專題24 拋物線（解答題壓軸題）試題含解析

①拋物線焦點弦（弦長）問題 1②拋物線中點弦問題 3③拋物線中參數(shù)范圍與最值問題 5④拋物線中定點、定值、定直線問題 7⑤拋物線綜合問題 9①拋物線焦點弦（弦長）問題y212023春·黑龍江哈爾濱·高二哈師大附中?？茧A段練習）已知拋物線Cy2直線l與C交于A,B兩點，與x軸交點為P.(1)若AF+BF=20，求l的方程；=4x的焦點為F，斜率為的22023秋·湖南邵陽·高三湖南省邵東市第三中學?？茧A段練習）已知拋物線y2=2px(p>0)的準線方程是1(1)求拋物線的方程；(2)設直線y=k(x一2)(k子0)與拋物線相交于M，N兩點，若MN=2，求實數(shù)k的值.32023·全國·高二專題練習）已知拋物線E：x2=2py(p>0)的焦點為F，拋物線E上一點H的縱坐標為5，O為坐標原點，cos經(jīng)OFH=-.(1)求拋物線E的方程；(2)拋物線上有一條長為6的動弦長為6的動弦AB，當AB的中點到拋物線的準線距離最短時，求弦AB所在直線方程.42023·全國·高二隨堂練習）設F為拋物線C:y2=3x的焦點，過F且傾斜角為30。的直線交C于A，B兩點，求AB及ΔOAB的面積.52023春·上海松江·高二上海市松江二中?？计谥校┮阎獟佄锞€C:y2=4x,F是它的焦點.(1)過焦點F且斜率為1的直線與拋物線C交于A,B兩點，求線段AB的長；(2)M為拋物線C上的動點，點P(2,1)，求MP+MF的最小值.62023秋·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線C的頂點為原點，對稱軸為x軸，且經(jīng)過M(1,2).(1)求C的方程；(2)若直線l過C的焦點，且與C交于A，B兩點，|AB|=8，求l的方程.②拋物線中點弦問題12023秋·陜西商洛·高二?？计谀┲本€l：y=2x一p與拋物線M：y2=2px(p>0)交于A，B兩點，(1)求拋物線M的方程；(2)若直線l,與M交于C，D兩點，且弦CD的中點的縱坐標為一3，求l,的斜率.22023·全國·高二專題練習）已知直線l與拋物線C:y2=8x相交于A、B兩點.(1)若直線l過點Q(4,1)，且傾斜角為45。，求AB的值；(2)若直線l過點Q(4,1)，且弦AB恰被Q平分，求AB所在直線的方程.32023秋·高二課時練習）已知直線l與拋物線y2=8x交于A，B兩點，且線段AB恰好被點P(2,2)平分.(1)求直線l的方程；(2)拋物線上是否存在點C和D，使得C，D關于直線l對稱?若存在，求出直線CD的方程；若不存在，請說明理由.42023·四川成都·三模）已知斜率為的直線l與拋物線C:y2=4x相交于P，Q兩點.(1)求線段PQ中點縱坐標的值；(2)已知點T(,0)，直線TP，TQ分別與拋物線相交于M，N兩點（異于P，Q）．則在y軸上是否存在一定點S，使得直線MN恒過該點？若存在，求出點S的坐標；若不存在，請說明理由.52023·全國·高二專題練習）已知斜率為的直線l與拋物線C:y2=4x相交于P,Q兩點.(1)求線段PQ中點縱坐標的值；(2)已知點T(,0)，直線TP,TQ分別與拋物線相交于M,N兩點（異于P,Q求證：直線MN恒過定點，并求出該定點的坐標.62023·全國·高二專題練習）在平面直角坐標系xOy中，F(xiàn)是拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點，M(x0,y0)是拋物線C上一點，|MF|=5，且tanzOFM=.(1)求拋物線C的方程；(2)若直線l與拋物線C交于A，B兩點，且線段AB的中點坐標為(6,8)，求直線l的方程.③拋物線中參數(shù)范圍與最值問題 12(1)12023秋·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習）已知動圓過點F|（2, 12(1)動圓圓心的軌跡為曲線C；過點F的直線與曲線C交于A，B兩點，曲線C在A，B兩點處的切線交于點E.(1)證明：EF」AB；(2)設AF=λFB，當λ=,時，求‘ABE的面積S的最小值.22023·全國·高一隨堂練習）已知F為拋物線C:y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，求AB+DE的最小值.32023秋·浙江杭州·高二浙江大學附屬中學?？计谀┮阎獟佄锞€C的頂點在原點，焦點在直線l:x-2y-2=0上.(1)求拋物線C的標準方程；(2)過點M(a,0)的直線m與焦點在x軸上的拋物線C交于A，B兩點，若原點O在以線段AB為直徑的圓外，求實數(shù)a的取值范圍.42023秋·廣東茂名·高三統(tǒng)考階段練習）已知拋物線E：x2=2py（p>0）上的一點M(|（xM,到準線(1)求拋物線E的方程；(2)若正方形ABCD的三個頂點A、B、C在拋物線E上，求這種正方形面積的最小值.52023秋·廣東佛山·高三校聯(lián)考階段練習）已知拋物線E:y2=2px(p>0)，P(4,y0)為E上位于第一象限的一點，點P到E的準線的距離為5.(1)求E的標準方程；(2)設O為坐標原點，F(xiàn)為E的焦點，A，B為E上異于P的兩點，且直線PA與PB斜率乘積為-4.（i）證明：直線AB過定點；（ii）求FA.FB的最小值.62023·湖南長沙·長沙一中?？家荒＃佄锞€C:x2=2py(p>0)的焦點為F，準線為l，點A在拋物線C上.已知以F為圓心，F(xiàn)A(FA>p)為半徑的圓F交l于P,Q兩點，若經(jīng)PFQ=90。,ΔAPQ的面積為.(1)求p的值；(2)過點A的直線m交拋物線C于點B（異于點A交x軸于點M，過點B作直線m的垂線交拋物線C于點D，若點A的橫坐標為正實數(shù)t，直線DM和拋物線C相切于點D，求正實數(shù)t的取值范圍.④拋物線中定點、定值、定直線問題12023秋·江西上饒·高二江西省廣豐中學?？茧A段練習）已知拋物線T的頂點在原點，對稱軸為坐標軸，(1)求拋物線T的方程：)作圓的兩條切線，分別交拋物線T于A(x1,y1)，B(x2,y2)和C(x3,y3)，D(x4,y4)四個點，試判斷x1x2x3x4是否是定值?若是定值，求出定值，若不是定值，請說明理由.22023秋·江西上饒·高二江西省廣豐中學校考階段練習）已知橢圓E：+=1(a>b>0)的離心率為，E的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P是橢圓上任意一點，滿足PF1+PF2=4.拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點F與橢圓E的右焦點F2重合，點M是拋物線C的準線上任意一點，直線MA，MB分別與拋物線C相切于點A,B.(1)若直線l與橢圓E相交于D，N兩點，且DN的中點為Q(|（1,，求直線l的方程；(2)設直線MA，MB的斜率分別為k1，k2，證明：k1.k2為定值.32023秋·全國·高二期中）已知拋物線C:y2=2px經(jīng)過點(2,一2)，直線l1:yA，B兩點（異于坐標原點O）.(1)若.=0，證明：直線l1過定點.(2)已知k=2，直線l2在直線l1的右側，l1//l2，l1與l2之間的距離d=，l2交C于M，N兩點，試問是否存在m，使得=10？若存在，求m的值；若不存在，說明理由.42023春·福建福州·高二校聯(lián)考期末）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為4．已知雙曲線Γ的焦點分別為A，D，兩條漸近線分別為直線BE，CF.(1)建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，求Γ的方程?2)過點A的直線l與Γ交于P，Q兩點，=(λ子一1)，若點M滿足=λ,證明：點M在一條定直線上.52023·全國·高二專題練習）已知拋物線E:y2=2px(p>0)，過點(-1,0)的兩條直線l1、l2分別交E于A、B兩點和C、D兩點．當l1的斜率為時，AB=2.(1)求E的標準方程；(2)設G為直線AD與BC的交點，證明：點G在定直線上.⑤拋物線綜合問題12023·四川宜賓·宜賓市敘州區(qū)第一中學校?？寄M預測）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，準線為l，過點F且斜率大于0的直線交拋物線C于A，B兩點，過線段AB的中點M且與x軸平行的直線依次交直線OA，OB，l于點P，Q，N.(1)判斷線段PM與NQ長度的大小關系，并證明你的結論；(2)若線段NP上的任意一點均在以點Q為圓心、線段QO長為半徑的圓內或圓上，求直線AB斜率的取值范22023·全國·高三專題練習）已知拋物線C1：x2=y，圓C2：x2+（y﹣4）2=1的圓心為點M（1）求點M到拋物線C1的準線的距離；（2）已知點P是拋物線C1上一點（異于原點），過點P作圓C2的兩條切線，交拋物線C1于A，B兩點，若過M，P兩點的直線l垂直于AB，求直線l的方程.32023秋·江西·高三校聯(lián)考階段練習）已知拋物線E：y2=2px(p>2)的焦點為F，圓F以點F為圓心，半徑為1.若過點F且傾斜角為的直線與拋物線E及圓F自上而下依次交于A，B，C，D四點，則AB=9CD.(1)求拋物線E的方程；(2)設O為坐標原點，點T為拋物線E上一點，過點T作圓F的兩條切線，分別交拋物線E于P，Q兩點，直線PQ分別交x軸正半軸、y軸正半軸于M，N兩點，求ΔMON面積的最小值.42023秋·上海普陀·高三曹楊二中校考階段練習）已知拋物線Γ:y2=2x,A、B、M、N為拋物線Γ上四點，點T在y軸左側，滿足=2,=2.(1)求拋物線Γ的準線方程和焦點坐標；(2)設線段AB的中點為D.證明：直線TD與y軸垂直；(3)設圓C:(x+2)2+y2=3，若點T為圓C上動點，設△TAB的面積為S，求S的最大值.52023秋·福建漳州·高三校考階段練習）如圖，已知動圓M過定點F(1,0)且與y軸相切，點F關于圓心M的對稱點為F,，點F,的軌跡為H.(1)求曲線H的方程；(2)一條直線AB經(jīng)過點F，且交曲線H于A、B兩點，點C為直線x=一1上的動點.①求證：經(jīng)ACB不可能是鈍角；②是否存在這樣的點C，使得ΔABC是正三角形？若存在，求點C的坐標；否則，說明理由.①拋物線焦點弦（弦長）問題 1②拋物線中點弦問題 7③拋物線中參數(shù)范圍與最值問題 12④拋物線中定點、定值、定直線問題 20⑤拋物線綜合問題 28①拋物線焦點弦（弦長）問題12023春·黑龍江哈爾濱·高二哈師大附中校考階段練習）已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，斜率為的直線l與C交于A,B兩點，與x軸交點為P.(1)若AF+BF=20，求l的方程；1 x2【答案】1 x2 12【詳解】（1）由題意，直線l的方程設為y=(xt)，聯(lián)立直線與拋物線方程y2=4x，可得x22tx16x+t2=0，1 x2所以直線l的方程為：y=(x1)．1 x2 1.2（2）直線l的方程設為y=(xt)，令y=0，可得x=t，所以P(t,0)，2t,y2)，y1)2t,y2)，y1)，y2=(x2t)，x22，22023秋·湖南邵陽·高三湖南省邵東市第三中學?？茧A段練習）已知拋物線y2=2px(p>0)的準線方程是1x=一.2(1)求拋物線的方程；(2)設直線y=k(x一2)(k子0)與拋物線相交于M，N兩點，若MN=2，求實數(shù)k的值.【答案】(1)y2=2x【詳解】（1）因為拋物線y2=2px(p>0)的準線方程為x=一，所以p1,解得p=1，所以拋物線的方程為y2=2x.（2）如圖， (x12)2 (x12)24x1x2xxMN設M(x1,y1)，N(x2,y2).將y=k(x一2)代入y2=2x，消去y整理得k2x2一2(2k2+1)x+4k2=0.222.=40k4，解得k2=1，32023·全國·高二專題練習）已知拋物線E：x2=2py(p>0)的焦點為為5，O為坐標原點，(1)求拋物線E的方程；(2)拋物線上有一條長為6的動弦長為6的動弦AB，當AB的中點到拋物線的準線距離最短時，求弦AB所在直線方程.【答案】(1)x2=4y 22 22222HF=5+，過H做HF=5+，過H做HM」y軸于M，F(xiàn)MFM=5p-p5 2FMFH-p5 2FMFH2∴所以拋物線E的方程為x2=4y.（2）根據(jù)題意直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為y=kx+b，設A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB中點D(x0,y0)，22-4kx-4b=0，2k+1-k22∵AB的中點到準線的距離等于y0+=y0+1，∴當y0最小時，AB的中點到準線的距離最短.k2k+1所以直線AB的方程為y=x+1或y=-x+1.42023·全國·高二隨堂練習）設F為拋物線C:y2=3x的焦點，過F且傾斜角為30。的直線交C于A，B兩點，求AB及ΔOAB的面積.【答案】12，【詳解】由題意知拋物線C:y2=3x的焦點坐標為F(,0)，故過F且傾斜角為30。的直線方程為y=(x-)=x-，2直線AB的方程為y=x-，即4x-12y-3=0，則原點O到4x-12y-3=0的距離為d==，52023春·上海松江·高二上海市松江二中?？计谥校┮阎獟佄锞€C:y2=4x,F是它的焦點.(1)過焦點F且斜率為1的直線與拋物線C交于A,B兩點，求線段AB的長；(2)M為拋物線C上的動點，點P(2,1)，求MP+MF的最小值.【答案】(1)AB=8【詳解】（1）由題意知F(1,0)，直線AB的方程為：y=x-1，（2）設點M在準線x=-1上的射影為N，根據(jù)拋物線的定義可知MF=MN.所以MP+MF=MP+MN，要使MP+MF最小，只需要MP+MN最小即可.由P(2,1)在拋物線內，故當M,N,P三點共線時，此時MP+MN最小，故最小值為PN=xP-(-1)=3.62023秋·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線C的頂點為原點，對稱軸為x軸，且經(jīng)過M(1,2).(1)求C的方程；(2)若直線l過C的焦點，且與C交于A，B兩點，|AB|=8，求l的方程.【答案】(1)y2=4x【詳解】（1）設C的方程為y2=2px(p>0)，因為C經(jīng)過M(1,2)，所以22=2p根1，即p=2，所以C的方程為y2=4x.（2）由（1）知拋物線C的焦點為F(1,0)，準線方程為x=-1.①當直線l的斜率不存在時，l的方程為x=1，此時|AB|=4（舍）.②當直線l的斜率存在且不為0時，設直線l的方程為y=k(x-1)，A(x1,y1),B(x2,y2)，將y=k(x-1)代入y2=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0， k2 k2所以直線l的方程為x-y-1=0或x+y-1=0②拋物線中點弦問題12023秋·陜西商洛·高二?？计谀┲本€l：y=2x-p與拋物線M：y2=2px(p>0)交于A，B兩點，(1)求拋物線M的方程；(2)若直線l,與M交于C，D兩點，且弦CD的中點的縱坐標為-3，求l,的斜率.【答案】(1)證明見解析(2)-【詳解】（1）因為M的焦點為,0，且直線l：y=2x-p經(jīng)過點,0，所以l經(jīng)過M的焦點.ly=2x-p2解得p=2．所以M的方程為y2=4x.ly4=4x4兩式相減，得(y3-y4)(y3+y4)=4(x3-x4).22023·全國·高二專題練習）已知直線l與拋物線C:y2=8x相交于A、B兩點.(1)若直線l過點Q(4,1)，且傾斜角為45。，求AB的值；(2)若直線l過點Q(4,1)，且弦AB恰被Q平分，求AB所在直線的方程.【答案】(1)8(2)4x-y-15=0【詳解】（1）因直線l的傾斜角為45。，所以直線l的斜率k=tan45。=1，又因直線l過點Q(4,1)，所以直線l的方程為：y-1=x-4，即y=x-3，聯(lián)立y2=8x得x2-14x+9=0，設A(xA,yA)，B(xB,yB)，2-4（2）因A、B在拋物線C:y2=8x上，所以y=8xA，y=8xB，兩式相減得：y-y=8xA-8xB，故直線l的斜率為4，所以直線l的方程為：y-1=4(x-4)，即4x-y-15=032023秋·高二課時練習）已知直線l與拋物線y2=8x交于A，B兩點，且線段AB恰好被點P(2,2)平分.(1)求直線l的方程；(2)拋物線上是否存在點C和D，使得C，D關于直線l對稱?若存在，求出直線CD的方程；若不存在，請說明理由.【答案】(1)2x-y-2=0；(2)不存在，理由見解析.2m,y1),B(x2,y2)，則有y1+y2=8m，（2）假設拋物線上存在點C，D滿足條件，由（1）設直線CD的方程為y=一x+n，2設C(x3,y3),D(x4,y4)，則y3+y4=一16，于是線段CD的中點坐標為(2n+16,一8)，所以拋物線上不存在點C，D，使得C，D關于直線l對稱.42023·四川成都·三模）已知斜率為的直線l與拋物線C:y2=4x相交于P，Q兩點.(1)求線段PQ中點縱坐標的值；(2)已知點T(,0)，直線TP，TQ分別與拋物線相交于M，N兩點（異于P，Q）．則在y軸上是否存在一定點S，使得直線MN恒過該點？若存在，求出點S的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】(1)【詳解】（1）設P(x1,y1)，Q(x2,y2)，其中x1產x2.ly2,得yy=4x14x2．化簡得4y1+y24y1+y2y1+y223:線段PQ中點縱坐標的值為.（2）設y軸上存在定點S(0,s)，由題意，直線MN斜率存在且不為0，設直線MN:y=kx+s，P,y1，Q,y2，M,y3，N,y4.2s，消去x，得ky2-4y+4s=0.:Δ=16-16ks>0，:ks<1.：P，T，M三點共線， y3-0y1-0= 4-4-yy．解得y1= 4-4-同理，可得y2y4=-4.:==-3．解得s=-3.:直線MN恒過定點(0,-3).52023·全國·高二專題練習）已知斜率為的直線l與拋物線C:y2=4x相交于P,Q兩點.(1)求線段PQ中點縱坐標的值；(2)已知點T(,0)，直線TP,TQ分別與拋物線相交于M,N兩點（異于P,Q求證：直線MN恒過定點，并求出該定點的坐標.【答案】(1)23(2)證明見解析，定點的坐標為(0,-3)【詳解】（1）設P(x1,y1),Q(x2,y2)，其中x1豐x2，ly2,得y-y=4x1-4x2，化簡得4y1+y2:=4y1+y2y1+y223:線段PQ中點縱坐標的值為；（2）證明：設P,y1,Q,y2,M,y3,N,y4，:kPM==，:直線PM的方程為y-y1=x-，化簡可得(y1+y3)y-4x-y1y3=0，：T(,0)在直線PM上，解得y1y3=-4，同理，可得y2y4=-4，:kPQ=44-43-43 +y3y4y1+y2:y3y4=-3(y3+y4)， y3y4-(y3+y4),又直線MN的方程為(y3+y4)y-4x-y3y4=0，即(y3+y4)(y+3)-4x=0，:直線MN恒過定點(0,-3).62023·全國·高二專題練習）在平面直角坐標系xOy中，F(xiàn)是拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點，M(x0,y0)是拋物線C上一點，|MF|=5，且tan經(jīng)OFM=.(1)求拋物線C的方程；(2)若直線l與拋物線C交于A，B兩點，且線段AB的中點坐標為(6,8)，求直線l的方程.【答案】(1)y2=16x【詳解】（1）因為M(x0,y0)是拋物線C上一點，|MF|=5，且tan經(jīng)OFM=4,3|p-|p-x03|y0=2px0||2|故拋物線C的方程為y2=16x.y1-y2x-x因為線段AB的中點坐標為(6,8)，所以y1-y2x-x故直線l的方程為y=x+2.=1,③拋物線中參數(shù)范圍與最值問題 1212023秋·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習）已知動圓過點F,0，且與直線x+ 12動圓圓心的軌跡為曲線C；過點F的直線與曲線C交于A，B兩點，曲線C在A，B兩點處的切線交于點E.(1)證明：EF」AB；(2)設AF=λFB，當λe,時，求‘ABE的面積S的最小值.【答案】(1)證明見解析(2)2732y1-y2y1-y2【詳解】（1） 12由題意得，圓心到點F的距離和直線 12由拋物線的定義知，曲線C的軌跡為拋物線，由焦點F,0和準線方程x+=0，可得方程為y2=2x，設l的方程為x=my+，代入y2=2x，得y2-2my-1=0，切線AE方程為：y1y=x+③,切線BE方程為：y2y=x+(y2)(y2)y2y-y2yy.y1(y2)(y2)y2y-y2yy.y1當m=0時，顯然有EF」AB， m-0 m，所以EF」AB，所以EF」AB.（2）由題意得：=λ,得y1=-λy2，結合①、②得,-λ2=-1，從而m2=，ABAB22EF2，EF2,ΔABE2.ΔABE2.設y=m2=λ+-2，y,=m2=1-，當λE,時，y,<0，所以y在區(qū)間,上為減函數(shù)， 所以，當λ=時，m2取得最小值，從而可得Smin=.22023·全國·高一隨堂練習）已知F為拋物線C:y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，求AB+DE的最小值.【答案】16【詳解】由題意知拋物線C:y2=4x的焦點為F(1,0)，焦準距p=2，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，則l1，l2的斜率都存在且不為0，442-1)，則k2x2-(2k22 k2 k222當且僅當k2=，即k=士1時等號成立，故AB+DE的最小值為16.32023秋·浙江杭州·高二浙江大學附屬中學校考期末）已知拋物線C的頂點在原點，焦點在直線l:x-2y-2=0上.(1)求拋物線C的標準方程；(2)過點M(a,0)的直線m與焦點在x軸上的拋物線C交于A，B兩點，若原點O在以線段AB為直徑的圓外，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)x2=-4y或y2=8x【詳解】（1）當x=0時，y=-1，此時焦點為(0,-1)，即此時拋物線焦點在y軸，開口向下，頂點在原點，則拋物線方程為x2=-4y；當y=0時，x=2，此時焦點為(2,0)，即此時拋物線焦點在x軸，開口向右，頂點在原點，則拋物線方程為（2）設過點M(a,0)直線m的方程為x=my+a，設直線m與拋物線的交點分別為A(x1,y1),B(x2,y2)聯(lián)立方程〈消去x得y2-8my-則以線段AB為直徑的圓的方程為(x-4m2-a)2+(y-4m)2=(2)242023秋·廣東茂名·高三統(tǒng)考階段練習）已知拋物線E：x2=2py（p>0）上的一點M(|（xM,到準線(1)求拋物線E的方程；(2)若正方形ABCD的三個頂點A、B、C在拋物線E上，求這種正方形面積的最小值.【答案】(1)x2=y(2)2【詳解】（1）拋物線E的準線方程為y=-，由拋物線上點M(|（xM,到準線的距離為1，結合拋物線的定義得+=1，：拋物線E的方程為x2=y.（2）方法一：如圖設三個頂點有兩個在y軸的右側（包括y軸），設在拋物線y=x2上的三個點A，B，C點的坐標分別為(x1,x)，(x2,x)，(x3,x)，x1<0<x2<x3，BC的斜率為k（k>0）.則有223x2)2xxx2)2x22(x1222,222x2k222x32化簡得k3k1k31，x22(k22(k22>4k2，當且僅當k=1時等號成立，222，2k22方法二：BC的斜率為k（k>0B點的坐標為(x0,x)，則0又AB=BC，∴.k2x0∴k2x0=0，即2x02(k2 S=(sinθ)2(sinθ+cosθ)2=sin2θ.cos2θ.(sinθ+cosθ)2，θ則sinθ.cosθ=t21，2.t222，22單調遞增，2252023秋·廣東佛山·高三校聯(lián)考階段練習）已知拋物線E:y2=2px(p>0)，P(4,y0)為E上位于第一象限的一點，點P到E的準線的距離為5.(1)求E的標準方程；(2)設O為坐標原點，F(xiàn)為E的焦點，A，B為E上異于P的兩點，且直線PA與PB斜率乘積為一4.（i）證明：直線AB過定點；（ii）求FA.FB的最小值.【答案】(1)y2=4x(2)證明見解析；【詳解】（1）由題可知4+=5，解得p=2.所以E的標準方程為y2=4x；（2i）由（1）知，y=4x4，且y0>0，解得y0=4，所以P(4,4).整理得4x一(y1+y2)y+y1y2=0.所以直線AB過定點(5,一4)；當直線AB的斜率不存在時y1+y2=0，可得y=20,x1=5.綜上，直線AB過定點(5,一4).（ii）設A(x1,y1),B(x2,y2)，當直線AB斜率存在時，x2所以2x2++k210k2k2當直線AB斜率不存在時，x1=x2=5.故|FA|.|FB|的最小值為.62023·湖南長沙·長沙一中?？家荒＃佄锞€C:x2=2py(p>0)的焦點為F，準線為l，點A在拋物線C上.已知以F為圓心，F(xiàn)A(FA>p)為半徑的圓F交l于P,Q兩點，若經(jīng)PFQ=90。,ΔAPQ的面積為.(1)求p的值；(2)過點A的直線m交拋物線C于點B（異于點A交x軸于點M，過點B作直線m的垂線交拋物線C于點D，若點A的橫坐標為正實數(shù)t，直線DM和拋物線C相切于點D，求正實數(shù)t的取值范圍.【答案】(1)p=1【詳解】（1）設準線l與y軸交于S,因為經(jīng)PFQ=90。,由對稱性可知:FS=PS=QS=p,設A到準線l的距離為d,則d=FA=FQ=p，S(t2)(x2)(x2)，2)1-t,2)又x12得x2=--x1①,kAB+t)，所以直線m的方程為y-=x1+t)(x-t)， xt令y=0，得xM=x1t②,由直線DM與拋物線C相切于點D,則切線方程為y-=x2(x-x2)由切線過點M,令y=0，得x2=2xM③,「4)「4)④拋物線中定點、定值、定直線問題12023秋·江西上饒·高二江西省廣豐中學校考階段練習）已知拋物線T的頂點在原點，對稱軸為坐標軸，(1)求拋物線T的方程：和C(x3,y3)，D(x4,y4)四個點，試判斷x1x2x3x4是否是定值?若是定值，求出定值，若不是定值，請說明理由.【答案】(1)x2=4y(2)是定值16.【詳解】（1）拋物線T的頂點在原點，對稱軸為坐標軸，且過(-2,1)，(|（1,，(-2,-2)，(3,-2)四點中的兩點，由對稱性，點(-2,1)和點(-2,-2)不可能同時在拋物線T上，點(-2,-2)和點(3,-2)也不可能同時在拋物線T則拋物線只可能開口向上或開口向右，設T:x2=2py(p>0)，若過點(-2,1)，則4=2p，得p=2，2=4y符合題意；∴y2=x，但拋物線不過點(3,-2)，不合題意.綜上，拋物線T的方程為x2=4y.（2）P(m,-1)，設直線AB:y=k1(x-m)-1，即k1x-y-k1m-1=0，PFPF所以x1x2x3x4為定值16.22023秋·江西上饒·高二江西省廣豐中學?？茧A段練習）已知橢圓E：+=1(a>b>0)的離心率為+2，E的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P是橢圓上任意一點，滿足PF1+2y2y2焦點F與橢圓E的右焦點F2重合，點M是拋物線C的準線上任意一點，直線MA，MB分別與拋物線C相切于點A,B.(1)若直線l與橢圓E相交于D，N兩點，且DN的中點為Q(|（1,，求直線l的方程；(2)設直線MA，MB的斜率分別為k1，k2，證明：k1.k2為定值.(2)證明見解析由直線l與橢圓E相交于D，N兩點，設D(x1,y1)，x-x2x-xy1-y2,當x1=x2時，y1=y2，D，N兩點重合，不合題意；當x12時，直線l的斜率k==，（2）由（1）知F2(1,0)，則拋物線C的焦點為F(1,0)，所以p=2，拋物線C的標準方程為y2=4x，準線方程為x=一1，由于點M是拋物線C的準線上任意一點，故可設M(一1,t)，由直線MA，MB分別與拋物線C相切于點A,B可知，直線MA，MB的斜率存在且都不為0，若過點M(一1,t)的直線與拋物線相切，由題意知，直線MA，MB的斜率即該關于k的二次方程的兩根，即為k1、k2，故k1.k2為定值，且定值為一1.32023秋·全國·高二期中）已知拋物線C:y2=2px經(jīng)過點(A，B兩點（異于坐標原點O）.(1)若.=0，證明：直線l1過定點.(2)已知k=2，直線l2在直線l1的右側，l1//l2，l1與l2之間的距離d=，l2交C于M，N兩點，試問是否存在m，使得|MN|一|AB|=10？若存在，求m的值；若不存在，說明理由.【答案】(1)證明見解析【詳解】（1）證明：將點(2,一2)代入y2=2px，得24=4p，即p=6.，B(x2,y2)，則y1y2k,x yy(y1y2)2m22.所以l1的方程為y=k(x一12)，故直線l1過定點(12,0).222.96m，因為直線l2在l1的右側，所以n<m，則d==，即n=m-5.因為<，所以滿足條件的m存在，m=.42023春·福建福州·高二校聯(lián)考期末）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為4．已知雙曲線Γ的焦點分別為A，D，兩條漸近線分別為直線BE，CF.(1)建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，求Γ的方程?2)過點A的直線l與Γ交于P，Q兩點，=(λ豐-1)，若點M滿足=λ,證明：點M在一條定直線上.【答案】(1)-=1(2)見解析【詳解】（1）如圖，連接AD,CF,BE交于點O，以點O為坐標原點，OD方向為x軸正方向，建立平面直角坐標系，:EH=OEcos30o=2，:E(2,2)，:BE直線方程：y=x，:=，則b=aa2+b2=c2，則a2+3a2=16，解（2）由題意，直線l的斜率存在，則其方程可設為y=k(x+4)，3k242=λ，:=λ,=λ,設M(x0,y0)，=(x0x1,y0y1)，=(x2x0,y2y0)，20004k23+4k2x0k23x0+x0k2=0，解得x0=1，由A=λA，P=λM，則A,P,Q,M在同一直線上，即y0=k(x0+2)=k，故M在直線x=一1上.52023·全國·高二專題練習）已知拋物線E:y2=2px(p>0)，過點(一1,0)的兩條直線l1、l2分別交E于A、B兩點和C、D兩點．當l1的斜率為時，AB=2.(1)求E的標準方程；(2)設G為直線AD與BC的交點，證明：點G在定直線上.【答案】(1)y2=2x(2)證明見解析【詳解】（1）解：當直線l1的斜率為時，直線l1的方程為y=x+1)，設點A(x1,y1)、B(x2,y2)，22 2Δ=4(1-4p)2-4=4(16p2-8p)>0，因為p>0，可得p 2由韋達定理可得x1+x2=8p-2，x1x2=1，整理可得2p2-p-1=0，解得p=1或p=-（舍去），因此，拋物線E的方程為y2=2x.（2）證明：當直線l1與x軸重合時，直線l1與拋物線E只有一個交點，不合乎題意，所以，直線l1不與x軸重合，同理可知直線l2也不與x軸重合，ly=2x設直線AB的方程為x=my-1，聯(lián)立〈2ly=2x2-4>0可得m2>1，設點A,y1、B,y2，由韋達定理可得y1y2=2，(y2)(y2)設直線CD的方程為x=ny-1，設點C,y3)|、D,y4)|，同理可得y3y4=2，2y1+y4直線AD的方程為y-y1=2y1+y4化簡可得2x-(y1+y4)y+y1y4=0，同理可知，直線BC的方程為2x-(y2+y3)y+y2y3y1y4x+y1+y4,因為點(-1,0)在拋物線的對稱軸上，由拋物線的對稱性可知，交點G必在垂直于x軸的直線上，所以只需證明點G的橫坐標為定值即可，因為直線AD與BC相交，則y1+y4產y2+y3，1yy3y4所以，點G的橫坐標為1，因此，直線AD與BC的交點G必在定直線x=1上.⑤拋物線綜合問題12023·四川宜賓·宜賓市敘州區(qū)第一中學校校考模擬預測）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，準線為l，過點F且斜率大于0的直線交拋物線C于A，B兩點，過線段AB的中點M且與x軸平行的直線依次交直線OA，OB，l于點P，Q，N.(1)判斷線段PM與NQ長度的大小關系，并證明你的結論；(2)若線段NP上的任意一點均在以點Q為圓心、線段QO長為半徑的圓內或圓上，求直線AB斜率的取值范【答案】(1)PM=QN，證明見解析2}(y)(y)2)(y)(y)由于A，F(xiàn)，4 xy14 xy1B三點共線，則=，整理得y1y2=-4，則P,，同理可得Q,則PM=y-y-4y1+y2QN，即證.8y-488>>PQQN（2）若線段NP上的任意一點均在以點Q>>PQQN22222222，化簡得y1=2，又因為y1y2=-4444y122023·全國·高三專題練習）已知拋物線C1：x2=y，圓C2：x2+（y﹣4）2=1的圓心為點M（1）求點M到拋物線C1的準線的距離；（2）已知點P是拋物線C1上一點（異于原點），過點P作圓C2的兩條切線，交拋物線C1于A，B兩點，若過M，P兩點的直線l垂直于AB，求直線l的方程.【答案】（【詳解】（1）由于拋物線C1：x2=y準線方程為：y=﹣,圓C2：x2+（y﹣4）2=1的圓心M（0，4利用點到直線的距離公式可以得到距離d==.（2）設點P（x0，x02A（x1，x12B（x2，x22由題意得：x0≠0，x2≠±1，x1≠x2，設過點P的圓c2的切線方程為：y﹣x02=k（x﹣x0）即y=kx﹣kx0+x02①則，即（x02﹣1）k2+2x0（4﹣x02）k+（x02﹣4）2﹣1=0設PA，PB的斜率為k1，k2（k1≠k2），則k1，k2應該為上述方程的兩個根，①代入y=x2得：x2﹣kx+kx0﹣x02=0因為x0應為此方程的根，故x1=k1﹣x0，x2=k2﹣x0∴kAB=x1+x2=k1+k2﹣2x0=由于MP⊥AB，∴kAB?KMP=﹣1?32023秋·江西·高三校聯(lián)考階段練習）已知拋物線E：y2=2px(p>2)的焦點為F，圓F以點F為圓心，半徑為1.若過點F且傾斜角為的直線與拋物線E及圓F自上而下依次交于A，B，C，D四點，則AB=9CD.(1)求拋物線E的方程；(2)設O為坐標原點，點T為拋物線E上一點，過點T作圓F的兩條切線，分別交拋物線E于P，Q兩點，直線PQ分別交x軸正半軸、y軸正半軸于M，N兩點，求ΔMON面積的最小值.【答案】(1)y2=4x【詳解】（1）由題意可知直線AB的方程為x=y+，設點A(x1,y1)，D(x2,y2)，聯(lián)立〈=p+，消去x得y2-y-p2=0，