第5課時萬有引力定律的應(yīng)用

第5課時萬有引力定律的應(yīng)用內(nèi)容重要的規(guī)律、公式和二級結(jié)論1.開普勒定律(1)橢圓定律：太陽位于所有行星的橢圓軌道的公共焦點上。面積定律：行星在近日點的速率最大，在遠日點的速率最小。周期定律：eq\f(a3,T2)＝k，其中k與中心天體有關(guān)。2.萬有引力定律及其應(yīng)用(2)重力：①南、北極處：F萬＝mg＝eq\f(Gm中m,R2)；②赤道處：F萬－F支＝F向，故mg＝F支＝F萬－F向；③在一定緯度時重力方向不指向地心。(3)黃金代換：Gm地＝gR2(R為地球半徑)。(4)地球質(zhì)量：①重力法m地＝eq\f(gR2,G)(地球表面)；②環(huán)繞法：m地＝eq\f(4π2r3,GT2)。(5)密度：①重力法ρ＝eq\f(3g,4πRG)；②環(huán)繞法：ρ＝eq\f(3πr3,GT2R3)(在地球表面，r＝R，ρ＝eq\f(3π,GT2))。3.人造衛(wèi)星(6)人造衛(wèi)星：Geq\f(m地m,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r＝ma。(7)第一宇宙速度v1＝eq\r(gR)＝eq\r(\f(Gm地,R))＝7.9km/s，第二宇宙速度v2＝11.2km/s，第三宇宙速度v3＝16.7km/s。(8)高軌低速(v、ω、an)周期大，低軌反之。(9)地表附近的人造衛(wèi)星：r＝R＝6.4×106m，v運＝v1，T＝2πeq\r(\f(R,g))＝84.6min。(10)同步衛(wèi)星：T＝24小時，h＝5.6R＝36000km。(11)衛(wèi)星的變軌：低軌到高軌要加速，高軌到低軌要減速。(12)雙星問題：m1r1＝m2r2；eq\f(G（m1＋m2）,L2)＝eq\f(4π2L,T2)。高考題型一開普勒定律與萬有引力定律的應(yīng)用角度1開普勒定律的應(yīng)用【例1】(2021·全國甲卷，18)2021年2月，執(zhí)行我國火星探測任務(wù)的“天問一號”探測器在成功實施三次近火制動后，進入運行周期約為1.8×105s的橢圓形停泊軌道，軌道與火星表面的最近距離約為2.8×105m。已知火星半徑約為3.4×106m，火星表面處自由落體的加速度大小約為3.7m/s2，則“天問一號”的停泊軌道與火星表面的最遠距離約為()A.6×105m B.6×106mC.6×107m D.6×108m答案C解析在火星表面附近，對于繞火星做勻速圓周運動的物體，有mg火＝meq\f(4π2,Teq\o\al(2,1))R火，得Teq\o\al(2,1)＝eq\f(4π2R火,g火)，根據(jù)開普勒第三定律，有eq\f(Req\o\al(3,火),Teq\o\al(2,1))＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l近＋2R火＋l遠,2)))\s\up12(3),Teq\o\al(2,2))，代入數(shù)據(jù)解得l遠≈6×107m，C正確。角度2天體質(zhì)量和密度的估算【例2】(2022·浙江模擬預(yù)測)1798年，卡文迪什測出萬有引力常量G，因此他被稱為“能夠稱出地球質(zhì)量的人”。若已知引力常量為G，地球表面處的重力加速度為g，地球半徑為R，地球自轉(zhuǎn)的時間為T1，地球公轉(zhuǎn)的時間為T2，地球中心到月球中心的距離為L1，地球中心到太陽中心的距離為L2，則下列說法正確的是()A.借助上述數(shù)據(jù)能夠計算出地球的質(zhì)量，月球的密度B.太陽的質(zhì)量為eq\f(4π2Leq\o\al(3,2),GTeq\o\al(3,2))C.地球的密度為eq\f(3g,4πGR)D.在地球的各地測量地球的密度是一樣的答案C解析在地球表面附近，根據(jù)萬有引力等于重力可得Geq\f(m地m,R2)＝mg，求得地球質(zhì)量m地＝eq\f(gR2,G)，但借助上述數(shù)據(jù)能夠計算出地球的質(zhì)量，無法計算出月球的密度，故A錯誤；地球繞太陽公轉(zhuǎn)，有Geq\f(m太m地,Leq\o\al(2,2))＝m地eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T2)))eq\s\up12(2)L2，可求得太陽的質(zhì)量為m太＝eq\f(4π2Leq\o\al(3,2),GTeq\o\al(2,2))，故B錯誤；地球的密度為ρ＝eq\f(m地,\f(4,3)πR3)，又因為m地＝eq\f(gR2,G)，兩式聯(lián)立求得ρ＝eq\f(3g,4πGR)，由于在地球各地的g值有可能不同，所以各地測量地球的密度有可能是不一樣的，故C正確，D錯誤。天體質(zhì)量和密度的計算【素能提升】1.(2022·遼寧實驗中學(xué)期中)如圖1所示，1、2分別是A、B兩顆衛(wèi)星繞地球運行的軌道，1為圓軌道，2為橢圓軌道，橢圓軌道的長軸(近地點和遠地點間的距離)是圓軌道半徑的4倍。P點為橢圓軌道的近地點，M點為橢圓軌道的遠地點，TA是衛(wèi)星A的周期。則下列說法正確的是()圖1A.B衛(wèi)星在由近地點向遠地點運動過程中受到地球引力將先增大后減小B.地心與衛(wèi)星B的連線在eq\r(2)TA時間內(nèi)掃過的面積為橢圓面積C.衛(wèi)星B的周期是衛(wèi)星A的周期的8倍D.1軌道圓心與2軌道的橢圓焦點重合答案D解析根據(jù)萬有引力定律F＝Geq\f(m1m2,r2)可知，B衛(wèi)星在由近地點向遠地點運動過程中受到地球引力逐漸減小，A錯誤；根據(jù)開普勒第三定律得eq\f(R3,Teq\o\al(2,A))＝eq\f(（2R）3,Teq\o\al(2,B))，解得TB＝2eq\r(2)TA，所以地心與衛(wèi)星B的連線在eq\r(2)TA時間內(nèi)掃過的面積小于橢圓面積，B、C錯誤；1軌道圓心在地心，2軌道的橢圓的一個焦點也是地心，所以二者重合，D正確。2.(2022·東北三省三校聯(lián)考)宇宙中某一小行星自轉(zhuǎn)較快，但仍可近似看作質(zhì)量分布均勻的球體，半徑為R。假設(shè)宇航員用彈簧測力計稱量一個相對自己靜止的小物體的重量，第一次在該行星極點處，彈簧測力計的讀數(shù)為F1＝F0；第二次在該行星赤道處，彈簧測力計的讀數(shù)為F2＝eq\f(F0,2)；第三次在該行星赤道平面內(nèi)深度為eq\f(R,2)的隧道底部，示數(shù)為F3；第四次在距該行星表面高度為R處繞行星做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星中，示數(shù)為F4。已知均勻球殼對殼內(nèi)物體的引力為0，則以下判斷正確的是()A.F3＝eq\f(F0,4)，F(xiàn)4＝eq\f(F0,4) B.F3＝eq\f(F0,4)，F(xiàn)4＝0C.F3＝eq\f(15F0,4)，F(xiàn)4＝0 D.F3＝4F0，F(xiàn)4＝eq\f(F0,4)答案B解析設(shè)該行星的質(zhì)量為M，則質(zhì)量為m的物體在極點處受到的萬有引力F1＝eq\f(GMm,R2)＝F0；由于在赤道處，彈簧測力計的讀數(shù)為F2＝eq\f(F0,2)，則Fn2＝F1－F2＝eq\f(1,2)F0＝mω2R；行星半徑eq\f(R,2)以內(nèi)的部分的質(zhì)量為M′＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))\s\up12(3),R3)M＝eq\f(1,8)M，物體在eq\f(R,2)處受到的萬有引力F3′＝eq\f(GM′m,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))\s\up12(2))＝eq\f(1,2)F1＝eq\f(1,2)F0，物體需要的向心力Fn3＝mω2·eq\f(R,2)＝eq\f(1,2)mω2R＝eq\f(1,4)F0，所以在赤道平面內(nèi)深度為eq\f(R,2)的隧道底部，彈簧測力計的示數(shù)為F3＝F3′－Fn3＝eq\f(1,2)F0－eq\f(1,4)F0＝eq\f(1,4)F0；第四次在距行星表面高度為R處繞行星做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星中時，物體受到的萬有引力恰好提供向心力，所以彈簧測力計的示數(shù)為F4＝0，B正確。高考題型二人造衛(wèi)星和天體運動分析衛(wèi)星運動問題的兩條思路(1)萬有引力提供向心力：Geq\f(m中m,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r＝ma。(2)天體對其表面物體的萬有引力近似等于表面物體的重力eq\f(Gm中m,R2)＝mg或gR2＝Gm中(R、g分別是天體的半徑、表面重力加速度)。公式gR2＝Gm中應(yīng)用廣泛，被稱為“黃金代換公式”?！纠?】(2022·廣東高考，2)“祝融號”火星車需要“休眠”以度過火星寒冷的冬季。假設(shè)火星和地球的冬季是各自公轉(zhuǎn)周期的四分之一，且火星的冬季時長約為地球的1.88倍?；鹦呛偷厍蚶@太陽的公轉(zhuǎn)均可視為勻速圓周運動。下列關(guān)于火星、地球公轉(zhuǎn)的說法正確的是()A.火星公轉(zhuǎn)的線速度比地球的大B.火星公轉(zhuǎn)的角速度比地球的大C.火星公轉(zhuǎn)的半徑比地球的小D.火星公轉(zhuǎn)的加速度比地球的小答案D解析由題意可知，火星的公轉(zhuǎn)周期大于地球的公轉(zhuǎn)周期，根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，可知火星的公轉(zhuǎn)半徑大于地球的公轉(zhuǎn)半徑，故C錯誤；根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，可得v＝eq\r(\f(GM,r))，可知火星公轉(zhuǎn)的線速度小于地球公轉(zhuǎn)的線速度，故A錯誤；根據(jù)ω＝eq\f(2π,T)可知火星公轉(zhuǎn)的角速度小于地球公轉(zhuǎn)的角速度，故B錯誤；根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝ma，可得a＝eq\f(GM,r2)，可知火星公轉(zhuǎn)的加速度小于地球公轉(zhuǎn)的加速度，故D正確。【素能提升】3.(多選)(2022·遼寧高考，9)如圖2所示，行星繞太陽的公轉(zhuǎn)可以看成勻速圓周運動。在地圖上容易測得地球—水星連線與地球—太陽連線夾角α，地球—金星連線與地球—太陽連線夾角β，兩角最大值分別為αm、βm，則()圖2A.水星的公轉(zhuǎn)周期比金星的大B.水星的公轉(zhuǎn)向心加速度比金星的大C.水星與金星的公轉(zhuǎn)軌道半徑之比為sinαm∶sinβmD.水星與金星的公轉(zhuǎn)線速度之比為eq\r(sinαm)∶eq\r(sinβm)答案BC解析根據(jù)萬有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r＝ma，可得T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))，a＝eq\f(GM,r2)，水星的公轉(zhuǎn)半徑比金星的小，則水星的公轉(zhuǎn)周期比金星的小，水星的公轉(zhuǎn)向心加速度比金星的大，故A錯誤，B正確；設(shè)水星的公轉(zhuǎn)半徑為r水，金星的公轉(zhuǎn)半徑為r金，地球的公轉(zhuǎn)半徑為r地，當(dāng)α角最大時有sinαm＝eq\f(r水,r地)，同理可得sinβm＝eq\f(r金,r地)，水星與金星的公轉(zhuǎn)半徑之比為r水∶r金＝sinαm∶sinβm，故C正確；根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，可得v＝eq\r(\f(GM,r))，水星與金星的公轉(zhuǎn)線速度之比為v水∶v金＝eq\r(sinβm)∶eq\r(sinαm)，故D錯誤。4.(多選)(2022·河南鄭州期中)2021年6月，“神舟十二號”載人飛船順利升空，并與軌道高度為400km的“天和”核心艙在圖3甲中M點成功對接，對接時，“神舟十二號”已關(guān)閉動力。軌道Ⅰ是“神舟十二號”軌道示意圖，Ⅱ是“天和”核心艙運動的軌道示意圖，圖乙為兩航天員出艙情景圖。已知地球半徑為6400km，地球表面重力加速度g取10m/s2，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,17)))eq\s\up12(2)＝0.89。則下列說法中正確的是()圖3A.質(zhì)量為50kg的航天員在核心艙內(nèi)對核心艙的壓力為445NB.“神舟十二號”載人飛船在M點的加速度與“天和”核心艙的加速度相等C.“神舟十二號”載人飛船在N點發(fā)射速度大于7.9km/sD.圖乙中兩個航天員處于完全失重狀態(tài)，所以二者間的萬有引力為0答案BC解析航天員在核心艙內(nèi)處于完全失重狀態(tài)，對核心艙的壓力為零，故A錯誤；根據(jù)a＝eq\f(GM,r2)可知“神舟十二號”載人飛船在M點的加速度與“天和”核心艙的加速度相等，故B正確；第一宇宙速度7.9km/s是人造衛(wèi)星或飛船的最小發(fā)射速度，以7.9km/s的發(fā)射速度發(fā)射的衛(wèi)星或飛船恰好在近地軌道做勻速圓周運動，軌道比近地軌道越高，發(fā)射速度越大，所以“神舟十二號”載人飛船在N點發(fā)射速度大于7.9km/s，故C正確；圖乙中兩個航天員處于完全失重狀態(tài)，但二者間的萬有引力不為0，故D錯誤。高考題型三衛(wèi)星的變軌、對接、追及相遇問題兩類觀點分析變軌問題(1)力學(xué)的觀點①點火加速，v突然增大，Geq\f(m中m,r2)<meq\f(v2,r)，衛(wèi)星將做離心運動。②點火減速，v突然減小，Geq\f(m中m,r2)>meq\f(v2,r)，衛(wèi)星將做近心運動。(2)能量的觀點①同一衛(wèi)星在不同軌道上運行時機械能不同，軌道半徑越大，機械能越大。②衛(wèi)星經(jīng)過不同軌道相交的同一點時加速度相等，外軌道的速度大于內(nèi)軌道的速度。【例4】(2022·浙江1月選考，8)“天問一號”從地球發(fā)射后，在如圖4甲所示的P點沿地火轉(zhuǎn)移軌道到Q點，再依次進入如圖乙所示的調(diào)相軌道和停泊軌道，則“天問一號”()圖4A.發(fā)射速度介于7.9km/s與11.2km/s之間B.從P點轉(zhuǎn)移到Q點的時間小于6個月C.在環(huán)繞火星的停泊軌道運行的周期比在調(diào)相軌道上小D.在地火轉(zhuǎn)移軌道運動時的速度均大于地球繞太陽的速度答案C解析“天問一號”發(fā)射后要脫離地球引力束縛，則發(fā)射速度要超過11.2km/s，故選項A錯誤；由題圖可知地火轉(zhuǎn)移軌道的半長軸長度比地球軌道半徑要大，根據(jù)開普勒第三定律eq\f(a3,Req\o\al(3,地))＝eq\f(T2,Teq\o\al(2,地))可知，“天問一號”在地火轉(zhuǎn)移軌道上運行的周期大于12個月，因此從P到Q的時間大于6個月，故選項B錯誤；同理根據(jù)開普勒第三定律，并結(jié)合停泊軌道、調(diào)相軌道的半長軸長度關(guān)系可知，“天問一號”在環(huán)繞火星的停泊軌道運行的周期比在調(diào)相軌道上小，故選項C正確；“天問一號”在P點點火加速，做離心運動進入地火轉(zhuǎn)移軌道，故在地火轉(zhuǎn)移軌道上P點的速度比地球環(huán)繞太陽的速度大，但在到達Q點之后，要加速進入火星軌道，即v火＞v地火Q，運行穩(wěn)定后，根據(jù)v＝eq\r(\f(GM,r))可知地球繞太陽的速度大于火星繞太陽的速度，即v地>v火，所以v地>v火>v地火Q，即“天問一號”在地火轉(zhuǎn)移軌道上并不是每一點的速度都比地球繞太陽的速度大，故選項D錯誤。【素能提升】5.(多選)(2022·山西太原模擬)搭載三名航天員的“神舟十二號”在軌工作90天后，其返回艙于9月16日在離地約350km的軌道上同空間站分離，進行調(diào)姿、制動、減速后從原來的飛行軌道進入返回軌道。大約在離地100km處，返回艙以極高的速度沖入大氣層，與空氣劇烈摩擦，航天員承受達到自身體重幾倍的過載作用；在距離地面10km左右，引導(dǎo)傘、減速傘和主傘先后展開，返回艙的速度緩緩下降。在距離地面約1m左右，反推發(fā)動機開始工作，返回艙實現(xiàn)軟著陸。下列說法正確的是()A.從飛行軌道進入返回軌道的過程中，返回艙的機械能守恒B.從飛行軌道進入返回軌道的過程中，航天員時刻處于超重狀態(tài)C.與空氣劇烈摩擦?xí)r，返回艙加速度的方向與重力方向的夾角大于90°D.反推發(fā)動機開始工作后，航天員處于超重狀態(tài)答案CD解析從飛行軌道進入返回軌道的過程中，制動、減速，返回艙的機械能減小，故A錯誤；從飛行軌道進入返回軌道的過程中，航天員有向下的加速度，處于失重狀態(tài)，故B錯誤；空氣劇烈摩擦，航天員承受達到自身體重幾倍的過載作用，說明此時航天員處于超重狀態(tài)，則其加速度有豎直向上的分量，則返回艙加速度的方向與重力方向的夾角大于90°，故C正確；反推發(fā)動機開始工作后，航天員有豎直向上的加速度，處于超重狀態(tài)，故D正確。6.(多選)(2022·湖南高考，8)如圖5，火星與地球近似在同一平面內(nèi)，繞太陽沿同一方向做勻速圓周運動，火星的軌道半徑大約是地球的1.5倍。地球上的觀測者在大多數(shù)的時間內(nèi)觀測到火星相對于恒星背景由西向東運動，稱為順行；有時觀測到火星由東向西運動，稱為逆行。當(dāng)火星、地球、太陽三者在同一直線上，且太陽和火星位于地球兩側(cè)時，稱為火星沖日。忽略地球自轉(zhuǎn)，只考慮太陽對行星的引力，下列說法正確的是()圖5A.火星的公轉(zhuǎn)周期大約是地球的eq\r(\f(8,27))倍B.在沖日處，地球上的觀測者觀測到火星的運動為順行C.在沖日處，地球上的觀測者觀測到火星的運動為逆行D.在沖日處，火星相對于地球的速度最小答案CD解析根據(jù)題意結(jié)合開普勒第三定律可知eq\f(req\o\al(3,地),Teq\o\al(2,地))＝eq\f(req\o\al(3,火),Teq\o\al(2,火))，由于火星軌道半徑大約是地球軌道半徑的1.5倍，則可得T火＝eq\r(\f(27,8))T地，故A錯誤；根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，可得v＝eq\r(\f(GM,r))，火星軌道半徑大于地球軌道半徑，火星運行的線速度小于地球運行的線速度，在沖日處火星相對于地球由東向西運動，為逆行，故B錯誤，C正確；火星和地球運動的線速度大小不變，在沖日處火星和地球速度方向相同，相對速度最小，故D正確。高考題型四雙星和多星問題【例5】(2022·湖北武漢一中模擬)如圖6所示，假設(shè)在太空中有恒星A、B雙星系統(tǒng)繞點O做順時針勻速圓周運動，運動周期為T1，它們的軌道半徑分別為rA、rB，rA<rB，C為B的衛(wèi)星，繞B做逆時針勻速圓周運動，周期為T2。忽略A與C之間的引力，A與B之間的引力遠大于C與B之間的引力。引力常量為G，下列說法正確的是()圖6A.若知道C的軌道半徑，則可求出C的質(zhì)量B.若A也有一顆軌道半徑與C相同的衛(wèi)星，則其運動周期也一定為T2C.恒星A的質(zhì)量為MA＝eq\f(4π2rA（rA＋rB）2,GTeq\o\al(2,1))D.設(shè)A、B、C三星由圖示位置到再次共線的時間為t，則t＝eq\f(T1T2,2（T1＋T2）)答案D解析利用eq\f(GMm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r，只能求中心天體的質(zhì)量，故A錯誤；由eq\f(GMm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r可知，公轉(zhuǎn)周期不僅與軌道半徑有關(guān)，還與中心天體的質(zhì)量有關(guān)，故B錯誤；由eq\f(GMAMB,（rA＋rB）2)＝MBeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T1)))eq\s\up12(2)rB可得MA＝eq\f(4π2rB（rA＋rB）2,GTeq\o\al(2,1))，故C錯誤；A、B、C三星由圖示位置到再次共線應(yīng)滿足eq\f(2π,T1)t＋eq\f(2π,T2)t＝π，可得t＝eq\f(T1T2,2（T1＋T2）)，故D正確。雙星系統(tǒng)模型規(guī)律及有用結(jié)論模型圖示基本規(guī)律或結(jié)論各自需要的向心力由彼此間的萬有引力相互提供，向心力大小是相等的，則eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ωeq\o\al(2,1)r1，eq\f(Gm1m2,L2)＝m2ωeq\o\al(2,2)r2兩顆星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2兩顆星的半徑與它們之間的距離關(guān)系為r1＋r2＝L兩顆星到圓心的距離r1、r2與星體質(zhì)量成反比，eq\f(m1,m2)＝eq\f(r2,r1)雙星的運動周期T＝2πeq\r(\f(L3,G（m1＋m2）))雙星的總質(zhì)量公式m1＋m2＝eq\f(4π2L3,T2G)【素能提升】7.(多選)(2022·山東濰坊模擬)2019年人類天文史上首張黑洞圖片正式公布。在宇宙中當(dāng)一顆恒星靠近黑洞時，黑洞和恒星可以相互繞行，從而組成雙星系統(tǒng)。在相互繞行的過程中，質(zhì)量較大的恒星上的物質(zhì)會逐漸被吸入到質(zhì)量較小的黑洞中，從而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的過程也被稱之為“潮汐瓦解事件”。天鵝座X－1就是一個由黑洞和恒星組成的雙星系統(tǒng)，它們以兩者連線上的某一點為圓心做勻速圓周運動，如圖7所示。在剛開始吞噬的較短時間內(nèi)，恒星和黑洞的距離不變，則在這段時間內(nèi)，下列說法正確的是()圖7A.兩者之間的萬有引力變大B.黑洞的角速度變大C.恒星的線速度變大D.黑洞的線速度變大答案AC解析假設(shè)恒星和黑洞的質(zhì)量分別為M、m，環(huán)繞半徑分別為R、r，且m<M，兩者之間的距離為L，則根據(jù)萬有引力定律Geq\f(Mm,L2)＝F向，恒星和黑洞的距離不變，隨著黑洞吞噬恒星，M、m的乘積變大，它們的萬有引力變大，故A正確；雙星系統(tǒng)屬于同軸轉(zhuǎn)動的模型，角速度相等，根據(jù)萬有引力提供向心力Geq\f(Mm,L2)＝mω2r＝Mω2R，其中R＋r＝L，解得恒星的角速度ω＝eq\r(\f(G（M＋m）,L3))，雙星的質(zhì)量之和與距離不變，則角速度不變，故B錯誤；根據(jù)mω2r＝Mω2R，得eq\f(M,m)＝eq\f(r,R)，因為M減小，m增大，所以R增大，r減小，由v恒＝ωR，v黑＝ωr，可得v恒變大，v黑變小，故C正確，D錯誤。8.(多選)(2022·河南鄭州三模)宇宙間存在一些離其他恒星較遠的三星系統(tǒng)，其中有一種三星系統(tǒng)如圖8所示，三顆質(zhì)量均為m的星球位于邊長為R的等邊三角形的三個頂點上，并繞其中心O做勻速圓周運動。忽略其他星球?qū)λ鼈兊囊ψ饔?，引力常量為G，以下對該三星系統(tǒng)的說法正確的是()圖8A.每顆星球做圓周運動的半徑都為eq\f(\r(3),3)RB.每顆星球做圓周運動的加速度都與三顆星球的質(zhì)量無關(guān)C.每顆星球做圓周運動的周期都為2πReq\r(\f(R,3Gm))D.若距離R和質(zhì)量m均增大為原來的3倍，則每顆星球的線速度大小不變答案ACD解析由幾何關(guān)系知每顆星球做圓周運動的半徑r＝eq\f(\r(3),3)R，故A正確；任意兩顆星之間的萬有引力為F＝eq\f(Gm2,R2)，一顆星受到的合力F1＝eq\r(3)F，合力提供它們的向心力，eq\r(3)Geq\f(mm,R2)＝ma，解得a＝eq\f(\r(3)Gm,R2)，與三顆星球的質(zhì)量m成正比，故B錯誤；合力提供向心力有eq\f(\r(3)Gmm,R2)＝meq\f(4π2,T2)r，解得T＝2πReq\r(\f(R,3Gm))，故C正確；由eq\r(3)eq\f(Gmm,R2)＝meq\f(v2,r)，解得v＝eq\r(\f(Gm,R))，距離R和質(zhì)量m均增大為原來的3倍，則每顆星球的線速度大小不變，故D正確。1.(2022·全國乙卷，14)2022年3月，中國航天員翟志剛、王亞平、葉光富在離地球表面約400km的“天宮二號”空間站上通過天地連線，為同學(xué)們上了一堂精彩的科學(xué)課。通過直播畫面可以看到，在近地圓軌道上飛行的“天宮二號”中，航天員可以自由地漂浮，這表明他們()A.所受地球引力的大小近似為零B.所受地球引力與飛船對其作用力兩者的合力近似為零C.所受地球引力的大小與其隨飛船運動所需向心力的大小近似相等D.在地球表面上所受引力的大小小于其隨飛船運動所需向心力的大小答案C解析航天員在空間站中所受的地球引力完全提供做圓周運動的向心力，飛船對其作用力等于零，所受地球引力大小不為零，A、B錯誤，故C正確；根據(jù)F＝Geq\f(Mm,r2)可知，他們在地球表面上所受引力的大小大于在飛船中所受的萬有引力大小，因此在地球表面所受引力大小大于其隨飛船運動所需向心力的大小，故D錯誤。2.(2022·山東高考，6)“羲和號”是我國首顆太陽探測科學(xué)技術(shù)試驗衛(wèi)星。如圖9所示，該衛(wèi)星圍繞地球的運動視為勻速圓周運動，軌道平面與赤道平面接近垂直。衛(wèi)星每天在相同時刻，沿相同方向經(jīng)過地球表面A點正上方，恰好繞地球運行n圈。已知地球半徑為R，自轉(zhuǎn)周期為T，地球表面重力加速度為g，則“羲和號”衛(wèi)星軌道距地面高度為()圖9A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(gR2T2,2n2π2)))eq\f(1,3)－R B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(gR2T2,2n2π2)))eq\f(1,3)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(gR2T2,4n2π2)))eq\f(1,3)－R D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(gR2T2,4n2π2)))eq\f(1,3)答案C解析地球表面的重力加速度為g，根據(jù)牛頓第二定律有eq\f(GMm,R2)＝mg，可得GM＝gR2。根據(jù)題意可知，衛(wèi)星的運行周期為T′＝eq\f(T,n)，根據(jù)牛頓第二定律，萬有引力提供衛(wèi)星運動的向心力，則有eq\f(GMm′,（R＋h）2)＝m′eq\f(4π2,T′2)(R＋h)，聯(lián)立以上式子解得h＝eq\r(3,\f(gR2T2,4n2π2))－R，故C正確。3.(2022·湖北高考，2)2022年5月，我國成功完成了天舟四號貨運飛船與空間站的對接，形成的組合體在地球引力作用下繞地球做圓周運動，周期約90分鐘。下列說法正確的是()A.組合體中的貨物處于超重狀態(tài)B.組合體的速度大小略大于第一宇宙速度C.組合體的角速度大小比地球同步衛(wèi)星的大D.組合體的加速度大小比地球同步衛(wèi)星的小答案C解析組合體在天上只受萬有引力的作用，則組合體中的貨物處于失重狀態(tài)，A錯誤；由題知組合體在地球引力作用下繞地球做圓周運動，而第一宇宙速度為最大的環(huán)繞速度，則組合體的速度大小不可能大于第一宇宙速度，B錯誤；已知同步衛(wèi)星的周期為24h，則根據(jù)角速度和周期的關(guān)系有ω＝eq\f(2π,T)，由于T同>T組合體，則組合體的角速度大小比地球同步衛(wèi)星的大，C正確；組合體在地球引力作用下繞地球做圓周運動，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，整理有T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，由于T同>T組合體，則r同>r組合體，又Geq\f(Mm,r2)＝ma，則有a同<a組合體，D錯誤。4.(多選)(2021·湖南高考，7)2021年4月29日，中國空間站天和核心艙發(fā)射升空，準確進入預(yù)定軌道。根據(jù)任務(wù)安排，后續(xù)將發(fā)射問天實驗艙和夢天實驗艙，計劃2022年完成空間站在軌建造。核心艙繞地球飛行的軌道可視為圓軌道，軌道離地面的高度約為地球半徑的eq\f(1,16)。下列說法正確的是()A.核心艙進入軌道后所受地球的萬有引力大小約為它在地面時的eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,17)))eq\s\up12(2)B.核心艙在軌道上飛行的速度大于7.9km/sC.核心艙在軌道上飛行的周期小于24hD.后續(xù)加掛實驗艙后，空間站由于質(zhì)量增大，軌道半徑將變小答案AC解析根據(jù)萬有引力公式F＝eq\f(Gm地m,r2)可知，核心艙進入軌道后所受地球的萬有引力大小與軌道半徑的平方成反比，則核心艙進入軌道后所受地球的萬有引力與它在地面時所受地球的萬有引力大小之比eq\f(F′,F地)＝eq\f(R2,（R＋\f(R,16)）2)，解得F′＝(eq\f(16,17))2F地，A正確；根據(jù)Geq\f(m地m,R2)＝eq\f(mv2,R)可得，v＝eq\r(\f(Gm地,R))＝7.9km/s，而核心艙軌道半徑r大于地球半徑R，所以核心艙在軌道上飛行的速度一定小于7.9km/s，B錯誤；由Geq\f(m地m,r2)＝meq\f(4π2,T2)r得繞地球做圓周運動的周期T與eq\r(r3)成正比，核心艙的軌道半徑比同步衛(wèi)星的小，故核心艙在軌道上飛行的周期小于24h，C正確；根據(jù)Geq\f(m地m,r2)＝meq\f(v2,r)可知空間站的軌道半徑與空間站的質(zhì)量無關(guān)，故后續(xù)加掛實驗艙后，軌道半徑不變，D錯誤。1.(2022·江蘇常州模擬)2021年7月4日航天員劉伯明、湯洪波身著中國自主研制的新一代“飛天”艙外航天服，先后從天和核心艙節(jié)點艙成功出艙，在機械臂支持下，相互配合開展空間站艙外有關(guān)設(shè)備組裝等作業(yè)。如圖1所示，站在機械臂上的航天員()圖1A.對地速度為零B.對地加速度為零C.處于二力平衡狀態(tài)D.處于完全失重狀態(tài)答案D解析站在機械臂上的航天員，隨核心艙一起繞地球做勻速圓周運動，速度不為零，A錯誤；做勻速圓周運動時，航天員的加速度指向地心，不為零，B錯誤；航天員受力不平衡，此時所受的重力恰好提供做勻速圓周運動的向心力，因此航天員處于完全失重狀態(tài)，C錯誤，D正確。2.(2022·浙江6月選考，6)“神舟十三號”飛船采用“快速返回技術(shù)”，在近地軌道上，返回艙脫離天和核心艙，在圓軌道環(huán)繞并擇機返回地面。則()A.天和核心艙所處的圓軌道距地面高度越高，環(huán)繞速度越大B.返回艙中的宇航員處于失重狀態(tài)，不受地球的引力C.質(zhì)量不同的返回艙與天和核心艙可以在同一軌道運行D.返回艙穿越大氣層返回地面過程中，機械能守恒答案C解析根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，可得v＝eq\r(\f(GM,r))，可知圓軌道距地面的高度越高，環(huán)繞速度越小，且只要速度大小相等就可以在同一軌道運行，與返回艙及天和核心艙的質(zhì)量無關(guān)，故A錯誤，C正確；返回艙中的宇航員處于失重狀態(tài)，仍然受到地球引力作用，地球的引力提供宇航員繞地球運動的向心力，故B錯誤；返回艙穿越大氣層返回地面過程中，克服阻力做功產(chǎn)生熱量，機械能減小，故D錯誤。3.(2022·河北高考，2)2008年，我國天文學(xué)家利用國家天文臺興隆觀測基地的2.16米望遠鏡，發(fā)現(xiàn)了一顆繞恒星HD173416運動的系外行星HD173416b，2019年，該恒星和行星被國際天文學(xué)聯(lián)合會分別命名為“羲和”和“望舒”，天文觀測得到恒星“羲和”的質(zhì)量是太陽質(zhì)量的2倍，若將“望舒”與地球的公轉(zhuǎn)均視為勻速圓周運動，且公轉(zhuǎn)的軌道半徑相等。則“望舒”與地球公轉(zhuǎn)速度大小的比值為()A.2eq\r(2) B.2C.eq\r(2) D.eq\f(\r(2),2)答案C解析地球繞太陽公轉(zhuǎn)和行星“望舒”繞恒星“羲和”做勻速圓周運動都是由萬有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，解得公轉(zhuǎn)的線速度大小為v＝eq\r(\f(GM,r))，其中中心天體“羲和”和太陽的質(zhì)量之比為2∶1，公轉(zhuǎn)的軌道半徑相等，則“望舒”與地球公轉(zhuǎn)速度大小的比值為eq\r(2)，故C正確。4.(2022·西南名校聯(lián)考)地球同步衛(wèi)星位于赤道上方相對地面靜止不動，已知地球自轉(zhuǎn)周期為T，地球同步衛(wèi)星距離地面的高度為地球半徑的n倍，萬有引力常量為G。如果把地球看作質(zhì)量分布均勻的球體，則地球的密度為()A.eq\f(3π,GT2n3) B.eq\f(3πn3,GT2)C.eq\f(3π（n＋1）3,GT2) D.eq\f(3π,GT2（n＋1）3)答案C解析地球同步衛(wèi)星軌道半徑r＝(n＋1)R，根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，V＝eq\f(4,3)πR3，ρ＝eq\f(M,V)，聯(lián)立以上各式得，地球的密度為ρ＝eq\f(3π（n＋1）3,GT2)，故C正確。5.(2022·浙江金華一模)2021年5月15日“天問一號”探測器成功著陸火星?！疤靻栆惶枴碧綔y器經(jīng)過多次變軌后登陸火星的理想軌跡示意圖如圖2乙所示，其中軌道Ⅰ、Ⅲ為橢圓，軌道Ⅱ為圓，不計探測器變軌時質(zhì)量的變化，下列說法正確的是()圖2A.在軌道Ⅲ的運行周期大于在軌道Ⅱ的運行周期B.在軌道Ⅱ上的速度小于火星的“第一宇宙速度”C.在軌道Ⅰ上O點的加速度小于軌道Ⅱ上O點的加速度D.在軌道Ⅲ上，O點的速度大于Q點的速度答案B解析根據(jù)開普勒第三定律可知，軌道半徑越小，周期越小，所以在軌道Ⅲ的運行周期小于在軌道Ⅱ的運行周期，A錯誤；根據(jù)萬有引力提供向心力，即有Geq\f(m火m,r2)＝meq\f(v2,r)可知，在軌道Ⅱ上的速度小于火星的“第一宇宙速度”，B正確；根據(jù)萬有引力提供向心力，即有Geq\f(m火m,r2)＝ma，故可得在軌道Ⅰ上O點的加速度等于軌道Ⅱ上O點的加速度，C錯誤；根據(jù)開普勒第三定律，可知在橢圓軌道Ⅲ上，O點的速度小于Q點的速度，D錯誤。6.(多選)(2022·湖北模擬預(yù)測)2021年4月29日，發(fā)射入軌的空間站“天和”核心艙進入交會對接軌道后將開展與“天舟二號”貨運飛船交會對接的準備工作。對“天舟二號”貨運飛船的發(fā)射及與“天和”核心艙的對接，下列說法正確的是()A.發(fā)射速度不大于第一宇宙速度B.對接前做圓周運動時，速度不大于第一宇宙速度C.若對接前在高于“天和”核心艙的軌道上做圓周運動，則開始對接時發(fā)動機應(yīng)向下方噴氣D.若對接前在低于“天和”核心艙的軌道上做圓周運動，則開始對接時發(fā)動機應(yīng)向后方噴氣答案BD解析第一宇宙速度是最小的發(fā)射速度，可知飛船的發(fā)射速度一定大于第一宇宙速度，故A錯誤；第一宇宙速度是最大的環(huán)繞速度，則對接前做圓周運動時，速度不大于第一宇宙速度，故B正確；若對接前在高于“天和”核心艙的軌道上做圓周運動，則開始對接時發(fā)動機應(yīng)向前方噴氣減速做向心運動，才能實現(xiàn)對接，故C錯誤；若對接前在低于“天和”核心艙的軌道上做圓周運動，則開始對接時發(fā)動機應(yīng)向后方噴氣加速進入高軌道才能實現(xiàn)對接，故D正確。7.(多選)(2022·內(nèi)蒙古赤峰二中模擬)“長征五號”遙四運載火箭直接將我國首次執(zhí)行火星探測任務(wù)的“天問一號”探測器送入地火轉(zhuǎn)移軌道，自此“天問一號”開啟了奔向火星的旅程。如圖3所示為“天問一號”的運動軌跡圖，下列說法正確的是()圖3A.發(fā)射階段的末速度已經(jīng)超過了第二宇宙速度B.探測器沿不同軌道經(jīng)過圖中的A點時的速度都相同C.探測器沿不同軌道經(jīng)過圖中的A點時的加速度都相同D.“天問一號”在火星表面著陸時，發(fā)動機要向運動的反方向噴氣答案AC解析要進入火星，需要逃逸出地球的引力，所以發(fā)射速度需要大于第二宇宙速度，故A正確；每一次變軌都需要在A點加速使探測器做離心運動，才能到更高的軌道，所以探測器沿不同軌道經(jīng)過圖中的A點時的速度不相同，故B錯誤；由Geq\f(m火m,r2)＝ma可得a＝eq\f(Gm火,r2)，可知探測器沿不同軌道經(jīng)過圖中的A點時的加速度都相同，故C正確；“天問一號”在火星表面著陸時，需要減速使其做近心運動，發(fā)動機要向運動的方向噴氣，故D錯誤。8.(2022·廣東茂名二模)2022年4月16日0時44分，“神舟十三號”載人飛船與距地面高度約為400km(小于同步衛(wèi)星的高度)的空間站“天和”核心艙成功分離，“神舟十三號”航天員乘組在空間站組合體工作生活了183天安全回家，下列說法正確的是()A.“神舟十三號”載人飛船要返回地面應(yīng)該點火加速B.“神舟十三號”載人飛船在軌運行的周期比同步衛(wèi)星運行的周期大C.“神舟十三號”載人飛船在軌運行的速度比同步衛(wèi)星運行的速度大D.“神舟十三號”載人飛船在軌運行的速度比地球的第一宇宙速度大答案C解析“神舟十三號”載人飛船要返回地面，需要點火減速，使得飛船所受萬有引力大于所需向心力，飛船做近心運動，從高軌道運動到低軌道，從而最終到達地面，故A錯誤；根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r得T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))，由于“神舟十三號”載人飛船在軌運行的軌道半徑比同步衛(wèi)星運行的軌道半徑小，則“神舟十三號”載人飛船在軌運行的周期比同步衛(wèi)星運行的周期小，故B錯誤；根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得v＝eq\r(\f(GM,r))可知，“神舟十三號”載人飛船在軌運行的速度比同步衛(wèi)星運行的速度大，故C正確；由于第一宇宙速度大小近似為近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度大小，所以“神舟十三號”載人飛船在軌運行的速度比地球的第一宇宙速度小，故D錯誤。9.(多選)(2022·湖南衡陽期中)2021年6月17日，航天員聶海勝、劉伯明、湯洪波乘“神舟十二號”載人飛船成功飛天，成為中國空間站天和核心艙的首批入駐人員。已知中國空間站和國際空間站都在離地高度約為400km的圓形軌道飛行，下列說法正確的是()圖4A.“神舟十二號”載人飛船在上升階段加速度達到3g時，處于超重狀態(tài)，宇航員承受的支持力約為地球?qū)λ亓Φ?倍B.國際空間站比中國空間站質(zhì)量大，所以國際空間站在軌道上繞地球做勻速圓周運動的加速度更大C.與離地高度約為36000km的同步衛(wèi)星相比，空間站做圓周運動的加速度更大D.處于低軌道的“神舟十二號”與處于高軌道的天和核心艙交匯對接時需要適當(dāng)加速答案CD解析在飛船加速上升階段，根據(jù)牛頓第二定律FN－mg＝man，解得FN＝4mg，可得支持力約為自身重力的4倍，故A錯誤；兩個空間軌道高度相同，根據(jù)萬有引力提供向心力Geq\f(m地m,r2)＝man，解得an＝eq\f(Gm地,r2)，可知國際空間站與中國空間站在軌道上繞地球做圓周運動所需要的向心加速度相同，故B錯誤；因同步衛(wèi)星的軌道半徑大于空間站的軌道半徑，由an＝eq\f(Gm地,r2)知空間站做圓周運動的加速度更大，故C正確；航天器對接需要低軌道適當(dāng)加速進入高軌道才能對接，故D正確。10.(2021·全國乙卷，18)科學(xué)家對銀河系中心附近的恒星S2進行了多年的持續(xù)觀測，給出1994年到2002年間S2的位置如圖5所示?？茖W(xué)家認為S2的運動軌跡是半長軸約為1000AU(太陽到地球的距離為1AU)的橢圓，銀河系中心可能存在超大質(zhì)量黑洞。這項研究工作獲得了2020年諾貝爾物理學(xué)獎。若認為S2所受的作用力主要為該大質(zhì)量黑洞的引力，設(shè)太陽的質(zhì)量為M，可以推測出該黑洞質(zhì)量約為()圖5A.4×104M B.4×106MC.4×108M D.4×1010M答案B解析由萬有引力提供向心力，有eq\f(GM中m,R2)＝meq\f(4π2,T2)R，整理得eq\f(R3,T2)＝eq\f(GM中,4π2)，可知eq\f(R3,T2)只與中心天體的質(zhì)量有關(guān)，則eq\f(M黑洞,M)＝eq\f(\f(Req\o\al(3,S2),Teq\o\al(2,S2)),\f(Req\o\al(3,地),Teq\o\al(2,地)))，已知T地＝1年，由題圖可知恒星S2繞銀河系運動的周期TS2＝2×(2002－1994)年＝16年，解得M黑洞＝4×106M，B正確。11.(2022·浙江縉云中學(xué)模擬)2020年11月24日4時30分，“長征五號”遙五運載火箭在中國海南文昌航天發(fā)射場成功發(fā)射，飛行約2200秒后，順利將探月工程“嫦娥五號”探測器送入預(yù)定軌道，開啟中國首次地外天體采樣返回之旅?！版隙鹞逄枴憋w行軌跡可以簡化為如圖6所示，首先進入圓軌道Ⅰ，在P點進入橢圓軌道Ⅱ，到達遠地點Q后進入地月轉(zhuǎn)移軌道，到達月球附近后進入環(huán)月軌道Ⅲ。圓軌道Ⅰ的半徑為r1，周期為T1，橢圓軌道Ⅱ的半長軸為a，周期為T2，環(huán)月軌道Ⅲ的半徑為r3，周期為T3，地球半徑為R，地球表面重力加速度為g。忽略地球自轉(zhuǎn)和太陽引力的影響。下列說法正確的是()圖6A.eq\f(req\o\al(3,1),Teq\o\al(2,1))＝eq\f(a3,Teq\o\al(2,2))＝eq\f(req\o\al(3,3),Teq\o\al(2,3))B.“嫦娥五號”在軌道Ⅰ運行速度等于eq\r(gr1)C.“嫦娥五號”在軌道Ⅰ的P點和橢圓軌道Ⅱ的P點加速度相同D.“嫦娥五號”在橢圓軌道Ⅱ的Q點運行速度大于在圓軌道Ⅰ的運行速度答案C解析根據(jù)開普勒第三定律，中心天體是地球時，有eq\f(req\o\al(3,1),Teq\o\al(2,1))＝eq\f(a3,Teq\o\al(2,2))，在軌道Ⅲ運行時，中心天體是月球，故eq\f(req\o\al(3,1),Teq\o\al(2,1))＝eq\f(a3,Teq\o\al(2,2))≠eq\f(req\o\al(2,3),Teq\o\al(2,3))，故A錯誤；“嫦娥五號”在軌道Ⅰ上運行時，有mg1＝meq\f(veq\o\al(2,1),r1)，解得v1＝eq\r(g1r1)，地球表面重力加速度為g，g1是軌道Ⅰ處的加速度，故B錯誤；在同一點“嫦娥五號”受到的萬有引力相同，則其在軌道Ⅰ的P點和橢圓軌道Ⅱ的P點加速度相同，故C正確；“嫦娥五號”在橢圓軌道Ⅱ上運行時，Q點為遠地點，P點為近地點，所以在Q的運行速度小于在圓軌道Ⅰ的運行速度，故D錯誤。12.(多選)(2022·陜西蒲城期中)“天問一號”到達火星附近后“剎車”被火星捕獲，進