有限元方法 第五章 平面三角形單元

關(guān)于有限元方法第五章平面三角形單元一、有限元法的基本思想

假想的把一連續(xù)體分割成數(shù)目有限的小體（單元），彼此間只在數(shù)目有限的指定點(diǎn)（結(jié)點(diǎn)）出相互連結(jié)，組成一個(gè)單元的集合體以代替原來(lái)的連續(xù)體，再在結(jié)點(diǎn)上引進(jìn)等效力以代替實(shí)際作用于單元上的外力。選擇一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)近似地表示位移分量的分布規(guī)律，建立位移和節(jié)點(diǎn)力之間的關(guān)系。

有限元法的實(shí)質(zhì)是：把有無(wú)限個(gè)自由度的連續(xù)體，理想化為只有有限個(gè)自由度的單元集合體，使問(wèn)題簡(jiǎn)化為適合于數(shù)值解法的結(jié)構(gòu)型問(wèn)題?！?-1有限元法的基本思想第2頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、經(jīng)典解與有限元解的區(qū)別：

微分

數(shù)目增到∞建立一個(gè)描述連續(xù)體經(jīng)

典

解

法——（解析法）

大小趨于

0

性質(zhì)的偏微分方程

有限單元離散化集合總體分析解有限元法——連續(xù)體——單元——代替原連續(xù)體（近似法）

（單元分析）線性方程組第3頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天xy為平面應(yīng)力問(wèn)題，由于結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性可取結(jié)構(gòu)的1/4來(lái)研究，故所取的力學(xué)模型三、有限元法算題的基本步驟1.力學(xué)模型的選?。ㄆ矫鎲?wèn)題，平面應(yīng)變問(wèn)題，平面應(yīng)力問(wèn)題，軸對(duì)稱問(wèn)題，空間問(wèn)題，板，梁，桿或組合體等，對(duì)稱或反對(duì)稱等）例如：第4頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天

根據(jù)題目的要求，可選擇適當(dāng)?shù)膯卧呀Y(jié)構(gòu)離散化。對(duì)于平面問(wèn)題可用三角元，四邊元等。2.單元的選取、結(jié)構(gòu)的離散化例如：第5頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天結(jié)構(gòu)離散化后，要用單元內(nèi)結(jié)點(diǎn)的位移通過(guò)插值來(lái)獲得單元內(nèi)各點(diǎn)的位移。在有限元法中，通常都是假定單元的位移模式是多項(xiàng)式，一般來(lái)說(shuō)，單元位移多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)應(yīng)與單元的自由度數(shù)相等。它的階數(shù)至少包含常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)。至于高次項(xiàng)要選取多少項(xiàng)，則應(yīng)視單元的類型而定。3.選擇單元的位移模式（5-1）——單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移列陣；——單元的結(jié)點(diǎn)位移列陣；——單元的形函數(shù)矩陣；（它的元素是任一點(diǎn)位置坐標(biāo)的函數(shù)）第6頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天4.單元的力學(xué)特性分析

把（5-1）式代入幾何方程可推倒出用單元結(jié)點(diǎn)位移表示的單元應(yīng)變表達(dá)式：（5-2）式中：——單元內(nèi)任一點(diǎn)應(yīng)變列陣；——單元的應(yīng)變矩陣；（它的元素仍為位置坐標(biāo)的函數(shù)）

再把（３－２）式代入物理方程，可導(dǎo)出用單元結(jié)點(diǎn)位移列陣表示的單元應(yīng)力表達(dá)式：（5-3）第7頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天最后利用彈性體的虛功方程建立單元結(jié)點(diǎn)力陣與結(jié)點(diǎn)位移列陣之間的關(guān)系，即形成單元的剛度方程式： 式中：——單元內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力列陣；——單元的彈性矩陣，（它與材料的特性有關(guān)）式中：——單元?jiǎng)偠染仃嚕?-4）（5-5）第8頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天考慮整體結(jié)構(gòu)的約束情況，修改整體剛度方程之后，（5-6）式就變成以結(jié)點(diǎn)位移為未知數(shù)的代數(shù)方程組。解此方程組可求出結(jié)點(diǎn)位移。

用直接剛度法將單剛

組集成總綱

，并將

組集成總載荷列陣

，形成總體結(jié)構(gòu)的剛度方程：（5-6）解出整體結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移列陣

后，再根據(jù)單元結(jié)點(diǎn)的編號(hào)找出對(duì)應(yīng)于單元的位移列陣

，將

代入（5-3）式就可求出各單元的應(yīng)力分量值。5.建立整體結(jié)構(gòu)的剛度方程6.求解修改后的整體結(jié)構(gòu)剛度方程7.由單元的結(jié)點(diǎn)位移列陣計(jì)算單元應(yīng)力第9頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天

求解出整體結(jié)構(gòu)的位移和應(yīng)力后，可有選擇地整理輸出某些關(guān)鍵點(diǎn)的位移值和應(yīng)力值，特別要輸出結(jié)構(gòu)的變形圖、應(yīng)力圖、應(yīng)變圖、結(jié)構(gòu)仿真變形過(guò)程動(dòng)畫(huà)圖及整體結(jié)構(gòu)的彎矩、剪力圖等等。8.計(jì)算結(jié)果輸出第10頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、離散化

在運(yùn)用有限單元法分析彈性力學(xué)平面問(wèn)題時(shí)，第一步就是要對(duì)彈性體進(jìn)行離散化，把一個(gè)連續(xù)的彈性體變換為一個(gè)離散的結(jié)構(gòu)物。對(duì)于平面問(wèn)題，三角形單元是最簡(jiǎn)單、也是最常用的單元，在平面應(yīng)力問(wèn)題中，單元為三角形板，而在平面應(yīng)變問(wèn)題中，則是三棱柱。

假設(shè)采用三角形單元，把彈性體劃分為有限個(gè)互不重疊的三角形。這些三角形在其頂點(diǎn)（即節(jié)點(diǎn)）處互相連接，組成一個(gè)單元集合體，以替代原來(lái)的彈性體。同時(shí)，將所有作用在單元上的載荷（包括集中載荷、表面載荷和體積載荷），都按虛功等效的原則移置到節(jié)點(diǎn)上，成為等效節(jié)點(diǎn)載荷。由此便得到了平面問(wèn)題的有限元計(jì)算模型，如圖3-1所示。

§5-2三角形常應(yīng)變單元第11頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天

圖3-1彈性體和有限元計(jì)算模型第12頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天

圖3--2平面三角形單元第13頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、位移

首先，我們來(lái)分析一下三角形單元的力學(xué)特性，即建立以單元節(jié)點(diǎn)位移表示單元內(nèi)各點(diǎn)位移的關(guān)系式。設(shè)單元e的節(jié)點(diǎn)編號(hào)為i、j、m，如圖3-2所示。由彈性力學(xué)平面問(wèn)題可知，每個(gè)節(jié)點(diǎn)在其單元平面內(nèi)的位移可以有兩個(gè)分量，所以整個(gè)三角形單元將有六個(gè)節(jié)點(diǎn)位移分量，即六個(gè)自由度。用列陣可表示為：其中的子矩陣（i，j，m輪換）(a)式中

ui、vi

是節(jié)點(diǎn)i在x軸和y軸方向的位移。(5-7)第14頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天

從彈性力學(xué)平面問(wèn)題的解析解法中可知，如果彈性體內(nèi)的位移分量函數(shù)已知，則應(yīng)變分量和應(yīng)力分量也就確定了。但是，如果只知道彈性體中某幾個(gè)點(diǎn)的位移分量的值，那么就不能直接求得應(yīng)變分量和應(yīng)力分量。因此，在進(jìn)行有限元分析時(shí)，必須先假定一個(gè)位移模式。由于在彈性體內(nèi)，各點(diǎn)的位移變化情況非常復(fù)雜，很難在整個(gè)彈性體內(nèi)選取一個(gè)恰當(dāng)?shù)奈灰坪瘮?shù)來(lái)表示位移的復(fù)雜變化，但是如果將整個(gè)區(qū)域分割成許多小單元，那么在每個(gè)單元的局部范圍內(nèi)就可以采用比較簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)近似地表示單元的真實(shí)位移，將各單元的位移式連接

在有限單元法中，雖然是用離散化模型來(lái)代替原來(lái)的連續(xù)體，但每一個(gè)單元體仍是一個(gè)彈性體，所以在其內(nèi)部依然是符合彈性力學(xué)基本假設(shè)的，彈性力學(xué)的基本方程在每個(gè)單元內(nèi)部同樣適用。第15頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天起來(lái)，便可近似地表示整個(gè)區(qū)域的真實(shí)位移函數(shù)。這種化繁為簡(jiǎn)、聯(lián)合局部逼近整體的思想，正是有限單元法的絕妙之處。

基于上述思想，我們可以選擇一個(gè)單元位移模式，單元內(nèi)各點(diǎn)的位移可按此位移模式由單元節(jié)點(diǎn)位移通過(guò)插值而獲得。線性函數(shù)是一種最簡(jiǎn)單的單元位移模式，故設(shè)(b)式中

1、

2、…

6是待定常數(shù)。因三角形單元共有六個(gè)自由度，且位移函數(shù)u、v在三個(gè)節(jié)點(diǎn)處的數(shù)值應(yīng)該等于這些點(diǎn)處的位移分量的數(shù)值。假設(shè)節(jié)點(diǎn)i、j、m的坐標(biāo)分別為（xi,

yi

）、（xj,

yj

）、（xm,

ym

），代入(b)式，得：第16頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天(c)由(c)式左邊的三個(gè)方程可以求得(d)其中(5-8)

從解析幾何可知，式中的

就是三角形i、j、m的面積。為保證求得的面積為正值，節(jié)點(diǎn)i、j、m的編排次序必須是逆時(shí)針?lè)较?，如圖5-2所示。第17頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天

圖5-2平面三角形單元將(d)式代入(b)式的第一式，經(jīng)整理后得到(e)第18頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天其中同理可得若令這樣，位移模式(e)和(f)就可以寫(xiě)為（i,j,m輪換）(5-10)（i,j,m輪換）(5-9)(f)第19頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天

式中I是二階單位矩陣；Ni、Nj、Nm是坐標(biāo)的函數(shù)，它們反映了單元的位移狀態(tài)，所以一般稱之為形狀函數(shù)，簡(jiǎn)稱形函數(shù)。矩陣[N]叫做形函數(shù)矩陣。三節(jié)點(diǎn)三角形單元的形函數(shù)是坐標(biāo)的線性函數(shù)。單元中任一條直線發(fā)生位移后仍為一條直線，即只要兩單元在公共節(jié)點(diǎn)處保持位移相等。則公共邊線變形后仍為密合。(5-11)也可寫(xiě)成矩陣形式(5-12)第20頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、應(yīng)變有了單元的位移模式，就可以利用平面問(wèn)題的幾何方程求得應(yīng)變分量。將(e)、(f)兩式代入上式，即得：(g)第21頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天可簡(jiǎn)寫(xiě)成

其中[B]矩陣叫做單元應(yīng)變矩陣，可寫(xiě)成分塊形式而子矩陣由于

和bi

、bj

、bm

、ci

、cj

、cm

等都是常量，所以矩陣[B]中的諸元素都是常量，因而單元中各點(diǎn)的應(yīng)變分量也都是常量，通常稱這種單元為常應(yīng)變單元。（i,j,m輪換）(3-15)(3-14)(3-13)第22頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天四、應(yīng)力

求得應(yīng)變之后，再將（3-13）式代入物理方程，便可推導(dǎo)出以節(jié)點(diǎn)位移表示的應(yīng)力。即(5-16)(h)(5-17)令則第23頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天其中[S]叫做應(yīng)力矩陣，若寫(xiě)成分塊形式，有對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題，彈性矩陣[D]為(5-18)(i)所以，[S]的子矩陣可記為（i,j,m輪換）(5-19)第24頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天

對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，只要將(i)式中的E換成E/1-

2

，

換成

/1-

，即得到其彈性矩陣(j)（i,j,m輪換）(5-20)第25頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天注意到（5-7）式，則有(5-21)

由（5-19）、（5-20）式不難看出，[S]中的諸元素都是常量，所以每個(gè)單元中的應(yīng)力分量也是常量。

可見(jiàn)，對(duì)于常應(yīng)變單元，由于所選取的位移模式是線性的，因而其相鄰單元將具有不同的應(yīng)力和應(yīng)變，即在單元的公共邊界上應(yīng)力和應(yīng)變的值將會(huì)有突變，但位移卻是連續(xù)的。第26頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天在上節(jié)中，提出了形函數(shù)的概念，即其中（i,j,m輪換）現(xiàn)在我們來(lái)討論一下形函數(shù)所具有的一些性質(zhì)。根據(jù)行列式的性質(zhì)：行列式的任一行（或列）的元素與其相應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和等于行列式的值，而任一行（或列）的元素與其他行（或列）對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和為零，并注意到（5-9）式中的常數(shù)ai

、bi

、ci

，aj

、bj

、§5-3形函數(shù)的性質(zhì)第27頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天cj

和am

、bm

、cm

分別是行列式2的第一行、第二行和第三行各元素的代數(shù)余子式，我們有⒈形函數(shù)在各單元節(jié)點(diǎn)上的值，具有“本點(diǎn)是1、它點(diǎn)為零”的性質(zhì)，即在節(jié)點(diǎn)i上，在節(jié)點(diǎn)j、m上，(a)(b)(c)第28頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天類似地有(d)⒉在單元的任一節(jié)點(diǎn)上，三個(gè)形函數(shù)之和等于1，即(e)第29頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天簡(jiǎn)記為(5-22)這說(shuō)明，三個(gè)形函數(shù)中只有二個(gè)是獨(dú)立的。

⒊三角形單元任意一條邊上的形函數(shù)，僅與該邊的兩端節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)、而與其它節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)無(wú)關(guān)。例如，在ij邊上，有(5-23)第30頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天

例如，對(duì)圖5-3所示的單元jm和ijn

，具有公共邊ij。這樣，不論按哪個(gè)單元來(lái)計(jì)算，根據(jù)（5-11）式，公共邊ij上的位移均由下式表示圖5-3由(5-23)式可知，在ij邊上式中Ni

,Nj

的表達(dá)形式如（5-23）式所示。(i)

利用形函數(shù)的這一性質(zhì)可以證明，相鄰單元的位移分別進(jìn)行線性插值之后，在其公共邊上將是連續(xù)的。第31頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天由此可見(jiàn)，在公共邊上的位移u、v

將完全由公共邊上的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)i、j

的位移所確定，因而相鄰單元的位移是保持連續(xù)的。為了在以后討論問(wèn)題中能夠比較方便地確定單元中任意一點(diǎn)處的形函數(shù)數(shù)值，這里引入面積坐標(biāo)的概念。

在圖5-4所示的三角形單元ijm中，任意一點(diǎn)P(x,y)的位置可以用以下三個(gè)比值來(lái)確定圖5-4

式中

為三角形單元ijm的面積，

i

、

j

、

m

分別是三角形Pjm、Pmi、Pij的面積。這三個(gè)比值就叫做P點(diǎn)的面積坐標(biāo)。(5-24)第32頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天顯然這三個(gè)面積坐標(biāo)并不是完全獨(dú)立的，由于所以有：而三角形pjm的面積為：故有：第33頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天類似地有(5-25)(5-26)

由此可見(jiàn)，前述的三角形常應(yīng)變單元中的形函數(shù)Ni

、Nj

、Nm就是面積坐標(biāo)Li

、Lj

、Lm。

根據(jù)面積坐標(biāo)的定義，我們不難發(fā)現(xiàn)，在平行jm邊的直線上的所有各點(diǎn)，都有相同的坐標(biāo)Li

，并且該坐標(biāo)就等于“該直線至jm邊的距離”與“節(jié)點(diǎn)i至jm邊的距離”之比，圖5-4中給出了Li

的一些等值線。第34頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天容易看出，單元三個(gè)節(jié)點(diǎn)的面積坐標(biāo)分別為節(jié)點(diǎn)i：

Li

=1Lj=0Lm

=0節(jié)點(diǎn)j：

Li

=0Lj=1Lm

=0

節(jié)點(diǎn)m：

Li

=0Lj=0Lm

=1不難驗(yàn)證，面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間存在以下變換關(guān)系：(5-27)第35頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天當(dāng)面積坐標(biāo)的函數(shù)對(duì)直角坐標(biāo)求導(dǎo)時(shí)，可利用下列公式：(5-28)第36頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天一.單元?jiǎng)偠染仃?/p>

為了推導(dǎo)單元的節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系，可應(yīng)用虛位移原理對(duì)圖5-2中的單元e進(jìn)行分析。單元e是在等效節(jié)點(diǎn)力的作用下處于平衡的，而這種節(jié)點(diǎn)力可采用列陣表示為(a)假設(shè)在單元e中發(fā)生有虛位移，則相應(yīng)的三個(gè)節(jié)點(diǎn)i、j、m

的虛位移為且假設(shè)單元內(nèi)各點(diǎn)的虛位移為{f*}，并具有與真實(shí)位移相同的位移模式?！?-4剛度矩陣第37頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天故有(c)參照（5-13）式，單元內(nèi)的虛應(yīng)變{

*}為于是，作用在單元體上的外力在虛位移上所做的功可寫(xiě)為(d)(f)而單元內(nèi)的應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的功為(g)第38頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天這里我們假定單元的厚度t為常量。把（d）式及（5-16）式代入上式，并將提到積分號(hào)的前面，則有根據(jù)虛位移原理，由（f）和（h）式可得到單元的虛功方程，即注意到虛位移是任意的，所以等式兩邊與相乘的項(xiàng)應(yīng)該相等，即得第39頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天記(5-32)則有(5-33)

上式就是表征單元的節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移之間關(guān)系的剛度方程，[k]e就是單元?jiǎng)偠染仃?。如果單元的材料是均質(zhì)的，那么矩陣[D]中的元素就是常量，并且對(duì)于三角形常應(yīng)變單元，[B]矩陣中的元素也是常量。當(dāng)單元的厚度也是常量時(shí)，因，所以（3-28）式可以簡(jiǎn)化為[k]e=[B]T[D][B]t

(5-34)第40頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天二整體剛度矩陣

討論了單元的力學(xué)特性之后，就可轉(zhuǎn)入結(jié)構(gòu)的整體分析。假設(shè)彈性體被劃分為N個(gè)單元和n個(gè)節(jié)點(diǎn)，對(duì)每個(gè)單元按前述方法進(jìn)行分析計(jì)算，便可得到N組形如（5-33）式的方程。將這些方程集合起來(lái)，就可得到表征整個(gè)彈性體的平衡關(guān)系式。為此，我們先引入整個(gè)彈性體的節(jié)點(diǎn)位移列陣{

}2n×1，它是由各節(jié)點(diǎn)位移按節(jié)點(diǎn)號(hào)碼以從小到大的順序排列組成，即其中子矩陣(j)(i=1,2,…,n)(k)是節(jié)點(diǎn)i的位移分量。第41頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天

繼而再引入整個(gè)彈性體的載荷列陣{R}2n×1，它是移置到節(jié)點(diǎn)上的等效節(jié)點(diǎn)載荷依節(jié)點(diǎn)號(hào)碼從小到大的順序排列組成，即(l)其中子矩陣(i=1,2,…,n)(m)是節(jié)點(diǎn)i上的等效節(jié)點(diǎn)載荷。第42頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天(q)

同樣，將六階方陣[k]加以擴(kuò)充，使之成為2n階的方陣第43頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天123421q圖5-5組裝總剛[k]的一般規(guī)則：1.

當(dāng)[krs]中r=s時(shí)，該點(diǎn)被哪幾個(gè)單元所共有，則總剛子矩陣[krs]就是這幾個(gè)單元的剛度矩陣子矩陣[krs]e的相加。2.

當(dāng)[krs]中rs時(shí)，若rs邊是組合體的內(nèi)邊，則總體剛度矩陣[krs]就是共用該邊的兩相鄰單元單剛子矩陣[krs]e的相加。3.

當(dāng)[krs]中r和s不同屬于任何單元時(shí)，則總體剛度矩陣[krs]=[0]。下面，我們考查一個(gè)組裝總剛的實(shí)例：1.整體剛度矩陣及載荷列陣的組集

根據(jù)疊加原理，整體結(jié)構(gòu)的各個(gè)剛度矩陣的元素顯然是由有關(guān)單元的單元?jiǎng)偠染仃嚨脑亟M集而成的，為了便于理解，現(xiàn)結(jié)合圖3-5說(shuō)明組集過(guò)程。第44頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天

圖中有兩種編碼：一是節(jié)點(diǎn)總碼：1、2、3、4；二是節(jié)點(diǎn)局部碼，是每個(gè)單元的三個(gè)節(jié)點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较虻捻樞蚋髯跃幋a為1，2，3。圖中兩個(gè)單元的局部碼與總碼的對(duì)應(yīng)關(guān)系為：

單元1：1，2，3 1，2，3

單元2：1，2，33，4，1或：?jiǎn)卧?：1，2，3 1，2，3

單元2：1，2，31，3，4單元e的剛度矩陣分塊形式為：第45頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天整體剛度矩陣分塊形式為：其中每個(gè)子塊是按照節(jié)點(diǎn)總碼排列的。

通常，采用剛度集成法或直接剛度法來(lái)組集整體結(jié)構(gòu)剛度矩陣。剛度集成法分兩步進(jìn)行。

第一步，把單元?jiǎng)偠染仃嚁U(kuò)大成單元的貢獻(xiàn)矩陣，使單元?jiǎng)偠染仃嚨乃膫€(gè)子塊按總體編號(hào)排列，空白處作零子塊填充。

第二步，以單元2

為例，局部碼1，2，3

對(duì)應(yīng)于總碼3，4，1，按照這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系擴(kuò)充后，可得出單元2的貢獻(xiàn)矩陣。第46頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天

總碼12341 2 3 4

3

1

2

局部碼用同樣的方法可得單元1的貢獻(xiàn)矩陣。

第二步，把各單元的貢獻(xiàn)矩陣對(duì)應(yīng)行和列的子塊相疊加，即可得出整體結(jié)構(gòu)的剛度矩陣，如（5-42）式。

在這里應(yīng)該指出，整體剛度矩陣中每個(gè)子塊為階矩陣，所以若整體結(jié)構(gòu)分為n個(gè)節(jié)點(diǎn)，則整體剛度矩陣的階數(shù)是。第47頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天

總碼1234

123（5-42）

312局部碼

至于整體結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)載荷列陣的組集，只需將各單元的等效節(jié)點(diǎn)力列陣擴(kuò)大成2n行的列陣，然后按各單元的節(jié)點(diǎn)位移分量的編號(hào)，對(duì)應(yīng)相疊加即可第48頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天三整體剛度矩陣的性質(zhì)

由總剛度方程可知：

欲使彈性體的某一節(jié)點(diǎn)在坐標(biāo)軸方向發(fā)生單位位移，而其它節(jié)點(diǎn)都保持為零的變形狀態(tài)，在各節(jié)點(diǎn)上所需要施加的節(jié)點(diǎn)力。⒈剛度矩陣[K]中每一列元素的物理意義為：第49頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天

由（5-41）式可以看出，令節(jié)點(diǎn)1在坐標(biāo)軸x方向的位移u1=1，而其余的節(jié)點(diǎn)位移v1=u2=v2=u3=v3=…=u2n

=v2n

=0，這樣就可得到節(jié)點(diǎn)載荷列陣等于[K]的第一列元素組成的列陣，即即表示：是在j節(jié)點(diǎn)有單位位移時(shí)，而在I節(jié)點(diǎn)所需施加的力。(s)第50頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天⒉剛度矩陣[K]中主對(duì)角元素總是正的。

例如，剛度矩陣[K]中的元素k33是表示節(jié)點(diǎn)2在x方向產(chǎn)生單位位移，而其它位移均為零時(shí)，在節(jié)點(diǎn)2的x方向上必須施加的力，很顯然，力的方向應(yīng)該與位移方向一致，故應(yīng)為正號(hào)。⒊剛度矩陣[K]是一個(gè)對(duì)稱矩陣，即[Krs]=[Ksr]T。由（5-32）、（5-36）式得所以，可以只存儲(chǔ)上三角或下三角矩陣。(t)第51頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天⒋剛度矩陣[K]是一個(gè)稀疏矩陣。

如果遵守一定的節(jié)點(diǎn)編號(hào)規(guī)則，就可使矩陣的非零元素都集中在主對(duì)角線附近呈帶狀。

前面在討論總剛子矩陣的計(jì)算時(shí)曾指出，總剛中第r雙行的子矩陣[Krs]，有很多位置上的元素都等于零，只有當(dāng)?shù)诙€(gè)下標(biāo)s等于r或者s與r同屬于一個(gè)單元的節(jié)點(diǎn)號(hào)碼時(shí)才不為零，這就說(shuō)明，在第r雙行中非零子矩陣的塊數(shù)，應(yīng)該等于節(jié)點(diǎn)r周圍直接相鄰的節(jié)點(diǎn)數(shù)目加一。可見(jiàn)，[K]的元素一般都不是填滿的，而是呈稀疏狀（帶狀）。

以圖5-6a所示的單元網(wǎng)格為例，其整體剛度矩陣中的非零子塊（每個(gè)子塊為2行2列）的分布情況如圖5-6b所示。第52頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天圖5-6a第53頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天圖5-6b半帶寬B=（相鄰節(jié)點(diǎn)號(hào)的最大差值D+1）*2第54頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天

若第r雙行的第一個(gè)非零元素子矩陣是[Krl]，則從[Krl]到[Krr]共有（r-l+1）個(gè)子矩陣，于是[K]的第2r行從第一個(gè)非零元素到對(duì)角元共有2(r-l+1)個(gè)元素。顯然，帶狀剛度矩陣的帶寬取決于單元網(wǎng)格中相鄰節(jié)點(diǎn)號(hào)碼的最大差值D。我們把半個(gè)斜帶形區(qū)域中各行所具有的非零元素的最大個(gè)數(shù)叫做剛度矩陣的半帶寬（包括主對(duì)角元），用B表示，即B=2(D+1)。

通常的有限元程序，一般都利用剛度矩陣的對(duì)稱和稀疏帶狀的特點(diǎn)，在計(jì)算求解中，只存儲(chǔ)上半帶的元素，即所謂的半帶存儲(chǔ)。因此，在劃分完有限元網(wǎng)格進(jìn)行節(jié)點(diǎn)編號(hào)時(shí)，要采用合理的編碼方式，使同一單元中相鄰兩節(jié)點(diǎn)的號(hào)碼差盡可能小，以便節(jié)省存儲(chǔ)空間、提高計(jì)算效率。第55頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天⒌剛度矩陣[K]是一個(gè)奇異矩陣，在排除剛體位移后，它是正定陣。

彈性體在{R}的作用下處于平衡，{R}的分量應(yīng)該滿足三個(gè)靜力平衡方程。這反映在整體剛度矩陣[K]中就意味著存在三個(gè)線性相關(guān)的行或列，所以[K]是個(gè)奇異陣，不存在逆矩陣。第56頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天

在上節(jié)討論整體剛度矩陣時(shí)已經(jīng)指出，（5-37）式中的載荷列陣{R}，是由彈性體的全部單元的等效節(jié)點(diǎn)力集合而成，而其中單元的等效節(jié)點(diǎn)力{R}e

則是由作用在單元上的集中力、表面力和體積力分別移置到節(jié)點(diǎn)上，再逐點(diǎn)加以合成求得。根據(jù)虛位移原理，等效節(jié)點(diǎn)力的大小，應(yīng)按其所做的功與作用在單元上的三種力在任何虛位移上所做的功相等這一原則來(lái)確定。即

上式中等號(hào)的左邊表示單元的等效節(jié)點(diǎn)力{R}e

所做的虛功；等號(hào)右邊的第一項(xiàng)是集中力{G}所做的虛功、第二項(xiàng)的積分是沿著單元的邊界進(jìn)行，表示面力{q}所做的虛功、第三項(xiàng)的積分則是遍及整個(gè)單元，表示體積力{p}所做的虛功；t為單元的厚度，假定為常量。(a)§5-5等效節(jié)點(diǎn)力載荷矩陣第57頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、體力的移置：y0xijm如果任意三角形單元ijk的重心c上受有自重則按剛體靜力等效原理可把W直接移置到i，j，m三個(gè)節(jié)點(diǎn)上而組成：如果單元的重心c受有慣性力Pu作用，且，則Pu移置到i，j，m節(jié)點(diǎn)上的等效結(jié)點(diǎn)力為：式中：——旋轉(zhuǎn)角速度

——是單元重心處x坐標(biāo)。第58頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、面力的移置：y0xijm已知在ij邊受有面力q，則移置到i、j結(jié)點(diǎn)上的等效節(jié)點(diǎn)力為：y0xijm當(dāng)某一邊上有三角形分布的面力時(shí)，可由剛體靜力等效直接寫(xiě)出第59頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、集中力的移置：如集中力G做用于其一邊界上如圖：先將G分解為，后，分別按線段的比例把和分別移置到i，j兩點(diǎn)上。即：

即按靜力平衡方法分配。0xijmy第60頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天根據(jù)前面的討論，現(xiàn)以三角形常應(yīng)變單元為例來(lái)說(shuō)明應(yīng)用有限元法求解彈性力學(xué)平面問(wèn)題的具體步驟。①力學(xué)模型的確定根據(jù)工程實(shí)際情況確定問(wèn)題的力學(xué)模型，并按一定比例繪制結(jié)構(gòu)圖、注明尺寸、載荷和約束情況等。②將計(jì)算對(duì)象進(jìn)行離散化，即彈性體劃分為許多三角形單元，并對(duì)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)。確定全部節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值，對(duì)單元進(jìn)行編號(hào)，并列出各單元三個(gè)節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)號(hào)。③計(jì)算載荷的等效節(jié)點(diǎn)力（要求的輸入信息）。④由各單元的常數(shù)bi、ci、bj、cj、bm、cm

及行列式2

，計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃?。?/p>

組集整體剛度矩陣，即形成總剛的非零子矩陣。⑥處理約束，消除剛體位移?！?-6有限元分析的實(shí)施步驟第61頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天⑦求解線性方程組，得到節(jié)點(diǎn)位移。⑧計(jì)算應(yīng)力矩陣，求得單元應(yīng)力，并根據(jù)需要計(jì)算主應(yīng)力和主方向。⑨整理計(jì)算結(jié)果（后處理部分）。為了提高有限元分析計(jì)算的效率、達(dá)到一定的精度，應(yīng)該注意以下幾個(gè)方面。

一.對(duì)稱性的利用在劃分單元之前，有必要先研究一下計(jì)算對(duì)象的對(duì)稱或反對(duì)稱的情況，以便確定是取整個(gè)物體，還是部分物體作為計(jì)算模型。第62頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天例如，圖3-11(a)所示受純彎曲的梁，其結(jié)構(gòu)對(duì)于x、y軸都是幾何對(duì)稱的，而所受的載荷則是對(duì)于x軸對(duì)稱，對(duì)于x軸反對(duì)稱?？芍?，梁的應(yīng)力和變形也將具有同樣的對(duì)稱特性，所以只需取1/4梁進(jìn)行計(jì)算即可。取分離體如圖3-11(b)所示，對(duì)于其它部分結(jié)構(gòu)對(duì)此分離體的影響，可以作相應(yīng)的處理，即對(duì)處于y軸對(duì)稱面內(nèi)各節(jié)點(diǎn)的x方向位移都設(shè)置為零，而對(duì)于在x軸反對(duì)稱面上的各節(jié)點(diǎn)的x方向位移也都設(shè)置為零。這些條件就等價(jià)于在圖3-11(b)中相應(yīng)節(jié)點(diǎn)位置處施加約束，圖中o點(diǎn)y方向施加的約束是為了消除剛體位移。第63頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天節(jié)點(diǎn)的布置是與單元的劃分互相聯(lián)系的。通常，集中載荷的作用點(diǎn)、分布載荷強(qiáng)度的突變點(diǎn)，分布載荷與自由邊界的分界點(diǎn)、支承點(diǎn)等都應(yīng)該取為節(jié)點(diǎn)。并且，當(dāng)物體是由不二.節(jié)點(diǎn)的選擇及單元的劃分圖3-11第64頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天節(jié)點(diǎn)的多少及其分布的疏密程度（即單元的大?。话阋鶕?jù)所要求的計(jì)算精度等方面來(lái)綜合考慮。從計(jì)算結(jié)果的精度上講，當(dāng)然是單元越小越好，但計(jì)算所需要的時(shí)間也要大大增加。另外，在微機(jī)上進(jìn)行有限元分析時(shí)，還要考慮計(jì)算機(jī)的容量。因此，在保證計(jì)算精度的前提下，應(yīng)力求采用較少的單元。為了減少單元(a)(b)圖3-12同的材料組成時(shí)，厚度不同或材料不同的部分，也應(yīng)該劃分為不同的單元。第65頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天在進(jìn)行節(jié)點(diǎn)編號(hào)時(shí)，應(yīng)該注意要盡量使同一單元的相鄰節(jié)點(diǎn)的號(hào)碼差盡可能地小，以便最大限度地縮小剛度矩陣的帶寬，節(jié)省存儲(chǔ)、提高計(jì)算效率。如前所述，平面問(wèn)題的半帶寬為B=2(d+1)，在劃分單元時(shí)，對(duì)于應(yīng)力變化梯度較大的部位單元可小一些，而在應(yīng)力變化比較平緩的區(qū)域可以劃分得粗一些。還有一點(diǎn)值得注意的是，單元各邊的長(zhǎng)度不要相差太大，以免出現(xiàn)過(guò)大的計(jì)算誤差或出現(xiàn)病態(tài)矩陣。例如，圖3-12所示的(a)、(b)兩種單元?jiǎng)澐郑m然都是同樣的四個(gè)節(jié)點(diǎn)，但(a)的劃分方式顯然要比(b)的方式好。三.節(jié)點(diǎn)的編號(hào)第66頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天若采取帶寬壓縮存儲(chǔ)，則整體剛度矩陣的存儲(chǔ)量N

最多為

N=2nB=4n(d+1)其中d為相鄰節(jié)點(diǎn)的最大差值，n為節(jié)點(diǎn)總數(shù)。例如在圖3-13中，(a)與(b)的單元?jiǎng)澐窒嗤?，且?jié)點(diǎn)總數(shù)都等于14，但兩者的節(jié)點(diǎn)編號(hào)方式卻完全不同。(a)是按長(zhǎng)邊進(jìn)行編號(hào)，d=7，N=488；而(b)是按短邊進(jìn)行編號(hào)，d=2，N=168。顯然(b)的編號(hào)方式可比(a)的編號(hào)方式節(jié)省280個(gè)存儲(chǔ)單元。(a)(b)圖3-13第67頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天四.單元節(jié)點(diǎn)i、j、m的次序在前面章節(jié)中，我們?cè)赋?，為了在?jì)算中保證單元的面積

不會(huì)出現(xiàn)負(fù)值，節(jié)點(diǎn)i、j、m的編號(hào)次序必須是逆時(shí)針?lè)较?。事?shí)上，節(jié)點(diǎn)i、j、m的編號(hào)次序是可以任意安排的，只要在計(jì)算剛度矩陣的各元素時(shí)，對(duì)

取絕對(duì)值，即可得到正確的計(jì)算結(jié)果。在實(shí)際計(jì)算時(shí)，應(yīng)該注意所選有限元分析軟件的使用要求。五.邊界條件的處理及整體剛度矩陣的修正在前面討論整體剛度矩陣時(shí)，已經(jīng)提到，整體剛度矩陣的奇異性可以提高考慮邊界約束條件來(lái)排除彈性體的剛體位移，以達(dá)到求解的目的。第68頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天一般情況下，求解的問(wèn)題，其邊界往往已有一點(diǎn)的位移約束條件，本身已排除了剛體運(yùn)動(dòng)的可能性。否則的話，就必須適當(dāng)指定某些節(jié)點(diǎn)的位移值，以避免出現(xiàn)剛體位移。這里介紹兩種比較簡(jiǎn)單的引入已知節(jié)點(diǎn)位移的方法，這兩種方法都可保持原[K]矩陣的稀疏、帶狀和對(duì)稱等特性。下面我們來(lái)實(shí)際考察一個(gè)只有四個(gè)方程的簡(jiǎn)單例子。

⒈保持方程組為2n×2n系統(tǒng)，僅對(duì)[K]和{R}進(jìn)行修正。例如，若指定節(jié)點(diǎn)i在方向y的位移為vi

，則令[K]中的元素k2i,2i

為1，而第2i行和第2i列的其余元素都為零。{R}中的第2i個(gè)元素則用位移vi的已知值代入，{R}中的其它各行元素均減去已知節(jié)點(diǎn)位移的指定值和原來(lái)[K]中該行的相應(yīng)列元素的乘積。第69頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天假定該系統(tǒng)中節(jié)點(diǎn)位移u1

和u2分別被指定為當(dāng)引入這些節(jié)點(diǎn)的已知位移之后，方程(a)就變成然后，就用這組維數(shù)不變的方程來(lái)求解所有的節(jié)點(diǎn)位移。顯然，其解答仍為原方程(a)的解答。u1=

1

，u2=

2第70頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天⒉將[K]中與指定的節(jié)點(diǎn)位移有關(guān)的主對(duì)角元素乘上一個(gè)大數(shù)，如1015，同時(shí)將{R}中的對(duì)應(yīng)元素?fù)Q成指定的節(jié)點(diǎn)位移值與該大數(shù)的乘積。實(shí)際上，這種方法就是使[K]中相應(yīng)行的修正項(xiàng)遠(yuǎn)大于非修正項(xiàng)。若把此方法用于上面的例子，則方程(a)就變成事實(shí)上，該方程組的第一個(gè)方程為第71頁(yè),共89頁(yè)，2024年2月25日，星期天