2023-2024學(xué)年福建廈門松柏中學(xué)高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2023-2024學(xué)年福建廈門松柏中學(xué)高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則其共軛復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．函數(shù)在上單調(diào)遞減B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．函數(shù)的對稱中心是D．函數(shù)的對稱軸是3．已知是虛數(shù)單位，則（）A． B． C． D．4．已知a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，且，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知向量，，則向量與的夾角為（）A． B． C． D．6．已知，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有最值，給出下列四個(gè)結(jié)論：①在上單調(diào)遞增；②③在上沒有零點(diǎn)；④在上只有一個(gè)零點(diǎn).其中所有正確結(jié)論的編號是（）A．②④ B．①③ C．②③ D．①②④7．如果，那么下列不等式成立的是（）A． B．C． D．8．已知實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的取值范圍是（）A． B． C． D．9．偶函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，當(dāng)時(shí)，，求（）A． B． C． D．10．在空間直角坐標(biāo)系中，四面體各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為：．假設(shè)螞蟻窩在點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，需要在，上分別任意選擇一點(diǎn)留下信息，然后再返回點(diǎn)．那么完成這個(gè)工作所需要走的最短路徑長度是（）A． B． C． D．11．設(shè)，，，則，，三數(shù)的大小關(guān)系是A． B．C． D．12．復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則等于（）A．3 B．C．2 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，，若滿足，且方向相同，則__________．14．已知點(diǎn)是拋物線上動(dòng)點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最小值為______________．15．若滿足約束條件，則的最小值是_________，最大值是_________.16．集合，，若是平面上正八邊形的頂點(diǎn)所構(gòu)成的集合，則下列說法正確的為________①的值可以為2；②的值可以為；③的值可以為；三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，且，，，，是棱的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，離心率是，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)軸時(shí)，.（1）求橢圓的方程；（2）延長分別交橢圓于點(diǎn)（不重合）.設(shè)，求的最小值.19．（12分）在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線經(jīng)過點(diǎn)且傾斜角為.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程和直線的參數(shù)方程；（2）已知直線與曲線交于，滿足為的中點(diǎn)，求.20．（12分）已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程及曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)，直線與曲線交于兩點(diǎn)，求的值.21．（12分）某保險(xiǎn)公司給年齡在歲的民眾提供某種疾病的一年期醫(yī)療保險(xiǎn)，現(xiàn)從名參保人員中隨機(jī)抽取名作為樣本進(jìn)行分析，按年齡段分成了五組，其頻率分布直方圖如下圖所示；參保年齡與每人每年應(yīng)交納的保費(fèi)如下表所示.據(jù)統(tǒng)計(jì)，該公司每年為這一萬名參保人員支出的各種費(fèi)用為一百萬元.年齡（單位：歲）保費(fèi)（單位：元）（1）用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，為使公司不虧本，求精確到整數(shù)時(shí)的最小值；（2）經(jīng)調(diào)查，年齡在之間的老人每人中有人患該項(xiàng)疾病(以此頻率作為概率).該病的治療費(fèi)為元，如果參保，保險(xiǎn)公司補(bǔ)貼治療費(fèi)元.某老人年齡歲，若購買該項(xiàng)保險(xiǎn)(取中的).針對此疾病所支付的費(fèi)用為元；若沒有購買該項(xiàng)保險(xiǎn)，針對此疾病所支付的費(fèi)用為元.試比較和的期望值大小，并判斷該老人購買此項(xiàng)保險(xiǎn)是否劃算？22．（10分）已知函數(shù)，，若存在實(shí)數(shù)使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

由已知等式求出z，再由共軛復(fù)數(shù)的概念求得，即可得虛部.【詳解】由zi＝1﹣i，∴z＝，所以共軛復(fù)數(shù)=-1+，虛部為1故選D．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題．2、B【解析】

根據(jù)圖象求得函數(shù)的解析式，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性與對稱性逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由圖象可得，函數(shù)的周期，所以.將點(diǎn)代入中，得，解得，由，可得，所以.令，得，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故A正確；令，得，故函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；令，得，故函數(shù)的對稱中心是，故C正確；令，得，故函數(shù)的對稱軸是，故D正確.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查由圖象求余弦型函數(shù)的解析式，同時(shí)也考查了余弦型函數(shù)的單調(diào)性與對稱性的判斷，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.3、B【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則，直接計(jì)算，即可得出結(jié)果.【詳解】.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的乘法，熟記運(yùn)算法則即可，屬于基礎(chǔ)題型.4、C【解析】

根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理和判定定理判斷與的關(guān)系即可得到答案.【詳解】若，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，可得；若，根據(jù)線面平行的判定定理，可得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面平行的性質(zhì)定理和判定定理，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

求出，進(jìn)而可求,即能求出向量夾角.【詳解】解：由題意知，.則所以，則向量與的夾角為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了數(shù)量積的坐標(biāo)表示.求向量夾角時(shí)，通常代入公式進(jìn)行計(jì)算.6、A【解析】

先根據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有最值求出或.再根據(jù)已知求出，判斷函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)情況得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)沒有最值.所以，或解得或.又，所以.令.可得.且在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，，且，所以在上只有一個(gè)零點(diǎn).所以正確結(jié)論的編號②④故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.7、D【解析】

利用函數(shù)的單調(diào)性、不等式的基本性質(zhì)即可得出.【詳解】∵，∴，，，.故選：D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

畫出可行域，根據(jù)可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離，求得的取值范圍.【詳解】由約束條件作出可行域是由，，三點(diǎn)所圍成的三角形及其內(nèi)部，如圖中陰影部分，而可理解為可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，顯然原點(diǎn)到所在的直線的距離是可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值，此時(shí)，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值，此時(shí).所以的取值范圍是.故選：B【點(diǎn)睛】本小題考查線性規(guī)劃，兩點(diǎn)間距離公式等基礎(chǔ)知識；考查運(yùn)算求解能力，數(shù)形結(jié)合思想，應(yīng)用意識.9、D【解析】

推導(dǎo)出函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，由此可得出，代值計(jì)算即可.【詳解】由于偶函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則，，，則，所以，函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，由于當(dāng)時(shí)，，則.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的對稱性和奇偶性求函數(shù)值，推導(dǎo)出函數(shù)的周期性是解答的關(guān)鍵，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.10、C【解析】

將四面體沿著劈開，展開后最短路徑就是的邊，在中，利用余弦定理即可求解.【詳解】將四面體沿著劈開，展開后如下圖所示：最短路徑就是的邊．易求得，由，知，由余弦定理知其中，∴故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理解三角形，需熟記定理的內(nèi)容，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題.11、C【解析】

利用對數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)以及正弦函數(shù)的性質(zhì)和計(jì)算公式，將a，b，c與，比較即可.【詳解】由，，，所以有.選C.【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)值，指數(shù)值和正弦值大小的比較，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)選擇合適的中間值比較是關(guān)鍵，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.12、D【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，從而求得，然后直接利用復(fù)數(shù)模的公式求解.【詳解】，所以，，故選：D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)復(fù)數(shù)的問題，涉及到的知識點(diǎn)有復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題目.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由向量平行坐標(biāo)表示計(jì)算．注意驗(yàn)證兩向量方向是否相同．【詳解】∵，∴，解得或，時(shí)，滿足題意，時(shí)，，方向相反，不合題意，舍去．∴．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算，解題時(shí)要注意驗(yàn)證方向相同這個(gè)條件，否則會出錯(cuò)．14、【解析】

過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線，為垂足，則由拋物線的定義可得，則，為銳角.故當(dāng)和拋物線相切時(shí)，的值最小.再利用直線的斜率公式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得的最小值.【詳解】解：由題意可得，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線，為垂足，則由拋物線的定義可得，則，為銳角.故當(dāng)最小時(shí)，的值最小.設(shè)切點(diǎn)，由的導(dǎo)數(shù)為，則的斜率為，求得，可得，，，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義，性質(zhì)的簡單應(yīng)用，直線的斜率公式，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.15、06【解析】

作不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，即可求出結(jié)果．【詳解】作出可行域，如圖中的陰影部分：求的最值，即求直線在軸上的截距最小和最大時(shí)，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，軸上截距最大，即z取最小值，．當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，軸上截距最小，即z取最大值，.故答案為：0；6.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線性規(guī)劃中的最值問題，利用數(shù)形結(jié)合是解決問題的基本方法，屬于中檔題．16、②③【解析】

根據(jù)對稱性，只需研究第一象限的情況，計(jì)算：，得到，，得到答案.【詳解】如圖所示：根據(jù)對稱性，只需研究第一象限的情況，集合：，故，即或，集合：，是平面上正八邊形的頂點(diǎn)所構(gòu)成的集合，故所在的直線的傾斜角為，，故：，解得，此時(shí)，，此時(shí).故答案為：②③.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)集合的交集求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力，利用對稱性是解題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）詳見解析；（2）.【解析】

（1）根據(jù)平面，四邊形是矩形，由為中點(diǎn)，且，利用平面幾何知識，可得，又平面，所以，根據(jù)線面垂直的判定定理可有平面，從而得證.（2）分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，得到，，，，分別求得平和平面的法向量，代入二面角向量公式求解.【詳解】（1）證明：∵平面，∴四邊形是矩形，∵為中點(diǎn)，且，∴，∵，，，∴.∴，∵，∴與相似，∴，∴，∴，∵，∴平面，∴平面，∵平面，∴，∴平面，∴.（2）如圖，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，，解得：，同理，平面的法向量，設(shè)二面角的大小為，則.即二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查線線垂直、線面垂直的轉(zhuǎn)化以及二面角的求法，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和推理論證、運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.18、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)題意直接計(jì)算得到，，得到橢圓方程.（2）不妨設(shè)，且，設(shè)，代入數(shù)據(jù)化簡得到，故，得到答案.【詳解】（1），所以，，化簡得，所以，，所以方程為；（2）由題意得，不在軸上，不妨設(shè)，且，設(shè)，所以由，得，所以，由，得，代入，化簡得：，由于，所以，同理可得，所以，所以當(dāng)時(shí)，最小為【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程，橢圓中的向量運(yùn)算和最值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.19、（1），；（2）.【解析】

（1）由曲線的參數(shù)方程消去參數(shù)可得曲線的普通方程，由此可求曲線的極坐標(biāo)方程；直接利用直線的傾斜角以及經(jīng)過的點(diǎn)求出直線的參數(shù)方程即可；（2）將直線的參數(shù)方程，代入曲線的普通方程，整理得，利用韋達(dá)定理，根據(jù)為的中點(diǎn)，解出即可.【詳解】（1）由（為參數(shù)）消去參數(shù)，可得，即，已知曲線的普通方程為，，，，即，曲線的極坐標(biāo)方程為，直線經(jīng)過點(diǎn)，且傾斜角為，直線的參數(shù)方程：（為參數(shù)，）.（2）設(shè)對應(yīng)的參數(shù)分別為，.將直線的參數(shù)方程代入并整理，得，，.又為的中點(diǎn)，，，，，即，，，，即，.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程之間的互化以及直線參數(shù)方程的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題.20、（1）；（2）【解析】

（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系的應(yīng)用，把參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換.（2）利用（1）的結(jié)論，進(jìn)一步利用一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系式的應(yīng)用求出結(jié)果.【詳解】解：（1）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為.曲線的極坐標(biāo)方程為.轉(zhuǎn)換為，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為.（2）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)式為（為參數(shù)），代入圓的直角坐標(biāo)方程整理得，所以，..【點(diǎn)睛】本題屬于基礎(chǔ)本題考查的知識要點(diǎn)：主要考查極坐標(biāo)，參數(shù)方程與普通方程互化，及求三角形面積．需要熟記極坐標(biāo)系與參數(shù)方程的公式，及與解析幾何相關(guān)的直線與曲線位置關(guān)系的一些解題思路．21、（1）30；（2），比較劃算.【解析】

（1）由頻率和為1求出，根據(jù)的值求出保費(fèi)的平均值，然后解一元一次不等式即可求出結(jié)果，最后取近似值即可；（2）分別計(jì)算參保與不參保時(shí)的期望，，比較大小即可.【詳解】解:（1）由，解得.保險(xiǎn)公司每年收取的保費(fèi)為:∴要使公司