高中數(shù)學同步講義（人教A版必修二）第41講 第八章 立體幾何初步 章節(jié)驗收測評卷（教師版）

第18講第八章立體幾何初步章節(jié)驗收測評卷一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．（2024·全國·高一假期作業(yè)）能旋轉(zhuǎn)形成如圖所示的幾何體的平面圖形是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】此幾何體自上向下是由一個圓錐和一個圓臺構(gòu)成，是由A中的平面圖形旋轉(zhuǎn)形成的.故選：A.2．（2024·全國·高一假期作業(yè)）水平放置的的直觀圖如圖所示，是中邊的中點，且平行于軸，則，，對應于原中的線段AB，AD，AC，對于這三條線段，正確的判斷是（

）

A．最短的是AD B．最短的是AC C． D．【答案】A【詳解】因為平行于軸，所以在中，，又因為是中邊的中點，所以是的中點，所以.故選：A3．（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖是一坐山峰的示意圖，山峰大致呈圓錐形，峰底呈圓形，其半徑為，峰底A到峰頂?shù)木嚯x為，B是山坡的中點.為了發(fā)展當?shù)芈糜螛I(yè)，現(xiàn)要建設一條從A到B的環(huán)山觀光公路，當公路長度最短時，公路距山頂?shù)淖罱嚯x為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】以為分界線，將圓錐的側(cè)面展開，可得其展開圖如圖.則從點A到點B的最短路徑為線段，，所以.過S作，則公路距山頂?shù)淖罱嚯x為，因為，所以，故選:D.4．（2024上·湖北武漢·高三統(tǒng)考開學考試）攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為最尖，清代稱攢尖，通常有圓形攢尖?三角攢尖?四角攢尖?八角攢尖，也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑?園林建筑.下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個正四棱錐.已知正四棱錐的底面邊長為米，側(cè)棱長為5米，則其體積為（

）立方米.

A． B．24 C． D．72【答案】B【詳解】如圖所示，在正四棱錐中，連接于，則為正方形的中心，連接，則底面邊長，對角線，.又，故高.故該正四棱錐體積為.

故選：B5．（2024·全國·模擬預測）在正方體中，交于點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】連接，因為，所以異面直線與所成的角為，（由正方體的幾何性質(zhì)易知為銳角，故即所求角）設，則，則，故，故，所以異面直線與所成角的余弦值為，故選：C．6．（2024·全國·模擬預測）已知圓錐的軸截面是正三角形，是圓錐底面圓的圓心，是底面圓上的兩個動點，且．若三棱錐的高為，則三棱錐的體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖，連接OP，則由圓錐的性質(zhì)可知底面，，因為是正三角形，所以，又因為點是底面圓上的兩個動點，且，，所以是正三角形，故，設中點為，中邊上的高為，則，當且僅當，且是劣弧的中點時，最大，且最大距離為，此時的面積的最大值為，所以三棱錐的體積的最大值為,

故選：A7．（2024·全國·模擬預測）如圖①所示，四邊形是由一個邊長為的等邊與另外一個拼接而成，現(xiàn)沿著直線進行翻折，使得平面平面，連接，得到三棱錐，如圖②所示．若，，則三棱錐的外接球的體積為（

）

A． B． C． D．【答案】B【詳解】

由已知，，，即，故，設等邊的中心，連接，，，可得，延長交于點，則為的中點，，連接，，如圖所示，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以．因為，，所以，則三棱錐的外接球球心即為的中心，故三棱錐的外接球的體積，故選：B．8．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知正三棱柱的六個頂點均在同一個半徑為1的球面上，則正三棱柱側(cè)面積的最大值為（

）A． B． C．6 D．【答案】B【詳解】解法一：設正三棱柱底面邊長為a，高為h，底面外接圓的半徑為，則，故，所以，即，又三棱柱的側(cè)面積，所以，當時，等號成立，則三棱柱的側(cè)面積最大值為．解法二：設正三棱柱底面邊長為a，高為h，底面外接圓的半徑為，則，故，所以，因為，所以，當且僅當，時，等號成立，則三棱柱的側(cè)面積最大值為.故選：B.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9．（2024上·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習）已知m，n為兩條不同的直線，，為兩個不同的平面，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．，，則B．，，，，則C．，，，則D．，，，則【答案】ABD【詳解】對于A，若，，則或，A錯誤；對于B，若，，，，則或，相交，只有加上條件m，n相交，結(jié)論才成立，B錯誤；對于C，若，，則，又因為，所以，C正確；對于D，若，，無法得到，只有加上條件才能得出結(jié)論，D錯誤.故選：ABD.10．（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖是一個正方體的平面展開圖，在這個正方體中，下列說法中正確的序號是（

）A．直線與直線相交；B．直線與直線平行；C．直線BM與直線是異面直線；D．直線與直線成角.【答案】CD【詳解】如圖所示，將正方體的平面展開圖，復原為正方體，對于A中，直線與不同在任何一個平面內(nèi)，否則四點共面，（矛盾），所以直線與為異面直線，所以A不正確；對于B中，直線與不同在任何一個平面內(nèi)，否則四點共面，（矛盾），所以直線與為異面直線，所以B不正確；對于C中，平面平面，平面，平面，所以直線與不相交，連接，則，而與相交，所以與不平行，否則，不合題意，所以直線與是異面直線，所以C正確；對于D中，連接，則為正三角形，可得，又由，則為直線與直線所成的角，即直線與直線所成的角為，所以D正確.故選：CD.11．（2024上·寧夏吳忠·高二吳忠中學?？计谀┤鐖D，在四棱錐中，平面，與底面所成的角為，底面為直角梯形，，點為棱上一點，滿足，下列結(jié)論正確的是（

）

A．平面平面；B．在棱上不存在點，使得平面C．當時，異面直線與所成角的余弦值為；D．點到直線的距離；【答案】ACD【詳解】A選項，因為平面，平面，平面，所以，，故即為與底面所成的角，即，故，而，所以，在直角梯形中，，則，故，又因為平面，所以平面，因為平面，故平面平面，故A正確；D選項：由A選項的證明過程可知：平面，因為平面，所以，故點到直線的距離即為的長度，因為平面，平面，故，而，即點到直線的距離，故D正確；對于C，當時，，即為的中點，

設為的中點，連接，則，而，故，故四邊形為平行四邊形，則，故異面直線與所成角即為的夾角，在中，，則，則異面直線與所成角的余弦值為，C正確；對于B，由C選項知，當時，，因為平面，平面，所以平面，所以時，平面，故B錯誤.故選：ACD.12．（2024上·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習）四棱錐的底面為正方形，與底面垂直，，，動點在線段上，則（

）A．不存在點，使得 B．的最小值為C．四棱錐的外接球表面積為 D．點到直線的距離的最小值為【答案】BCD【詳解】對于A：連接，且，如圖所示，當在中點時，

因為點為的中點，所以，因為平面，所以平面，又因為平面，所以，因為為正方形，所以.又因為，且，平面，所以平面，因為平面，所以，所以A錯誤；對于B：將和所在的平面沿著展開在一個平面上，如圖所示，

則的最小值為，直角斜邊上高為，即，直角斜邊上高也為，所以的最小值為，所以B正確；對于C：易知四棱錐的外接球直徑為，半徑，表面積，所以C正確；對于D：點到直線的距離的最小值即為異面直線與的距離，因為，且平面，平面，所以平面，所以直線到平面的距離等于點到平面的距離，過點作，因為平面，所以,又,且,故平面，平面，所以，因為，且，平面，所以平面，所以點到平面的距離，即為的長，如圖所示，

在中，，，可得，所以由等面積得，即直線到平面的距離等于，所以D正確，故選：BCD.三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分.）13．（2024上·全國·高三專題練習）如圖，在正方體中，，E為AD的中點，點F在CD上，若平面，則.【答案】【詳解】根據(jù)題意，因為平面，平面，且平面平面所以.又是的中點，所以是的中點.因為在中，，故.故答案為：14．（2024上·上海·高二曹楊二中?？计谀┮阎獔A錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為4的半圓.若用平行于圓錐的底面，且與底面的距離為的平面截圓錐，將此圓錐截成一個小圓錐和一個圓臺，則小圓錐和圓臺的體積之比為.【答案】/1:7【詳解】設圓錐底面半徑為，母線長為，由題意，，，故，作圓錐軸截面如下圖：所以，，，所以圓錐體積為，因為用與底面的距離為的平面截圓錐，故，且，所以小圓錐體積，所以圓臺的體積，故小圓錐和圓臺的體積之比為.故答案為：15．（2024上·山東濱州·高三統(tǒng)考期末）已知直四棱柱的所有棱長均為4，，以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長為．【答案】【詳解】如圖：取的中點,連接，結(jié)合題意：易得為等邊三角形，因為為的中點，所以因為在直四棱柱中有面,且面，所以,又因為,且面所以面，結(jié)合球的性質(zhì)可知為該截面圓的圓心，因為直四棱柱的所有棱長均為4，，所以,,,,故以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線為：以為圓心,為半徑的圓所成的圓弧.所以.故答案為:.16．（2024·全國·高三專題練習）如圖，在矩形中，，，，，分別為，，，的中點，與交于點，現(xiàn)將，，，分別沿，，，把這個矩形折成一個空間圖形，使與重合，與重合，重合后的點分別記為，，為的中點，則多面體的體積為；若點是該多面體表面上的動點，滿足時，點的軌跡長度為．【答案】【詳解】連接，有，而，為中點，則有，，則平面，同理平面，又平面與平面有公共點，于是點共面，而，即有，，因為，，平面，則平面，又平面，即有，則，同理，即，從而，即四邊形為平行四邊形，，，等腰梯形中，高，其面積，顯然平面，所以多面體的體積；因為平面，同理可得平面，又，則平面，依題意，動點所在平面與垂直，則該平面與平面平行，而此平面過點，令這個平面與幾何體棱的交點依次為，則,又為的中點，則點為所在棱的中點，即點的軌跡為五邊形，長度為：.故答案為：；四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17．（2024上·全國·高三專題練習）在四棱錐中，四邊形ABCD是正方形，平面ABCD，且，E為線段PA的中點.(1)求證：平面BDE.(2)求三棱錐的體積【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）如圖，連接交于點，連接.

∵四邊形是正方形，在中，為的中點，又∵為的中點，∴，又∵平面，平面，∴平面；（2）如圖，取的中點，連接，

則且，∵平面，∴平面，∴就是三棱錐的高.∴.18．（2024·全國·高二專題練習）如圖，在矩形中，，，E為的中點，把和分別沿AE，DE折起，使點B與點C重合于點P．(1)求證：平面⊥平面；(2)求二面角的大小．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由⊥，得⊥，同理，⊥．又∵，平面，∴⊥平面．又平面，∴平面⊥平面．（2）如圖所示，取的中點F，連接，∵四邊形為矩形，∴，因為，所以⊥，⊥，故就是二面角的平面角．又⊥平面，平面，所以⊥，∵，∴，∴．∴二面角P－AD－E的大小為．19．（2024·全國·高三專題練習）如圖，P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，E是PD的中點．(1)求證：平面EAC．(2)若M是CD上異于C，D的點，連接PM交CE于點G，連接BM交AC于點H，求證：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【詳解】（1）連接交于，連接，因為四邊形是平行四邊形，所以為中點，又因為為中點，所以是的中位線，所以，又因為平面，平面，所以平面.（2）因為平面，平面平面，平面，所以.20．（2024·陜西榆林·統(tǒng)考一模）在三棱錐中，為的中點.(1)證明：⊥平面.(2)若，平面平面，求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因為，為的中點，所以，又因為平面，所以⊥平面.（2）因為平面平面，且平面平面，平面，所以平面，因為，所以均為等邊三角形，故，故，所以，因為平面，平面，所以，由勾股定理得，取的中點，連接，在中，，故⊥，故，，設點到平面的距離為，所以，解得.21．（2024上·上?！じ叨y(tǒng)考期末）如圖，已知正方形的邊長為1，平面，三角形是等邊三角形．(1)求異面直線與所成的角的大?。?2)在線段上是否存在一點，使得與平面所成的角大小為？若存在，求出的長度，若不存在，說明理由.【答案】(1)；(2)存在，1【詳解】（1）因為為正方形，則，則異面直線與所成的角為與所成的角，即或其補角，因為三角形是等邊三角形，則平面，平面，，．所以異面直線AC與BD所成的角為．（2）作交于點，連接，平面，平面，則與平面