四川省宜賓市高三下學(xué)期第二次診斷性考試文科數(shù)學(xué)試卷

宜賓市普通高中2021級(jí)第二次診斷性測(cè)試文科數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘全卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)，回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合要求.1已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)交集的定義求解即可.【詳解】因?yàn)榧?，所?故選：B.2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】全稱量詞命題的否定為存在量詞命題.【詳解】根據(jù)全稱量詞命題的否定有：命題“”的否定是：.故選：C3.盒中有3個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中1個(gè)白球、2個(gè)紅球，從中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，則兩次都摸出紅球的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用列舉法列出所有可能結(jié)果，再根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算可得.【詳解】記1個(gè)白球?yàn)椋?個(gè)紅球分別為、，現(xiàn)從中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，則可能結(jié)果有、、、、、共個(gè)，其中兩次都摸出紅球的有、，所以所求概率.故選：A4.已知向量，向量滿足，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)出，根據(jù)題意利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算列式運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)，則，由，得，又，得，即，聯(lián)立，解得..故選：C.5.已知，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合中間量法求解即可.【詳解】，又，且，所以，即，所以.故選：A.6.根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，某市未來(lái)新能源汽車保有量基本滿足模型，其中（單位：萬(wàn)輛）為第年底新能源汽車的保有量，為年增長(zhǎng)率，為飽和度，為初始值.若該市2023年底的新能源汽車保有量是20萬(wàn)輛，以此為初始值，以后每年的增長(zhǎng)率為，飽和度為1300萬(wàn)輛，那么2033年底該市新能源汽車的保有量約為（）（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）A.65萬(wàn)輛 B.64萬(wàn)輛 C.63萬(wàn)輛 D.62萬(wàn)輛【答案】B【解析】【分析】把已知數(shù)據(jù)代入模型，求出對(duì)應(yīng)的值即可．【詳解】根據(jù)題中所給模型，代入有關(guān)數(shù)據(jù)，注意以2023年的為初始值，則2033年底該省新能源汽車保有量為，因?yàn)?，所以，所以，所?033年底該市新能源汽車的保有量約為64萬(wàn)輛.故選：B.7.已知點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則線段長(zhǎng)度的最小值為（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】由題意可得，則當(dāng)取得最小值時(shí)，線段長(zhǎng)度的最小，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出的最小值即可得解.【詳解】圓的圓心，半徑，由題意可得，則，則當(dāng)取得最小值時(shí)，線段長(zhǎng)度的最小，，所以.故選：D.8.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】化為，利用二倍角公式即可即可求解.【詳解】因?yàn)?，所?故選：D9.已知三棱錐三視圖如圖所示，則該三棱錐中最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為（）A.4 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件，將三視圖還原成直觀圖，根據(jù)幾何體中的線面關(guān)系，分別求出各棱長(zhǎng)即可求解.【詳解】根據(jù)幾何體的三視圖，將幾何體還原成直觀圖如圖：根據(jù)已知條件有，，平面；過(guò)作的垂線垂足為，，，在中，有，，，所以；在中，，，，所以；因?yàn)槠矫?，平面，所以，同理；在中，，，，所以；在中，，，，所以；綜上所述，三棱錐中最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為.故選：C10.在數(shù)列中，已知，且滿足，則數(shù)列的前2024項(xiàng)的和為（）A.3 B.2 C.1 D.0【答案】A【解析】【分析】用去換中的，得，相加即可得數(shù)列的周期，再利用周期性運(yùn)算得解.【詳解】由題意得，用替換式子中的，得，兩式相加可得，即，所以數(shù)列是以6為周期的周期函數(shù).又，，.所以數(shù)列得前2024項(xiàng)和.故選：A.11.設(shè)是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，是漸近線上位于第二象限的點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，求出，，進(jìn)而求出，在中，由正弦定理列式求得，再根據(jù)離心率公式運(yùn)算得解.【詳解】如圖，根據(jù)題意可得，，，又，，，，在中，由正弦定理可得，，即，化簡(jiǎn)得，.故選：D.12.已知不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法求出，即為所求.【詳解】不等式有解，即，，只需要，令，，，令，，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，所以存在，使得，即，，，即；，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，又由，可得，..故選：A.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：由題意問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，即只要.二、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.13.已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則|z|＝__.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算計(jì)算得，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可得結(jié)果.【詳解】∵，∴|z|＝1.故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式，屬于基礎(chǔ)題.14.數(shù)列中，是數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，數(shù)列為等差數(shù)列，則__________.【答案】57【解析】【分析】根據(jù)題意，求出數(shù)列的通項(xiàng)，進(jìn)而求得，利用分組求和得解.【詳解】令，，，，又?jǐn)?shù)列為等差數(shù)列，所以公差，，即，，.故答案為：57.15.所有棱長(zhǎng)均為6的三棱錐，其外接球和內(nèi)切球球面上各有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線段長(zhǎng)度的最大值為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，正四面體的外接球和內(nèi)切球的球心重合且在正四面體的內(nèi)部，求出外接球半徑，內(nèi)切球半徑，線段長(zhǎng)度的最大值為得解.【詳解】由正四面體的棱長(zhǎng)為6，則其外接球和內(nèi)切球的球心重合且在正四面體的內(nèi)部，設(shè)球心為，如圖，連接并延長(zhǎng)交底面于，則平面，且為底面的中心，所以，在中，可求得，設(shè)外接球半徑為，內(nèi)切球半徑為，則，解得，，所以線段長(zhǎng)度的最大值為.故答案為：.16.已知為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)直線上的動(dòng)點(diǎn)作拋物線的切線，切點(diǎn)分別是，則直線過(guò)定點(diǎn)__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再根據(jù)切線過(guò)點(diǎn)，從而可確定直線的方程，進(jìn)而可得出答案.【詳解】設(shè)，由，得，則，則拋物線在點(diǎn)處得切線方程為，即，又，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)在切線上，所以，①同理可得，②由①②可得直線的方程為，所以直線過(guò)定點(diǎn).故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過(guò)特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過(guò)定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來(lái)證明.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必做題：共60分.17.在中，角所對(duì)的邊分別為，且（1）求角的大?。唬?）若，求的值．【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）利用正弦定理將已知的式子統(tǒng)一成角的形式，再利用三角函數(shù)恒等變換公式化簡(jiǎn)計(jì)算可求出角，（2）利用余弦定理結(jié)合已知條件直接求解【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以由正弦定理得?所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以【小?wèn)2詳解】因?yàn)?，，所以由余弦定理得，所以，解?8.如圖，在四棱錐中，平面，是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見(jiàn)詳解（2）【解析】【分析】（1）先證明平面，再根據(jù)線面垂直的判定定理證明；（2）根據(jù)題意，又平面，所以得解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，，又，平面，平面，平面，，平面，平面.【小問(wèn)2詳解】根據(jù)題意，得，又，平面，平面，所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，又，又平面，，.19.某企業(yè)積極響應(yīng)政府號(hào)召，大力研發(fā)新產(chǎn)品，爭(zhēng)創(chuàng)世界名牌.為了對(duì)研發(fā)的一批最新產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，該企業(yè)將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到一組銷售數(shù)據(jù)，如表所示：?jiǎn)蝺r(jià)（千元）45678銷量（百件）6764615850（1）若變量具有線性相關(guān)關(guān)系，求產(chǎn)品銷量（百件）關(guān)于試銷單價(jià)（千元）的線性回歸方程；（2）用（1）中所求的線性回歸方程得到與對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品銷量的估計(jì)值.當(dāng)銷售數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的殘差的絕對(duì)值時(shí)，則將銷售數(shù)據(jù)稱為一個(gè)“精準(zhǔn)銷售”.現(xiàn)從5個(gè)銷售數(shù)據(jù)中任取2個(gè)，求“精準(zhǔn)銷售”至少有1個(gè)的概率.參考數(shù)據(jù)：參考公式：線性回歸方程中的估計(jì)值分別為【答案】19.20.【解析】【分析】（1）按照所給的參考公式，計(jì)算可得到線性回歸方程；（2）先求出5個(gè)銷售數(shù)據(jù)中精準(zhǔn)銷售的個(gè)數(shù)，再根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算.【小問(wèn)1詳解】由題意，，，，結(jié)合參數(shù)數(shù)據(jù)得，，所以線性回歸方程為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，，則，所以為一個(gè)精準(zhǔn)銷售，當(dāng)時(shí)，，，則，所以為一個(gè)精準(zhǔn)銷售，當(dāng)時(shí)，，，則，所以為一個(gè)精準(zhǔn)銷售，當(dāng)時(shí)，，，則，所以不是一個(gè)精準(zhǔn)銷售，當(dāng)時(shí)，，，則，所以不是一個(gè)精準(zhǔn)銷售.記三個(gè)精準(zhǔn)銷售為，兩個(gè)非精準(zhǔn)銷售為，則從5個(gè)銷售數(shù)據(jù)中任選2個(gè)，對(duì)應(yīng)的基本事件有：，，，，，，，，，，其中滿足要求的共有9個(gè)，所以“精準(zhǔn)銷售”至少有1個(gè)的概率為.20.已知橢圓的上下頂點(diǎn)分別為，左右頂點(diǎn)分別為，四邊形的面積為，若橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的最大值和最小值之和為6.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線與交于（異于）兩點(diǎn)，設(shè)直線與直線交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在定直線上.【答案】20.21.證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）設(shè)橢圓上的一點(diǎn)，則，表達(dá)出到右焦點(diǎn)的距離，從而得到最大值，最小值，得到方程，求出，根據(jù)四邊形的面積求出，得到，求出橢圓方程；（2）先考慮過(guò)點(diǎn)且斜率不存在時(shí)，得到點(diǎn)在直線，再考慮過(guò)點(diǎn)且斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積，得到，表達(dá)出的方程，聯(lián)立后結(jié)合得到，求出點(diǎn)在直線上，證畢.小問(wèn)1詳解】設(shè)右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，橢圓上的一點(diǎn)，則，故，即，則到右焦點(diǎn)的距離，因?yàn)椋裕?，故，即橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的最大值為，最小值為，故，解得，又四邊形面積為，故，所以，橢圓方程為；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)過(guò)點(diǎn)且斜率不存在時(shí)，直線方程為，中，令得，，不妨設(shè)，直線，即，同理可得，聯(lián)立得，，故點(diǎn)在直線上，當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線方程設(shè)為，聯(lián)立得，設(shè)，則，兩式相除得，直線，直線，聯(lián)立得，，故，解得，將代入上式中，得，要想恒成立，則，故點(diǎn)在定直線上，綜上，點(diǎn)在定直線上.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；（2）直接推理計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.21.已知函數(shù).（1）若是上的單調(diào)遞增函數(shù)，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式，求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求解即可；（2）根據(jù)已知條件先對(duì)函數(shù)放縮，探究時(shí)，對(duì)恒成立；再利用換元法探究當(dāng)與時(shí)的情況，從而求得的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，若是上的單調(diào)遞增函數(shù)，則在上有恒成立，即，所以有，令，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)有：，則，所以，所以，綜上，是上的單調(diào)遞增函數(shù)，.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，令，對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，，當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立；當(dāng)時(shí)，令，，因?yàn)闉閱握{(diào)遞增函數(shù)，令，解得，，，，此時(shí)，不恒成立，即不恒成立；綜上，當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用分離參數(shù)法確定不等式（，為參數(shù)）恒成立問(wèn)題中參數(shù)范圍的步驟：1.將參數(shù)與變量分離，不等式化為或的形式；2.求在時(shí)的最大值或者最小值；3.解不等式或，得到的取值范圍.（二）選做題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是曲線（為參數(shù)）上的動(dòng)點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，以極點(diǎn)為中心，將線段逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，射線與曲線分別交于兩點(diǎn)，求的面積.【答案】（1）曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為（2）【解析】【分析】（1）先求出曲線的普通方程，再根據(jù)即可求出曲線的極坐標(biāo)方程，結(jié)合已知，即可求得曲線的極坐標(biāo)方程；（2）先求出點(diǎn)到射線的距離，再分別求出，即可求出，進(jìn)而可得出答案.【小問(wèn)1詳解】將曲線（為參數(shù)）轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，得，又，所以，整理得，即曲線的極坐標(biāo)方程為，以極點(diǎn)為中心，將線段逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，則點(diǎn)的極坐標(biāo)為，又點(diǎn)在曲線上，所以即曲線的極坐標(biāo)方