第25講 幾何圖形為背景的特殊四邊形（解析版）

【技巧點(diǎn)撥】一、平行四邊形的定義、性質(zhì)與判定1．定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形．2．性質(zhì)：(1)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等；(2)平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)；(3)平行四邊形的對(duì)角線互相平分；(4)平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)角線的交點(diǎn)是它的對(duì)稱中心．3．判定：(1)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；(2)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；(3)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；(4)兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；(5)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．二、幾種特殊四邊形性質(zhì)、判定四邊形性質(zhì)判定邊角對(duì)角線矩形對(duì)邊平行且相等四個(gè)角是直角相等且互相平分①有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②四條邊都相等的四邊形是菱形；③對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.中心、軸對(duì)稱圖形菱形四條邊相等對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)垂直且互相平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角①有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；③對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形中心對(duì)稱圖形正方形四條邊相等四個(gè)角是直角相等、垂直、平分，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角1、鄰邊相等的矩形是正方形2、對(duì)角線垂直的矩形是正方形3、有一個(gè)角是直角的菱形是正方形4、對(duì)角線相等的菱形是正方形中心、軸對(duì)稱等腰梯形兩底平行，兩腰相等同一底上的兩個(gè)角相等相等1、兩腰相等的梯形是等腰梯形；2、在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形；3、對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形.軸對(duì)稱圖形【備注】：1.根據(jù)后面兩個(gè)圖讓學(xué)生回顧平行四邊形的性質(zhì)和判定，為后面的例題講解做好準(zhǔn)備；2.部分地方引導(dǎo)學(xué)生填空，讓學(xué)生自己回顧。時(shí)間大概5分鐘。【備注】：1.以下每題教法建議，請(qǐng)老師根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況參考；2.在講解時(shí)：不宜采用灌輸?shù)姆椒?，?yīng)采用啟發(fā)、誘導(dǎo)的策略，并在讀題時(shí)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)一些題目中的條件（相等的量、不變的量、隱藏的量等等），使學(xué)生在復(fù)雜的背景下自己發(fā)現(xiàn)、領(lǐng)悟題目的意思；3.可以根據(jù)各題的“教法指導(dǎo)”引導(dǎo)學(xué)生逐步解題，并采用講練結(jié)合；注意邊講解邊讓學(xué)生計(jì)算，加強(qiáng)師生之間的互動(dòng)性，讓學(xué)生參與到例題的分析中來；4.例題講解，可以根據(jù)“參考教法”中的問題引導(dǎo)學(xué)生分析題目，邊講邊讓學(xué)生書寫，每個(gè)問題后面有答案提示；5.引導(dǎo)的技巧：直接提醒，問題式引導(dǎo)，類比式引導(dǎo)等等；6.部分例題可以先讓學(xué)生自己試一試，之后再結(jié)合學(xué)生做的情況講評(píng)；7.每個(gè)題目的講解時(shí)間根據(jù)實(shí)際情況處理，建議每題7分鐘，選講例題在時(shí)間足夠的情況下講解?！局锌继魬?zhàn)滿分模擬練】1．（2023嘉定區(qū)一模）在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，點(diǎn)E是邊AD上一點(diǎn)，EM⊥EC交AB于點(diǎn)M，點(diǎn)N在射線MB上，且∠ANE＝∠DCE．（1）如圖，求證：AE是AM和AN的比例中項(xiàng)；（2）當(dāng)點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，聯(lián)結(jié)AC，且AC與NE互相垂直，求MN的長(zhǎng)．【分析】（1）利用矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可；（2）利用△EDC∽△CAD，得出比例式求得線段DE，AE，利用△AME∽△DEC求得線段AM，利用（1）的結(jié)論求得線段AN，則MN＝AN﹣AM．【解答】（1）證明：∵EM⊥EC，∴∠AEM+∠DEC＝90°．∵四邊形ABCD為矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠DEC+∠ECD＝90°，∴∠AEM＝∠DCE，∵∠ANE＝∠DCE，∴∠ANE＝∠AEM．∵∠A＝∠A，∴△ANE∽△AEM，∴．∴AE2＝AM?AN，∴AE是AM和AN的比例中項(xiàng)；（2）解：如圖，AC＝＝＝5．∵AC與NE互相垂直，∴∠AFE＝90°，∴∠ANE+∠NAF＝90°．∵∠NAF+∠CAD＝90°，∴∠ANE＝∠DAC．∵∠ANE＝∠DCE，∴∠DAC＝∠DCE，∵∠D＝∠D，∴△EDC∽△CAD，∴，∴，∴DE＝，∴AE＝AD﹣DE＝．∵EM⊥EC，∴∠AEM+∠DEC＝90°．∵四邊形ABCD為矩形，∴∠MAE＝∠D＝90°，∴∠DEC+∠ECD＝90°，∴∠AEM＝∠DCE，∴△AME∽△DEC，∴，∴，∴AM＝．由（1）知：AE2＝AM?AN，∴AN＝，∴MN＝AN﹣AM＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023青浦區(qū)一模）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝CD，O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BO并延長(zhǎng)交邊CD于點(diǎn)E．（1）①求證：△DAC∽△OBC；②若BE⊥CD，求的值：（2）若DE＝2，OE＝3，求CD的長(zhǎng)．【分析】（1）①由等腰三角形的性質(zhì)得出∠DAC＝∠DCA，由平行線的性質(zhì)得出∠DAC＝∠ACB，由直角三角形的性質(zhì)得出∠OBC＝∠OCB，根據(jù)相似三角形的判定定理可得出結(jié)論；②得出∠OCE＝∠OCB＝∠EBC＝30°．過點(diǎn)D作DH⊥BC于點(diǎn)H，設(shè)AD＝CD＝2m，則BH＝AD＝2m，則可得出答案；（2）①如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在AD上時(shí)，證明四邊形ABCE是矩形．設(shè)AD＝CD＝x，由勾股定理得出方程，解方程即可得出答案；②如圖4，當(dāng)點(diǎn)E在CD上時(shí)，設(shè)AD＝CD＝x，則CE＝x﹣2，設(shè)OB＝OC＝m，由相似三角形的性質(zhì)得出，證明△EOC∽△ECB，得出比例線段，可得出方程，解方程可得出答案．【解答】（1）①證明：如圖1，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB．∵BO是Rt△ABC斜邊AC上的中線，∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠DAC＝∠DCA＝∠ACB＝∠OBC，∴△DAC∽△OBC；②解：如圖2，若BE⊥CD，在Rt△BCE中，∠OCE＝∠OCB＝∠EBC，∴∠OCE＝∠OCB＝∠EBC＝30°．過點(diǎn)D作DH⊥BC于點(diǎn)H，設(shè)AD＝CD＝2m，則BH＝AD＝2m，在Rt△DCH中，DC＝2m，∴CH＝m，∴BC＝BH+CH＝3m，∴；（2）設(shè)AD＝CD＝x，則CE＝x﹣2，設(shè)OB＝OC＝m，∵OE＝3，∴EB＝m+3，∵△DAC∽△OBC，∴，∴，∴．∵∠EBC＝∠OCE，∠BEC＝∠OEC，∴△EOC∽△ECB，∴，∴，∴，∴m＝，將m＝代入，整理得，x2﹣6x﹣10＝0，解得x＝3+，或x＝3﹣（舍去）．∴CD＝3+．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似形綜合題，掌握等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023青浦區(qū)一模）如圖1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝2，AB＝4，BC＝5，M在邊CD上，連接BM，BM⊥DC．（1）求CD的長(zhǎng)；（2）如圖2，作∠EMF＝90°，ME交AB于點(diǎn)E，MF交BC于點(diǎn)F，若AE＝x，BF＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；（3）若△MCF是等腰三角形，求AE的值．【分析】（1）過點(diǎn)D作DP⊥BC于點(diǎn)E，證明四邊形ABPD為矩形，則BP＝AD＝2，DP＝AB＝4，再根據(jù)勾股定理定理即可求出CD；（2）連接BD，先用等面積法求出BM＝4，再證明Rt△ABD≌Rt△MBD（HL），從而得出AD＝DM＝2，最后證明△MBE∽△MCF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；（3）根據(jù)△MBE∽△MCF可得△MBE為等腰三角形，根據(jù)題意進(jìn)行分類討論，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)E在AB延長(zhǎng)線上時(shí)．【解答】解：（1）過點(diǎn)D作DP⊥BC于點(diǎn)P，∵AD∥BC，∠A＝90°，∴∠ABC＝90°，∵DP⊥BC，∴∠DPB＝90°，∴四邊形ABPD為矩形，∴BP＝AD＝2，DP＝AB＝4，∵BC＝5，∴CP＝BC﹣BP＝5﹣2＝3，在Rt△CDE中，根據(jù)勾股定理得：．（2）解：連接BD，∵BM⊥DC，DP⊥BC，∴S△BCD＝，即5×4＝5BM，解得：BM＝4，在Rt△ABD和Rt△MBD中，，∴Rt△ABD≌Rt△MBD（HL），∴AD＝DM＝2，∴CM＝CD﹣DM＝3，∵BM⊥DC，∴∠CMF+∠BMF＝90°，∠C+∠CBM＝90°，∵∠EMF＝90°，∠ABC＝90°，∴∠BME+∠BMF＝90°，∠EBM+∠CBM＝90°∴∠BME＝∠CMF，∠EBM＝∠C，∴△MBE∽△MCF，∴，∴，整理得：．（3）①當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，由（2）可得△MBE∽△MCF，∵△MCF為等腰三角形，∴△MBE為等腰三角形，當(dāng)BM＝BE＝4時(shí)，AE＝0；當(dāng)BM＝ME＝4時(shí)，過點(diǎn)M作MQ⊥AB于點(diǎn)Q，由（1）可得：，∴，∵BM＝4，∴BQ＝BM?cos∠MBE＝4×，∵BM＝ME，MQ⊥AB，∴，不符合題意，舍去；當(dāng)BE＝ME時(shí)，過點(diǎn)E作EH⊥BM于點(diǎn)H，∵BE＝ME，EH⊥BM，∴，∵，∴，∴，②當(dāng)點(diǎn)E在AB延長(zhǎng)線上時(shí)，∵∠ABC＝90°，∠ABM＜∠ABC，∴∠MBE＞90°，∴當(dāng)點(diǎn)E在AB延長(zhǎng)線上時(shí)，∠MBE只能為等腰三角形△MBE的頂角，∴BM＝BE＝4，∴AE＝AB+BE＝8．綜上：AE＝0或或8．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了四邊形和三角形的綜合應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握各個(gè)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，根據(jù)題意正確作出輔助線，構(gòu)造直角三角形那個(gè)和全等三角形求解．4．（2023徐匯區(qū)一模）已知：在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC＝5，AB＝2.5，sinD＝，點(diǎn)E是AD邊上一點(diǎn)，DE＝3，點(diǎn)P是CD邊上的一動(dòng)點(diǎn)，連接EP，作∠EPF，使得∠EPF＝∠D，射線PF與AB邊交于點(diǎn)F，與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，設(shè)DP＝x，BG＝y(tǒng)．（1）求CD的長(zhǎng)；（2）試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（3）連接EF，如果△EFP是等腰三角形，試求DP的長(zhǎng)．【分析】（1）作等腰梯形ABCD的高AM、BN，得矩形AMNB，△ADM≌△BCN，則DC＝DM+MN+NC＝AB+2AD?cosD＝8.5；（2）先由三角形內(nèi)角和定理得出∠DEP＝∠GPC，由等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等得出∠D＝∠C，則△DEP∽△CPG，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（3）分三種情況：①PE＝PF；②PE＝EF；③PF＝EF．【解答】解：（1）如圖，作等腰梯形ABCD的高AM、DN，得矩形AMNB，△ADM≌△BCN，所以CD＝DM+MN+NC＝AB+2AD?cosD＝2.5+2×5×＝8.5；（2）如圖．∵∠EPD+∠EPF+∠GPC＝∠EPD+∠D+∠DEP＝180°，∠EPF＝∠D，∴∠DEP＝∠GPC，∵ABCD是等腰梯形，∴∠D＝∠C，∴△DEP∽△CPG，∴DE：CP＝DP：CG，∴3：（8.5﹣x）＝x：（y+5）；y＝﹣x2+x﹣5（＜x＜6）；（3）分三種情況：①如果PE＝PF，如圖，過F作BC平行線交底邊于H，則∠FHP＝∠C＝∠D．∵在△PED與△FPH中，，∴△PED≌△FPH（AAS），∴ED＝PH＝3，DP＝FH＝BC＝5；②如果PE＝EF，如圖，過F作BC平行線交底邊于H，則∠FHP＝∠C＝∠D．在△PED與△FPH中，，∴△PED∽△FPH，∴PE：PF＝PD：FH，又∵PE＝EF，過E點(diǎn)做△EFP的高ET，則FP：PE＝2PT：PE＝2cos∠EPF＝2cos∠D＝，∵FH＝BC＝5，∴＝，解得x＝；即PD＝；③如果PF＝EF，同理可得△PED∽△FPH，∴PE：PF＝PD：FH，∵PE＝EF，過F點(diǎn)做△EFP的高FT，則PE：PF＝2PT：PF＝2cos∠EPF＝2cosD＝，∵FH＝BC＝5，∴＝，解得x＝6，∵2.5＜x＜6；∴x＝6（舍去），綜上所述：PD＝5或時(shí)，△EFP是等腰三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，第（3）問進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．5．（2023黃浦區(qū)一模）已知，如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAC＝∠ADC＝90°，CD＝4，cos∠ACD＝．（1）當(dāng)BC∥AD時(shí)（如圖2），求AB的長(zhǎng)；（2）聯(lián)結(jié)BD，交邊AC于點(diǎn)E，①設(shè)CE＝x，AB＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并寫出定義域；②當(dāng)△BDC是等腰三角形時(shí)，求AB的長(zhǎng)．【分析】（1）由銳角三角函數(shù)定義得AC＝5，再由勾股定理得AD＝3，然后證△ABC∽△DCA，即可解決問題；（2）①過D作DN⊥AC于點(diǎn)N，由三角形面積得DN＝，再由勾股定理得CN＝，然后證△BAE∽△DNE，即可解決問題；②分兩種情況，a、當(dāng)BC＝BD時(shí)，過B作BQ⊥CD于點(diǎn)Q，過A作AP⊥BQ于點(diǎn)P，則CQ＝DQ＝CD＝2，四邊形APQD是矩形，再證△APB∽△ADC，即可求解；b、當(dāng)BD＝CD＝4時(shí)，過B作BM⊥直線AD于點(diǎn)M，證△BMA∽△ADC，得＝，設(shè)BM＝3k，則AM＝4k，然后由勾股定理得出方程，解方程，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵∠ADC＝90°，∴cos∠ACD＝＝，∴AC＝CD＝×4＝5，∴AD＝＝＝3，∵BC∥AD，∴∠ACB＝∠DAC，∵∠BAC＝∠ADC＝90°，∴△ABC∽△DCA，∴＝，即＝，∴AB＝，即AB的長(zhǎng)為；（2）①如圖1，過D作DN⊥AC于點(diǎn)N，則∠DNE＝∠DNC＝90°，∵∠ADC＝90°，∴S△ACD＝AC?DN＝AD?CD，∴DN＝＝＝，∴CN＝＝＝，∴AN＝AC﹣CN＝5﹣＝，∵CE＝x，∴AE＝AC﹣CE＝5﹣x，EN＝CE﹣CN＝x﹣，∵AE＞0，EN＞0，∴＜x＜5，∵∠BAE＝∠DNE＝90°，∠AEB＝∠NED，∴△BAE∽△DNE，∴＝，即＝，∴y＝＝，即y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝（＜x＜5）；②∵∠BAC＝90°，∴BC＞AC，∵AC＝5，CD＝4，∴BC＞CD，分兩種情況：a、當(dāng)BC＝BD時(shí)，如圖3，過B作BQ⊥CD于點(diǎn)Q，過A作AP⊥BQ于點(diǎn)P，則CQ＝DQ＝CD＝2，四邊形APQD是矩形，∴AP＝DQ＝2，∠PAD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠PAD＝∠BAC，∴∠BAP＝∠CAD，∵∠APB＝∠ADC＝90°，∴△APB∽△ADC，∴＝，即＝，解得：AB＝；b、當(dāng)BD＝CD＝4時(shí)，如圖4，過B作BM⊥直線AD于點(diǎn)M，則∠BMA＝∠BAC＝∠ADC＝90°，∴∠ABM+∠BAM＝∠CAD+∠BAM＝90°，∴∠ABM＝∠CAD，∴△BMA∽△ADC，∴＝＝，設(shè)BM＝3k，則AM＝4k，∴DM＝AD+AM＝3+4k，在Rt△BDM中，由勾股定理得：BD2＝BM2+DM2，即42＝（3k）2+（3+4k）2，整理得：25k2+24k﹣7＝0，解得：k1＝，k2＝（不符合題意舍去），∴AB＝＝＝5k＝；綜上所述，當(dāng)△BDC是等腰三角形時(shí)，AB的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的判定與性質(zhì)、梯形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)定義以及分類討論等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．6．（2023徐匯區(qū)一模）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC⊥BC，AD＝9，AC＝12，BC＝16，點(diǎn)E是邊BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠EAF＝∠BAC，AF交CD于點(diǎn)F、交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，設(shè)BE＝x．（1）使用x的代數(shù)式表示FC；（2）設(shè)＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（3）當(dāng)△AEG是等腰三角形時(shí)，直接寫出BE的長(zhǎng)．【分析】（1）易證△ABC∽△DCA，則有∠B＝∠ACD，由∠EAF＝∠BAC可得∠BAE＝∠CAF，從而得到△ABE∽△ACF，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；（2））由△ABE∽△ACF可得＝，根據(jù)∠EAF＝∠BAC可得△AEF∽△ABC，從而得到EF＝AF．易證△CFG∽△DFA，從而得到＝，問題得以解決；（3）易證△ADF∽△GAE，因而當(dāng)△GAE是等腰三角形時(shí)，△ADF也是等腰三角形，然后只需分三種情況（①AF＝DF，②AD＝DF，③AF＝AD，）討論，就可解決問題．【解答】解：（1）如圖1，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB＝90°．∵AD＝9，AC＝12，BC＝16，∴AB＝20，DC＝15．∵＝＝，∠DAC＝∠ACB，∴△ABC∽△DCA，∴∠B＝∠ACD．∵∠EAF＝∠BAC，∴∠BAE＝∠CAF，∴△ABE∽△ACF，∴＝，∴＝，∴CF＝x；（2）∵△ABE∽△ACF，∴＝，又∵∠EAF＝∠BAC，∴△AEF∽△ABC，∴＝＝＝，∴EF＝AF．∵AD∥CG，∴△CFG∽△DFA，∴＝，∴y＝＝＝?＝?，整理得：y＝（0＜x≤16）；（3）當(dāng)△AEG是等腰三角形時(shí)，BE的長(zhǎng)為、10或7．解題過程如下：∵△ABC∽△DCA，∴∠BAC＝∠D，∴∠EAF＝∠BAC＝∠D．∵AD∥BC，∴∠G＝∠FAD，∴△ADF∽△GAE，∴當(dāng)△GAE是等腰三角形時(shí)，△ADF也是等腰三角形．①當(dāng)AF＝DF時(shí)，則有∠FAD＝∠D，∵∠FAD+∠CAF＝90°，∠D+∠ACD＝90°，∴∠CAF＝∠ACD，∴FA＝FC，∴CF＝DF＝，∴x＝，∴x＝；②當(dāng)AD＝DF＝9時(shí)，CF＝CD﹣DF＝6，∴x＝6，∴x＝10；③當(dāng)AF＝AD＝9時(shí)，作AH⊥DF于H，如圖2，則有DH＝FH．∵S△CAD＝AC?AD＝CD?AH，∴AH＝＝，∴FH＝DH＝＝，∴x＝15﹣2×，∴x＝7．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，在解決問題的過程中用到了面積法、分類討論的思想，有一定的難度，證到△ABE∽△ACF是解決第（1）小題的關(guān)鍵，證到△AEF∽△ABC，從而得到EF＝AF是解決第（2）小題的關(guān)鍵，證到△ADF∽△GAE，從而把△GAE是等腰三角形轉(zhuǎn)化為△ADF是等腰三角形是解決第（2）小題的關(guān)鍵．7.（2022青浦一模25題）在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝，AD＝2，DC＝，tan∠ABC＝2（如圖）．點(diǎn)E是射線AD上一點(diǎn)，點(diǎn)F是邊BC上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BE、EF，且∠BEF＝∠DCB．（1）求線段BC的長(zhǎng)；（2）當(dāng)FB＝FE時(shí)，求線段BF的長(zhǎng)；（3）當(dāng)點(diǎn)E在線段AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)DE＝x，BF＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍．【解答】解：（1）如圖1，過點(diǎn)A、D分別作AH⊥BC、DG⊥BC，垂足分別為點(diǎn)H、點(diǎn)G．∴AH∥DG，∵AD∥BC，∴四邊形AHGD是矩形，∴AD＝HG＝2，AH＝DG，在Rt△ABH中，tan∠ABC＝2，AB＝，∴＝2，∴AH＝2BH，∵AH2+BH2＝AB2，∴（2BH）2+BH2＝（）2，∴BH＝1，∴AH＝2，∴DG＝2，在Rt△DGC中，DC＝，∴CG＝＝＝4，∴BC＝BH+HG+GC＝1+2+4＝7；（2）如圖1，過點(diǎn)E作EM⊥BC，垂足為點(diǎn)M，∴AH∥EM，∵AD∥BC，∴四邊形AHME是矩形，∴EM＝AH＝2，在Rt△DGC中，DG＝2，CG＝4，∴tan∠DCB＝＝，∵FB＝FE，∴∠FEB＝∠FBE．∵∠FEB＝∠DCB，∴∠FBE＝∠DCB，∴tan∠FBE＝．∴＝，∴BM＝4，在Rt△EFM中，F(xiàn)M2+EM2＝FE2，∴（4﹣FB）2+22＝FB2，∴BF＝；（3）如圖2，過點(diǎn)E作EN∥DC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N．∵DE∥CN，∴四邊形DCNE是平行四邊形，∴DE＝CN，∠DCB＝∠ENB，∵∠FEB＝∠DCB，∴∠FEB＝∠ENB，又∵∠EBF＝∠NBE，∴△BEF∽△BNE，∴＝，∴BE2＝BF?BN，過點(diǎn)E作EQ⊥BC，垂足為點(diǎn)Q，則四邊形DGQE是矩形，∴EQ＝DG＝2，∴BQ＝x+3．∴BE2＝QE2+BQ2＝（x+3）2+22＝x2+6x+13，∴y（7+x）＝x2+6x+13．∴．8.（2022崇明一模25題）已知：如圖，正方形的邊長(zhǎng)為1，在射線AB上取一點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)DE，將ADE繞點(diǎn)D針旋轉(zhuǎn)90°，E點(diǎn)落在點(diǎn)F處，聯(lián)結(jié)EF，與對(duì)角線BD所在的直線交于點(diǎn)M，與射線DC交于點(diǎn)N．求證：（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上，如果，，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；（3）聯(lián)結(jié)AM，直線AM與直線BC交于點(diǎn)G，當(dāng)時(shí)，求AE的值．【小問1詳解】解：過點(diǎn)E作EH⊥BD與H，∵正方形的邊長(zhǎng)為1，，∴EB=1-，∵BD為正方形對(duì)角線，∴BD平分∠ABC，∴∠ABD=45°，∵EH⊥BD，∴∠BEH=180°-∠EBH-∠EHB=180°-45°-90°=45°，∴EH=BH，∴EH=BH=BEsin45=，AB=BDcos45°，∴，∴DH=DB-BH=，；【小問2詳解】解：如上圖，∵AE=x，∴BE=1-x，∵將△ADE繞點(diǎn)D針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCF，∴CF=AE=x，ED=FD=,∴BF=BC+CF=1+x，在Rt△EBF中EF=，∵∠EDF=90°，ED=FD，∴△DEF為等腰直角三角形，∴∠DFE=∠DEF=45°，∴∠EBM=∠MFD=45°，∵∠EMB=∠DMF，∴△BEM∽△FDM，∴，即，∵∠DEM=∠FBM=45°，∠EMD=∠BMF，∴△EMD∽△BMF，∴，即，∴，∴，∴即，∴，0≤x≤1；【小問3詳解】解：當(dāng)點(diǎn)GBC上，，∵四邊形ABCD為正方形，∴AD∥BG，∴∠DAM=∠BGM，∠ADM=∠GBM，∴△BGM∽△DAM，∴，∵由（2）知△BEM∽△FDM，∴，∵DB=，∴，∴，∴，∵，∴即，解，舍去；當(dāng)點(diǎn)G在CB延長(zhǎng)線上，，過M作ML⊥BC，交直線BC于L，∵GB∥AD，∴∴∠DAM=∠BGM，∠ADM=∠GBM，∴△BGM∽△DAM，∴，∴，∴，∵∠LBM=∠CBD=45°，ML⊥BC，∴△MLB為等腰直角三角形，∵M(jìn)L∥CD，∴∠LMB=∠CDB，∠L=∠DCB，∴△MLB∽△DCB，∴，CD=1，∴ML=∵M(jìn)L∥BE，∴∠L=∠FBE，∠LMF=∠BEF，∴△LMF∽△BEF，∴，∵BE=AE-AB=x-1，LF=LB+BC+CF=，BF=BC+CF=1+x，∴，整理得：，解得，舍去，∴AE的值為或．9.（2022寶山一模25）如圖，已知正方形ABCD，將AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到AP的位置，分別過點(diǎn)作，垂足分別為點(diǎn)、．（1）求證：；（2）聯(lián)結(jié)，如果，求的正切值；（3）聯(lián)結(jié)，如果，求的值．【小問1詳解】：如圖所示，作CG⊥CE，交FD延長(zhǎng)線于G點(diǎn)，∵CE⊥BP，DF⊥BP，CG⊥CE，∴∠EFG=∠FEC=∠ECG=∠BEC=90°，∴四邊形FECG為矩形，∠G=90°，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BCD=90°，BC=DC，∵∠BCD=∠BCE+∠ECD，∠ECG=∠ECD+∠DCG，∴∠BCE+∠ECD=∠ECD+∠DCG，即：∠BCE=∠DCG，在△BCE和△DCG中，∴△BCE≌△DCG(AAS)，∴CE=CG，∴四邊形FECG為正方形，∴CE=EF；

【小問2詳解】解：如圖所示，連接CF，由（1）知，CE=EF，CE⊥EF，則△CEF為等腰直角三角形，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠PAD=n°，AP=AD，∴∠PAB=90°+n°，∠APD=（180°-∠PAD）=90°-n°，∵AP=AB，∴∠APB=（180°-∠PAB）=45°-n°，∴∠FPD=∠APD-∠APB=45°，∵DF⊥AB，∴∠DFP=90°，∴△DFP也為等腰直角三角形，PF=DF，∴△DFP∽△CEF，∵，∴，設(shè)PF=DF=x，則FE=CE=3x，由（1）知四邊形CEFG為正方形，∴FG=FE=3x，∴DG=FG-DF=2x，∵△BCE≌△DCG，∴BE=DG=2x，∴在Rt△BEC中，，∵∠ABP+∠EBC=90°，∠EBC+∠BCE=90°，∴∠ABP=∠BCE，∴；【小問3詳解】解：∵，∴如圖所示，連接AF和對(duì)角線AC，由（2）可知，∠EFC=45°，∠EFD=90°，∴∠CFD=45°，∵AC為正方形ABCD的對(duì)角線，∴∠CAD=45°，AC=AB，∴∠CAD=∠CFD，∴點(diǎn)A、C、D、F四點(diǎn)共圓，∴∠AFC=∠ADC=90°，∵AF=AB，∴AF=AC，則在Rt△AFC中，，∵∠ACF為銳角，∴∠ACF=30°，∠FAC=90°-30°=60°，∵∠CAD=45°，∴∠FAD=60°-45°=15°，∵AP=AD，AF=AF，PF=DF，∴△AFP≌△AFD，∴∠FAD=∠FAP=15°，∴∠PAD=30°，∴n=30．10.（2022嘉定一模25題）在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與邊CD垂直，，四邊形ABCD的周長(zhǎng)是16，點(diǎn)E是在AD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，點(diǎn)F是在射線AB上的一點(diǎn)，∠CED＝∠CDF．（1）如圖1，如果點(diǎn)F與點(diǎn)B重合，求∠AFD的余切值；（2）如圖2，點(diǎn)F在邊AB上的一點(diǎn)．設(shè)AE＝x，BF＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并寫出它的定義域；（3）如果BF：FA＝1：2，求△CDE的面積．【解答】解：（1）如果點(diǎn)F與點(diǎn)B重合，設(shè)DF與AC交于點(diǎn)M，∵AC⊥CD，∴∠DCA＝90°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD∥AB，∴∠CAB＝∠DCA＝90°，在Rt△CAB中，設(shè)AB＝3k，∵，∴AC＝4k，∴BC＝＝5k，∵四邊形ABCD的周長(zhǎng)是16，∴2（AB+BC）＝16，即2（3k+5k）＝16，∴k＝1，∴AB＝3，BC＝5，AC＝4，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AM＝CM＝AC＝2，∴cot∠AFD＝；（2）解：∵CD∥AB，∴∠EDC＝∠FAD，∠CDF＝∠AFD，∵∠CED＝∠CDF，∴∠CED＝∠AFD，∴△CDE∽△DAF，∴，由題意，得AD＝BC＝5，DE＝x﹣5，DC＝AB＝3，AF＝3﹣y，∴，∴y＝﹣，定義域是：5＜x≤．（3）解：點(diǎn)F在射線AB上都能得到：△CDE∽△DAF，∴，①當(dāng)點(diǎn)F在邊AB上，∵BF：FA＝1：2，AB＝3，∴AF＝2，由題