江蘇省常州市聯(lián)盟學(xué)校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期3月階段調(diào)研考試數(shù)學(xué)

常州市聯(lián)盟學(xué)校20232024學(xué)年度第二學(xué)期階段調(diào)研高二年級(jí)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)函數(shù)在處存在導(dǎo)數(shù)為2，則（

）A.2 B.1 C. D.42.已知P為空間中任意一點(diǎn)，A、B、C、D四點(diǎn)滿足任意三點(diǎn)均不共線，但四點(diǎn)共面，且，則實(shí)數(shù)x的值為（）A. B. C. D.3.若定義在上的函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的增區(qū)間為（）A. B.C D.4.若函數(shù)在處有極小值，則（）A. B. C.或 D.5.在四面體中，M點(diǎn)在線段上，且，G是的重心，已知，，，則等于（）A. B.C. D.6.若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.7.函數(shù)，若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A. B. C. D.8.函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)恒有，則（）A. B.C. D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分．9.在正方體中，下列命題是真命題的是（）A.B.C.D.正方體的體積為10.下列說法中正確的是（）A.B.C.設(shè)函數(shù)，若，則D.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則11.已知直線與函數(shù)，的圖象分別相交于兩點(diǎn).設(shè)為曲線在點(diǎn)處切線的斜率，為曲線在點(diǎn)處切線的斜率，則的可能取值為（

）A. B. C.e D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知空間三點(diǎn)，，，在直線OA上有一點(diǎn)H滿足，則點(diǎn)H的坐標(biāo)為________.13.若函數(shù)在上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的最小值是______．14.如圖，正方形與正方形的中心重合，邊長分別為3和1，，，，分別為，，，的中點(diǎn)，把陰影部分剪掉后，將四個(gè)三角形分別沿，，，折起，使，，，重合于P點(diǎn)，則四棱錐的高為________，若直四棱柱內(nèi)接于該四棱錐，其上底面四個(gè)頂點(diǎn)在四棱錐側(cè)棱上，下底面四個(gè)頂點(diǎn)在面內(nèi)，則該直四棱柱體積的最大值為________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知向量，，.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，若向量與垂直，求實(shí)數(shù)和的值；（Ⅱ）若向量與向量，共面，求實(shí)數(shù)的值.16.已知函數(shù).（1）求曲線過點(diǎn)處的切線；（2）若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線在處的切線平行，求的值.17.如圖，在底面為菱形的平行六面體中，分別在棱上，且，且.（1）求證：共面；（2）當(dāng)為何值時(shí)，；（3）若，且，求的長.18已知函數(shù)．（1）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求的值，并求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)在處取得極大值，求取值范圍.19已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）求當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上最小值；（3）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；②證明：.常州市聯(lián)盟學(xué)校20232024學(xué)年度第二學(xué)期階段調(diào)研高二年級(jí)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)函數(shù)在處存在導(dǎo)數(shù)為2，則（

）A.2 B.1 C. D.4【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的極限定義計(jì)算可得.【詳解】由導(dǎo)數(shù)的定義可知，.故選：D.2.已知P為空間中任意一點(diǎn)，A、B、C、D四點(diǎn)滿足任意三點(diǎn)均不共線，但四點(diǎn)共面，且，則實(shí)數(shù)x的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】，又∵P是空間任意一點(diǎn)，A、B、C、D四點(diǎn)滿足任三點(diǎn)均不共線，但四點(diǎn)共面，∴，解得x=，故選A．點(diǎn)睛：設(shè)是平面上任一點(diǎn)，是平面上的三點(diǎn)，（不共線），則三點(diǎn)共線，把此結(jié)論類比到空間上就是：不共面，若，則四點(diǎn)共面．3.若定義在上的函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的增區(qū)間為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圖象可得的正負(fù)可判斷的單調(diào)性從而得到答案.【詳解】由圖象可得，當(dāng)時(shí)，由得，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，由得，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，由得，上單調(diào)遞減，綜上，函數(shù)的增區(qū)間為.故選：B.4.若函數(shù)在處有極小值，則（）A. B. C.或 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)求得c，然后驗(yàn)證即可.【詳解】，因?yàn)樵谔幱袠O小值，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，令，解得或，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，此時(shí)，在處有極大值，不滿足題意.當(dāng)時(shí)，令，解得或，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，此時(shí)，在處有極小值，滿足題意.故選：A5.在四面體中，M點(diǎn)在線段上，且，G是的重心，已知，，，則等于（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合重心的性質(zhì)以及空間向量的線性運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)镚是的重心，則，由，得，所以.故選：C.6.若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系將問題轉(zhuǎn)化為在上有解問題，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得其最小值，從而得解.【詳解】因?yàn)榇嬖趩握{(diào)遞減區(qū)間，所以在上有解，即在上有解，令，則，令，解得(負(fù)值舍去)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；所以，故，故選：A.7.函數(shù)，若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象，然后作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖形可解.【詳解】令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以，當(dāng)時(shí)，取得極小值，再結(jié)合二次函數(shù)圖象，作出的圖象如下圖：因?yàn)楹瘮?shù)有3個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)的圖象與直線有3個(gè)交點(diǎn)，由圖可知，，即的取值范圍為.故選：C8.函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)恒有，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】首先構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合選項(xiàng)，依次判斷.【詳解】設(shè)，則，由條件可知，，所以，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，即，故A錯(cuò)誤；由函數(shù)的單調(diào)性可知，，得，故B正確；由，得，故C錯(cuò)誤；由，得，故D錯(cuò)誤.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，從而可以根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷選項(xiàng).二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分．9.在正方體中，下列命題是真命題的是（）A.B.C.D.正方體的體積為【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)空間向量運(yùn)算、夾角、體積等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】設(shè)正方體的棱長為，A選項(xiàng)，，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，由于三角形等邊三角形，所以，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC10.下列說法中正確的是（）A.B.C.設(shè)函數(shù)，若，則D.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則【答案】BCD【解析】【分析】利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法則求解即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A:結(jié)合題意可得：,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B:結(jié)合題意可得：,故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C:,由，，解得，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D:結(jié)合題意可得：,，解得，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD.11.已知直線與函數(shù)，的圖象分別相交于兩點(diǎn).設(shè)為曲線在點(diǎn)處切線的斜率，為曲線在點(diǎn)處切線的斜率，則的可能取值為（

）A. B. C.e D.【答案】AD【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得切線的斜率，從而求得.【詳解】由于，所以，由得，，即，由得，，即，所以，則，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.設(shè)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以AD選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AD【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)求切線的方程，關(guān)鍵點(diǎn)在于切點(diǎn)和斜率，利用函數(shù)的解析式可以求得切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)可以求得切線的斜率.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的值域，先求函數(shù)的定義域，然后利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)極值和區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值來求得函數(shù)的值域.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知空間三點(diǎn)，，，在直線OA上有一點(diǎn)H滿足，則點(diǎn)H的坐標(biāo)為________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)向量垂直和平行的坐標(biāo)表示列方程組求解可得.【詳解】設(shè)，則，因?yàn)楣簿€，故存在實(shí)數(shù)使得，即所以，解得，所以點(diǎn)H的坐標(biāo)為.故答案為：13.若函數(shù)在上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的最小值是______．【答案】3【解析】【分析】對(duì)于求導(dǎo)得在上只有一個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為在上只有一個(gè)零點(diǎn)，令在上，求解的范圍，確定的最小值.【詳解】由在上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，定義域?yàn)?，所以，在上只有一個(gè)零點(diǎn)，則，即在上只有一個(gè)零點(diǎn)，令，，則，，當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增，所以，所以，在上只有一個(gè)變號(hào)的零點(diǎn)，即函數(shù)在上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn).故答案為：14.如圖，正方形與正方形的中心重合，邊長分別為3和1，，，，分別為，，，的中點(diǎn)，把陰影部分剪掉后，將四個(gè)三角形分別沿，，，折起，使，，，重合于P點(diǎn)，則四棱錐的高為________，若直四棱柱內(nèi)接于該四棱錐，其上底面四個(gè)頂點(diǎn)在四棱錐側(cè)棱上，下底面四個(gè)頂點(diǎn)在面內(nèi)，則該直四棱柱體積的最大值為________．【答案】①.②.【解析】【分析】作出圖形，可知四棱錐為正四棱錐，取的中點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)，連接、、，則四棱錐的高為，直四棱柱內(nèi)接于該四棱錐，則底面為正方形，作出截面的平面圖，設(shè)，計(jì)算得出四棱柱體積的函數(shù)關(guān)系式，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究可得其體積最大值.【詳解】由題意可知，四棱錐為正四棱錐，邊上的高為，如下圖所示：取的中點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)，連接、、，則為、的中點(diǎn)，由正四棱錐的幾何性質(zhì)可知，平面，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則且，因?yàn)槠矫妫瑒t，所以，，在中，得,作出四棱柱內(nèi)接于該四棱錐在平面上的平面圖如圖所示：設(shè),，則，因?yàn)?，所以，解得，所以直四棱柱的體積,所以，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)體積最大，最大為.故答案為：，.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知向量，，.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，若向量與垂直，求實(shí)數(shù)和的值；（Ⅱ）若向量與向量，共面，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（Ⅰ）實(shí)數(shù)和的值分別為和.（Ⅱ）【解析】【分析】(Ⅰ)根據(jù)可求得,再根據(jù)垂直的數(shù)量積為0求解即可.(Ⅱ)根據(jù)共面有,再求解對(duì)應(yīng)的系數(shù)相等關(guān)系求解即可.【詳解】解：(Ⅰ)因?yàn)?所以.且.因?yàn)橄蛄颗c垂直,所以即.所以實(shí)數(shù)和的值分別為和.(Ⅱ)因?yàn)橄蛄颗c向量，共面,所以設(shè)（）.因?yàn)?所以所以實(shí)數(shù)的值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間向量基本求解方法,包括模長的運(yùn)算以及垂直的數(shù)量積表達(dá)與共面向量的關(guān)系等.屬于基礎(chǔ)題.16.已知函數(shù).（1）求曲線過點(diǎn)處的切線；（2）若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線在處的切線平行，求的值.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求過一點(diǎn)的切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義，由切線平行列方程求參數(shù)值.【小問1詳解】由導(dǎo)數(shù)公式得，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)切線方程為：由題意可得：，所以或，從而切線方程為或.【小問2詳解】由(1)可得：曲線在點(diǎn)處的切線方程為,由，可得曲線在處的切線斜率為，由題意可得，從而，此時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)為，曲線在處的切線方程為，即，故符合題意，所以.17.如圖，在底面為菱形的平行六面體中，分別在棱上，且，且.（1）求證：共面；（2）當(dāng)為何值時(shí)，；（3）若，且，求的長.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用向量證明，然后可證；（2）以為基底表示出，然后根據(jù)求解可得；（3）利用基底表示出，然后平方轉(zhuǎn)化為數(shù)量積求解即可.【小問1詳解】在平行六面體中，連接，因?yàn)椋?，，所以，即且，所以四邊形為平行四邊形，即共?【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，理由如下，設(shè)，且與、與、與的夾角均為，因?yàn)榈酌鏋榱庑?，所以，，，若，則，即，即，解得或舍去，所以時(shí)，【小問3詳解】，，，所以，所以的長為18.已知函數(shù)．（1）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求的值，并求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)在處取得極大值，求的取值范圍.【答案】（1），極大值為，極小值為.（2）【解析】【分析】（1）由求得，進(jìn)而求得的極值.（2）先求得，然后對(duì)進(jìn)行分類討論，根據(jù)在處取得極大值進(jìn)行分類討論，由此求得的取值范圍.【小問1詳解】定義域?yàn)?，，因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以.故有，所以.當(dāng)時(shí)，，所以，若，則或，1＋0－0＋遞增極大值遞減極小值遞增所以函數(shù)的極大值為，極小值為.【小問2詳解】定義域?yàn)椋?，①?dāng)時(shí)，，令得，所以：單調(diào)遞增區(qū)間為；令得，所以單調(diào)遞減區(qū)間為；所以在取極大值，符合題意.②當(dāng)時(shí)，由，得：，，0－0+0－減極小值增極大值減所以：在處取得極大值，所以：符合題意．③當(dāng)時(shí)，由，得：，，（i）當(dāng)即時(shí)，，變化情況如下表：0+0－0+增極大值減極小值增所以：在處取得極小值，不合題意．（ⅱ）當(dāng)即時(shí)，在上恒成立，所以：在上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)．（iii）當(dāng)，即時(shí)，，變化情況如下表：+－+增極大值減極小值增所以：在處取得極大值，所以：合題意．綜上可得：的取值范圍是．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解函數(shù)在閉區(qū)間上的極值的步驟（1）確定的定義域；（2）計(jì)算導(dǎo)數(shù)；（3）求出的根；（4）用的根將的定義域分成若干個(gè)區(qū)間，考查這若干個(gè)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，進(jìn)而確定的單調(diào)區(qū)間；（5）根據(jù)單調(diào)區(qū)間確定極值點(diǎn)，從而求得極值.19.已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）求當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（3）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；②證明：.【答案】（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為（2）