1.2-與三角形有關(guān)的線段（2）-2023年升初二人教版暑假銜接教材

?1.2與三角形有關(guān)的線段（2）考點(diǎn)先知考點(diǎn)先知知識考點(diǎn)三角形的高線1.與高線有關(guān)的求角度問題2.等面積法及其應(yīng)用三角形的中線3.中線平分三角形面積4.中線在周長中的應(yīng)用三角形的角平分線5.與角平分線有關(guān)的求角度問題6.角平分線的性質(zhì)的應(yīng)用7.三角形的內(nèi)心的應(yīng)用題型精析題型精析知識點(diǎn)一三角形的三線知識點(diǎn)一三角形的三線內(nèi)容三角形的高線1.過一個(gè)頂點(diǎn)作垂直于它對邊的線段叫做三角形的高線；2.三角形的三條高線交于一點(diǎn)，我們把該點(diǎn)叫做三角形的垂心；3.三角形的高線可能在三角形內(nèi)，可能在三角形上，也可能在三角形外.三角形的中線1.連接頂點(diǎn)與它對邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線；2.三角形的三條中線交于一點(diǎn)，我們把該點(diǎn)叫做三角形的重心；3.三角形的三條中線都在三角形的內(nèi)部.三角形的角平分線1.三角形其中一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線；2.三角形的三條角平分線線交于一點(diǎn)，我們把該點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心（即內(nèi)切圓圓心）；3.三角形的三條角平分線都在三角形的內(nèi)部.題型一三角形的三線概念辨析題型一三角形的三線概念辨析例1例1A．三角形的三條中線必交于一點(diǎn)B．直角三角形只有一條高C．三角形的中線可能在三角形的外部 D．三角形的高線都在三角形的內(nèi)部【分析】根據(jù)三角形的高和中線的定義判斷即可．【解答】解：、三角形的三條中線必交于一點(diǎn)，本選項(xiàng)說法正確，符合題意；、直角三角形有三條高，故本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；、三角形的中線不可能在三角形的外部，故本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；、三角形的高線不一定都在三角形的內(nèi)部，故本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；故選：．例2例2A．直角三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形【分析】根據(jù)直角三角形的高的交點(diǎn)是直角頂點(diǎn)解答．【解答】解：三角形的三條高線的交點(diǎn)在三角形的一個(gè)頂點(diǎn)上，此三角形是直角三角形．故選：．例3下列說法中正確的是例3A．三角形的垂心不一定只有一個(gè)B．三角形的外心一定在三角形的內(nèi)部C．三角形的內(nèi)心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等D．三角形的重心與三頂點(diǎn)的連線所構(gòu)成的三個(gè)三角形面積相等【答案】D【分析】根據(jù)三角形的垂心、外心、內(nèi)心、重心的意義及重心的性質(zhì)判斷即可．【詳解】A．三角形的垂心是指三角形的三邊上的高所在直線的交點(diǎn)，則垂心是唯一的，故此說法錯(cuò)誤；B．三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，此交點(diǎn)可在三角形的外部、內(nèi)部，也可以在三角形的邊上，故此說法錯(cuò)誤；C．三角形的內(nèi)心是三角形三內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，則此點(diǎn)到三角形三邊的距離相等，故此說法錯(cuò)誤；D．根據(jù)三角形重心的性質(zhì)：重心到頂點(diǎn)的距離等于重心到對邊中點(diǎn)距離的2倍，由此可知重心與兩個(gè)頂點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積是：，其中S表示原三角形的面積，故此結(jié)論正確；故選：D變1下列說法錯(cuò)誤的是（）變1A．三角形的三條高的交點(diǎn)一定在三角形內(nèi)部B．三角形的三條中線的交點(diǎn)一定在三角形內(nèi)部C．三角形的三條角平分線的交點(diǎn)一定在三角形內(nèi)部D．三角形的高，中線和角平分線都有三條【答案】A【分析】根據(jù)三角形的角平分線、高、中線的定義判斷即可．【詳解】A、三角形的三條高的交點(diǎn)在三角形內(nèi)部、外部或頂點(diǎn)上，本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，符合題意；B、三角形的三條中線的交點(diǎn)一定在三角形內(nèi)部，本選項(xiàng)說法正確，不符合題意；C、三角形的三條角平分線的交點(diǎn)一定在三角形內(nèi)部，本選項(xiàng)說法正確，不符合題意；D、三角形的高，中線和角平分線都有三條，本選項(xiàng)說法正確，不符合題意．故選：A．變2下列說法中，正確的個(gè)數(shù)是（）變2①三角形的中線、角平分線、高都是線段；②三角形的三條角平分線、三條中線、三條高都在三角形內(nèi)部；③直角三角形只有一條高；④三角形的三條角平分線、三條中線、三條高分別交于一點(diǎn)．A．1B．2C．3D．4【分析】根據(jù)三角形的三條中線都在三角形內(nèi)部；三角形的三條角平分線都在三角形內(nèi)部；三角形三條高可以在內(nèi)部，也可以在外部，直角三角形有兩條高在邊上．【解答】解：①三角形的中線、角平分線、高都是線段，故正確；②鈍角三角形的高有兩條在三角形外部，故錯(cuò)誤；③直角三角形有兩條直角邊和直角到對邊的垂線段共三條高，故錯(cuò)誤；④三角形的三條角平分線、三條中線分別交于一點(diǎn)是正確的，三條高線所在的直線一定交于一點(diǎn)，高線指的是線段，故錯(cuò)誤．所以正確的有1個(gè)．故選：．知識點(diǎn)二三角形的高線的應(yīng)用知識點(diǎn)二三角形的高線的應(yīng)用內(nèi)容三角形的高線的應(yīng)用面積與求角度兩類題型.【注意】由于三角形的高線可能在三角形的外部，所以在做一些有關(guān)高線的題時(shí)，可能是銳角三角形也可能是鈍角三角形，所以，可能會(huì)有兩個(gè)答案.題型二三角形高線的應(yīng)用題型二三角形高線的應(yīng)用類型一利用高線求角度類型一利用高線求角度例1已知AD是△ABC的高，∠BAD=70°，∠CAD=20°，則∠BAC是例1A．B．或C．或D．【答案】B【分析】分高AD在△ABC內(nèi)部和外部兩種情況討論求解即可．【詳解】解：①如圖1，當(dāng)高AD在△ABC的內(nèi)部時(shí)，∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°；②如圖2，當(dāng)高AD在△ABC的外部時(shí)，∠BAC=∠BAD∠CAD=70°20°=50°，綜上所述，∠BAC的度數(shù)為90°或50°．故選：B．例2已知的高與的夾角分別是60°和20°，則的度數(shù)是（

）例2A．80°B．40°C．60°D．80°或40°【答案】D【分析】分兩種情況討論求解即可：①當(dāng)D在線段上時(shí)，②當(dāng)D在線段的延長線上時(shí)．【詳解】解：①當(dāng)D在線段上時(shí)，如圖1，；②當(dāng)D在線段的延長線上時(shí)，如圖2，．故選：D．變1已知的高為，，，則的度數(shù)是______．變1【答案】90°或40°．【分析】畫出圖形可知有兩種情況：∠BAC＝∠BAD＋∠CAD和∠BAC＝∠BAD?∠CAD．【詳解】：如圖：∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝65°＋25°＝90°；如圖：∠BAC＝∠BAD?∠CAD＝65°?25°＝40°．故答案為：90°或40°．變2已知中，，過點(diǎn)A作的高，，則______．變2【答案】或##或【分析】根據(jù)題意畫出，分別討論三角形為銳角和鈍角三角形時(shí)的角，根據(jù)，可得答案．【詳解】解：當(dāng)為銳角三角形時(shí)，如上圖，；當(dāng)為鈍角三角形時(shí)，如上圖，，，，故答案為：或．例3在中，BC=6，BC邊上的高AD=4，且BD=2，則的面積為______．例3【答案】8或16##16或8【分析】根據(jù)題意得出的長度，再利用三角形面積公式求出的面積即可．【詳解】解：根據(jù)題意，分以下兩種情況：①如圖：，，，，，②如圖：，，，，，故答案為：8或16．變3在中，AC=16，AC邊上的高BD=12，且CD=9，則的面積為______．變3【答案】42或150類型二高線在面積中的應(yīng)用類型二高線在面積中的應(yīng)用思考cchab如圖所示，AB=c，AC=b，BC=a，AD=h，請用兩種方法表示△ABC的面積._______=_______；33h54如圖所示，請求出BC邊上的高h(yuǎn)的值.【總結(jié)】用兩種方法表示同一個(gè)圖形面積的方法叫做等面積法.我們常用等面積法求圖形的高.例1如圖在ABC中，AB=AC，點(diǎn)O為邊BC上的任一點(diǎn)，過點(diǎn)O作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分別為E、F，已知腰長為6，面積為15，則OE+OF=（）例1A．5B．7.5C．9D．10【答案】A【分析】連接AO，過點(diǎn)C作，交AB于點(diǎn)H，根據(jù)求出CH，根據(jù)，得，，根據(jù)和AB=AC進(jìn)行解答即可得．【詳解】解：如圖所示，連接AO，過點(diǎn)C作，交AB于點(diǎn)H，∴，，解得，∵，，∴，，∵，∴，例2如圖，在ABC中，AB=AC，D是BC邊上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)D分別向AB，AC引垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，CG是AB邊上的高．例2（1）若AB=AC=10，DE=3，DF=5，求；（2）DE，DF，CG之間存在著怎樣的等量關(guān)系？請加以證明．【答案】(1)40(2)DE+DF=CG，理由見解析．【分析】（1）連接AD，根據(jù)ABC的面積=ABD的面積+ACD的面積，即可求出答案；（2）連接AD，根據(jù)ABC的面積=ABD的面積+ACD的面積，進(jìn)行分析證明；（3）類似（2）的思路，仍然用計(jì)算面積的方法來確定線段之間的關(guān)系．即ABC的面積=ABD的面積ACD的面積．（1）解：連接AD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴；（2）解：DE+DF=CG，理由如下，連接AD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴，∵AB=AC，∴，∵CG⊥AB，∴，∴，∴DE+DF=CG；變1如圖，中，，P是BC上任意一點(diǎn)，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，若，則值為（）變1A．1B．1.2C．1.5D．2【答案】A【分析】連接，則，依據(jù)，，代入計(jì)算即可得到．【詳解】解：如圖所示，連接，則，∵于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，∴，，又∵，，∴，即，∴，故選：A．變2如圖，是的中線，，E，F(xiàn)分別是垂足．已知AB=2AC，求DE與DF的長度之比．變2【答案】【分析】根據(jù)三角形面積法進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵是的中線，∴，∵，∴，∴，∵，∴．例3如圖，已知，，，，，則點(diǎn)C到直線AB的距離等于（

）例3A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)等積法求出點(diǎn)到直線的距離即可．【詳解】解：∵，，∴，∴，即點(diǎn)到直線的距離為，故C正確．故選：C．例4如圖，在中，于點(diǎn)，于點(diǎn)D，且AB=3，BC=6，CE=5，則AD=______．例4【答案】【分析】根據(jù)三角形的面積公式列方程即可得到結(jié)論．【詳解】解：根據(jù)三角形面積公式可得，，∵AB=3，BC=6，CE=5，∴，解得．故答案為：．例5已知一個(gè)三角形三邊之比為3：4：5，則這個(gè)三角形三邊上的高之比為例5A．3：4：5B．5：4：3C．20：15：12D．10：8：2【答案】C【分析】根據(jù)同一三角形面積相等解答即可．【詳解】解：∵同一個(gè)三角形，面積是相等的，三邊之比為3：4：5，最小公倍數(shù)為60，∴這個(gè)三角形三邊上的高之比為20：15：12．故選：C．變3如圖，在△ABC中，，，AB=5，BC=8，AD=4，則CE的長為______．變3【答案】【分析】根據(jù)三角形的面積公式，即可求解．【詳解】∵，，∴，即，解得：CE=，故答案是：變4如圖，在△ABC中，AB=2，BC=4，△ABC的邊BC上的高AD與邊AB上的高CE的比值是（）變4A．B．C．1D．2【答案】A【分析】根據(jù)面積相等列出比例求解即可．【詳解】解：∵的邊上的高為，邊上的高為，，，∴，即：，∴，故選：A．知識點(diǎn)三三角形的中線的應(yīng)用知識點(diǎn)三三角形的中線的應(yīng)用內(nèi)容如圖所示，E是BC邊的中點(diǎn)，且AC>AB.則：1.三角形的中線平分三角形的面積；2.三角形的中線將三角形分為兩個(gè)周長差為邊長差的三角形.題型三三角形高線的應(yīng)用題型三三角形高線的應(yīng)用類型一類型一中線分三角形周長問題例1在中，，邊上的中線將分成的兩個(gè)新三角形的周長差為，與的和為，則的長為______．例1【分析】關(guān)鍵三角形的中線的概念得到，再根據(jù)三角形的周長公式、結(jié)合題意計(jì)算即可．【解答】解：是的中線，，，兩個(gè)新三角形的周長差為，，，，，故答案為：．例2已知是的中線，若與的周長分別是17和15，的周長是22，則的長為______．例2【分析】根據(jù)三角形的周長公式列式計(jì)算即可得解．【解答】解：與的周長分別是17和15，，的周長是22，，，．故答案為：5．變1已知是的中線，點(diǎn)在上，的周長比的周長多2，與的和為12，則的長______．變1【分析】根據(jù)三角形的中線的概念得到，根據(jù)三角形的周長公式得到，根據(jù)題意列出二元一次方程組，解方程組得到答案．【解答】解：是的中線，，的周長比的周長多2，，則，解得：，故答案為：7．變2如圖，在中，是邊上的中線，的周長比的周長多，若，則的長為______cm．變2【分析】根據(jù)三角形的中線的概念得到，根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算，得到答案．【解答】解：是邊上的中線，，的周長比的周長多，，，，故答案為：18．變3如圖，中，，，，是的中線，則的周長比的周長大______．變3【分析】根據(jù)中線的定義可得，然后求出的周長與的周長的差為，從而得解．【解答】解：是的中線，，的周長的周長，，，的周長的周長．故的周長比的周長大．故答案為：2．類型二類型二中線平分三角形的面積例1如圖，在中，D、E、F分別為、、的中點(diǎn)，且，則陰影部分的面積為（）cm2．例1A．2B．2.5C．3D．3.5【答案】C【分析】由于三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，由點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)得到12cm2，由點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)得到6cm2，然后由點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)得到即可求出答案．【詳解】解：∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴=12（cm2），∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，∴=6（cm2），∵點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)，∴3（cm2）故選：C．例2如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BE的中點(diǎn)，已知△ABC的面積為8，則△AEF的面積為例2A．4B．2C．1D．【答案】C【分析】利用同底等高的三角形面積相等即可求解．【詳解】∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BE的中點(diǎn)，∴BF＝EF＝BE，AE＝DE＝AD，BD＝CD＝BC，∵S△ABC＝8，∴S△ABD＝S△ABC＝4，∴S△ABE＝S△ABD＝2，∴S△AEF＝S△ABE＝1，故選：C．例3如圖，的面積是2，AD是的中線，，，則的面積為（）例3A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)中線的性質(zhì)即可求出S△ACD，然后根據(jù)等高時(shí)，面積之比等于底之比，即可依此求出S△CDF，S△CDE．【詳解】解：∵△ABC的面積是2，AD是△ABC的中線，∴S△ACD＝S△ABC＝1，∵AF＝AD，∴DF＝AD，∴S△CDF＝S△ACD＝×1＝，∵CE＝EF，∴CE＝CF∴S△CDE＝S△CDF＝×＝，故選：A．變1如圖，AD為△ABC的中線，BE為△ABD的中線．若△ABC的面積為60，BD＝5，則△BDE的BD邊上的高是（）變1A．3B．4C．5D．6【答案】D【分析】根據(jù)三角形的中線將三角形面積平分求得，再利用三角形面積公式求解即可．【詳解】解：∵AD為△ABC的中線，BE為△ABD的中線，△ABC的面積為60，∴，，設(shè)△BDE的BD邊上的高為h，∵BD=5，則，解得：h=6，即△BDE的BD邊上的高是6，故選：D．變2如圖，在中，，，，，則（）變2A．10B．9C．7D．8【答案】B【分析】根據(jù)三角形的高相同時(shí)，面積比＝底邊的比，由，得出，得出，然后同理得出，，從而算出得數(shù)．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故選：B．變3如圖，在中，已知點(diǎn)，，分別是，，邊上的中點(diǎn)，且，則為（）變3A．1cm2B．1.5cm2C．2.5cm2D．2cm2【答案】D【分析】根據(jù)等底等高的三角形的面積相等用△ABC的面積表示出△BDE和△CDE的面積，從而得到△BCE的面積，再次利用等底等高的三角形的面積相等即可得到△BEF的面積與△ABC的面積的關(guān)系，然后代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】解：∵點(diǎn)D，E分別是BC，AD邊上的中點(diǎn)，∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，S△BDE＝S△ABD＝S△ABC，S△CDE＝S△ACD＝S△ABC，∴S△BCE＝S△BDE＋S△CDE＝S△ABC＋S△ABC＝S△ABC，∵F是CE邊上的中點(diǎn)，∴S△BEF＝S△BCE＝×S△ABC＝S△ABC＝cm2．故選：D．變4如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)D、E、F分別是BC、AD、BE上的中點(diǎn)，且△ABC的面積為8cm2，則△BCF的面積為______．變4【答案】2cm2##2平方厘米【分析】因?yàn)辄c(diǎn)F是CE的中點(diǎn)，得到，利用點(diǎn)D是BC上的中點(diǎn)，得到，，進(jìn)一步得到，根據(jù)點(diǎn)E分別是AD上的中點(diǎn)，得到，將代入即可求出．【詳解】解：∵點(diǎn)F分別是BE上的中點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)D分別是BC上的中點(diǎn)，∴，，∴，∵點(diǎn)E分別是AD上的中點(diǎn)，∴，∵，∴，，∵∴．故答案為：2cm2變5如圖，BD是△ABC的中線，點(diǎn)E、F分別為BD、CE的中點(diǎn)，若△AEF的面積為3．則△ABC變5的面積是（）A．9B．10C．11D．12【分析】根據(jù)三角形的中線把三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形解答即可．【解答】解：∵F是CE的中點(diǎn)，△AEF的面積為3，∴S△ACE＝2S△AEF＝6cm2，∵E是BD的中點(diǎn)，∴S△ADE＝S△ABE，S△CDE＝S△BCE，∴S△ACE＝S△ADE+S△CDE＝S△ABE+S△BCE=12S△∴△ABC的面積＝12cm2．故選：D．例4如圖，△ABC的面積是12，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G分別為BC，AD，BE，CE的中點(diǎn)，則△AFG例4【答案】【分析】根據(jù)三角形中線的性質(zhì)可得，從而得到，，然后連接BG，可得，進(jìn)而得到，即可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G分別為BC，AD，BE，CE的中點(diǎn)，∴AD為△ABC的中線，AF為△ABE的中線，AG為△ACE的中線，BE為△ABD的中線，CE為△ACD的中線，∴，∴，∴，，如圖，連接BG，∵G為CE的中線，∴，∵點(diǎn)F為BE的中點(diǎn)，∴，∴．故答案為：變6如圖，△ABC的面積為280cm2，AE＝ED，BD＝3DC，則圖中四邊形EDCF的面積等于（）變6A．50B．55C．60D．65【分析】連接CE，由△ABC面積為280cm2，AE＝ED，BD＝3DC，可求出△ABD，△ADC的面積．根據(jù)底一定時(shí)，三角形面積與高成正比或高一定時(shí)，三角形面積與底成正比，求出△ABE、△BEC，△AEC的面積，從而得到△ABE與△BEC的高之比為3：4，亦即△AEF與△CEF的高之比，進(jìn)而得到△CEF的面積，最后求出四邊形EDCF的面積．【解答】解：連接CE，如圖．∵△ABC的面積為280cm2，BD＝3DC，∴S△ADC＝280×14=70cm2，S△ABD=280×又AE＝DE，∴S△ABE＝S△BDE=12×210=∴S△AEC＝S△DEC=1∴S△BEC＝S△BDE+S△DEC＝140，∴△ABE與△BEC面積比為105：140＝3：4，∴△ABE與△BEC高之比為3：4，即△AEF與△CEF的高之比為3：4，∴S△CEF=47S△AEC∴四邊形EDCF的面積為S△DEC+S△CEF＝35+20＝55．故選：B．知識點(diǎn)四三角形角平分線的應(yīng)用知識點(diǎn)四三角形角平分線的應(yīng)用內(nèi)容三角形角平分線的性質(zhì)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等（所以可能考面積相關(guān)問題）.題型四三角形角平分線性質(zhì)的應(yīng)用題型四三角形角平分線性質(zhì)的應(yīng)用例1如圖，已知是的角平分線，，垂足為E，，的面積是4，則的長是（）例1A．1B．2C．4D．無法計(jì)算【答案】B【分析】過D作DF⊥BA交BA的延長線于F，根據(jù)三角形的面積公式得到DF=2，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：過D作DF⊥BA交BA的延長線于F，∵AB=4，△ABD的面積是4，∴

∴DF=2，∵BD是△ABC的角平分線，DE⊥BC，∴DF=DE=2，故選：B．例2如圖，在中，，是的角平分線，于，若，，則的面積是（）例2A．6B．8C．10D．12【答案】D【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出DE，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算得到答案．【詳解】解：∵AD是∠BAC的角平分線，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DE＝CD＝3，∴S△ABD＝AB?DE＝×8×3＝12，故D正確．故選：D．變1如圖，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E點(diǎn)，S△DBC=12，BC=6，則DE的長為（）變1A．2B．4C．8D．不能確定【答案】B【分析】過D點(diǎn)作DF⊥BC于F，利用三角形面積公式計(jì)算出DF＝4，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE的長．【詳解】解：過D點(diǎn)作DF⊥BC于F，如圖所示：∵S△DBC＝12，BC＝6，∴×6×DF＝12，∴DF＝4，∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF＝4，故B正確．故選：B．變2如圖，在△ABC中，AB=5cm，AC=3cm，BC=4cm，點(diǎn)D．

E分別在AC、AB上，且△BCD和△BED關(guān)于BD對稱，則△ADE的周長為______cm.變2【答案】4.【分析】先根據(jù)△BCD和△BED關(guān)于BD對稱，得出△BCD≌△BED，故BE=BC，由此可得出AE的長，由△ADE的周長=AE+AD+DE=AE+AC即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵△BCD和△BED關(guān)于BD對稱，∴△BCD≌△BED，∴BE=BC=4cm，DE=CD∴AE=54=1，∴△ADE的周長=AE+AD+DE=AE+AC=1+3=4．故答案為4．題型五角平分線與垂線夾角模型題型五角平分線與垂線夾角模型內(nèi)容AD是高線，AE是角平分線，則高線與角平分線的夾角等于兩底角差的絕對值的一半，即.例1如圖，中，是角平分線，是高線，，求的度數(shù)．例1【答案】19°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可以求出∠BAC的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義，可以求出∠BAD的度數(shù)，再根據(jù)高線的性質(zhì)，得出∠BAF的性質(zhì)，即可求出的度數(shù)．【詳解】∵∴∵是角平分線∴∵是高線∴∴∴．例2如圖所示，在中，，平分．例2（1）求的度數(shù)；（2）求的度數(shù)；（3）直接寫出，，三個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得的度數(shù)，再由平分，即可求解；（2）根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得，即可求解；（3）根據(jù)，，三個(gè)角的度數(shù)，即可求解．【詳解】（1）解：在中，．∴．∵平分，∴；（2）解：∵，∴．∵，∴．（3）解：∵，∴，∵，∴．號：5462627例3例3如圖1，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于D．猜想∠B、∠C、∠EAD的數(shù)量關(guān)系．（1）小明閱讀題目后，沒有發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與解題思路，于是嘗試代入∠B、∠C的值求∠EAD值，得到下面幾組對應(yīng)值：∠B/度1030302020∠C/度7070606080∠EAD/度30a152030上表中a=，于是得到∠B、∠C、∠EAD的數(shù)量關(guān)系為．（2）小明繼續(xù)探究，在線段AE上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PD⊥BC于點(diǎn)D，請嘗試寫出∠B、∠C、∠EPD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）小明突發(fā)奇想，交換B、C兩個(gè)字母位置，如圖2，過EA的延長線是一點(diǎn)F作FD⊥BC交CB的延長線于D，當(dāng)∠ABC＝80°，∠C＝24°時(shí)，∠F度數(shù)為°．變1如圖，在中，是的高，是的角平分線．．變1（1）若，，則______．（2）若，，探究與、的數(shù)量關(guān)系？【答案】(1)(2)【分析】（1）首先計(jì)算出的度數(shù)，然后再根據(jù)角平分線定義可得的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余計(jì)算出的度數(shù)，進(jìn)而可得的度數(shù)；（2）由（1）知，再把，代入整理可得答案．【詳解】（1）解：∵在中，，，∴，∵是的角平分線，∴，∵是的高，∴，∴，∴．故答案為：．（2），理由如下：∵在中，，，∴，∵是的角平分線，∴∵是的高，∴，∴，∵，∴．變2如圖，AD是△ABC的角平分線，AE是△ABC的高，若∠B＝38°，∠C＝72°，則∠DAE的度數(shù)是（）變2A．70°B．35°C．18°D．17°【答案】D【分析】由∠B+∠C+∠BAC＝180，得∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°．由AD平分∠BAC，得∠BAD＝＝35°，故∠ADE＝∠B+∠BAD＝73°．由AE是△ABC的高，得∠AEC＝90°．由∠AEC＝∠ADE+∠DAE，得∠DAE＝∠AEC﹣∠ADE＝17°．【詳解】解：∵∠B+∠C+∠BAC＝180，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣38°﹣72°＝70°．又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝＝35°．∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝38°+35°＝73°．∵AE是△ABC的高，∴∠AEC＝90°．又∵∠AEC＝∠ADE+∠DAE，∴∠DAE＝∠AEC﹣∠ADE＝90°﹣73°＝17°．故選：D．變3如圖，在中，，，垂足為D，平分．已知，，求的度數(shù)．變3【答案】【分析】因?yàn)?，所以，從而?jì)算出，又因?yàn)槠椒?，所以【詳解】解：平分?（1）如圖①，△ABC中，點(diǎn)D，E在邊BC上，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝35°，∠C＝65°，求∠DAE的度數(shù)；變4（2）如圖②，若把（1）中的條件“AE⊥BC“變成“F為DA延長線上一點(diǎn)，F(xiàn)E⊥BC”，其他條件不變，求∠F的度數(shù)．【答案】（1）15°；（2）15°【分析】（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和求得∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)AD平分∠BAC，AE⊥BC，求得∠BAE，∠BAD的度數(shù)，最后根據(jù)∠DAE=∠BAE∠BAD計(jì)算即可；（2）先作AH⊥BC于H，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求得∠DFE的度數(shù)【詳解】（1）∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣35°﹣65°＝80°∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC＝40°，∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∴∠BAE＝90°﹣∠B＝55°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝55°﹣40°＝15°；（2）作AH⊥BC于H，如圖②，由（1）可得∠DAH＝15°，∵FE⊥BC，∴AH∥EF，∴∠DFE＝∠DAH＝15°；考點(diǎn)六中線與周長問題考點(diǎn)六中線與周長問題例1已知等腰三角形一腰上的中線將這個(gè)等腰三角形的周長分為和兩部分，則這個(gè)等腰三角形的腰長為（）例1A．B．C．或D．【分析】已知給出的和兩部分，沒有明確哪一部分含有底邊，要分類討論，設(shè)三角形的腰為，分兩種情況討論：或．【解答】解：設(shè)三角形的腰為，如圖：是等腰三角形，，是邊上的中線，則有或，分下面兩種情況：（1），解得，三角形的周長為，三邊長分別為，，，，不符合三角形的三邊關(guān)系，舍去；（2），解得，三角形的周長為，三邊長分別為，，．綜上可知：這個(gè)等腰三角形的腰長為．故選：．例2等腰三角形一腰上的中線把周長分為和的兩部分，則這個(gè)等腰三角形的底邊長是（）例2A．B．C．D．或【分析】已知給出的和兩部分，沒有明確哪一部分含有底邊，要分類討論，設(shè)三角形的腰為，分兩種情況討論：或．【解答】解：設(shè)三角形的腰為，如圖：是等腰三角形，，是邊上的中線，則有或，分下面兩種情況解．（1），解得，三角形的周長為，三邊長分別為，，，，不符合三角形的三邊關(guān)系舍去；（2），解得，三角形的周長為，三邊長分別為，，．綜上可知：這個(gè)等腰三角形的底邊長是．故選：．例3等腰三角形的周長是，一條腰上的中線將周長分為兩部分，則它的底邊為______．例3【分析】根據(jù)已知條件得到兩部分分別為：和，可知分為兩種情況①②解方程即可得到結(jié)論．【解答】解：等腰三角形的周長是，一腰上的中線將周長分為兩部分，兩部分分別為：和，可知分為兩種情況：①，是的中線，，，，故這個(gè)三角形的底邊長為；②，．，故這個(gè)三角形的底邊長為．故答案為：18或10．變1在等腰三角形中，，邊上的中線將這個(gè)三角形的周長分為15和12兩部分，則底邊的長為______．變1【分析】分兩種情況討論，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)列出方程即可解決問題．【解答】解：根據(jù)題意，①當(dāng)，解得，底邊，，10，10能構(gòu)成三角形，的長可以為7；②當(dāng)，解得，底邊，，，8，8能構(gòu)成三角形，的長可以為11；底邊等于7或11．故答案為：7或11．變2在中，，邊上的中線把的周長分為和的兩部分，則的長為（）變2A．14B．16或22C．22D．14或22【分析】由在中，，邊上的中線把的周長分成和兩部分，可得，，然后分別從與去分析求解即可求得答案．【解答】解：如圖，，是邊上的中線，即，，，若，則，又，聯(lián)立方程組：，解得：，，20、20、14三邊能夠組成三角形；若，則，又，聯(lián)立方程組：，解得：，，16、16、22三邊能夠組成三角形；或22．故選：．變3在等腰中，，腰上的中線將的周長分為15和27兩部分，則這個(gè)三角形的底邊長為______．變3【分析】本題由題意可知有兩種情況，或．從而根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系可求出底邊為6．【解答】解：是等腰的中線，可設(shè)，則，又知將三角形周長分為15和21兩部分，可知分為兩種情況：①，即，解得，此時(shí)，此時(shí)等腰的三邊分別為10，10，22；②，即，解得；此時(shí)等腰的三邊分別為18，18，6．經(jīng)驗(yàn)證，第一種情況不成立，這個(gè)三角形的底邊長為6．故答案為：6．課后強(qiáng)化課后強(qiáng)化1.給出下列命題：①等邊三角形是等腰三角形；②三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)；③三角形的外角等于兩個(gè)內(nèi)角的和；④三角形的角平分線是射線；⑤三角形相鄰兩邊組成的角叫三角形的內(nèi)角；⑥三角形的高所在的直線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)不在三角形內(nèi)就在三角形外．其中正確命題的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以判斷①，根據(jù)三角形重心的定義可判斷②，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可判斷③，根據(jù)三角形角平分線的定義可以判斷④，根據(jù)三角形的內(nèi)角的定義可以判斷⑤，根據(jù)三角形的高的定義以及直角三角形的高可以判斷⑥．【詳解】①等邊三角形是等腰三角形，①正確；②三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)，②正確；③三角形的外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，故③不正確；④三角形的角平分線是線段，故④不正確；⑤三角形相鄰兩邊組成的角且位于三角形內(nèi)部的角，叫三角形的內(nèi)角，⑤錯(cuò)誤；⑥三角形的高所在的直線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)可以在三角形內(nèi)或在三角形外或者在三角形的邊上．正確的有①②，共計(jì)2個(gè)，故選B2.已知AD為△ABC的高，∠BAD=30°，∠CAD=40°，則∠BAC=______．【答案】10°或70°【分析】分高AD在△ABC內(nèi)部和外部兩種情況討論求解即可．【詳解】解：①如圖1，當(dāng)高AD在△ABC的內(nèi)部時(shí)，∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+40°=70°；②如圖2，當(dāng)高AD在△ABC的外部時(shí)，∠BAC=∠CAD∠BAD=40°30°=10°，綜上所述，∠BAC的度數(shù)為10°或70°，故答案為：10°或70°．3.如圖，在中，為邊上的中線，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，，則______．【分析】由題意，中，為中線，可知和的面積相等；利用面積相等，問題可求．【解答】解：中，為中線，，，于，于，，，，，，，故答案為：2．4.如圖，已知△ABC中，BD、CE分別為它的兩條高線，BD=6、CE=5、AB=12，則AC=（）A．10B．C．D．7【答案】A【分析】利用三角形面積公式即可求得．【詳解】解：△ABC中，BD、CE分別為它的兩條高線，BD=6、CE=5、AB=12，∴S△ABC=AB?CE=AC?BD，∴AC==10，故選：A．5.已知，AE、BD是的高線，AE=6cm，BD=5cm，BC=8cm，則AC的長度是（）A．8cmB．8.6cmC．9cmD．9.6cm【答案】D【分析】根據(jù)等面積法即可求解．【詳解】解：∵AE、BD是的高線，AE=6cm，BD=5cm，BC=8cm，∴，即cm．故選D．6.如圖，D，E是△ABC中BC邊上的點(diǎn)，且BD＝DE＝EC，那么（）A．S1＜S2＜S3B．S1＞S2＞S3C．S1=S2=S3D．S2＜S1＜S3【答案】C【分析】根據(jù)同高三角形面積的比等于對應(yīng)底邊的比可得結(jié)論．【詳解】解：∵BD＝DE＝EC，∴S△ABD＝S△ADE＝S△AEC，即S1＝S2＝S3，故選：C．7.如圖，已知中，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)．若的面積等于8，則的面積等于A．2B．3C．4D．5【分析】根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【解答】解：點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，的面積等于8，，是的中點(diǎn)，，故選：．8.ABC中，AD是BC邊上的高，∠BAD=40°，∠CAD=30°，則∠BAC=______．【答案】70°或10°【分析】分為兩種情況，畫出圖形，求出∠B的度數(shù)，即可得出答案．【詳解】解：分為兩種情況：①如圖1，∵∠BAD=40°，∠CAD=30°∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝40°+30°＝70°；②如圖2，∵∠BAD=40°，∠CAD=30°∴∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝40°﹣30°＝10°；故答案為：70°或10°．9.如圖，是等腰三角形，cm，，點(diǎn)D是底邊BC邊上的任意一點(diǎn)，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F．則______cm．【答案】4【分析】根據(jù)圖形可知三角形的面積等于三角形的面積加上三角形的面積，根據(jù)面積公式變形計(jì)算即可．【詳解】解：∵，又∵，，∴，∵，，，故答案為：4．10.如圖，在中，，點(diǎn)沿自點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)與點(diǎn)，不重合），作于點(diǎn)，的延長線于點(diǎn)，在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，的值逐漸______（填“增大”，“減小”或“不變”）．【答案】減小【分析】根據(jù)點(diǎn)沿自點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，的面積不變，但是會(huì)增大，由面積公式可得的值逐漸減小【詳解】解：由得：∵的面積不變，但是點(diǎn)沿自點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，會(huì)增大，∴的值逐漸減小，故答案為：減小11.如圖，在中，已知點(diǎn)D、E、F分別為邊、、的中點(diǎn)，且的面積是