2021-2022學(xué)年貴州省“三新”改革聯(lián)盟高一下學(xué)期校聯(lián)考（四）數(shù)學(xué)試題（解析版）

2021-2022學(xué)年貴州省“三新”改革聯(lián)盟高一下學(xué)期校聯(lián)考（四）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（

）A． B．1 C．5 D．【答案】B【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法化簡，再利用復(fù)數(shù)的模公式求解.【詳解】解：因?yàn)?，所?故選：B2．已知向量，，且，則（

）A．-4 B．4 C．-6 D．6【答案】C【分析】利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示，列式計(jì)算作答.【詳解】因向量，，且，則，得，所以.故選：C3．某校有男生3000人，女生2000人，學(xué)校將通過分層隨機(jī)抽樣的方法抽取100人的身高數(shù)據(jù)，若按男女比例進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，抽取到的學(xué)生平均身高為，其中被抽取的男生平均身高為，則被抽取的女生平均身高為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由分層抽樣求出100人中的男女生數(shù)，再利用平均數(shù)公式計(jì)算作答.【詳解】根據(jù)分層隨機(jī)抽樣原理，被抽取到的男生為60人，女生為40人，設(shè)被抽取到的女生平均身高為，則，解得，所以被抽取的女生平均身高為.故選：A4．如圖，正方形是水平放置的四邊形的斜二測直觀圖，，則四邊形的面積是（

）A． B． C．18 D．9【答案】A【分析】利用斜二測畫法求解.【詳解】如圖所示：由斜二測畫法知，四邊形是一個(gè)平行四邊形.因?yàn)椋?，則，，所以.故選：A5．某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番，為了更好地了解該地區(qū)的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下扇形圖：則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加B．新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少C．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與種植收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半D．新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入是建設(shè)前的4倍【答案】B【分析】設(shè)出建設(shè)前總收入，根據(jù)給定條件，求出建設(shè)前后各部分的收入，逐項(xiàng)判斷作答.【詳解】設(shè)建設(shè)前總收入為1，則建設(shè)后總收入翻一番為2，對于A，建設(shè)前養(yǎng)殖收入為，建設(shè)后養(yǎng)殖收入為，A正確；對于B，建設(shè)前種植收入為，建設(shè)后種植收入為，B錯(cuò)誤；對于C，養(yǎng)殖收入與種植收入比例總和為，超過經(jīng)濟(jì)收入一半，C正確；對于D，建設(shè)前其它收入為，建設(shè)后其它收入為，D正確.故選：B6．如圖，在棱長為2的正方體中，，分別是，的中點(diǎn)，則經(jīng)過，，，四點(diǎn)的球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】取中點(diǎn)，中點(diǎn)，將三棱錐補(bǔ)形成長方體，求出長方體外接球半徑即可計(jì)算作答.【詳解】在棱長為2的正方體中，設(shè)中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，如圖，則過，，，四點(diǎn)的球即為長方體的外接球，其半徑為，所以經(jīng)過，，，四點(diǎn)的球的表面積為.故選：C7．在中，設(shè)，那么動點(diǎn)的軌跡必通過的（

）A．垂心 B．內(nèi)心 C．外心 D．重心【答案】C【分析】設(shè)的中點(diǎn)是，根據(jù)題意化簡可得，即可確定的軌跡.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)是，，即，所以，所以動點(diǎn)在線段的中垂線上，故動點(diǎn)的軌跡必通過的外心，故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查向量的運(yùn)算法則，熟練掌握向量的運(yùn)算法則，數(shù)量積與垂直的關(guān)系，三角形的外心定義是解題的關(guān)鍵，屬于較難題.8．如圖，矩形中，，是邊的中點(diǎn)，將沿直線翻折成（點(diǎn)不落在底面內(nèi)），連接，.若為線段的中點(diǎn)，則在的翻折過程中，以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）（1）平面恒成立（2）線段的長為定值（3）異面直線與所成角為（4）二面角可以為直二面角A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】（1）設(shè)中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，連接，，，，易得四邊形是平行四邊形判斷；（2）利用線面平行的判定定理判斷；（3）利用反證法判斷；（4）由，，利用線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理判斷.【詳解】如圖所示：設(shè)中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，連接，，，，易證，，則四邊形是平行四邊形，則，，得線段長度為定值，由線面平行的判定定理，可得平面，故（1）（2）正確.在（3）中，由，得，假設(shè)（3）成立，即，根據(jù)線面垂直的判定定理易得平面，則，這與題設(shè)矛盾，故（3）錯(cuò)誤.（4）中，由矩形，易得，已知，當(dāng)二面角為直二面角時(shí)，由線面垂直的性質(zhì)定理，可得平面，則，再由線面垂直的判定定理平面，從而平面平面，故（4）正確.故選：D二、多選題9．設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，，則【答案】BC【分析】舉例說明判斷A，D；利用線面平行的性質(zhì)、面面垂直的判定推理判斷B；利用面面平行的性質(zhì)判斷C作答.【詳解】對于A，如圖，長方體中，平面為平面，平面為平面，直線為直線，滿足，，而，A不正確；對于B，因，則過存在與平面相交的平面，令它們的交線為，由線面平行的性質(zhì)知，，而，則，又，所以，B正確；對于C，因，，由面面平行的性質(zhì)可得，C正確；對于D，在選項(xiàng)A的長方體中，平面為平面，平面為平面，直線為直線，直線為直線，滿足，，，而，D不正確.故選：BC10．已知復(fù)數(shù)（，為虛數(shù)單位），下列說法正確的有（

）A．當(dāng)時(shí)，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)位于第一象限B．當(dāng)時(shí)，為純虛數(shù)C．最大值為D．的共軛復(fù)數(shù)為【答案】ABC【分析】利用特殊角的三角函數(shù)值求出復(fù)數(shù)判斷A，B；求出復(fù)數(shù)的模，再結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)計(jì)算判斷C；利用共軛復(fù)數(shù)的定義判斷D作答.【詳解】對于A，當(dāng)時(shí)，，其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)為，A正確；對于B，時(shí)，，B正確；對于C，，當(dāng)，時(shí)，，C正確；對于D，，D錯(cuò)誤.故選：ABC11．在所在的平面內(nèi)有兩點(diǎn)，，，，下列說法正確的有（

）A．B．C．D．的面積為的面積的【答案】BCD【分析】A.根據(jù)，判斷；B.利用向量的加法運(yùn)算和基本定理求解判斷；C.由與同向判斷；D.根據(jù)，得到面積關(guān)系判斷.【詳解】如圖所示：因?yàn)?，，所以為中點(diǎn)，為上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，故A錯(cuò)誤.，故B正確.與同向，夾角為，則，故C正確.，，則，故D正確.故選：BCD12．某班級到一工廠參加社會實(shí)踐勞動，加工出如圖所示的圓臺，在軸截面中，，且，下列說法正確的有（

）A．該圓臺軸截面面積為B．該圓臺的體積為C．該圓臺的母線與下底面所成的角為D．沿著該圓臺表面，從點(diǎn)到中點(diǎn)的最短距離為【答案】BCD【分析】求出軸截面等腰梯形面積判斷A；求出圓臺體積判斷B；求出軸截面等腰梯形底角判斷C；利用圓臺側(cè)面展開圖求出CD長判斷D作答.【詳解】對于A，該圓臺軸截面為等腰梯形，高為，則面積為，A錯(cuò)誤；對于B，由選項(xiàng)A知，圓臺的高為，則圓臺的體積，B正確；對于C，圓臺母線與下底面所成角為，，則，C正確；對于D，將該圓臺側(cè)面展開，得到如圖所示的扇環(huán)，再將其補(bǔ)成扇形，則弧長為，半徑長為4，即有圓心角，沿著圓臺表面點(diǎn)到中點(diǎn)的最短路徑即為扇環(huán)中的線段長，，D正確.故選：BCD三、填空題13．某學(xué)校舉行演講比賽，進(jìn)入決賽的有20名選手，他們的最終成績按照從低到高排列如下（單位：分）：8.0

8.1

8.1

8.2

8.3

8.5

8.5

8.5

8.5

8.68.7

8.7

8.8

8.9

9.0

9.0

9.1

9.1

9.1

9.3則這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)是_________.【答案】8.4【分析】由一組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)定義求解.【詳解】解：由一組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)定義，共20名選手，，所以第5項(xiàng)數(shù)據(jù)為8.3，第6項(xiàng)數(shù)據(jù)為8.5，則這兩項(xiàng)數(shù)據(jù)取平均數(shù)為8.4.故答案為：8.414．設(shè)的內(nèi)角，，的對邊分別為，，.若，，，則_________.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理直接計(jì)算作答.【詳解】在中，因，，，由正弦定理得，所以.故答案為：15．如圖，在正四棱錐中，所有棱長均相等，點(diǎn)為中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值為_________.【答案】【分析】連接交于點(diǎn)，連接，設(shè)點(diǎn)為中點(diǎn)，連接，即可得到即為與平面所成角，再由銳角三角函數(shù)計(jì)算可得.【詳解】解：如圖連接交于點(diǎn)，連接，由四棱錐各條棱相等，則，，根據(jù)線面垂直的判定定理，有平面.設(shè)點(diǎn)為中點(diǎn)，連接，則，得到平面，連接，則是在平面內(nèi)的射影，則即為與平面所成角.設(shè)四棱錐各棱長為2，則，，在中，，，于是.故答案為：16．我們知道一個(gè)多面體的外接球可以定義為：若一個(gè)多面體的所有頂點(diǎn)都在某個(gè)球的球面上，則該球叫這個(gè)多面體的外接球.現(xiàn)新定義多面體的“外球”為：若一個(gè)多面體的所有頂點(diǎn)都在某個(gè)球的球面上或在球內(nèi)，則稱該球?yàn)檫@個(gè)多面體的外球.即外球能將多面體包圍起來.如圖是一個(gè)由六個(gè)全等的正三角形構(gòu)成的六面體，若該六面體有一外球A，且該六面體內(nèi)有一球.則外球A的半徑最小值與球的半徑最大值的比值為_________.【答案】【分析】分別求得外球A的半徑最小值與球的半徑最大值，即可求得該比值【詳解】如圖六面體的頂點(diǎn)A，在球面上時(shí)，此時(shí)外球A的半徑（直徑）最小，球直徑的長為上下頂點(diǎn)的距離.六面體可以看成兩個(gè)全等的正四面體組合而成，一個(gè)棱長為1正四面體的高為，所以外球最小半徑為.當(dāng)球?yàn)榱骟w的內(nèi)切球時(shí)，半徑最大.六面體的體積，設(shè)內(nèi)切球的半徑，的中心為，連接，，，，，六面體可分割成6個(gè)相同的三棱錐，，所以.所以外球A的半徑最小值與球的半徑最大值的比值為.故答案為：四、解答題17．已知，，.(1)求向量與的夾角；(2)求.【答案】(1)(2)【分析】（1）由，求得，再利用夾角公式求解；（2）由，利用數(shù)量積的運(yùn)算律求解.【詳解】(1)解：∵，，∴，又.解得，∴，又∵，∴（或）.(2)∵，，∴.18．如圖，在直四棱柱中，平面，四邊形為菱形，，，，為棱的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)連接交于點(diǎn)，連接，即可得到，從而得證；（2）根據(jù)利用等體積法求出點(diǎn)到平面的距離；【詳解】(1)證明：連接交于點(diǎn)，連接.∵四邊形是菱形，∴點(diǎn)是的中點(diǎn)，又∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，又∵平面，平面，∴平面.(2)解：∵，在直四棱柱中，平面，，，，∵.，，，又為的中點(diǎn)，所以，所以，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，∴，∴.∴點(diǎn)到平面的距離為.19．某學(xué)校隨機(jī)抽取了100名學(xué)生通過答卷方式進(jìn)行科學(xué)知識普及情況調(diào)查，試卷滿分為120分.經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到成績的范圍是（單位：分），通過整理數(shù)據(jù)得到如下頻率分布直方圖：(1)求的值，并求出分?jǐn)?shù)在的人數(shù)；(2)估計(jì)該?？破罩R測試成績的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù).【答案】(1)0.02，30人；(2)平均數(shù)為94分，中位數(shù)為95分，眾數(shù)為95分.【分析】（1）由頻率分布直方圖中小矩形面積和為1求出m，再求出的頻率即可計(jì)算作答.（2）利用頻率分布直方圖求樣本平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)的方法分別計(jì)算作答.【詳解】(1)由頻率分布直方圖得：；分?jǐn)?shù)在對應(yīng)頻率為，，所以分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為30人.(2)依題意，，所以成績平均數(shù)為94分；因，，則成績的中位數(shù)在90分到100分之間，設(shè)成績的中位數(shù)為分，由，解得，所以成績的中位數(shù)為95分；因成績在的頻率最大，而，所以成績的眾數(shù)為95分.20．在銳角中，角，，的對邊分別為，，，設(shè)，，.(1)求角；(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)可得，再根據(jù)正弦定理和三角變換公式可得，從而可求的值.（2）利用正弦定理和三角變換公式可得，結(jié)合的范圍可求的范圍.【詳解】(1)由得到，∴，∴，即，∴，又為三角形內(nèi)角，故，∴，故，∴.(2)，∵，∴，又∵是銳角三角形，∴且，即且，∴，∴，∴，即.21．在我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中將由四個(gè)直角三角形組成的四面體稱為“鱉臑（nào）”.如圖，在三棱錐中，平面，，，，為棱上一點(diǎn).(1)若平面，求；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)3；(2).【分析】（1）根據(jù)已知證得平面，再借助等體積法結(jié)合同高的錐體體積比轉(zhuǎn)化求解作答.（2）作于E，于O得二面角的平面角，再在直角三角形中求解作答.【詳解】(1)因平面，平面，平面，則，，又，即，而，平面，因此平面，于是得，在中，，由平面得，則，即有，在中，，則有，所以（或3）.(2)如圖，作于點(diǎn)，過點(diǎn)作垂直于點(diǎn)，連接，由（1）知，平面，平面，則，而，平面，于是得平面，又平面，則，又，平面，，則有平面，有，因此是二面角的平面角，在中，，則，由（1）知，，在中，，則，所以二面角的余弦值是.22．貴陽市黔靈公園熊貓館平面設(shè)計(jì)如圖所示，其中區(qū)域?yàn)樾茇埳顓^(qū)，，，區(qū)域?yàn)樾茇垔蕵穮^(qū)，.現(xiàn)為了游客的安全起見，將熊貓娛樂區(qū)周圍筑起護(hù)欄.