2023-2024學(xué)年上海市嘉定區(qū)高二年級上冊期中數(shù)學(xué)模擬試題(含解析)

2023-2024學(xué)年上海市嘉定區(qū)高二上冊期中數(shù)學(xué)模擬試題

一、填空題

1.一個正四棱柱的底面邊長為2,高為4,則該正四棱柱的體積為.

【正確答案】16

【分析】根據(jù)棱柱的體積公式直接計算即可.

【詳解】由題可得該正四棱柱的體積為2x2x4=16.

故16.

2.已知一個圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為石，則這個圓錐的表面積是

【正確答案】3兀

【分析】求得圓錐的底面半徑和母線長，由此求得圓錐的表面積.

【詳解】解：設(shè)圓錐的底面半徑為孫則高為怎，母線長為2x.

依題意Lx2xxQr=6,解得x=l或x=-l（舍去），

2

所以圓錐的底面半徑為1,高為6,母線長為2.

所以圓錐的表面積為兀X12+71x1x2=371.

故3”

3.已知四面體48co中，E、F、G分別為5C、AD、8Z）的中點，且異面直線43與CQ

所成的角為g,則N戶GE=.

【正確答案】m或M

33

【分析】根據(jù)/IB//FG,CD/IGE,結(jié)合異面直線夾角的定義求解即可.

【詳解】如圖，因為E、F、G分別為8C、AD,8。的中點，做ABUFG,CD//GE,故

48與CD所成的角即FG與GE所成的角為三，且與NFGE相等或者互補，故/FGE=三或

33

2兀

T

D

B

故鴻

4.正四棱柱“88-44。14的底面邊長/18=2,若直線8c與底面所成的角的大小

為arctan2,則正四棱柱ABCD-A^C^的側(cè)面積為

【正確答案】32

【分析】根據(jù)線面垂直關(guān)系、線面角的定義可知N&C8=arctan2,從而得到8A=28C,根

據(jù)底面邊長可求得側(cè)棱長，進而得到所求的側(cè)面積.

四棱柱/8CD-44G。為正四棱柱

二四邊形/BCD為正方形，平面

直線B￡與底面為58所成角為NB\CB=arctan2BB、=2BC=2/8=4

.?.正四棱柱的側(cè)面積：S=4ABBBt=4x2x4=32

故答案為32

本題考查棱柱側(cè)面積的求解，關(guān)鍵是能夠根據(jù)線面角的定義確定線面角的具體位置，從而得

到長度關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

5.己知異面直線a,6所成角為70。，過空間定點尸與a,6成55。角的直線共有

條.

【正確答案】3

根據(jù)條件先將直線平移至過點P,然后根據(jù)直線a,6所成角的角平分線以及直線a,b所在

平面的垂線分析與直線。力所成角均為55。的直線的條數(shù).

【詳解】將直線a,b平移，使兩直線經(jīng)過點P,如下圖所示：

設(shè)直線”,6所成角的角平分線為c,過點P垂直于直線。力所在平面的直線為d,

因為a,6所成角為70。，當直線/經(jīng)過點P且直線/在直線a力所在平面內(nèi)且垂直于直線c,

此時/與直線凡6所成角均為*二匕=55。；

當直線/在直線c,d所在平面內(nèi)時，若/繞著P點旋轉(zhuǎn)，此時/與直線a,6所成角相等，

且所成角從￡-=35。變化到90。，再從90。變化到35。，所以此時滿足條件的/有2條，

綜上所述：過空間定點P與。力成55。角的直線共有3條，

故答案為.3

結(jié)論點睛：已知異面直線所成角為過空間任意一點。作直線/,使得/與

”涉成等角。：

（1）當夕時，此時/不存在；

（2）當尹=?時，此時/有一條；

（3）當?＜夕＜?,此時/有兩條；

（4）當夕=生丁時，此時/有三條；

（5）當時，此時/有四條.

6.圓錐P-O軸截面的頂角為蘭，母線長為2,則過任意兩條不重合的母線的截面面積的

4

取值范圍為.

【正確答案】(0,2]

【分析】設(shè)尸4尸8為圓錐的任意兩條母線，ZAPB=9,則有0€(0,手,然后利用三角形

的面積公式表示出S.，B，從而可求出其范圍.

【詳解】設(shè)尸4P8為圓錐的任意兩條母線，ZAPB=9,

(3兀

則由題意得。6(0,彳，PA=PB=2,

SPAB=PA-PBsinZAPS=2smO,

(2>7C

因為0,丁,所以2sin9e(0,2],

所以過任意兩條母線的截面面積的取值范圍為(0,2],

故(0,2]

7.在空間中，已知一個正方體是12條棱所在的直線與一個平面所成的角都等于a,則

sina=?

【正確答案】也

【分析】畫出幾何圖形，可知面48G與12條棱所在的直線與一個平面所成的角都等于a,在

RtEBB1可求得sina.

畫出幾何圖形，可知面48G與12條棱所在的直線與一個平面所成的角都等于a

正方體

84與面48G所成的角為43聲E

不妨設(shè)正方體棱長為1,故Eq=[

在口E84中由勾股定理可得:房=逅

2

也

sinNB、BE=股=今=—

EBa3

T

..E

…sina=——

3

故答案為:走.

3

本題考查了線面角求法,根據(jù)體積畫出幾何圖形，掌握正方體結(jié)構(gòu)特征是解本題的關(guān)鍵.屬于

基礎(chǔ)題.

8.下列命題中正確的命題為.

①若/8C在平面a外，它的三條邊所在的直線分別交a于P、0、R,則尸、0、H三點共

線；

②若三條直線“、b、c互相平行且分別交直線/于4B、C三點，則這四條直線共面；

③若直線a、b異面，權(quán)c異面，則a、c異面；

④若a_Lc,6_Lc,貝

【正確答案】①②

【分析】根據(jù)三點共線和共面的性質(zhì)、異面直線的性質(zhì)、垂直的性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】對于①，設(shè)平面a平面力8C=/,因為尸ea,所以尸e平面/5C,

所以PG/,同理。e/,RGI,故P、。、R三點共線，①正確；

對于②，因為a〃b,所以a,6可以確定一個平面a,

因為/ea,8eb,aua,bua,所以力Bua,所以/ua,又Ce/,

所以Cea,因為c//a,所以c//a或cutz,又ca=C,

所以c//a不成立，所以cue,即這四條直線共面，所以②正確；

對于③，直線。、6異面，氏c異面，但是。、c平行，所以③錯誤，如下右圖；

對于④，aVc,bVc,但。J,所以④錯誤，如下左圖.

故正確的命題為①②.

故①②

9.C是半徑為2的球。表面上三個點，/8C的外接圓面積為不，則球心。到平面/8C

的距離為.

【正確答案】也

【分析】由Z1BC1的外接圓面積為萬可求得其外接圓半徑r=l,又因為球的半徑R=2,則

可求得球心。到平面ABC的距離d=VF=7=下）.

【詳解】/8C的外接圓面積為萬，

二Z8C外接圓半徑/*=1,

又球O的半徑火=2,

二球心。到平面ABC的距離為d=y/R2-r2=也.

故答案為.百

10.設(shè)正四面體Z8C。的棱長為a,尸是棱48上的任意一點，且尸到面48、8co的距離

分別為4、4，則4+當=.

【正確答案】旦a

3

【分析】求得四面體的高，利用%.SCO+%-“《）=匕一88,代入棱錐的體積公式可得4+W的

值.

【詳解】解：如圖4O_L平面8c0,08=3冬會去，.』0=「二生『=今，

因為^P-BCD+^P-ACD=VA-BCD，

在正四面體中，s、'BCD=S\ACD,

?.§XSBCDX40=三XS88X4+5xSACDxd2,

11.在長方體-44G。中，棱4B=6,8c=8與=&，點尸是線段8G上的一動點,

【分析】將△88￡沿8G為軸旋轉(zhuǎn)至于平面力8G共面，可得△BBC，利用

AP+PB,=AP+PB24反求解即可.

【詳解】解：將△88?沿3G為軸旋轉(zhuǎn)至于平面48G共面，可得8c

則N/叫=135。，

故4P+PB,=4P+PB2AB2=而+(0)2-2-6孤cos135。=5/2,

當且僅當P為AB2與5C,的交點時取等號，

所以NP+股的最小值是5&.

故5VL

12.如圖，在長方體/BCD-481GA中，AD=DD[=1,AB=?E,F,G

分別為的中點.點尸在平面"8"）內(nèi)，若直線4尸〃平面EFG,則線段長度

的最小值是-

【分析】利用線面平行的判定定理，面面平行的判定定理，確定P在直線4C,再根據(jù)

D.P±AC時線段鼻尸最短即可求解.

【詳解】解：如圖，連結(jié)口44。,。。，

VE,F,G分別為8C,6A的中點，

二/C//E尸,EFU平面4C2，/Cu平面XC2,

所〃平面

VEG//力。1,EGa平面4c〃，/Ru平面/C2,

EG〃平面4c2，

EFEG=E,平面EFG//平面/C2,

。/〃平面EFG,

二點P在直線/C上，在ZUC。中，AD產(chǎn)區(qū)AC=2,CD、=2,

/x卜（務(wù)邛.??當qwc時,

線段。戶的長度最小，最小值為

近

SAJ。。_2_也

；x/C；x2~'

故答案為整

fl

AEB

二、單選題

13.如圖，繞虛線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是（）

△4

A.B.

c.D.

【正確答案】D

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的定義，即可求解.

【詳解】由題意，題設(shè)中圖形是直角梯形，

根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的定義，可得繞其長底邊旋轉(zhuǎn)一周后得到的幾何體是圓錐與圓柱的組合體，

只有選項D適合.

故選：D.

14.已知直二面角a--6，直線。在平面a上，直線b在平面耳上，且直線。與直線/不垂

直，直線6與直線/不垂直，則以下判斷正確的是（）

A.。與6可能垂直，但不可能平行

B.。與b可能垂直，也可能平行

C.。與b不可能垂直，但可能平行

D.。與6不可能垂直，也不可能平行

【正確答案】C

【分析】利用空間中兩直線的位置關(guān)系求解.

【詳解】解：a-/-僅是直二面角，直線。在平面a內(nèi)，直線b在平面耳內(nèi)，且6與/均

不垂直，

，當a/〃，且6/〃時，由平行公理得a//b,即。，6可能平行，故A與。錯誤；

當a,b垂直時，則。與b在a內(nèi)的射影垂直，由于二面角是直二面角，6在a內(nèi)的射影即

為/,則可證得al得與已知矛盾，

與6不可能垂直，有可能平行.

故選：C.

15.三棱錐的側(cè)棱兩兩垂直，三個側(cè)面三角形的面積分別為Sz，邑，則三棱錐的體積

是（）

A.峪S2s3B.百：2s3D72S、S2s3

33

【正確答案】C

【分析】根據(jù)三棱錐的側(cè)棱兩兩垂直，推出三個側(cè)面都是直角三角形，根據(jù)直角三角形的面

積公式和三棱錐的體積公式可求出結(jié)果.

【詳解】因為三棱錐的側(cè)棱兩兩垂直，所以三個側(cè)面都是直角三角形,

設(shè)三條側(cè)棱長分別為。也C,則5,52s3=^ah-夕。?'c,所以abc=J8s凡S3,

所以三棱錐的體積>=；a?；6c='x病麗=8'：凡

故選：C

16.已知兩個平面a,廣和三條直線機,4,人,若a夕=加，。<=。且。_1〃?,6匚/?,設(shè)"和尸所成

的一個二面角的大小為R，直線a和平面p所成的角的大小為02，直線4,6所成的角的大小為

區(qū),則（）

A.0[=02>0}B.0）>0{=02

C.01>0^02>0}D.0,>02,03>02

【正確答案】D

【分析】在一個平行六面體中，對三個角進行比較，即可選出正確答案.

【詳解】如圖，在平行六面體中

不妨設(shè)面44?。為a,面為f,BC=b.則4D=m,AA】=a

此時，由圖可知,4>907&<90;a=90".只有C選項符合.

本題考查了線面角,考查了面面角的概念.一般情況下，涉及到線面角和面面角問題時可借助

空間向量進行求解.但在本題中，沒有具體的幾何體，因此，我們可以采取舉實例的方法,在一個

具體地幾何體中探究角的大小關(guān)系.

三、解答題

17.如圖，已知平面a,尸，且a6=/.若梯形為8co中，ZD//8C,且ZBua,CDu。.

求證：AB,CD,/共點（相交于一點）.

【正確答案】證明見解析.

【分析】利用平面公理2可以證明三線共點：設(shè)直線48c直線C￡>=A/,先證明“為a、￡

的公共點，再證明Me/,從而可以證明CD,/共點.

【詳解】因為梯形/8CD中，ADHBC,所以是梯形/8CZ）的兩腰.

所以直線CD必相交于一點.

設(shè)直線48c直線CD=M.

又因為/Bua,CZ）u￡,所以

所以A/ean/?.

又因為aB=l,所以Me/,

即"8,CO,/共點（相交于一點）.

18.（1）請用文字語言敘述平面與平面平行的判定定理；

（2）把（1）中的定理寫成“已知：……，求證：…”的形式，并用反證法證明.

【正確答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析.

【分析】（1）直接寫出平面與平面平行的判定定理；（2）利用線面平行的性質(zhì)定理進行反證.

【詳解】（1）平面與平面平行的判定定理：一個平面內(nèi)的兩條相交直線與一個平面平行，

則這兩個平面平行.

（2）已知au0,bu仇ab=P,a//a,b//a,求證:a!!p.

下面利用反證法證明：如圖,

假設(shè)a與〃相交，設(shè)交線為c,

因為a//a,au/7,a0=c,所以a〃c,

因為6〃a,au￡,ap=c,所以b//c,

由平行公理得a//b,與a6=P矛盾，

所以假設(shè)錯誤，故&〃￡.

19.如圖，N8是圓柱的底面直徑且/8=2,P/是圓柱的母線且尸/=2,點C是圓柱底面

圓周上的點.

（2）當三棱錐尸-/BC體積最大時，求二面角C-尸8-4的大小.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表

示）

【正確答案】（1）證明見解析；（2）arcsin逅.

3

【分析】（1）證明面/8C,可得P/L5C,結(jié)合8C±AC,由線面垂直的判定定理

即可求證；

（2）由題意可得4C=8C,根據(jù)二面角平面角的定義作出二面角的平面角，即可求解.

【詳解】（1）因為48是圓柱的底面圓的直徑，所以乙4c8=楙，即8c1AC,

因為P4是圓柱的母線，則/”_1_面/8。，

因為8Cu面/5C,所以P/_L8C,

因為21AC=A,P/u平面4C,/Cu平面R4C,

所以BC1平面力C；

12

（2）三棱錐P-/8C體積為k=5xS"cxP/=§S“3c，

要使得三棱錐尸-/8C體積最大，只需/8C的面積最大，

即點C到Z8的距離最大，此時4C=8C,

設(shè)底面圓的圓心為。，連接0C,則Od8,

由尸/_1面48。，OCu面Z8C,可得OCJ.P/,

因為P4AB=A,所以。。_1_面48,所以。C_LP8,

因為N5=2,PA=2,取P8的中點。，連接40,則/。_LP5,

作OG_LP8,連接CG,則G為8。的中點，

由0Gl.尸8,OCA.PB,OCcOG=。，

則尸8上面OCG,所以P8LCG,

可得/CGO即為二面角C-P8-Z的平面角，

因為P8=yjPA2+AB2=VF+F=272，

所以4D」PB=g,OG=-AD=—,OC=l,

222

在R/COG中，CG=yjOG2+OC2=+12

sinNCGO=^=4=且fiCrl巫

所以CG^63，所以NCGO=arcsm——，

J3

2

故二面角C-P8-/的平面角為arcsin^S.

3

方法點睛：求空間角的常用方法：

（1）定義法，由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，

再結(jié)合題中條件，解對應(yīng)三角形，即可求出結(jié)果；

（2）向量法：建立適當?shù)目臻g直角坐標系，通過計算向量夾角（直線方向向量與直線方向

向量、直線方向向量與平面法向量，平面法向量與平面法向量）余弦值，即可求出結(jié)果.

20.如圖所示，四邊形為菱形，PA=PD,二面角尸-ND-C為直二面角，點E是棱

48的中點.

(II)若P4=4B,當二面角尸-/C-8的余弦值為-亞時，求直線尸E與平面/8CD所成

5

的角.

【正確答案】(I)證明見解析；(II)45\

【分析】(I)設(shè)點尸是棱的中點，連接PF,EF,8。，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，得到PF1

平面/8C。，進而得到再由8DL/C,結(jié)合線面垂直的判定定理，即可求解；

(H)解法一：設(shè)點G是/C與EF的交點，證得NPGE為二面角尸-ZC-8的平面角，結(jié)

合解三角形的知識，即可求解：解法二：設(shè)點。是ZC與8。的交點，以04所在直線為x軸

08所在直線為了軸，過點。垂直平面/8C的直線為z軸，建立空間直角坐標系，可得平面

/8C的一個法向量；二(0,0,1),結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.

【詳解】(D如圖所示,

設(shè)點尸是棱力。的中點，連接尸尸,￡￡8。，

由=P。及點/是棱的中點，可得PFJ.4D,

又二面角尸-/O-C為直二面角，故尸/_L平面/8CZ),

又因為NCu平面Z5C。，所以PFJ.NC,

又因為四邊形/8C。為菱形，所以83_L/C,

而E尸是△Z5Z)的中位線，所以EF//BD,可得EFJ.4C,

又由PFEF=F,且PFu平面PEF,EFu平面PEF,

所以NC_L平面PE尸，又因為PEu平面PEF,

所以P￡_L/C.

(II)解法一：設(shè)點G是ZC與EF的交點，連接尸G

由(I)可知/C_L平面PE產(chǎn)，

又PG,EG均在平面尸E尸內(nèi)，從而有尸6_1/。,皮7_14。，

故NPGE為二面角尸-ZC-8的平面角，

因為=所以P4D為等邊三角形.

不妨設(shè)菱形ABCD的邊長為2a,GE=b.

則在RfPFG中,PF=?,FG=b,

于是PG=而而/

在R/PFE中，PE=J(怎I+(26＞，

故cos"GE=-cosZPGF=-廠一"一

7377F5

整理得3。2=4〃，@

a2

因為尸/_L平面ABCD，所以NPEF為直線PE與平面ABCD所成的角.

則噂嚕=1,

所以直線PE與平面”58所成的角為45°.

解法二：設(shè)點。是/C與8。的交點,

以04所在直線為x軸0B所在直線為夕軸，

過點。垂直平面/8C的直線為z軸，建立空間直角坐標系.如圖所示:

p

設(shè)CM=2,OB=2b,則4(2,0,0),C(-2,0,0),PQ,-b,母方)，

▼'?/N▼▼八.______________

則。=(4,0,0),/尸=(-1,-4百方)，

設(shè)平面R4C的法向量為"?=(x,y,z),

(■▼▼

m-AK=0Hr,—x—by+13+勸%=0

則:?八，即《

mCA=O4x=0

*

取z=l得加=

又因為平面ABC的一個法向量為n=(0,0,1),

則|cos〈m,〃〉|=,解得h=y/3>

則尸(1,-百,2揚聞,6,0),PE=(0,26,-26)，

TXI或如-2冏一應(yīng)

則|cos〈P瓦〃〉1=

|2庭|21

則直線PE與平面ABCD所成的角為45°.

本題考查了線面垂直的判定與證明，以及空間角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力

和邏輯推理能力，解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，通過嚴密推理是線面位

置關(guān)系判定的關(guān)鍵，同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求

解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.

21.如圖，在棱長為2的正方體Z3CD—44GA中，E、尸分別是4"和CG的中點.

(1)求異面直線EF與N3所成角的余弦值；

(2)在棱上是否存在一點尸，使得二面角P-/C-8的大小為302若存在，求出5