天津市和平區(qū)高三下學(xué)期一模試題數(shù)學(xué)

和平區(qū)20232024學(xué)年度第二學(xué)期高三年級第一次質(zhì)量調(diào)查數(shù)學(xué)學(xué)科試卷本試卷包括第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分.考試時間120分鐘.祝同學(xué)們考試順利!第Ⅰ卷（選擇題共45分）注意事項：1.答第Ⅰ卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號涂寫在答題卡上.2.每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.答在試卷上的無效.3.本卷共9小題，每小題5分，共45分.參考公式：?球的表面積公式，其中R表示球的半徑.?如果事件A、B互斥，則.?如果事件A、B相互獨立，則.一、選擇題（在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，，集合，則集合C的子集個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.42.函數(shù)的圖象大致是（）A. B. C. D.3.已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，若，，成等差數(shù)列，則（）A. B. C. D.4.已知a，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件 D.充要條件5.某市為了減少水資源浪費，計劃對居民生活用水實施階梯水價制度，為確定一個比較合理的標(biāo)準(zhǔn)，從該市隨機調(diào)查了100位居民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖，則以下四個說法正確的個數(shù)為（）①估計居民月均用水量低于的概率為0.25；②估計居民月均用水量的中位數(shù)約為；③該市有40萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于的人數(shù)為6萬；④根據(jù)這100位居民的用水量，采用樣本量按比例分配的分層隨機抽樣的方法，抽取了容量為20人的樣本，則在用水量區(qū)間中應(yīng)抽取4人.（第5題）A.1 B.2 C.3 D.46.設(shè)，，，則有（）A. B. C. D.7.已知函數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，則以下結(jié)論中正確的是（）A.函數(shù)是奇函數(shù)B.函數(shù)與的值域相同C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增8.若三棱臺的上、下底面均是正三角形，側(cè)面是全等的等腰梯形，且其各頂點都在表面積為的球O的表面上，，則三棱臺的高為（）A. B.8 C.6或8 D.或69.設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為點，，過坐標(biāo)原點的直線與C交于A，B兩點，，的面積為，且，若雙曲線C的實軸長為4，則雙曲線C的方程為（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非選擇題共105分）注意事項：1.用黑色鋼筆或簽字筆直接答在答題卡上，答在本試卷上的無效.2.本卷共11題，共105分.二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個空的，答對1個的給3分，全部答對的給5分）10.i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則______.11.在的二項展開式中，的系數(shù)為______（請用數(shù)字作答）.12.為深入學(xué)習(xí)貫徹黨的二十大精神，推動全市黨員干部群眾用好“學(xué)習(xí)強國”學(xué)習(xí)平臺，某單位組織“學(xué)習(xí)強國”知識競賽，競賽共有10道題目，隨機抽取3道讓參賽者回答，規(guī)定參賽者至少要答對其中2道才能通過初試.已知某參賽黨員甲只能答對其中的6道，那么黨員甲抽到能答對題目數(shù)X的數(shù)學(xué)期望為______；黨員甲能通過初試的概率為______.13.圓與拋物線的準(zhǔn)線相交于A，B兩點.若，則拋物線的焦點坐標(biāo)為______.14.青花瓷，常簡稱青花，代表了我國古代勞動人民智慧的結(jié)晶，是中國瓷器的主流品種之一.圖一是一個由波濤紋和葡萄紋構(gòu)成的正六邊形青花瓷盤，已知圖二中正六邊形的邊長為4，圓O的圓心為正六邊形的中心，半徑為2，若點M在正六邊形的邊上運動，動點A，B在圓O上運動且關(guān)于圓心O對稱.（i）請用、表示______；（ii）請寫出的取值范圍______.圖一圖二第（14）題15.若函數(shù)（其中）在區(qū)間上恰有4個零點，則a的取值范圍為______.三、解答題（本大題共5小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.（本小題滿分14分）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別a，b，c，其中，，且.（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值.17.（本小題滿分15分）如圖，四棱錐的底面是正方形，平面，，點E，F(xiàn)分別是棱，的中點，點M是線段上一點.第（17）題（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求平面與平面的夾角的余弦值；（IⅢ）若直線與平面所成的角的正弦值為，求此時的長度.18.（本小題滿分15分）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左焦點為點F，離心率為，過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為3.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)不過原點O且斜率為的直線l與橢圓C交于不同的兩點P，Q，線段的中點為T，直線與橢圓C交于兩點M，N，證明：.19.（本小題滿分15分）若數(shù)列滿足，其中，，則稱數(shù)列為M數(shù)列.（Ⅰ）已知數(shù)列為M數(shù)列，當(dāng)，時，（i）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并寫出數(shù)列的通項公式；（ii），求.（Ⅱ）若是M數(shù)列，且，證明：存在正整數(shù)n，使得.20.（本小題滿分16分）已知函數(shù)，，（，e為自然對數(shù)的底數(shù)）.（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)在處的切線方程為，求證：當(dāng)時，；（Ⅲ）若，存在，使得，且，求證：當(dāng)時，.和平區(qū)20232024學(xué)年度第二學(xué)期高三年級第一次質(zhì)量調(diào)查數(shù)學(xué)學(xué)科試卷參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（分分）123456789DBABDBDCC二、填空題（分分）10.. 11.. 12.；.13.. 14.；.15..三、解答題（共75分）16.（本小題滿分14分）解：（Ⅰ）因為，由正弦定理，所以，……1分所以，解得，所以.……4分（Ⅱ）由余弦定理，……6分，所以.……8分（Ⅲ），.……12分所以.……14分17.（本小題滿分15分）解：（Ⅰ）證明：因為四棱雉的底面是正方形，平面，所以以點D為坐標(biāo)原點，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，……1分則有，，，，，，.因為，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，……3分又因為，則，即，……4分由平面，所以平面得證.（Ⅱ）設(shè)平面與平面的夾角為，平面的法向量，平面的法向量，……5分所以，，則平面與平面的夾角的余弦值為.……8分（Ⅲ）設(shè)長度為，，設(shè)直線與平面所成角為，已知，，……10分，……13分求得，則此時長度為1.……15分18.（本小題滿分15分）解：（Ⅰ）依題意，，解得所以橢圓C的方程為.……4分（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為，設(shè)點，，，聯(lián)立方程組，整理得.……6分，即，即且.……7分由韋達定理得，所以中點，所以直線方程為，設(shè)點N在第二象限，……10分，聯(lián)立方程組，求得，，……11分所以，……13分……14分……15分所以.19.（本小題滿分15分）解：（I）（i）證明：由，可得，……2分所以，數(shù)列是首項為公差為1的等差數(shù)列，所以，，……4分又因為，所以.……5分（ii），，……6分，設(shè)，，，，……8分所以，，，……9分所以，.……10分（Ⅱ）若是M數(shù)列，有，故，且，即……12分，……14分則，由隨n的增大而增大，法（一）若是M數(shù)列，則且，且時，，故對任意的，總存在正整數(shù)n使，即總存在正整數(shù)n，使得.法（二）若，可得，因為，故對任意的，總存在正整數(shù)n使，即總存在正整數(shù)n，使得.……15分20.（本小題滿分16分）解：（Ⅰ）因為，令，即，，……1分所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減.……3分（Ⅱ）因為，所以，而，……4分所以在點處的切線方程為：，……5分當(dāng)時，令，，法（一）：令，，則時，，所以在上單調(diào)遞增，，即，所以在上單調(diào)遞增，，所以.法（二）易證，所以，，所以，所以在時恒成立，即時，得證.……8分（Ⅲ）證明：由題意可知……9分因為時，，令，，所以在時單調(diào)遞減，所以，所以在