第25講 幾何圖形為背景的特殊四邊形（解析版）

【技巧點撥】一、平行四邊形的定義、性質(zhì)與判定1．定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．2．性質(zhì)：(1)平行四邊形的對邊平行且相等；(2)平行四邊形的對角相等，鄰角互補；(3)平行四邊形的對角線互相平分；(4)平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點是它的對稱中心．3．判定：(1)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；(2)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；(3)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；(4)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；(5)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．二、幾種特殊四邊形性質(zhì)、判定四邊形性質(zhì)判定邊角對角線矩形對邊平行且相等四個角是直角相等且互相平分①有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②四條邊都相等的四邊形是菱形；③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.中心、軸對稱圖形菱形四條邊相等對角相等，鄰角互補垂直且互相平分，每一條對角線平分一組對角①有一個角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個角是直角的四邊形是矩形；③對角線相等的平行四邊形是矩形中心對稱圖形正方形四條邊相等四個角是直角相等、垂直、平分，并且每一條對角線平分一組對角1、鄰邊相等的矩形是正方形2、對角線垂直的矩形是正方形3、有一個角是直角的菱形是正方形4、對角線相等的菱形是正方形中心、軸對稱等腰梯形兩底平行，兩腰相等同一底上的兩個角相等相等1、兩腰相等的梯形是等腰梯形；2、在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形；3、對角線相等的梯形是等腰梯形.軸對稱圖形【備注】：1.根據(jù)后面兩個圖讓學生回顧平行四邊形的性質(zhì)和判定，為后面的例題講解做好準備；2.部分地方引導學生填空，讓學生自己回顧。時間大概5分鐘。【備注】：1.以下每題教法建議，請老師根據(jù)學生實際情況參考；2.在講解時：不宜采用灌輸?shù)姆椒?，應采用啟發(fā)、誘導的策略，并在讀題時引導學生發(fā)現(xiàn)一些題目中的條件（相等的量、不變的量、隱藏的量等等），使學生在復雜的背景下自己發(fā)現(xiàn)、領(lǐng)悟題目的意思；3.可以根據(jù)各題的“教法指導”引導學生逐步解題，并采用講練結(jié)合；注意邊講解邊讓學生計算，加強師生之間的互動性，讓學生參與到例題的分析中來；4.例題講解，可以根據(jù)“參考教法”中的問題引導學生分析題目，邊講邊讓學生書寫，每個問題后面有答案提示；5.引導的技巧：直接提醒，問題式引導，類比式引導等等；6.部分例題可以先讓學生自己試一試，之后再結(jié)合學生做的情況講評；7.每個題目的講解時間根據(jù)實際情況處理，建議每題7分鐘，選講例題在時間足夠的情況下講解?！局锌继魬?zhàn)滿分模擬練】1．（2023嘉定區(qū)一模）在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，點E是邊AD上一點，EM⊥EC交AB于點M，點N在射線MB上，且∠ANE＝∠DCE．（1）如圖，求證：AE是AM和AN的比例中項；（2）當點N在線段AB的延長線上時，聯(lián)結(jié)AC，且AC與NE互相垂直，求MN的長．【分析】（1）利用矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可；（2）利用△EDC∽△CAD，得出比例式求得線段DE，AE，利用△AME∽△DEC求得線段AM，利用（1）的結(jié)論求得線段AN，則MN＝AN﹣AM．【解答】（1）證明：∵EM⊥EC，∴∠AEM+∠DEC＝90°．∵四邊形ABCD為矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠DEC+∠ECD＝90°，∴∠AEM＝∠DCE，∵∠ANE＝∠DCE，∴∠ANE＝∠AEM．∵∠A＝∠A，∴△ANE∽△AEM，∴．∴AE2＝AM?AN，∴AE是AM和AN的比例中項；（2）解：如圖，AC＝＝＝5．∵AC與NE互相垂直，∴∠AFE＝90°，∴∠ANE+∠NAF＝90°．∵∠NAF+∠CAD＝90°，∴∠ANE＝∠DAC．∵∠ANE＝∠DCE，∴∠DAC＝∠DCE，∵∠D＝∠D，∴△EDC∽△CAD，∴，∴，∴DE＝，∴AE＝AD﹣DE＝．∵EM⊥EC，∴∠AEM+∠DEC＝90°．∵四邊形ABCD為矩形，∴∠MAE＝∠D＝90°，∴∠DEC+∠ECD＝90°，∴∠AEM＝∠DCE，∴△AME∽△DEC，∴，∴，∴AM＝．由（1）知：AE2＝AM?AN，∴AN＝，∴MN＝AN﹣AM＝＝．【點評】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023青浦區(qū)一模）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝CD，O是對角線AC的中點，聯(lián)結(jié)BO并延長交邊CD于點E．（1）①求證：△DAC∽△OBC；②若BE⊥CD，求的值：（2）若DE＝2，OE＝3，求CD的長．【分析】（1）①由等腰三角形的性質(zhì)得出∠DAC＝∠DCA，由平行線的性質(zhì)得出∠DAC＝∠ACB，由直角三角形的性質(zhì)得出∠OBC＝∠OCB，根據(jù)相似三角形的判定定理可得出結(jié)論；②得出∠OCE＝∠OCB＝∠EBC＝30°．過點D作DH⊥BC于點H，設(shè)AD＝CD＝2m，則BH＝AD＝2m，則可得出答案；（2）①如圖3，當點E在AD上時，證明四邊形ABCE是矩形．設(shè)AD＝CD＝x，由勾股定理得出方程，解方程即可得出答案；②如圖4，當點E在CD上時，設(shè)AD＝CD＝x，則CE＝x﹣2，設(shè)OB＝OC＝m，由相似三角形的性質(zhì)得出，證明△EOC∽△ECB，得出比例線段，可得出方程，解方程可得出答案．【解答】（1）①證明：如圖1，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB．∵BO是Rt△ABC斜邊AC上的中線，∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠DAC＝∠DCA＝∠ACB＝∠OBC，∴△DAC∽△OBC；②解：如圖2，若BE⊥CD，在Rt△BCE中，∠OCE＝∠OCB＝∠EBC，∴∠OCE＝∠OCB＝∠EBC＝30°．過點D作DH⊥BC于點H，設(shè)AD＝CD＝2m，則BH＝AD＝2m，在Rt△DCH中，DC＝2m，∴CH＝m，∴BC＝BH+CH＝3m，∴；（2）設(shè)AD＝CD＝x，則CE＝x﹣2，設(shè)OB＝OC＝m，∵OE＝3，∴EB＝m+3，∵△DAC∽△OBC，∴，∴，∴．∵∠EBC＝∠OCE，∠BEC＝∠OEC，∴△EOC∽△ECB，∴，∴，∴，∴m＝，將m＝代入，整理得，x2﹣6x﹣10＝0，解得x＝3+，或x＝3﹣（舍去）．∴CD＝3+．【點評】本題考查了相似形綜合題，掌握等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023青浦區(qū)一模）如圖1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝2，AB＝4，BC＝5，M在邊CD上，連接BM，BM⊥DC．（1）求CD的長；（2）如圖2，作∠EMF＝90°，ME交AB于點E，MF交BC于點F，若AE＝x，BF＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；（3）若△MCF是等腰三角形，求AE的值．【分析】（1）過點D作DP⊥BC于點E，證明四邊形ABPD為矩形，則BP＝AD＝2，DP＝AB＝4，再根據(jù)勾股定理定理即可求出CD；（2）連接BD，先用等面積法求出BM＝4，再證明Rt△ABD≌Rt△MBD（HL），從而得出AD＝DM＝2，最后證明△MBE∽△MCF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；（3）根據(jù)△MBE∽△MCF可得△MBE為等腰三角形，根據(jù)題意進行分類討論，當點E在線段AB上時，當點E在AB延長線上時．【解答】解：（1）過點D作DP⊥BC于點P，∵AD∥BC，∠A＝90°，∴∠ABC＝90°，∵DP⊥BC，∴∠DPB＝90°，∴四邊形ABPD為矩形，∴BP＝AD＝2，DP＝AB＝4，∵BC＝5，∴CP＝BC﹣BP＝5﹣2＝3，在Rt△CDE中，根據(jù)勾股定理得：．（2）解：連接BD，∵BM⊥DC，DP⊥BC，∴S△BCD＝，即5×4＝5BM，解得：BM＝4，在Rt△ABD和Rt△MBD中，，∴Rt△ABD≌Rt△MBD（HL），∴AD＝DM＝2，∴CM＝CD﹣DM＝3，∵BM⊥DC，∴∠CMF+∠BMF＝90°，∠C+∠CBM＝90°，∵∠EMF＝90°，∠ABC＝90°，∴∠BME+∠BMF＝90°，∠EBM+∠CBM＝90°∴∠BME＝∠CMF，∠EBM＝∠C，∴△MBE∽△MCF，∴，∴，整理得：．（3）①當點E在線段AB上時，由（2）可得△MBE∽△MCF，∵△MCF為等腰三角形，∴△MBE為等腰三角形，當BM＝BE＝4時，AE＝0；當BM＝ME＝4時，過點M作MQ⊥AB于點Q，由（1）可得：，∴，∵BM＝4，∴BQ＝BM?cos∠MBE＝4×，∵BM＝ME，MQ⊥AB，∴，不符合題意，舍去；當BE＝ME時，過點E作EH⊥BM于點H，∵BE＝ME，EH⊥BM，∴，∵，∴，∴，②當點E在AB延長線上時，∵∠ABC＝90°，∠ABM＜∠ABC，∴∠MBE＞90°，∴當點E在AB延長線上時，∠MBE只能為等腰三角形△MBE的頂角，∴BM＝BE＝4，∴AE＝AB+BE＝8．綜上：AE＝0或或8．【點評】本題主要考查了四邊形和三角形的綜合應用，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握各個相關(guān)知識點并靈活運用，根據(jù)題意正確作出輔助線，構(gòu)造直角三角形那個和全等三角形求解．4．（2023徐匯區(qū)一模）已知：在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC＝5，AB＝2.5，sinD＝，點E是AD邊上一點，DE＝3，點P是CD邊上的一動點，連接EP，作∠EPF，使得∠EPF＝∠D，射線PF與AB邊交于點F，與CB的延長線交于點G，設(shè)DP＝x，BG＝y(tǒng)．（1）求CD的長；（2）試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（3）連接EF，如果△EFP是等腰三角形，試求DP的長．【分析】（1）作等腰梯形ABCD的高AM、BN，得矩形AMNB，△ADM≌△BCN，則DC＝DM+MN+NC＝AB+2AD?cosD＝8.5；（2）先由三角形內(nèi)角和定理得出∠DEP＝∠GPC，由等腰梯形在同一底上的兩個角相等得出∠D＝∠C，則△DEP∽△CPG，根據(jù)相似三角形對應邊成比例得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（3）分三種情況：①PE＝PF；②PE＝EF；③PF＝EF．【解答】解：（1）如圖，作等腰梯形ABCD的高AM、DN，得矩形AMNB，△ADM≌△BCN，所以CD＝DM+MN+NC＝AB+2AD?cosD＝2.5+2×5×＝8.5；（2）如圖．∵∠EPD+∠EPF+∠GPC＝∠EPD+∠D+∠DEP＝180°，∠EPF＝∠D，∴∠DEP＝∠GPC，∵ABCD是等腰梯形，∴∠D＝∠C，∴△DEP∽△CPG，∴DE：CP＝DP：CG，∴3：（8.5﹣x）＝x：（y+5）；y＝﹣x2+x﹣5（＜x＜6）；（3）分三種情況：①如果PE＝PF，如圖，過F作BC平行線交底邊于H，則∠FHP＝∠C＝∠D．∵在△PED與△FPH中，，∴△PED≌△FPH（AAS），∴ED＝PH＝3，DP＝FH＝BC＝5；②如果PE＝EF，如圖，過F作BC平行線交底邊于H，則∠FHP＝∠C＝∠D．在△PED與△FPH中，，∴△PED∽△FPH，∴PE：PF＝PD：FH，又∵PE＝EF，過E點做△EFP的高ET，則FP：PE＝2PT：PE＝2cos∠EPF＝2cos∠D＝，∵FH＝BC＝5，∴＝，解得x＝；即PD＝；③如果PF＝EF，同理可得△PED∽△FPH，∴PE：PF＝PD：FH，∵PE＝EF，過F點做△EFP的高FT，則PE：PF＝2PT：PF＝2cos∠EPF＝2cosD＝，∵FH＝BC＝5，∴＝，解得x＝6，∵2.5＜x＜6；∴x＝6（舍去），綜上所述：PD＝5或時，△EFP是等腰三角形．【點評】本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，第（3）問進行分類討論是解題的關(guān)鍵．5．（2023黃浦區(qū)一模）已知，如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAC＝∠ADC＝90°，CD＝4，cos∠ACD＝．（1）當BC∥AD時（如圖2），求AB的長；（2）聯(lián)結(jié)BD，交邊AC于點E，①設(shè)CE＝x，AB＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并寫出定義域；②當△BDC是等腰三角形時，求AB的長．【分析】（1）由銳角三角函數(shù)定義得AC＝5，再由勾股定理得AD＝3，然后證△ABC∽△DCA，即可解決問題；（2）①過D作DN⊥AC于點N，由三角形面積得DN＝，再由勾股定理得CN＝，然后證△BAE∽△DNE，即可解決問題；②分兩種情況，a、當BC＝BD時，過B作BQ⊥CD于點Q，過A作AP⊥BQ于點P，則CQ＝DQ＝CD＝2，四邊形APQD是矩形，再證△APB∽△ADC，即可求解；b、當BD＝CD＝4時，過B作BM⊥直線AD于點M，證△BMA∽△ADC，得＝，設(shè)BM＝3k，則AM＝4k，然后由勾股定理得出方程，解方程，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵∠ADC＝90°，∴cos∠ACD＝＝，∴AC＝CD＝×4＝5，∴AD＝＝＝3，∵BC∥AD，∴∠ACB＝∠DAC，∵∠BAC＝∠ADC＝90°，∴△ABC∽△DCA，∴＝，即＝，∴AB＝，即AB的長為；（2）①如圖1，過D作DN⊥AC于點N，則∠DNE＝∠DNC＝90°，∵∠ADC＝90°，∴S△ACD＝AC?DN＝AD?CD，∴DN＝＝＝，∴CN＝＝＝，∴AN＝AC﹣CN＝5﹣＝，∵CE＝x，∴AE＝AC﹣CE＝5﹣x，EN＝CE﹣CN＝x﹣，∵AE＞0，EN＞0，∴＜x＜5，∵∠BAE＝∠DNE＝90°，∠AEB＝∠NED，∴△BAE∽△DNE，∴＝，即＝，∴y＝＝，即y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝（＜x＜5）；②∵∠BAC＝90°，∴BC＞AC，∵AC＝5，CD＝4，∴BC＞CD，分兩種情況：a、當BC＝BD時，如圖3，過B作BQ⊥CD于點Q，過A作AP⊥BQ于點P，則CQ＝DQ＝CD＝2，四邊形APQD是矩形，∴AP＝DQ＝2，∠PAD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠PAD＝∠BAC，∴∠BAP＝∠CAD，∵∠APB＝∠ADC＝90°，∴△APB∽△ADC，∴＝，即＝，解得：AB＝；b、當BD＝CD＝4時，如圖4，過B作BM⊥直線AD于點M，則∠BMA＝∠BAC＝∠ADC＝90°，∴∠ABM+∠BAM＝∠CAD+∠BAM＝90°，∴∠ABM＝∠CAD，∴△BMA∽△ADC，∴＝＝，設(shè)BM＝3k，則AM＝4k，∴DM＝AD+AM＝3+4k，在Rt△BDM中，由勾股定理得：BD2＝BM2+DM2，即42＝（3k）2+（3+4k）2，整理得：25k2+24k﹣7＝0，解得：k1＝，k2＝（不符合題意舍去），∴AB＝＝＝5k＝；綜上所述，當△BDC是等腰三角形時，AB的長為或．【點評】本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的判定與性質(zhì)、梯形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)定義以及分類討論等知識，本題綜合性強，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．6．（2023徐匯區(qū)一模）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC⊥BC，AD＝9，AC＝12，BC＝16，點E是邊BC上一個動點，∠EAF＝∠BAC，AF交CD于點F、交BC延長線于點G，設(shè)BE＝x．（1）使用x的代數(shù)式表示FC；（2）設(shè)＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（3）當△AEG是等腰三角形時，直接寫出BE的長．【分析】（1）易證△ABC∽△DCA，則有∠B＝∠ACD，由∠EAF＝∠BAC可得∠BAE＝∠CAF，從而得到△ABE∽△ACF，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；（2））由△ABE∽△ACF可得＝，根據(jù)∠EAF＝∠BAC可得△AEF∽△ABC，從而得到EF＝AF．易證△CFG∽△DFA，從而得到＝，問題得以解決；（3）易證△ADF∽△GAE，因而當△GAE是等腰三角形時，△ADF也是等腰三角形，然后只需分三種情況（①AF＝DF，②AD＝DF，③AF＝AD，）討論，就可解決問題．【解答】解：（1）如圖1，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB＝90°．∵AD＝9，AC＝12，BC＝16，∴AB＝20，DC＝15．∵＝＝，∠DAC＝∠ACB，∴△ABC∽△DCA，∴∠B＝∠ACD．∵∠EAF＝∠BAC，∴∠BAE＝∠CAF，∴△ABE∽△ACF，∴＝，∴＝，∴CF＝x；（2）∵△ABE∽△ACF，∴＝，又∵∠EAF＝∠BAC，∴△AEF∽△ABC，∴＝＝＝，∴EF＝AF．∵AD∥CG，∴△CFG∽△DFA，∴＝，∴y＝＝＝?＝?，整理得：y＝（0＜x≤16）；（3）當△AEG是等腰三角形時，BE的長為、10或7．解題過程如下：∵△ABC∽△DCA，∴∠BAC＝∠D，∴∠EAF＝∠BAC＝∠D．∵AD∥BC，∴∠G＝∠FAD，∴△ADF∽△GAE，∴當△GAE是等腰三角形時，△ADF也是等腰三角形．①當AF＝DF時，則有∠FAD＝∠D，∵∠FAD+∠CAF＝90°，∠D+∠ACD＝90°，∴∠CAF＝∠ACD，∴FA＝FC，∴CF＝DF＝，∴x＝，∴x＝；②當AD＝DF＝9時，CF＝CD﹣DF＝6，∴x＝6，∴x＝10；③當AF＝AD＝9時，作AH⊥DF于H，如圖2，則有DH＝FH．∵S△CAD＝AC?AD＝CD?AH，∴AH＝＝，∴FH＝DH＝＝，∴x＝15﹣2×，∴x＝7．【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，在解決問題的過程中用到了面積法、分類討論的思想，有一定的難度，證到△ABE∽△ACF是解決第（1）小題的關(guān)鍵，證到△AEF∽△ABC，從而得到EF＝AF是解決第（2）小題的關(guān)鍵，證到△ADF∽△GAE，從而把△GAE是等腰三角形轉(zhuǎn)化為△ADF是等腰三角形是解決第（2）小題的關(guān)鍵．7.（2022青浦一模25題）在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝，AD＝2，DC＝，tan∠ABC＝2（如圖）．點E是射線AD上一點，點F是邊BC上一點，聯(lián)結(jié)BE、EF，且∠BEF＝∠DCB．（1）求線段BC的長；（2）當FB＝FE時，求線段BF的長；（3）當點E在線段AD的延長線上時，設(shè)DE＝x，BF＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍．【解答】解：（1）如圖1，過點A、D分別作AH⊥BC、DG⊥BC，垂足分別為點H、點G．∴AH∥DG，∵AD∥BC，∴四邊形AHGD是矩形，∴AD＝HG＝2，AH＝DG，在Rt△ABH中，tan∠ABC＝2，AB＝，∴＝2，∴AH＝2BH，∵AH2+BH2＝AB2，∴（2BH）2+BH2＝（）2，∴BH＝1，∴AH＝2，∴DG＝2，在Rt△DGC中，DC＝，∴CG＝＝＝4，∴BC＝BH+HG+GC＝1+2+4＝7；（2）如圖1，過點E作EM⊥BC，垂足為點M，∴AH∥EM，∵AD∥BC，∴四邊形AHME是矩形，∴EM＝AH＝2，在Rt△DGC中，DG＝2，CG＝4，∴tan∠DCB＝＝，∵FB＝FE，∴∠FEB＝∠FBE．∵∠FEB＝∠DCB，∴∠FBE＝∠DCB，∴tan∠FBE＝．∴＝，∴BM＝4，在Rt△EFM中，F(xiàn)M2+EM2＝FE2，∴（4﹣FB）2+22＝FB2，∴BF＝；（3）如圖2，過點E作EN∥DC，交BC的延長線于點N．∵DE∥CN，∴四邊形DCNE是平行四邊形，∴DE＝CN，∠DCB＝∠ENB，∵∠FEB＝∠DCB，∴∠FEB＝∠ENB，又∵∠EBF＝∠NBE，∴△BEF∽△BNE，∴＝，∴BE2＝BF?BN，過點E作EQ⊥BC，垂足為點Q，則四邊形DGQE是矩形，∴EQ＝DG＝2，∴BQ＝x+3．∴BE2＝QE2+BQ2＝（x+3）2+22＝x2+6x+13，∴y（7+x）＝x2+6x+13．∴．8.（2022崇明一模25題）已知：如圖，正方形的邊長為1，在射線AB上取一點E，聯(lián)結(jié)DE，將ADE繞點D針旋轉(zhuǎn)90°，E點落在點F處，聯(lián)結(jié)EF，與對角線BD所在的直線交于點M，與射線DC交于點N．求證：（1）當時，求的值；（2）當點E在線段AB上，如果，，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；（3）聯(lián)結(jié)AM，直線AM與直線BC交于點G，當時，求AE的值．【小問1詳解】解：過點E作EH⊥BD與H，∵正方形的邊長為1，，∴EB=1-，∵BD為正方形對角線，∴BD平分∠ABC，∴∠ABD=45°，∵EH⊥BD，∴∠BEH=180°-∠EBH-∠EHB=180°-45°-90°=45°，∴EH=BH，∴EH=BH=BEsin45=，AB=BDcos45°，∴，∴DH=DB-BH=，；【小問2詳解】解：如上圖，∵AE=x，∴BE=1-x，∵將△ADE繞點D針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCF，∴CF=AE=x，ED=FD=,∴BF=BC+CF=1+x，在Rt△EBF中EF=，∵∠EDF=90°，ED=FD，∴△DEF為等腰直角三角形，∴∠DFE=∠DEF=45°，∴∠EBM=∠MFD=45°，∵∠EMB=∠DMF，∴△BEM∽△FDM，∴，即，∵∠DEM=∠FBM=45°，∠EMD=∠BMF，∴△EMD∽△BMF，∴，即，∴，∴，∴即，∴，0≤x≤1；【小問3詳解】解：當點GBC上，，∵四邊形ABCD為正方形，∴AD∥BG，∴∠DAM=∠BGM，∠ADM=∠GBM，∴△BGM∽△DAM，∴，∵由（2）知△BEM∽△FDM，∴，∵DB=，∴，∴，∴，∵，∴即，解，舍去；當點G在CB延長線上，，過M作ML⊥BC，交直線BC于L，∵GB∥AD，∴∴∠DAM=∠BGM，∠ADM=∠GBM，∴△BGM∽△DAM，∴，∴，∴，∵∠LBM=∠CBD=45°，ML⊥BC，∴△MLB為等腰直角三角形，∵ML∥CD，∴∠LMB=∠CDB，∠L=∠DCB，∴△MLB∽△DCB，∴，CD=1，∴ML=∵ML∥BE，∴∠L=∠FBE，∠LMF=∠BEF，∴△LMF∽△BEF，∴，∵BE=AE-AB=x-1，LF=LB+BC+CF=，BF=BC+CF=1+x，∴，整理得：，解得，舍去，∴AE的值為或．9.（2022寶山一模25）如圖，已知正方形ABCD，將AD繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到AP的位置，分別過點作，垂足分別為點、．（1）求證：；（2）聯(lián)結(jié)，如果，求的正切值；（3）聯(lián)結(jié)，如果，求的值．【小問1詳解】：如圖所示，作CG⊥CE，交FD延長線于G點，∵CE⊥BP，DF⊥BP，CG⊥CE，∴∠EFG=∠FEC=∠ECG=∠BEC=90°，∴四邊形FECG為矩形，∠G=90°，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BCD=90°，BC=DC，∵∠BCD=∠BCE+∠ECD，∠ECG=∠ECD+∠DCG，∴∠BCE+∠ECD=∠ECD+∠DCG，即：∠BCE=∠DCG，在△BCE和△DCG中，∴△BCE≌△DCG(AAS)，∴CE=CG，∴四邊形FECG為正方形，∴CE=EF；

【小問2詳解】解：如圖所示，連接CF，由（1）知，CE=EF，CE⊥EF，則△CEF為等腰直角三角形，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠PAD=n°，AP=AD，∴∠PAB=90°+n°，∠APD=（180°-∠PAD）=90°-n°，∵AP=AB，∴∠APB=（180°-∠PAB）=45°-n°，∴∠FPD=∠APD-∠APB=45°，∵DF⊥AB，∴∠DFP=90°，∴△DFP也為等腰直角三角形，PF=DF，∴△DFP∽△CEF，∵，∴，設(shè)PF=DF=x，則FE=CE=3x，由（1）知四邊形CEFG為正方形，∴FG=FE=3x，∴DG=FG-DF=2x，∵△BCE≌△DCG，∴BE=DG=2x，∴在Rt△BEC中，，∵∠ABP+∠EBC=90°，∠EBC+∠BCE=90°，∴∠ABP=∠BCE，∴；【小問3詳解】解：∵，∴如圖所示，連接AF和對角線AC，由（2）可知，∠EFC=45°，∠EFD=90°，∴∠CFD=45°，∵AC為正方形ABCD的對角線，∴∠CAD=45°，AC=AB，∴∠CAD=∠CFD，∴點A、C、D、F四點共圓，∴∠AFC=∠ADC=90°，∵AF=AB，∴AF=AC，則在Rt△AFC中，，∵∠ACF為銳角，∴∠ACF=30°，∠FAC=90°-30°=60°，∵∠CAD=45°，∴∠FAD=60°-45°=15°，∵AP=AD，AF=AF，PF=DF，∴△AFP≌△AFD，∴∠FAD=∠FAP=15°，∴∠PAD=30°，∴n=30．10.（2022嘉定一模25題）在平行四邊形ABCD中，對角線AC與邊CD垂直，，四邊形ABCD的周長是16，點E是在AD延長線上的一點，點F是在射線AB上的一點，∠CED＝∠CDF．（1）如圖1，如果點F與點B重合，求∠AFD的余切值；（2）如圖2，點F在邊AB上的一點．設(shè)AE＝x，BF＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并寫出它的定義域；（3）如果BF：FA＝1：2，求△CDE的面積．【解答】解：（1）如果點F與點B重合，設(shè)DF與AC交于點M，∵AC⊥CD，∴∠DCA＝90°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD∥AB，∴∠CAB＝∠DCA＝90°，在Rt△CAB中，設(shè)AB＝3k，∵，∴AC＝4k，∴BC＝＝5k，∵四邊形ABCD的周長是16，∴2（AB+BC）＝16，即2（3k+5k）＝16，∴k＝1，∴AB＝3，BC＝5，AC＝4，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AM＝CM＝AC＝2，∴cot∠AFD＝；（2）解：∵CD∥AB，∴∠EDC＝∠FAD，∠CDF＝∠AFD，∵∠CED＝∠CDF，∴∠CED＝∠AFD，∴△CDE∽△DAF，∴，由題意，得AD＝BC＝5，DE＝x﹣5，DC＝AB＝3，AF＝3﹣y，∴，∴y＝﹣，定義域是：5＜x≤．（3）解：點F在射線AB上都能得到：△CDE∽△DAF，∴，①當點F在邊AB上，∵BF：FA＝1：2，AB＝3，∴AF＝2，由題