桿件的內(nèi)力、強(qiáng)度、剛度及穩(wěn)定性-壓桿穩(wěn)定（建筑力學(xué)）

臨界力與臨界應(yīng)力11.2臨界力與臨界應(yīng)力11.2臨界力與臨界應(yīng)力一、細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界力計(jì)算公式——?dú)W拉公式從上面的討論可知，壓桿在臨界力作用下，其直線(xiàn)形狀的平衡將由穩(wěn)定的平衡轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定的平衡，此時(shí)，即使撤去側(cè)向干擾力，壓桿仍然將保持在微彎狀態(tài)下的平衡。但是，如果壓力超過(guò)這個(gè)臨界力，彎曲變形將明顯增大。所以，上面使壓桿在微彎狀態(tài)下保持平衡的最小的軸向壓力，即為壓桿的臨界壓力。當(dāng)壓桿受臨界壓力作用時(shí)，只要受到微小的干擾力，就不能維持原有的平衡狀態(tài)，所以對(duì)受壓桿件，必須將其承受的軸向壓力控制在臨界壓力之內(nèi)，才能維持原有的平衡狀態(tài)而不失穩(wěn)。下面介紹不同約束條件下壓桿的臨界力計(jì)算公式。11.2臨界力與臨界應(yīng)力1．兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)桿的臨界力計(jì)算公式——?dú)W拉公式設(shè)兩端鉸支長(zhǎng)度為l的細(xì)長(zhǎng)桿，在軸向壓力FN的作用下保持微彎平衡狀態(tài)，如圖所示?？梢宰C明，兩端鉸支壓桿在臨界力作用下的撓曲線(xiàn)為半波正弦曲線(xiàn)。（A為桿中點(diǎn)的撓度）11.2臨界力與臨界應(yīng)力推導(dǎo)表明，當(dāng)壓桿段微彎曲線(xiàn)為半個(gè)正弦波，壓桿處于微彎平衡狀態(tài)時(shí)，其臨界力的大小為上式即為兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)桿的臨界壓力計(jì)算公式，稱(chēng)為歐拉公式。從歐拉公式可以看出，細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力FNcr與壓桿的彎曲剛度成正比，而與桿長(zhǎng)l的平方成反比。應(yīng)當(dāng)指出，若桿兩端為球鉸支座，它對(duì)端截面任何方向的轉(zhuǎn)角均沒(méi)有限制，此時(shí)式（11－1）中的I

應(yīng)為橫截面的最小慣性矩。11.2臨界力與臨界應(yīng)力2．其它約束情況下細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力桿端為其它約束的細(xì)長(zhǎng)壓桿，由于桿端的約束不同，其約束力、臨界狀態(tài)下?lián)锨€(xiàn)的形態(tài)也就不同，臨界壓力也就不同，但是分析方法與求解過(guò)程基本相似，所以其臨界力計(jì)算公式可參考前面的方法導(dǎo)出，或采用類(lèi)比的方法得到。關(guān)鍵是找出這些壓桿受臨界力作用時(shí)其撓曲線(xiàn)中半波正弦曲線(xiàn)的長(zhǎng)度。11.2臨界力與臨界應(yīng)力經(jīng)驗(yàn)表明，具有相同撓曲線(xiàn)形狀的壓桿，其臨界力計(jì)算公式也相同。于是，可將兩端鉸支約束壓桿的撓曲線(xiàn)形狀取為基本情況，而將其它桿端約束條件下壓桿的撓曲線(xiàn)形狀與之進(jìn)行對(duì)比，從而得到相應(yīng)桿端約束條件下壓桿臨界力的計(jì)算公式。為此，可將歐拉公式寫(xiě)成統(tǒng)一的形式

式中μl稱(chēng)為折算長(zhǎng)度，表示將桿端約束條件不同的壓桿計(jì)算長(zhǎng)度l折算成兩端鉸支壓桿的長(zhǎng)度，μ稱(chēng)為長(zhǎng)度系數(shù)。11.2臨界力與臨界應(yīng)力如圖所示，為一端固定一端鉸支的細(xì)長(zhǎng)壓桿的撓曲線(xiàn)形狀，其中有部分長(zhǎng)度為0.7l的撓曲線(xiàn)形狀，是一半波正弦曲線(xiàn)，即當(dāng)將其原長(zhǎng)度乘以0.7的長(zhǎng)度系數(shù)后，就與長(zhǎng)度為0.7l的兩端鉸支壓桿相同。所以，一端固定一端鉸支的細(xì)長(zhǎng)壓桿的長(zhǎng)度系數(shù)等于0.7。11.2臨界力與臨界應(yīng)力如圖所示，為兩端固定的細(xì)長(zhǎng)壓桿的撓曲線(xiàn)形狀，其中有部分長(zhǎng)度為0.5l的撓曲線(xiàn)形狀，是一半波正弦曲線(xiàn)，即當(dāng)將其原長(zhǎng)度乘以0.5的長(zhǎng)度系數(shù)后，就與長(zhǎng)度為0.5l的兩端鉸支壓桿相同。所以，兩端固定的細(xì)長(zhǎng)壓桿的長(zhǎng)度系數(shù)等于0.5。11.2臨界力與臨界應(yīng)力如圖所示，為一端固定一端自由的細(xì)長(zhǎng)壓桿的撓曲線(xiàn)形狀，其長(zhǎng)度為2l的撓曲線(xiàn)形狀，形成一半波正弦曲線(xiàn)，即當(dāng)將其原長(zhǎng)度乘以2的長(zhǎng)度系數(shù)后，就與長(zhǎng)度為2l的兩端鉸支壓桿相同。所以，一端固定一端自由的細(xì)長(zhǎng)壓桿的長(zhǎng)度系數(shù)等于2。為方便查用,將幾種不同桿端約束情況下的長(zhǎng)度系數(shù)μ值列于表11－1中11.2臨界力與臨界應(yīng)力例11-1

如圖所示,一端固定另一端自由的細(xì)長(zhǎng)壓桿,其桿長(zhǎng)l=2m,截面形狀為矩形,b=20mm、h=45mm，材料的彈性模量E=200GPa。試計(jì)算該壓桿的臨界力。若把截面改為b=h=30mm，而保持長(zhǎng)度不變，則該壓桿的臨界力又為多大？11.2臨界力與臨界應(yīng)力解：（1）計(jì)算截面的慣性矩由于橫截面Iy為最小，由前述可知，該壓桿必在xz平面內(nèi)（左右）失穩(wěn)，故計(jì)算慣性矩（2）計(jì)算臨界力查表11-1得μ=2，因此臨界力為

11.2臨界力與臨界應(yīng)力（3）當(dāng)截面改為b=h=30mm時(shí)，壓桿的慣性矩為代入歐拉公式，可得從以上兩種情況分析，其橫截面面積相等，支承條件也相同，但是，計(jì)算得到的臨界壓力后者比前者大許多?？梢?jiàn)在材料用量相同的條件下，選擇恰當(dāng)?shù)慕孛嫘问娇梢蕴岣呒?xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力。

11.2臨界力與臨界應(yīng)力二、歐拉公式的適用范圍1．臨界應(yīng)力和柔度前面導(dǎo)出了計(jì)算壓桿臨界力的歐拉公式，當(dāng)壓桿在臨界力FNcr

作用下處于直線(xiàn)狀態(tài)的平衡時(shí)，其橫截面上的壓應(yīng)力等于臨界力FNcr

除以橫截面面積A，稱(chēng)為臨界應(yīng)力，用σcr表示，即將歐拉公式（11—2）代入上式，得11.2臨界力與臨界應(yīng)力若將壓桿的慣性矩I寫(xiě)成式中i為壓桿橫截面的慣性半徑

于是臨界應(yīng)力可寫(xiě)為上式（11－3）為計(jì)算壓桿臨界應(yīng)力的歐拉公式，式中λ稱(chēng)為壓桿的柔度（也稱(chēng)長(zhǎng)細(xì)比）。11.2臨界力與臨界應(yīng)力柔度λ是一個(gè)無(wú)量綱的量，其大小與壓桿的長(zhǎng)度系數(shù)μ、桿長(zhǎng)l及慣性半徑i有關(guān)。由于壓桿的長(zhǎng)度系數(shù)μ決定于壓桿的支承情況，慣性半徑i決定于截面的形狀與尺寸，所以，從物理意義上看，柔度λ綜合地反映了壓桿的長(zhǎng)度、截面的形狀與尺寸以及支承情況對(duì)臨界力的影響。從式（11—3）還可以看出，如果壓桿的柔度值越大，則其臨界應(yīng)力越小，壓桿就越容易失穩(wěn)。11.2臨界力與臨界應(yīng)力2．歐拉公式的適用范圍歐拉公式是根據(jù)撓曲線(xiàn)近似微分方程導(dǎo)出的,而應(yīng)用此微分方程時(shí),材料必須服從虎克定理。因此,歐拉公式的適用范圍應(yīng)當(dāng)是壓桿的臨界應(yīng)力σcr不超過(guò)材料的比例極限σp，即即有若設(shè)λP為壓桿的臨界應(yīng)力達(dá)到材料的比例極限時(shí)的柔度值,即11.2臨界力與臨界應(yīng)力則歐拉公式的適用范圍為：

λ≥λP

上式（11－5）表明，當(dāng)壓桿的柔度不小于λP時(shí),才可以應(yīng)用歐拉公式計(jì)算臨界力或臨界應(yīng)力。這類(lèi)壓桿稱(chēng)為大柔度桿或細(xì)長(zhǎng)桿,歐拉公式只適用于較細(xì)長(zhǎng)的大柔度桿.從式（11—4）可知,λP

的值取決于材料性質(zhì),不同的材料都有自己的E值和σp值，所以,不同材料制成的壓桿,其λP也不同。例如Q235鋼，σp=200MPa，E=200GPa，由式（11—4）即可求得，λP=100。11.2臨界力與臨界應(yīng)力三、中長(zhǎng)桿的臨界力計(jì)算——經(jīng)驗(yàn)公式、臨界應(yīng)力總圖1．中長(zhǎng)桿的臨界力計(jì)算——經(jīng)驗(yàn)公式上面指出，歐拉公式只適用于較細(xì)長(zhǎng)的大柔度桿，即臨界應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限（處于彈性穩(wěn)定狀態(tài)）。當(dāng)臨界應(yīng)力超過(guò)比例極限時(shí)，材料處于彈塑性階段，此類(lèi)壓桿的穩(wěn)定屬于彈塑性穩(wěn)定（非彈性穩(wěn)定）問(wèn)題，此時(shí)，歐拉公式不再適用。對(duì)這類(lèi)壓桿各國(guó)大都采用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算臨界力或者臨界應(yīng)力，經(jīng)驗(yàn)公式是在試驗(yàn)和實(shí)踐資料的基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)分析、歸納而得到的。各國(guó)采用的經(jīng)驗(yàn)公式多以本國(guó)的試驗(yàn)為依據(jù)，因此計(jì)算不盡相同。我國(guó)比較常用的經(jīng)驗(yàn)公式有直線(xiàn)公式和拋物線(xiàn)公式等，本書(shū)只介紹直線(xiàn)公式，其表達(dá)式為：σcr

=a–bλ

（11—6）式中a和b是與材料有關(guān)的常數(shù)，其單位為MPa。一些常用材料的a、b值可見(jiàn)表11－2。11.2臨界力與臨界應(yīng)力表11-2幾種常用材料的a、b值11.2臨界力與臨界應(yīng)力應(yīng)當(dāng)指出，經(jīng)驗(yàn)公式（11—6）也有其適用范圍，它要求臨界應(yīng)力不超過(guò)材料的受壓極限應(yīng)力。這是因?yàn)楫?dāng)臨界應(yīng)力達(dá)到材料的受壓極限應(yīng)力時(shí)，壓桿已因?yàn)閺?qiáng)度不足而破壞。因此，對(duì)于由塑性材料制成的壓桿，其臨界應(yīng)力不允許超過(guò)材料的屈服應(yīng)力σs，即σcr=a–bλ≤σs或：令：得：λ≥λS

式中λS表示當(dāng)臨界應(yīng)力等于材料的屈服點(diǎn)應(yīng)力σs時(shí)壓桿的柔度值。與λP一樣，它也是一個(gè)與材料的性質(zhì)有關(guān)的常數(shù)，可見(jiàn)表11－2。11.2臨界力與臨界應(yīng)力因此，直線(xiàn)經(jīng)驗(yàn)公式的適用范圍為

λS≤λ＜λP

計(jì)算時(shí),一般把柔度值介于λS與λP之間的壓桿稱(chēng)為中長(zhǎng)桿或中柔度桿，而把柔度小于λS的壓桿稱(chēng)為短粗桿或小柔度桿。對(duì)于柔度小于λS的短粗桿或小柔度桿，其破壞則是因?yàn)椴牧系目箟簭?qiáng)度不足而造成的，如果將這類(lèi)壓桿也按照穩(wěn)定問(wèn)題進(jìn)行處理，則對(duì)塑性材料制成的壓桿來(lái)說(shuō)，可取臨界應(yīng)力σcr=σs。11.2臨界力與臨界應(yīng)力2．臨界應(yīng)力總圖綜上所述，壓桿按照其柔度的不同，可以分為三類(lèi)，并分別由不同的計(jì)算公式計(jì)算其臨界應(yīng)力。當(dāng)λ≥λP時(shí)，壓桿為細(xì)長(zhǎng)桿（大柔度桿），其臨界應(yīng)力用歐拉公式（11—3）來(lái)計(jì)算：當(dāng)λS≤λ＜λP時(shí)，壓桿為中長(zhǎng)桿（中柔度桿），其臨界應(yīng)力用經(jīng)驗(yàn)公式（11—6）來(lái)計(jì)算；

σcr

=a–bλλ＜λS

時(shí)，壓桿為短粗桿（小柔度桿），其臨界應(yīng)力等于桿受壓時(shí)的極限應(yīng)力。σcr=σs11.2臨界力與臨界應(yīng)力如果把上述壓桿的臨界應(yīng)力根據(jù)其柔度不同而分別計(jì)算的情況，用一個(gè)簡(jiǎn)圖來(lái)表示，該圖形就稱(chēng)為壓桿的臨界應(yīng)力總圖。圖11-11即為某塑性材料的臨界應(yīng)力總圖。11.2臨界力與臨界應(yīng)力例11—2

圖11-12所示為兩端鉸支的圓形截面受壓桿，用Q235鋼制成，材料的彈性模量E=200Gpa，屈服點(diǎn)應(yīng)力σs=235MPa，直徑d=40mm，試分別計(jì)算下面三種情況下壓桿的臨界力：（1）桿長(zhǎng)l=1.2m；（2）桿長(zhǎng)l=0.8m；（3）桿長(zhǎng)l=0.5m。11.2臨界力與臨界應(yīng)力解：（1）計(jì)算桿長(zhǎng)l=1.2m時(shí)壓桿的臨界力。圓形截面桿的慣性半徑為壓桿兩端鉸支，因此μ=1柔度所以是大柔度桿，應(yīng)適用歐拉公式計(jì)算臨界力11.2臨界力與臨界應(yīng)力所以，桿長(zhǎng)l=1.2m時(shí)壓桿的臨界力11.2臨界力與臨界應(yīng)力（2）計(jì)算桿長(zhǎng)l=0.8m時(shí)壓桿的臨界力柔度查表11－2可得：λP=100，λS=62。λS＜λ＜λP

該桿為中柔度桿，應(yīng)用直線(xiàn)經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算臨界力查表11－2可得：a=304MPa,b=1.12MPa。所以11.2臨界力與臨界應(yīng)力（3）計(jì)算桿長(zhǎng)l=0.5m時(shí)壓桿的臨界力柔度壓桿為短粗桿（小柔度桿），其臨界力為11.4提高壓桿穩(wěn)定性的措施11.4提高壓桿穩(wěn)定性的措施11.4提高壓桿穩(wěn)定性的措施要提高壓桿的穩(wěn)定性，關(guān)鍵在于提高壓桿的臨界力或臨界應(yīng)力。而壓桿的臨界力和臨界應(yīng)力,與壓桿的長(zhǎng)度、橫截面形狀及大小、支承條件以及壓桿所用材料等有關(guān)。因此，可以從以下幾個(gè)方面考慮：一、合理選擇材料二、選擇合理的截面形狀三、改善約束條件、減小壓桿長(zhǎng)度11.4提高壓桿穩(wěn)定性的措施一、合理選擇材料歐拉公式告訴我們，大柔度桿的臨界應(yīng)力，與材料的彈性模量成正比。所以選擇彈性模量較高的材料，就可以提高大柔度桿的臨界應(yīng)力，也就提高了其穩(wěn)定性。但是，對(duì)于鋼材而言，各種鋼的彈性模量大致相同，所以，選用高強(qiáng)度鋼并不能明顯提高大柔度桿的穩(wěn)定性。而中、小柔度桿的臨界應(yīng)力則與材料的強(qiáng)度有關(guān)，采用高強(qiáng)度鋼材，可以提高這類(lèi)壓桿抵抗失穩(wěn)的能力。11.4提高壓桿穩(wěn)定性的措施二、選擇合理的截面形狀增大截面的慣性矩,可以增大截面的慣性半徑,降低壓桿的柔度,從而可以提高壓桿的穩(wěn)定性。在壓桿的橫截面面積相同的條件下,應(yīng)盡可能使材料遠(yuǎn)離截面形心軸,以取得較大的軸慣性矩，從這個(gè)角度出發(fā)，空心截面要比實(shí)心截面合理，如圖所示。11.4提高壓桿穩(wěn)定性的措施在工程實(shí)際中，若壓桿的截面是用兩根槽鋼組成的，則應(yīng)采用如右圖所示的布置方式，可以取得較大的慣性矩或慣性半徑。另外，由于壓桿總是在柔度較大（臨界力較小）的縱向平面內(nèi)首先失穩(wěn)，所以應(yīng)注意盡可能使壓桿在各個(gè)縱向平面內(nèi)的柔度都相同，以充分發(fā)揮壓桿的穩(wěn)定承載力。11.4提高壓桿穩(wěn)定性的措施三、改善約束條件、減小壓桿長(zhǎng)度根據(jù)歐拉公式可知，壓桿的臨界力與其計(jì)算長(zhǎng)度的平方成反比，而壓桿的計(jì)算長(zhǎng)度又與其約束條件有關(guān)。因此，改善約束條件，可以減小壓桿的長(zhǎng)度系數(shù)和計(jì)算長(zhǎng)度，從而增大臨界力。在相同條件下，從表11－1可知，自由支座最不利，鉸支座次之，固定支座最有利。減小壓桿長(zhǎng)度的另一方法是在壓桿的中間增加支承，把一根桿變?yōu)閮筛踔翈赘?。壓桿穩(wěn)定小結(jié)壓桿穩(wěn)定小結(jié)1．壓桿的平衡可以分為穩(wěn)定的平衡、不穩(wěn)定的平衡以及臨界平衡三種,壓桿由穩(wěn)定的平衡轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定的平衡.這種現(xiàn)象稱(chēng)為壓桿喪失穩(wěn)定性或者壓桿失穩(wěn)。壓桿是否失穩(wěn)取決于壓桿承受軸向壓力的數(shù)值。2．細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力根據(jù)歐拉公式計(jì)算,不同的約束條件采用不同的長(zhǎng)度系數(shù)。3．根據(jù)壓桿的柔度即長(zhǎng)細(xì)比的大小,壓桿可以分為大柔度桿、中柔度桿與小柔度桿。不同柔度的桿,其臨界應(yīng)力計(jì)算方法相應(yīng)采用不同的方法。4．壓桿的穩(wěn)定條件，采用實(shí)用計(jì)算方法。5．為了提高壓桿的穩(wěn)定性,可以考慮合理選擇材料、選擇合理的截面形狀、改善約束條件、減小壓桿長(zhǎng)度等方法。11.3壓桿的穩(wěn)定計(jì)算11.3壓桿的穩(wěn)定計(jì)算11.3壓桿的穩(wěn)定計(jì)算當(dāng)壓桿中的應(yīng)力達(dá)到（或超過(guò)）其臨界應(yīng)力時(shí)，壓桿會(huì)喪失穩(wěn)定。所以，正常工作的壓桿，其橫截面上的應(yīng)力應(yīng)小于臨界應(yīng)力。在工程中，為了保證壓桿具有足夠的穩(wěn)定性，還必須考慮一定的安全儲(chǔ)備，這就要求橫截面上的應(yīng)力，不能超過(guò)壓桿的臨界應(yīng)力的許用值[σcr]，即

[σcr]為臨界應(yīng)力的許用值，其值為

式中nst為穩(wěn)定安全系數(shù)。11.3壓桿的穩(wěn)定計(jì)算穩(wěn)定安全系數(shù)一般都大于強(qiáng)度計(jì)算時(shí)的安全系數(shù)，這是因?yàn)樵诖_定穩(wěn)定安全系數(shù)時(shí),除了應(yīng)遵循確定安全系數(shù)的一般原則以外，還必須考慮實(shí)際壓桿并非理想的軸向壓桿這一情況。例如，在制造過(guò)程中，桿件不可避免地存在微小的彎曲（即存在初曲率）；另外，外力的作用線(xiàn)也不可能絕對(duì)準(zhǔn)確地與桿件的軸線(xiàn)相重合（即存在初偏心）等等，這些因素都應(yīng)在穩(wěn)定安全系數(shù)中加以考慮。為了計(jì)算上的方便，將臨界應(yīng)力的許用值，寫(xiě)成如下形式11.3壓桿的穩(wěn)定計(jì)算從上面（c）式可知，

值為

式中[

]為強(qiáng)度計(jì)算時(shí)的許用應(yīng)力,而

稱(chēng)為折減系數(shù),其值小于1。由式（d）可知，當(dāng)[σ]一定時(shí)，

取決于σcr與nst。由于臨界應(yīng)力σcr值隨壓桿的長(zhǎng)細(xì)比而改變，而不同長(zhǎng)細(xì)比的壓桿一般又規(guī)定不同的穩(wěn)定安全系數(shù)，所以折減系數(shù)

是長(zhǎng)細(xì)比λ的函數(shù)。當(dāng)材料一定時(shí)，

值取決于長(zhǎng)細(xì)比λ的值。表11－3即列出了Q235鋼、16錳鋼和木材的折減系數(shù)值。11.3壓桿的穩(wěn)定計(jì)算應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)，[σcr]與[σ]雖然都是“許用應(yīng)力”，但兩者卻有很大的不同。[σ]只與材料有關(guān)，當(dāng)材料一定時(shí)，其值為定值；而[σcr]除了與材料有關(guān)以外，還與壓桿的長(zhǎng)細(xì)比有關(guān)。所以，相同材料制成的不同（長(zhǎng)細(xì)比）的壓桿，其[σcr]值是不同的。將（d）式代入（a）式，可得上式即為壓桿需要滿(mǎn)足的穩(wěn)定條件。由于折減系數(shù)

可按λ的值直接從表11－3中查到，因此，按式（11—9）的穩(wěn)定條件進(jìn)行壓桿的穩(wěn)定計(jì)算，十分方便。因此，該方法也稱(chēng)為實(shí)用計(jì)算方法。11.3壓桿的穩(wěn)定計(jì)算還應(yīng)當(dāng)指出，在穩(wěn)定計(jì)算中，壓桿的橫截面面積A均采用毛截面面積計(jì)算，即當(dāng)壓桿在局部有橫截面削弱（如鉆孔、開(kāi)口等）時(shí)，可予不考慮。因?yàn)閴簵U的穩(wěn)定性取決于整個(gè)桿件的彎曲剛度，而局部的截面削弱對(duì)整個(gè)桿件的整體剛度來(lái)說(shuō)，影響甚微。但是，對(duì)截面的削弱處，應(yīng)當(dāng)進(jìn)行強(qiáng)度驗(yàn)算。11.3壓桿的穩(wěn)定計(jì)算應(yīng)用壓桿的穩(wěn)定條件,可以對(duì)壓桿的三個(gè)方面的問(wèn)題進(jìn)行計(jì)（1）穩(wěn)定校核即已知壓桿的幾何尺寸、所用材料、支承條件以及承受的壓力，驗(yàn)算是否滿(mǎn)足公式（11—9）的穩(wěn)定條件。這類(lèi)問(wèn)題，一般應(yīng)首先計(jì)算出壓桿的長(zhǎng)細(xì)比λ，根據(jù)λ查出相應(yīng)的折減系數(shù)

，再按照公式（11—9）進(jìn)行校核。11.3壓桿的穩(wěn)定計(jì)算（2）計(jì)算穩(wěn)定時(shí)的許用荷載即已知壓桿的幾何尺寸、所用材料及支承條件，按穩(wěn)定條件計(jì)算其能夠承受的許用荷載F值。這類(lèi)問(wèn)題，一般也要首先計(jì)算出壓桿的長(zhǎng)細(xì)比λ，根據(jù)λ查出相應(yīng)的折減系數(shù)

，再按照下式

進(jìn)行計(jì)算。11.3壓桿的穩(wěn)定計(jì)算（3）進(jìn)行截面設(shè)計(jì)即已知壓桿的長(zhǎng)度、所用材料、支承條件以及承受的壓力F，按照穩(wěn)定條件計(jì)算壓桿所需的截面尺寸。這類(lèi)問(wèn)題，一般采用“試算法”。這是因?yàn)樵诜€(wěn)定條件（11—9）中，折減系數(shù)

是根據(jù)壓桿的長(zhǎng)細(xì)比λ查表得到的，而在壓桿的截面尺寸尚未確定之前，壓桿的長(zhǎng)細(xì)比λ不能確定，所以也就不能確定折減系數(shù)

。因此，只能采用試算法，首先假定一折減系數(shù)

值（0與1之間，一般可取為0.5左右），由穩(wěn)定條件計(jì)算所需要的截面面積A，然后計(jì)算出壓桿的長(zhǎng)細(xì)比λ，根據(jù)壓桿的長(zhǎng)細(xì)比λ查表得到折減系數(shù)

，再按照公式（11—9）驗(yàn)算是否滿(mǎn)足穩(wěn)定條件。如果不滿(mǎn)足穩(wěn)定條件，則應(yīng)重新假定折減系數(shù)

值（一般取前后兩個(gè)

的平均值），重復(fù)上述過(guò)程，直到滿(mǎn)足穩(wěn)定條件為止。11.3壓桿的穩(wěn)定計(jì)算例11-3

如圖所示，構(gòu)架由兩根直徑相同的圓桿構(gòu)成，桿的材料為Q235鋼，直徑d=20mm，材料的許用應(yīng)力[σ]=170MPa，已知h=0.4m，作用力FN=15kN。試在計(jì)算平面內(nèi)校核二桿的穩(wěn)定。11.3壓桿的穩(wěn)定計(jì)算解：（1）計(jì)算各桿承受的壓力取結(jié)點(diǎn)A為研究對(duì)象如圖，根據(jù)平衡條件列方程由∑Fx=0，得由∑Fy=0，得解得二桿承受的壓力分別為：11.3壓桿的穩(wěn)定計(jì)算（2）計(jì)算二桿的長(zhǎng)細(xì)比：各桿的長(zhǎng)度分別為則二桿的長(zhǎng)細(xì)比分別為11.3壓桿的穩(wěn)定計(jì)算（3）根據(jù)長(zhǎng)細(xì)比

查折減系數(shù)（直線(xiàn)內(nèi)插法）得如圖，

λAB=113，用直線(xiàn)內(nèi)插法可得，

AB=0.515

，

λAC=160，查表直接得，

AC=0.27211.3壓桿的穩(wěn)定計(jì)算（4）按照穩(wěn)定條件進(jìn)行驗(yàn)算AB桿AC桿因此，二桿都滿(mǎn)足穩(wěn)定條件，構(gòu)架穩(wěn)定。11.3壓桿的穩(wěn)定計(jì)算例11-4

如圖所示支架，BD桿為正方形截面的木桿，其長(zhǎng)度l=2m，截面邊長(zhǎng)a=0.1m，木材的許用應(yīng)力[

]=10MPa，試從滿(mǎn)足BD桿的穩(wěn)定條件考慮，計(jì)算該支架能承受的最大荷載Fmax。11.3壓桿的穩(wěn)定計(jì)算解：（1）計(jì)算BD桿的長(zhǎng)細(xì)比（l=2m，a=0.1m）所以：11.3壓桿的穩(wěn)定計(jì)算（2）求BD桿能承受的最大壓力:根據(jù)長(zhǎng)細(xì)

BD比查表，得

BD=0.470

則BD桿能承受的最大壓力為

FNBDmax=A

[

]=0.12×0.470×10×106N=47.1×103N=47.1kN（3）根據(jù)外力FN與BD桿所承受壓力之間的關(guān)系，求出該支架能承受的最大荷載。研究AC的平衡（如圖），根據(jù)：∑MA(F)=0，從而可求得：所以：11.1平衡的三種形態(tài)與壓桿穩(wěn)定的概念建筑力學(xué)壓桿穩(wěn)定【學(xué)習(xí)目標(biāo)】【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解穩(wěn)定與失穩(wěn)的概念；2.掌握用歐拉公式計(jì)算壓桿的臨界荷載與臨界應(yīng)力；3.了解壓桿的臨界應(yīng)力總圖；4.理解壓桿穩(wěn)定條件及其實(shí)用計(jì)算。11.1平衡的三種形態(tài)與壓桿穩(wěn)定的概念11.1平衡的三種形態(tài)與壓桿穩(wěn)定的概念一、關(guān)于穩(wěn)定問(wèn)題的提出如圖所示，一根長(zhǎng)300mm的鋼制直桿，其橫截面的寬度和厚度分別為20mm和1mm，材料的抗壓許用應(yīng)力等于170MPa，如果按照其抗壓強(qiáng)度計(jì)算，其抗壓承載力約為3400N。但是實(shí)際上，在壓力尚不到40N時(shí)，桿件就發(fā)生了明顯的彎曲變形，喪失了其在直線(xiàn)形狀下保持平衡的能力，從而導(dǎo)致破壞。顯然，該受壓桿的破壞不屬于強(qiáng)度性質(zhì)的問(wèn)題，而屬于即將討論的壓桿穩(wěn)定的范疇。11.1平衡的三種形態(tài)與壓桿穩(wěn)定的概念二、平衡的三種形態(tài)1．如圖所示小球，在曲面槽內(nèi)A的位置保持平衡，這時(shí)若有一微小干擾力使小球離開(kāi)A的位置，則當(dāng)干擾力消失以后，小球最后能自己回到原來(lái)的位置A，繼續(xù)保持平衡。小球在A(yíng)處的平衡狀態(tài)稱(chēng)為穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。11.1平衡的三種形態(tài)與壓桿穩(wěn)定的概念2．如圖所示小球在凸面上B的位置保持平衡，此時(shí)只需有一個(gè)微小的干擾力使小球離B的位置，則當(dāng)干擾力消失后，小球不但不能回到原來(lái)的位置B，而且還會(huì)繼續(xù)下滾。小球在B處的平衡狀態(tài)稱(chēng)為不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。11.1平衡的三種形態(tài)與壓桿穩(wěn)定的概念3．如圖所示的小球，在平面C處平衡,若此時(shí)受微小干擾力干擾，小球從C處移到C1處，當(dāng)干擾力消失后,小球既不能回到原的位置，又不會(huì)繼續(xù)移動(dòng)，而是在受干擾后的新位置C1處,保持了新的平衡。小球在C處的平衡狀態(tài)稱(chēng)為臨界平衡狀態(tài)。11.1平衡的三種形態(tài)與壓桿穩(wěn)定的概念小球在A(yíng)、B、C三個(gè)位置雖然都能保持平衡,但這些平衡狀態(tài)卻具有不同的性質(zhì).顯然小球平衡狀態(tài)的穩(wěn)定或不穩(wěn)定與曲面的形狀有關(guān)。曲面由凹面變?yōu)橥姑?，小球的平衡狀態(tài)由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定。而位置C所示的小球受干擾后，既不能回到原來(lái)C的平衡位置，又不會(huì)繼續(xù)移動(dòng)，介乎于穩(wěn)定的平衡狀態(tài)與不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)之間，但是已具有不穩(wěn)定平衡狀態(tài)的特點(diǎn),可以認(rèn)為是不穩(wěn)定平衡狀態(tài)的開(kāi)始,稱(chēng)為臨界狀態(tài)。11.1平衡的三種形態(tài)與壓桿穩(wěn)定的概念三、壓桿穩(wěn)定的概念