江蘇省常州市聯(lián)盟學校2023-2024學年高二下學期3月階段調(diào)研考試數(shù)學

常州市聯(lián)盟學校20232024學年度第二學期階段調(diào)研高二年級數(shù)學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)函數(shù)在處存在導數(shù)為2，則（

）A.2 B.1 C. D.42.已知P為空間中任意一點，A、B、C、D四點滿足任意三點均不共線，但四點共面，且，則實數(shù)x的值為（）A. B. C. D.3.若定義在上的函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的增區(qū)間為（）A. B.C D.4.若函數(shù)在處有極小值，則（）A. B. C.或 D.5.在四面體中，M點在線段上，且，G是的重心，已知，，，則等于（）A. B.C. D.6.若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.7.函數(shù)，若函數(shù)有3個零點，則的取值范圍為（

）A. B. C. D.8.函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對任意實數(shù)恒有，則（）A. B.C. D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．9.在正方體中，下列命題是真命題的是（）A.B.C.D.正方體的體積為10.下列說法中正確的是（）A.B.C.設(shè)函數(shù)，若，則D.設(shè)函數(shù)的導函數(shù)為，且，則11.已知直線與函數(shù)，的圖象分別相交于兩點.設(shè)為曲線在點處切線的斜率，為曲線在點處切線的斜率，則的可能取值為（

）A. B. C.e D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知空間三點，，，在直線OA上有一點H滿足，則點H的坐標為________.13.若函數(shù)在上有且僅有一個極值點，則實數(shù)的最小值是______．14.如圖，正方形與正方形的中心重合，邊長分別為3和1，，，，分別為，，，的中點，把陰影部分剪掉后，將四個三角形分別沿，，，折起，使，，，重合于P點，則四棱錐的高為________，若直四棱柱內(nèi)接于該四棱錐，其上底面四個頂點在四棱錐側(cè)棱上，下底面四個頂點在面內(nèi)，則該直四棱柱體積的最大值為________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知向量，，.（Ⅰ）當時，若向量與垂直，求實數(shù)和的值；（Ⅱ）若向量與向量，共面，求實數(shù)的值.16.已知函數(shù).（1）求曲線過點處的切線；（2）若曲線在點處的切線與曲線在處的切線平行，求的值.17.如圖，在底面為菱形的平行六面體中，分別在棱上，且，且.（1）求證：共面；（2）當為何值時，；（3）若，且，求的長.18已知函數(shù)．（1）若是函數(shù)的極值點，求的值，并求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)在處取得極大值，求取值范圍.19已知函數(shù)，其中．（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）求當時，函數(shù)在區(qū)間上最小值；（3）若函數(shù)有兩個不同的零點.①求實數(shù)a的取值范圍；②證明：.常州市聯(lián)盟學校20232024學年度第二學期階段調(diào)研高二年級數(shù)學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)函數(shù)在處存在導數(shù)為2，則（

）A.2 B.1 C. D.4【答案】D【解析】【分析】利用導數(shù)的極限定義計算可得.【詳解】由導數(shù)的定義可知，.故選：D.2.已知P為空間中任意一點，A、B、C、D四點滿足任意三點均不共線，但四點共面，且，則實數(shù)x的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】，又∵P是空間任意一點，A、B、C、D四點滿足任三點均不共線，但四點共面，∴，解得x=，故選A．點睛：設(shè)是平面上任一點，是平面上的三點，（不共線），則三點共線，把此結(jié)論類比到空間上就是：不共面，若，則四點共面．3.若定義在上的函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的增區(qū)間為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圖象可得的正負可判斷的單調(diào)性從而得到答案.【詳解】由圖象可得，當時，由得，在上單調(diào)遞增，當時，由得，在上單調(diào)遞減，當時，由得，上單調(diào)遞減，綜上，函數(shù)的增區(qū)間為.故選：B.4.若函數(shù)在處有極小值，則（）A. B. C.或 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)求得c，然后驗證即可.【詳解】，因為在處有極小值，所以，解得或，當時，令，解得或，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，此時，在處有極大值，不滿足題意.當時，令，解得或，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，此時，在處有極小值，滿足題意.故選：A5.在四面體中，M點在線段上，且，G是的重心，已知，，，則等于（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合重心的性質(zhì)以及空間向量的線性運算求解.【詳解】因為G是的重心，則，由，得，所以.故選：C.6.若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系將問題轉(zhuǎn)化為在上有解問題，再構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求得其最小值，從而得解.【詳解】因為存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以在上有解，即在上有解，令，則，令，解得(負值舍去)，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增；所以，故，故選：A.7.函數(shù)，若函數(shù)有3個零點，則的取值范圍為（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用導數(shù)研究函數(shù)的圖象，然后作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖形可解.【詳解】令，則，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增.所以，當時，取得極小值，再結(jié)合二次函數(shù)圖象，作出的圖象如下圖：因為函數(shù)有3個零點，所以函數(shù)的圖象與直線有3個交點，由圖可知，，即的取值范圍為.故選：C8.函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對任意實數(shù)恒有，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】首先構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合選項，依次判斷.【詳解】設(shè)，則，由條件可知，，所以，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，即，故A錯誤；由函數(shù)的單調(diào)性可知，，得，故B正確；由，得，故C錯誤；由，得，故D錯誤.故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，從而可以根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷選項.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．9.在正方體中，下列命題是真命題的是（）A.B.C.D.正方體的體積為【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)空間向量運算、夾角、體積等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】設(shè)正方體的棱長為，A選項，，A選項正確；B選項，，B選項正確；C選項，由于三角形等邊三角形，所以，C選項正確；D選項，，所以D選項錯誤.故選：ABC10.下列說法中正確的是（）A.B.C.設(shè)函數(shù)，若，則D.設(shè)函數(shù)的導函數(shù)為，且，則【答案】BCD【解析】【分析】利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及運算法則求解即可.【詳解】對于選項A:結(jié)合題意可得：,故選項A錯誤；對于選項B:結(jié)合題意可得：,故選項B正確；對于選項C:,由，，解得，故選項C正確；對于選項D:結(jié)合題意可得：,，解得，故選項D正確.故選：BCD.11.已知直線與函數(shù)，的圖象分別相交于兩點.設(shè)為曲線在點處切線的斜率，為曲線在點處切線的斜率，則的可能取值為（

）A. B. C.e D.【答案】AD【解析】【分析】利用導數(shù)求得切線的斜率，從而求得.【詳解】由于，所以，由得，，即，由得，，即，所以，則，B選項錯誤.設(shè)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以AD選項正確，C選項錯誤.故選：AD【點睛】利用導數(shù)求切線的方程，關(guān)鍵點在于切點和斜率，利用函數(shù)的解析式可以求得切點坐標，利用導數(shù)可以求得切線的斜率.利用導數(shù)研究函數(shù)的值域，先求函數(shù)的定義域，然后利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)極值和區(qū)間端點的函數(shù)值來求得函數(shù)的值域.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知空間三點，，，在直線OA上有一點H滿足，則點H的坐標為________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)向量垂直和平行的坐標表示列方程組求解可得.【詳解】設(shè)，則，因為共線，故存在實數(shù)使得，即所以，解得，所以點H的坐標為.故答案為：13.若函數(shù)在上有且僅有一個極值點，則實數(shù)的最小值是______．【答案】3【解析】【分析】對于求導得在上只有一個零點，轉(zhuǎn)化為在上只有一個零點，令在上，求解的范圍，確定的最小值.【詳解】由在上有且僅有一個極值點，定義域為，所以，在上只有一個零點，則，即在上只有一個零點，令，，則，，當，，單調(diào)遞減，當，，單調(diào)遞增，所以，所以，在上只有一個變號的零點，即函數(shù)在上有且僅有一個極值點.故答案為：14.如圖，正方形與正方形的中心重合，邊長分別為3和1，，，，分別為，，，的中點，把陰影部分剪掉后，將四個三角形分別沿，，，折起，使，，，重合于P點，則四棱錐的高為________，若直四棱柱內(nèi)接于該四棱錐，其上底面四個頂點在四棱錐側(cè)棱上，下底面四個頂點在面內(nèi)，則該直四棱柱體積的最大值為________．【答案】①.②.【解析】【分析】作出圖形，可知四棱錐為正四棱錐，取的中點，連接、交于點，連接、、，則四棱錐的高為，直四棱柱內(nèi)接于該四棱錐，則底面為正方形，作出截面的平面圖，設(shè)，計算得出四棱柱體積的函數(shù)關(guān)系式，運用導數(shù)研究可得其體積最大值.【詳解】由題意可知，四棱錐為正四棱錐，邊上的高為，如下圖所示：取的中點，連接、交于點，連接、、，則為、的中點，由正四棱錐的幾何性質(zhì)可知，平面，因為、分別為、的中點，則且，因為平面，則，所以，，在中，得,作出四棱柱內(nèi)接于該四棱錐在平面上的平面圖如圖所示：設(shè),，則，因為，所以，解得，所以直四棱柱的體積,所以，當時，當時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以當時體積最大，最大為.故答案為：，.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知向量，，.（Ⅰ）當時，若向量與垂直，求實數(shù)和的值；（Ⅱ）若向量與向量，共面，求實數(shù)的值.【答案】（Ⅰ）實數(shù)和的值分別為和.（Ⅱ）【解析】【分析】(Ⅰ)根據(jù)可求得,再根據(jù)垂直的數(shù)量積為0求解即可.(Ⅱ)根據(jù)共面有,再求解對應的系數(shù)相等關(guān)系求解即可.【詳解】解：(Ⅰ)因為,所以.且.因為向量與垂直,所以即.所以實數(shù)和的值分別為和.(Ⅱ)因為向量與向量，共面,所以設(shè)（）.因為,所以所以實數(shù)的值為.【點睛】本題主要考查了空間向量基本求解方法,包括模長的運算以及垂直的數(shù)量積表達與共面向量的關(guān)系等.屬于基礎(chǔ)題.16.已知函數(shù).（1）求曲線過點處的切線；（2）若曲線在點處的切線與曲線在處的切線平行，求的值.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）利用導數(shù)幾何意義求過一點的切線方程；（2）利用導數(shù)幾何意義，由切線平行列方程求參數(shù)值.【小問1詳解】由導數(shù)公式得，設(shè)切點坐標為，設(shè)切線方程為：由題意可得：，所以或，從而切線方程為或.【小問2詳解】由(1)可得：曲線在點處的切線方程為,由，可得曲線在處的切線斜率為，由題意可得，從而，此時切點坐標為，曲線在處的切線方程為，即，故符合題意，所以.17.如圖，在底面為菱形的平行六面體中，分別在棱上，且，且.（1）求證：共面；（2）當為何值時，；（3）若，且，求的長.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用向量證明，然后可證；（2）以為基底表示出，然后根據(jù)求解可得；（3）利用基底表示出，然后平方轉(zhuǎn)化為數(shù)量積求解即可.【小問1詳解】在平行六面體中，連接，因為，所以，，所以，即且，所以四邊形為平行四邊形，即共面.【小問2詳解】當時，，理由如下，設(shè)，且與、與、與的夾角均為，因為底面為菱形，所以，，，若，則，即，即，解得或舍去，所以時，【小問3詳解】，，，所以，所以的長為18.已知函數(shù)．（1）若是函數(shù)的極值點，求的值，并求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)在處取得極大值，求的取值范圍.【答案】（1），極大值為，極小值為.（2）【解析】【分析】（1）由求得，進而求得的極值.（2）先求得，然后對進行分類討論，根據(jù)在處取得極大值進行分類討論，由此求得的取值范圍.【小問1詳解】定義域為，，因為是函數(shù)的極值點，所以.故有，所以.當時，，所以，若，則或，1＋0－0＋遞增極大值遞減極小值遞增所以函數(shù)的極大值為，極小值為.【小問2詳解】定義域為，，①當時，，令得，所以：單調(diào)遞增區(qū)間為；令得，所以單調(diào)遞減區(qū)間為；所以在取極大值，符合題意.②當時，由，得：，，0－0+0－減極小值增極大值減所以：在處取得極大值，所以：符合題意．③當時，由，得：，，（i）當即時，，變化情況如下表：0+0－0+增極大值減極小值增所以：在處取得極小值，不合題意．（ⅱ）當即時，在上恒成立，所以：在上單調(diào)遞增，無極值點．（iii）當，即時，，變化情況如下表：+－+增極大值減極小值增所以：在處取得極大值，所以：合題意．綜上可得：的取值范圍是．【點睛】思路點睛：求解函數(shù)在閉區(qū)間上的極值的步驟（1）確定的定義域；（2）計算導數(shù)；（3）求出的根；（4）用的根將的定義域分成若干個區(qū)間，考查這若干個區(qū)間內(nèi)的符號，進而確定的單調(diào)區(qū)間；（5）根據(jù)單調(diào)區(qū)間確定極值點，從而求得極值.19.已知函數(shù)，其中．（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）求當時，函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（3）若函數(shù)有兩個不同的零點.①求實數(shù)a的取值范圍；②證明：.【答案】（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為（2）