2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第4章 正弦定理、余弦定理

正弦定理、余弦定理

【考試要求】1.掌握正弦定理、余弦定理及其變形.2.能利用正弦定理、余弦定理解決一些簡單

的三角形度量問題.

【知識(shí)梳理】

1.正弦定理與余弦定理

定理正弦定理余弦定理

〃2=匕2+/—2/730$A；

abc

內(nèi)容==拄=。2+〃2-2C4COSB；

sinAsinBsinC

/=〃2+〃2-2〃慶05C

(l)a=2HsinA,

尼+c2一屋

cosA-；

b=2RsinB,2bc

c=22sinC；/+Q2—加

變形cosB-c；

2ac

(2)asinB=bsinAf

層+按一，

Z?sinC=csmB,cosC—_7

2ab

“sinC=csinA

2.三角形中常用的面積公式

(l)S=%〃，/za表示邊a上的高)；

(2)5=1aZ?sinC=^acsinB=^bcsmA；

(3)S=：(i+b+c)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑).

【常用結(jié)論】

在△ABC中，常有以下結(jié)論：

(1)ZA+ZB+ZC=TC.

(2)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.

(3)6Z>/?<4A>B<4sinA>sinB,cosA<cosB.

,??.A+BC

(4)sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=_cosC；tan(A+B)=-tanC；sin~-~=cos-；cos

.C

sin—.

(5)三角形中的射影定理

在△ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA~\~acosB.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”）

（D三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角之比.（x）

（2）在△ABC中，若sinA>sin8,貝|A>R（V）

（3）在△ABC的六個(gè)元素中，已知任意三個(gè)元素可求其他元素.（X）

（4）當(dāng)序+/一次>0時(shí)，ZiABC為銳角三角形.（x）

【教材改編題】

1.在△ABC中，AB=5,AC=3,BC=1,則N8AC等于（）

A71

A6

生琮

3

答案C

解析因?yàn)樵凇鰽BC中，

設(shè)AB=c=5,AC—b—3,BC—a—1,

所以由余弦定理得

"+<?一"9+25—491

cosABAC—-2bc—-—30

因?yàn)?BAC為△ABC的內(nèi)角,

所以NBAC=可.

2.在△ABC中，若A=60。，a=4\f3,6=46，貝!J8=.

答案45°

b

解析由正弦定理知一區(qū)

sinB'

又a>b,則"3,所以B為銳角，故2=45。.

3.在△ABC中，a=2,b=3,C=60°,則c=,△ABC的面積=

答案S乎

解析易知c=\^4+9—2X2X3X：=S,

AABC的面積等于:*2X3x4=歲.

題型一利用正弦定理、余弦定理解三角形

例1（12分）（2021?新高考全國I）記的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知^=

ac,點(diǎn)。在邊AC上，BDsinZABC=asmC.

(1)證明：?［切入點(diǎn)：角轉(zhuǎn)化為邊］

(2)若AO=2Z)C,求cos/ABC［關(guān)鍵點(diǎn)：N8D4和NBOC互補(bǔ)］

【高考改編】

在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為mb,c,已知bsinC+asinA=6sin3+csinC.

⑴求A;

(2)設(shè)。是線段BC的中點(diǎn)，若c=2,AD=江,求a

解(1)根據(jù)正弦定理，

由bsinC+asinA=6sinB+csinC,

可得bc+a2=b2+c2,

即bc=b2-\-c2-a2,

加+廿一〃21

由余弦定理可得，cos4=盜W，

2bc2

因?yàn)锳為三角形內(nèi)角，

所以A昔

(2)因?yàn)?。是線段8c的中點(diǎn)，c=2,AD=V13,

所以

則cosZADB+cosZADC=0,

2

?砂+沙一已―2g+DG—AC

斤又2ADBD_2ADDC~-0,

儲(chǔ)a2

13+T-2213十一一尻

即一一+——=。，

2折彳2叱

整理得層=2廿—44,

又a2—b2+c2-2bccosA—b2+4—2b,

所以〃+4—26=2〃-44,

解得b=6或6=—8(舍)，

因此次=2〃-44=28,

所以a=2五

思維升華解三角形問題的技巧

(1)解三角形時(shí)，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含

有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理，以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理

都有可能用到.

(2)三角形解的個(gè)數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊

和一邊的對(duì)角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對(duì)大角定理進(jìn)

行判斷.

2冗

跟蹤訓(xùn)練1(2021?北京)已知在△ABC中，c=2bcosB,C=~.

(1)求B的大小；

(2)在下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使AABC存在且唯一確定，并求出8C邊上的中線

的長度.

①c=gb；②周長為4+2>/5;③面積為

角星(1)Vc=2/?cosB,

則由正弦定理可得sinC=2sinBcosB,

2兀g2兀

Asin2B=sin—VC=—,

323

.".BG(0,；),2Be(0,中)，

2B—^,解得B=3

36

(2)若選擇①：由正弦定理結(jié)合(1)可得

戶bsin毀B]_+6，

2

與c=\/ib矛盾,故這樣的△ABC不存在；

若選擇②：由(1)可得

設(shè)△ABC的外接圓半徑為R,

則由正弦定理可得a=b=2Rsm?=H,

o

c=2Rsin^=\l3R,

則周長為a+b+c=2R+\f3R=4+2\f3,

解得R=2,則Q=2,C=2\/3,

由余弦定理可得3C邊上的中線的長度為

^J(2\^)2+12-2X2\/3X1XCOS^=\/7；

若選擇③：由(1)可得4=3即a=6,

6

貝S^ABc=^absmC=^2X^y=^^,

解得4=3,

則由余弦定理可得8c邊上的中線的長度為

孚.

題型二正弦定理、余弦定理的簡單應(yīng)用

命題點(diǎn)1三角形形狀判斷

例2在△ABC中，一=sin2gq,從。分別為角a,'C的對(duì)邊），則的形狀為（）

2c2

A.直角三角形

B.等邊三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

答案A

解析由cos8=1—Zsil?與，

得sin??=1-cosB

2

1—cosB

所以-2-

即cosB=~.

c

層+■一反

方法一由余弦定理得:="a,

即次+c2—勿=2層，

所以02+62=^2.所以AABC為直角三角形，無法判斷兩直角邊是否相等.

方法二由正弦定理得cos8=岑，

sinC

又sinA=sin（B+Q=sinBcosC+cosBsinC,

所以cosBsinC=sinBcosC+cosBsinC,

即sin5cosC=09又sin3WO,

所以cosC=0,又角。為三角形的內(nèi)角，

所以。=5所以為直角三角形，無法判斷兩直角邊是否相等.

延伸探究將"°a=sin2g"改為"也3+。+〃）（》+。-〃）=3歷"，試判斷△A3C的

2c2smBc

形狀.

名力h3sinAa

解因?yàn)橐籢=一,

sinBc

所以?=、所以6=c.

bc

又S+c+〃)(Z?+c—d)=3bc,

222

所以b-\~c—a=bc9

萬+/一次be1

所以cosA=

2bc2bc~2'

rr

因?yàn)锳G(0,7r),所以A=],

所以AABC是等邊三角形.

思維升華判斷三角形形狀的兩種思路

(1)化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.

(2)化角：通過三角恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.此時(shí)要注意應(yīng)用A

+B+C=TI這個(gè)結(jié)論.

命題點(diǎn)2三角形的面積

例3(2022?滄州模擬)在①sinA,sinC,sinB成等差數(shù)列；②a：b：c=4：3：2；③bcosA

=1這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中.若問題中的三角形存在，求該三角形面積

的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.

問題：是否存在△ABC,它的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a(sinA—sin8)+/?in

B=csinC,c=\,?

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

解因?yàn)閍(sinA—sin8)+6sin8=csinC,

由正弦定理得a(a—b)+b2=c2,

即a2+Z>2—

又CG(0,兀)，

所以C=j.

選擇①：

因?yàn)閟inA,sinC,sin3成等差數(shù)列，

所以sinA+sinB=2sinC,即a+b=2c=2,

由a2+b2—c1=a2+b2—l=ab,

得(a+32—3ab=1,所以ab=1,

故存在滿足題意的△ABC,

11兀#

SAABc=-absinC=-X1Xsin

選擇②：

因?yàn)閍：Z?：c=4：3：2,

所以A>8>C=*

這與A+8+C=7t矛盾，所以△ABC不存在.

選擇③:

因?yàn)?cosA=l,

Z?2+1一屋

所以"，^=1,

得62=1+次=/+/,

所以8=]此時(shí)AABC存在.

又C=g,所以A=g

JO

所以〃=lXtan?=*,

o3

所以&ABC=[〃C=好.

20

思維升華三角形面積公式的應(yīng)用原則

(1)對(duì)于面積公式S=%6sinC=|ncsinB=|z?csinA,一般是已知哪一個(gè)角就使用哪一個(gè)公式.

(2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化.

命題點(diǎn)3與平面幾何有關(guān)的問題

例4如圖，在平面四邊形A8CD中，已知A苦，B=y,AB=6.在AB邊上取點(diǎn)E,使得

BE=1,連接EC,ED若/CED=￡,EC=?

⑴求sinZBCE的值；

⑵求CD的長.

解(1)在△BEC中，由正弦定理，

如BE_CE

口sin/BCEsinB

VB=y,BE=1,CE=\[i,

3

(2)'：ZCED=B=-9

:?/DEA=/BCE,

cosZDEA=A/1-sin2ZD￡A

=Nl_sin2/BCE='/l_^=吟

VZo14

.?.△AED為直角三角形，又AE=5,

：.ED=-0=3=23.

cosADEA5s

IT

在△CEO中，

CD2=CE2+DE2-ICEDEcosZCED

=7+28-2xgx2sx(-￡)=49.

:.CD=7.

思維升華平面幾何圖形中研究或求與角有關(guān)的長度、角度、面積的最值、優(yōu)化設(shè)計(jì)等問題,

通常是轉(zhuǎn)化到三角形中，利用正、余弦定理通過運(yùn)算的方法加以解決.在解決某些具體問題

時(shí)，常先引入變量，如邊長、角度等，然后把要解三角形的邊或角用所設(shè)變量表示出來，再

利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函數(shù)思想.

跟蹤訓(xùn)練2(1)在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,若c—acos8=(2。一

b)cosA,則△ABC的形狀為()

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D,等腰或直角三角形

答案D

解析因?yàn)閏—dicosB=(2a—/?)cosA,

C—Ti—(A+B),

所以由正弦定理得sinC—sinAcosB

=2sinAcosA—sin5cosA,

所以sinAcosB+cosAsinB—sinAcosB

=2sinAcosA—sin5cosA,

所以cosA(sinB—sinA)=0,

所以cosA=0或sinB=sinA,

所以A=5或B=A或3=兀一A(舍去)，

所以△ABC為等腰或直角三角形.

2

⑵(2022?鄭州模擬)如圖，在△45。中，AB=9,cos5=1,點(diǎn)。在5C邊上，AD=1,ZADB

為銳角.

①求BD；

②若NBAO=/D4C,求sinC的值及CD的長.

解①在△A3。中，由余弦定理得

AB2+BD2-2ABBDCOSB^AD2,

整理得8。2-1280+32=0,

所以80=8或BD=4.

16+49-812

當(dāng)BD=4時(shí)，cos/A￡)B=

2X4X7?

則乙4。8＞多不符合題意，舍去;

64+49-812

當(dāng)BD=8時(shí)，cos/ADB

—2X8X7-7'

則乙4。8號(hào)符合題意，所以80=8.

②在中,

A爐+4。2—

cosZBAD

2ABAD

92+72-8211

2X9X7-21'

所以sinZBA￡)=^p,

又sin/ADB,

所以sinC=sin(ZADB-ZCAD)

=sm(ZADB-ZBAD)

=sinZA￡>BcosZBAZ)—cosZADBsinZBAD

_3V5X112x8\/5_17\/5

X2i_7X^r-147?

在“8中,由正弦定理得人FA。

sinC

即CD=^-sinZCAD=~~：X8g392

sinC17y5

147

課時(shí)精練

〃2+/72—才

1.△ABC的內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若△ABC的面積為—-——，則。等于（）

兀

八

一B一

2

3

兀兀

A.-

C

一D一

.

4

6

答嗪

C

式知

面積公

角形的

意及三

根據(jù)題

解析

2

2

2

7—C

?+/

1

-,

----

-----

----

nC

54Z?si

一/

層+/

?

七2

,

cosC

----=

---

=---

sinC

所以

2ab

=j.

中，C

BC

在△A

所以

（）

等于

則c

nB,

=6si

inA

8,s

26=

。，a+

=60

中，C

BC

在△A

模擬）

西城區(qū)

?北京

（2022

2.

5

D.

C.6

/31

B.\

A而

B

答案

5,

6sin

inA=

因?yàn)閟

解析

60,

得。=

理可

弦定

由正

=l,

6,b

以Q=

8,所

28=

又〃+

°

=60

因?yàn)镃

9

2

2

2

,

bcosC

—2a

a+b

c=

所以

2

2

2

i,

X6x

2Xl

+l-

=6

即c

.

=病

解得c

7

！

,貝

A=—

cos2

〃=4,

c,

〃，b,

別為

邊分

應(yīng)的

,。對(duì)

A,B

內(nèi)角

C的

△AB

已知

3.

）

（

半徑為

外接圓

3

5

-

-D

3C

B.

A.5

2

2

C

答案

7

，

—玉

A=

cos2

因?yàn)?/p>

解析

7

-

石，

A=一

sin2

1—2

所以

4

,

=±-

sinA

解得

,兀），

A￡（0

因?yàn)?/p>

4

~,

sinA=

所以

a4

又Q=4,所以2R=~~5,

sinA4

5

所以R=|.

4.（2022?河南九師聯(lián)盟聯(lián)考）在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若c=26,sin2A

—3sin2B=^sinAsinC,則角C等于（）

「兀兀

C2DT

答案B

解析\"sin2A—3sin2B=|sinAsinC,

由正弦定理可得層一3按=，以

；c=2b,

a2—3b2=$2b=ab,

由余弦定理可得

4Z2+Z?2—c2a2—3b21

cosC=----------=~—:-=二，

2ab2ab2

71

'：0<C<n,：.C=-

5.（2022?濟(jì)南模擬）在/、A臺(tái)。中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,2從inA=gacos8,AB

=2,AC=2也，。為BC的中點(diǎn)，E為AC上的點(diǎn)，且3E為NA3C的角平分線，下列結(jié)論

正確的是（）

A.cosNBAC=~~~B.S^ABC=34

O

C.BE=2D.AD=2由

答案A

解析由正弦定理可知

2sinBsinA=\/5sinAcosB,

VsinA^O,

2sinB=\/5cosB.

又sin2B+cos2B=l,

2

...si.nn*cosR

在△ABC中，

AC2=AB2+BC1-2ABBCCOSB,

得BC=6.

A項(xiàng),

AB-+AC?-B(?4+24-36

cosXBAC—

2,ABAC2X2X2加

=一坐,故A正確;

o

B項(xiàng)，S的c=%BBCsinB=3x2X6X*=2卡,故B錯(cuò)誤;

C項(xiàng)，由角平分線性質(zhì)可知瞥=券=3

/SCnCJ

..AE=—.

2

BE2=AB2+AE2-2AB-AEcosA

=4+>2X2X坐義（一當(dāng)噂

：.BE=^,故C錯(cuò)誤；

D項(xiàng)，在△A3。中，

AE）2^AB2+BD2-'2ABBDCOSB

2

=4+9-2X2X3X-=5,

;.AD=\B,故D錯(cuò)誤.

6.（2022?張家口質(zhì)檢）下列命題中，不正確的是（）

A.在△ABC中，A>8,貝UsinA>sinB

B.在銳角AABC中，不等式sinA>cos8恒成立

C.在△ABC中，若acosA=6cos3,則△ABC必是等腰直角三角形

D.在△A8C中，若8=60。，b2=ac,則△ABC必是等邊三角形

答案C

解析對(duì)于A,由4>8,可得a>6,

利用正弦定理可得sin4>sinB,正確；

對(duì)于B,在銳角AABC中，A,Befo,如，

?：A+B>^,

：.^>A>^-B>0,

二?sinA>sing—Bj=cosB,

.二不等式sinA>cosB恒成立,正確;

對(duì)于C,在△ABC中，由〃cosA