據導函數(shù)圖象，還原原函數(shù)的性質，即可判斷各選項．【解答】

解：由f′(x)的圖象可知f(x)有且僅有兩個極值點?3和3，故A正確；

f(x)在區(qū)間(?∞,?3)上單調遞增，在(?3,3)上單調遞減，在(3,+∞)上單調遞增，所以f(x)至多有三個零點，故B，C錯誤;

因為f(x)的單調遞減區(qū)間為(?3,3)，若f(x)在區(qū)間(m,n)上單調遞減，所以n?m的最大值為6，故D正確．

故選AD．11.下列結論正確的是(

)A.3e<ln3 B.9ln2【答案】BCD

【解析】【分析】本題考查利用導數(shù)比較大小，屬于較難題．

構造函數(shù)，求出導數(shù)研究單調性即可比較大?。窘獯稹?/p>

解：令f(x)=lnxx，則f′(x)=1?lnxx2，

由f′x>0得，0<x<e；由f′x<0得，x>e．

所以f(x)在區(qū)間(0,e)上單調遞增，在(e,+∞)上單調遞減，

所以f(e)>f(3)，f(23)<f(34)，

即1e>ln33，ln2323<ln3434，

整理得3e>ln3，9ln23<8ln34，故A錯，B正確;

令g(x)=三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.如圖，從A→C有________種不同的走法．

【答案】6

【解析】【分析】

本題主要考查了分類加法的計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的基礎知識，關鍵在于分類討論且不遺漏某種情況，觀察圖形，從A到C走法可分為兩類，經過B和不經過B，據此試著進一步解題；由上步提示可，利用分步乘法計數(shù)原理從A到B到C有2×2種走法，同理可計算從A至C的走法，利用加法原理即可得出答案．

【解答】

解：A到C分兩類；

第一類：A到B到C分兩步：

第一步：A到B有兩種走法；

第二步：B到C有兩種走法．

A到B到C有2×2=4種走法．

第二類：A到C有2種走法．

所以A→C共有4+2=6種走法．

故答案為6．13.若直線y=2x+b與函數(shù)f(x)=ex+x?a的圖象相切，則【答案】1

【解析】【分析】本題考查導數(shù)的運算及其幾何意義，利用導數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，屬于基礎題．

設出切點坐標，求導函數(shù)，結合切線斜率，利用直線y=2x+b與曲線f(x)=ex+x?a相切，從而可得切點坐標，代入y=2x+b【解答】

解：f′(x)=ex+1，設切點為(x0,f(x0))，則ex0+1=2?x14.若函數(shù)f(x)=13x3?x2【答案】(?1,2]

【解析】【分析】本題考查利用導數(shù)根據函數(shù)最值求參，屬于基礎題．

利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，根據最值列關于a的不等式組，解之即可．【解答】解：f′(x)=x2?2x=x(x?2)，

由f′x>0，得x<0或x>2；由f′x>0，得0<x<2．

則f(x)在區(qū)間(?∞,0)上單調遞增，在(0,2)上單調遞減，在(2,+∞)上單調遞增，

f(0)=f(3)=0．

若函數(shù)f(x)在區(qū)間(?2,1+a)上存在最大值，

則a+1>0,a+1≤3??1<a≤2四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分某大學組織學生無償獻血．在一個班級體檢合格的學生中，O型血有11人，A型血有7人，B型血有6人，AB型血有5人．

(1)從中任選1名學生去獻血，有多少種不同的選法？（4分）

(2)從四種血型的學生中各選1名學生去獻血，有多少種不同的選法？（4分）

(3)從中任選2名具有不同血型的學生去獻血，有多少種不同的選法？（5分）【答案】解：在一個班級體檢合格的學生中，O型血有11人，A型血有7人，B型血有6人，AB型血有5人，(1)從中任選1名學生去獻血，有11+7+6+5=29種不同的選法；

(2)從四種血型的學生中各選1名學生去獻血，有11×7×6×5=2310種不同的選法；

(3)從中任選2名具有不同血型的學生去獻血，有11×7+11×6+11×5+7×6+7×5+6×5=305種不同的選法．

【解析】此題考查分類加法計數(shù)原理，考查分步乘法計數(shù)原理，注意分類要不重不漏．(1)由分類加法計數(shù)原理，有11+7+6+5=29種不同的選法；

(2)由分步乘法計數(shù)原理，有11×7×6×5=2310種不同的選法；

(3)由分類加法計數(shù)原理及分步乘法計數(shù)原理，有11×7+11×6+11×5+7×6+7×5+6×5=305種不同的選法．16.(本小題15分)

“既要金山銀山，又要綠水青山”.某風景區(qū)在一個直徑AB為100米的半圓形花圓中設計一條觀光線路．打算在半圓弧上任選一點C(與A，B不重合)，沿AC修一條直線段小路，在路的兩側(注意是兩側)種植綠化帶；再沿弧BC修一條弧形小路，在小路的一側(注意是一側)種植綠化帶，小路與綠化帶的寬度忽略不計．

(1)設∠BAC=θ(弧度)，將綠化帶的總長度表示為θ的函數(shù)f(θ)；

(2)求綠化帶的總長度f(θ)【答案】解：(1)設圓心為O，連結OC，BC．

在直角△ABC中，AC=ABcosθ=100cosθ，BC的弧長=50×2θ=100θ；

所以綠化帶的總長度為f(θ)=200cosθ+100θ，其中θ∈(0,?π2)；(7分)

(2)對f(θ)求導數(shù)，得f′(θ)=?200sinθ+100，θ∈(0,?π2)，

令f′(θ)=0，可得sinθ=12，所以θ=π6；

當θ∈(0,π6)時，f′(θ)>0，f(θ)單調遞增；

當θ∈(π6,π2)【解析】(1)設圓心為O，連結OC、BC，利用直角三角形的邊角關系和弧長公式，求出綠化帶的總長度f(θ)；

(2)對f(θ)求導數(shù)，利用導數(shù)判斷f(θ)的單調性，再求出它的最大值．

本題考查了三角函數(shù)模型的實際應用問題，也考查了利用導數(shù)求函數(shù)的單調性與最值問題，是中檔題．17.(本小題15分已知函數(shù)f(x)=xsin?x+cos?x，(Ⅰ)求函數(shù)f(x)在x=π處的切線方程；(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間和極值．【答案】解：(Ⅰ)因為f′(x)=xcosx，所以f′(π)=?π，f(π)=?1，

所以f(x)在x=π處的切線方程為y=?πx+π2?1．（7分）

(Ⅱ)因為x∈(0,2π)，所以f′(x)=0?x=π2，3π2．

所以f′(x)>0?0<x<π2或3π2<x<2π，f′(x)<0?π2<x<3π2，

則f(x)的單調遞增區(qū)間為(0,π2)，(3π2【解析】本題考查了導數(shù)的幾何意義，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與極值，屬于中檔題．

(Ⅰ)求出f′(x)，從而求得f(x)在x=π處的切線斜率f′(π)，進而利用點斜式寫出即可；

(Ⅱ)求導后，根據導數(shù)與函數(shù)單調性的關系，即可求得f(x)的單調區(qū)間和極值．18.(本小題17分已知函數(shù)f(x)=x3?3ax2(Ⅰ)求實數(shù)a，b的值；(Ⅱ)若?